Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Общая теория вихрей
.pdf
§6. ДИНАМИКА ИЗМЕНЯЕМЫХ СИСТЕМ НА ГРУППАХ ЛИ 221
Это формулы (6.15) для группы движений плоскости E(2). С учетом ра-
венств (6.28) получаем уравнения
˙x = X
(ξ, η, α)˙ξ + X2(ξ, η, α)˙η,
1
˙y = Y
(ξ, η, α)˙ξ + Y2(ξ, η, α)˙η,
1
˙α =Φ
(ξ, η)˙ξ +Φ2(ξ, η)˙η.
1
(6.30)
Явный вид коэффициентов X
, Yk, Φk(k =1, 2) легко получить при по-
k
мощи формул (6.28). Уравнения (6.30) — это уравнения (6.23), записанные
с учетом специфики рассматриваемой задачи.
Пусть z =(x, y, α mod 2π) — элемент группы движений плоскости.
Если ξ и η — заданные функции времени t, то положение z(t) тела находится при помощи обычных квадратур.
Теорема 33. Если a
(1)
(2)
ний тела z
и z
функции ξ(t), η(t), t
|ξ(t)| ε, |η(t)| ε; z(t
= a2, то для любого ε>0 и любых двух положе-
1
найдутся непрерывные кусочно-гладкие управляющие
t t2, такие, что
1
)=z
1
(1)
,z(t2)=z
(2)
.
Другими словами, за счет подходящего перемещения материальной
точки в заданной ограниченной области тело в жидкости с неравными присоединенными массами можно переместить из любого положения в любое
другое. Время движения t
Усл о ви е a
= a, то из уравнений (6.29) с учетом соотношений (6.28) вытекают
= a
2
= a2является существенным. Действительно, если a1=
1
− t1существенно зависит от параметра ε.
2
два первых интеграла:
ax + m(x + ξ cos α − η sin α)=c
ay + m(y + ξ sin α + η cos α)=c
c
=const.
1,c2
,
1
;
2
(6.31)
Выражения в круглых скобках — это координаты точки m внеподвижных
осях. Если точку O
интерпретировать как центр масс системы «тело+жид-
1
кость», то соотношения (6.31) означают неподвижность центра масс полной системы «тело+жидкость+материальная точка». Из (6.31) вытекает,
что твердое тело остается все время в ограниченной области (надо учесть,
что поскольку точка m остается внутри оболочки твердого тела, то координаты ξ, η ограничены).
222 ГЛАВА III
Чтобы доказать теорему 33, введем расширенное пятимерное пространство M с координатами
x, y, α mod 2π, ξ, η
и распределение двумерных касательных плоскостей, определенное независимыми уравнениями
dx = X
Введем еще два независимых векторных поля V
dξ + X2dη, dy = Y1dξ + Y2dη, dα =Φ1dξ +Φ2dη. (6.32)
1
и V2с компонентами
1
X
, Φ1, 1, 0 и X2,Y2, Φ2, 0, 1
1,Y1
соответственно. Эти векторы, очевидно, удовлетворяют уравнениям (6.32).
Рассмотрим теперь пять векторных полей
,V2, [V1,V2], [V1, [V1,V2]], [V2, [V1,V2]]. (6.33)
V
1
Оказывается, если a
= a2, то при малых значениях ξ, η эти векторы ли-
1
нейно независимы в каждой точке.
Действительно, условие линейной независимости состоит в том, что
определитель матрицы 5 × 5, составленной из компонент векторов (6.33),
отличен от нуля. Значение этого определителя при ξ = η =0равно
+ κ2− 3)(2κ2+ κ1− 3)(κ1+ κ2− 2)(κ1− κ2)2κ
−(2κ
1
3
.
3
Интересно отметить, что это выражение не зависит от угла поворота α.Легко проверить, что первые три сомножителя положительны. Следовательно,
если κ
= κ2(или, что то же самое, a1= a2), то при малых значениях ξ, η
1
векторы (6.33) линейно независимы.
Это обстоятельство позволяет воспользоваться теоремой Рашевского–
Чжоу [78, 101], согласно которой любые две точки области в M , заданной
неравенствами |ξ| ε, |η| ε (ε мало), можно соединить непрерывной
кусочно-гладкой кривой, составленной из отрезков интегральных кривых
полей V
полей V
и V2. Остается заметить, что движения по фазовым траекториям
1
и V2, параметризованные временем t, удовлетворяют уравнени-
1
ям (6.30). Что и требовалось.
Отметим, что координата ξ (соответственно η) является интегралом
векторного поля V
(соответственно V1). Поэтому для реализации наперед
2
§6. ДИНАМИКА ИЗМЕНЯЕМЫХ СИСТЕМ НА ГРУППАХ ЛИ 223
Рис. 27. Подходящие управления
заданного перемещения твердой оболочки можно ограничиться перемещениями материальной точки, вид которых изображен на рис. 27.
Теорема 33 установлена в работе [60]. Там же рассмотрена задача
овозможностисамопродвижения (прогрессивного движения) тела с жесткой оболочкой и периодически меняющейся геометрией масс. На первый
взгляд кажется, что это невозможно, поскольку центр масс системы «тело+жидкость» покоится. Однако данный аргумент нельзя принимать во
внимание: во-первых, центр масс бесконечного объема жидкости не определен, а во-вторых, нас интересует только перемещение корпуса тела, а не
жидкости.
Если заменить группу E(2) на E(1), то получим задачу о прямолиней-
ном движении изменяемого тела. В этом случае самопродвижение невозможно (вспомним хрестоматийную задачу о матросе, идущем по лодке с ее
носа на корму).
Чтобы продемонстрировать возможность самопродвижения в плоско-параллельном случае, рассмотрим предельный вариант, когда a
a
→∞, а момент инерции b стремится к конечному пределу. Возмож-
2
1
→ 0,
ность такого предельного перехода обоснована в работе [52]. В этом случае
уравнения (6.30) принимают следующий вид:
v = −
˙x = v cos α, ˙y = v sin α, ˙α = ω;
˙
ξ +
1+κξ
κξη ˙η
,ω= −
2
κξ ˙η
1+κξ
, κ =
2
m
.
b
(6.34)
Пусть точка m движется с постоянной по величине скоростью по замкнутой кривой, изображенной на рис. 28. С помощью уравнений (6.34) можно
224 ГЛАВА III
сосчитать приращение координат за период:
Δx =0, Δy = −2ε1+sinμ −
sin μ
μ
, Δα =0.
Здесь
μ =
1+κε
.
2
2
κε
При малых ε =0, очевидно, Δy =0. Следовательно, в среднем тело бу-
дет смещаться широкой стороной вперед. Ввиду аналитичности, для почти всех значений параметров будет иметь место самопродвижение твердой
оболочки.
Рис. 28. Траектория материальной точки
Из первых двух уравнений (6.34) видно, что движение тела подчиняется неинтегрируемой связи
˙x sin α − ˙y cos α =0.
Однако это движение происходит не по законам неголономной механики,
а в соответствии с принципами вакономной механики,развитойврабо-
те [52].
Более детально задача о самопродвижении тела с жесткой оболочкой
в плоско-параллельном случае изучена в работе [59]. В частности, рассмотрено движение тела, порождаемое случайным блужданием внутренней точки. Для пространственного движения изменяемого тела с жесткой оболочкой теорема о полной управляемости установлена в работе [61]. Критерий
§7. ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ НЕГОЛОНОМНЫХ СИСТЕМ 225
управляемости состоит в том, чтобы не все три присоединенные массы
оболочки были равны между собой.
Рассмотренная задача является частным случаем более общей задачи
о движении деформируемого тела в жидкости, которая имеет существенное
значение при изучении механизма плавания рыб, а также явления кавитации. Первые результаты в этом направлении получены Тейлором (1952 г.)
и Лайтхиллом (1960 г.). Они рассматривали движение в вязкой жидкости;
обмен энергией между телом и жидкостью происходит из-за схода вихрей
с острых кромок тела, а также благодаря инерционному воздействию жидкости на тело. Положительный ответ в задаче о возможности движения за
счет деформирования своей границы в идеальной жидкости, совершающей
безвихревое движение, дан в работах Бенжамина и Эллиса (1966 г.) и Саффмана (1967 г.). Ссылки на эти и другие работы можно найти в [59, 61],
а также в книге [92]. Отметим, что задача о возможности прогрессивного
движения тела с жесткой границей в идеальной жидкости является более
деликатной.
§ 7. Вихревая теория неголономных систем
1◦. Рассмотрим неголономную систему, на которую действуют потенциальные силы и наложена связь
(a, ˙x)=b. (7.1)
Здесь x =(x
,...,xn) — обобщенные координаты, ˙x =(˙x1,..., ˙xn) —
1
обобщенные скорости, a(x, t) — гладкое ненулевое ковекторное поле
и b(x, t) — скалярная функция. Пусть
L(˙x, x, t)=L
+ L1+ L
2
0
— лагранжиан рассматриваемой системы; Lj— однородная форма по скоростям степени j, причем квадратичная форма L
положительно определена.
2
Уравнения движения имеют вид уравнений Лагранжа с множителем связи
·
∂L
∂ ˙x
∂L
= μa. (7.2)
−
∂x
Уравнения (7.1)–(7.2) составляют замкнутую систему. Не решая уравнений
движения, множитель μ находится как функция состояния системы x, ˙x
ивремениt.
226 ГЛАВА III
Полезно перейти к каноническим переменным
x, y =
∂L
∂ ˙x
,
y =(y
,...,yn) — канонические импульсы. Тогда уравнение (7.2) прини-
1
мает вид
˙x =
∂H
, ˙y = −
∂y
∂H
+ μa, (7.3)
∂x
где H(x, y, t) — функция Гамильтона, а множитель μ представлен как функция от канонических переменных x, y и времени. Уравнение связи (7.1)
переходит в линейный по импульсам интеграл уравнений движения (7.3):
(A, y)=B, (7.4)
где векторное поле A и скалярная функция B гладко зависят от x и t.
Будем изучать инвариантные n-мерные многообразия уравнений движения (7.3), которые однозначно проектируются на конфигурационное пространство {x}:
Σ
= {x,y : y1= u1(x, t),...,yn= un(x, t)}. (7.5)
t
Это многообразие задается полем импульсов u =(u
гурационном пространстве. Локальными координатами на Σ
щенные координаты x
с компонентами
,...,xn. Введем поле скоростей v =(v1,...,vn)
1
∂H
v
(x, t)=
j
∂y
j
y=u(x,t)
,...,un) на конфи-
1
служат обоб-
t
и ограничим гамильтониан H на многообразие (7.5):
h(x, t)=H(x, u(x, t),t).
Повторяя рассуждения из § 8 гл. I, несложно проверить, что условие
инвариантности многообразия (7.5) сводится к уравнению
где
∂u
+(rotu)v = −
∂t
rot u =
∂u
∂x
∂h
+ λa, (7.6)
∂x
∂u
i
j
j
−
∂x
i
§7. ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ НЕГОЛОНОМНЫХ СИСТЕМ 227
— кососимметрическая n ×n-матрица (вихрь ковекторного поля u), множитель λ(x, t) — это функция μ, в которой канонические импульсы заменены
на u(x, t). В конечном итоге (7.6) представляет собой замкнутую систему
n дифференциальных уравнений первого порядка для отыскания n функ-
,...,un. Отметим, что условие инвариантности многообразия (7.5)
ций u
1
для голономной системы в непотенциальном силовом поле также имеет
вид (7.6). Для гамильтоновых систем (когда a =0) уравнение (7.6) названо
нами обобщенным уравнением Ламба.
Усл о ви е (7.6) можно переписать в инвариантных обозначениях:
∂ω
+ i
(dω)=−dh + ϕ. (7.7)
v
∂t
Здесь
ω =u
(x, t) dxj,ϕ=λajdx
j
j
— дифференциальные 1-формы, ivξ — внутреннее произведение поля v
иформыξ. Применяя к обеим частям (7.7) операцию внешнего дифференцирования, получаем уравнение вихря
∂Ω
+ L
Ω=Φ, (7.8)
∂t
v
где Ω=dω, Φ=dϕ — замкнутые дифференциальные 2-формы, L
d — производная Ли вдоль векторного поля v. Так как в общем случае
+ i
v
= div+
v
Φ =0,то2-формаΩ не является инвариантом ограничения уравнений
движения (7.3) на инвариантное многообразие (7.5)
˙x = v(x, t). (7.9)
Отметим еще, что необходимое условие инвариантности многообразий любой размерности для уравнений движения неголономных систем также
можно представить в виде (7.7) (см. гл. II, где этот результат получен
для гамильтоновых систем).
◦
. Как показано в гл. II, для гамильтоновых систем уравнения инва-
2
риантности (7.6) (или (7.7)) обладают многими свойствами, характерными
для уравнений гидродинамики идеальной жидкости. Если ϕ =0,тоэто
наблюдение справедливо лишь при дополнительных условиях.
Рассмотрим сначала стационарный случай, когда b =0и перечисленные выше тензорные объекты (u, v, ω, h, ϕ) не зависят явно от времени.
228 ГЛАВА III
Очевидно, функция h будет постоянной на линиях тока — интегральных
кривых векторного поля v. Действительно, согласно уравнению связи, имеет место соотношение
ϕ = ϕ(v)=μaj˙xj=0.
i
v
Применяя к обеим частям уравнения (7.7) операцию внутреннего умноже-
,получим
ния i
v
i
v
dh =
∂h
∂x
· v =0.
Что и требовалось.
Для уравнений Гамильтона (как и в гидродинамике) функция h постоянна также на вихревых многообразиях 2-формы Ω. В общем случае (когда
ϕ =0) это уже не так. Напомним определение вихревого многообразия,
которое пригодно и для неавтономного случая. Вихревой вектор w определяется из условия
Ω=0.
i
w
Совокупность всех вихревых векторов в одной и той же точке x вфиксированный момент времени порождает некоторое m-мерное векторное пространство Π
ном случае размерность m =dimΠ
, касательное к конфигурационному пространству. В типич-
x
не зависит от точки x. Следовательно,
x
имеется распределение m-мерных касательных пространств. Это распределение интегрируемо ввиду свойства замкнутости 2-формы Ω. Это означает,
что конфигурационное пространство расслоено на m-мерные многообразия W, которые в каждой точке x касаются Π
. Эти многообразия называ-
x
ются вихревыми многообразиями; в нестационарном случае они зависят от
времени t.
Продолжим рассмотрение стационарного случая.
Предложение 20. Если вихревые векторы являются возможными перемещениями, то функция h постоянна на вихревых многообразиях.
Действительно, поскольку 2-форма Ω=dω кососимметрическая, то
i
Ω) = Ω(v, w)=0.
w(iv
Согласно предположению,
i
ϕ = ϕ(w)=0.
w
Следовательно,
∂h
0=i
w
dh =
∂x
· w,
что означает постоянство функции h на вихревых многообразиях.
§7. ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ НЕГОЛОНОМНЫХ СИСТЕМ 229
В дальнейшем будем считать, что 1-форма ω имеет постоянный класс
во всем конфигурационном пространстве или его части (где проводится
анализ системы). Это означает, что размерность линейного пространства
векторов w, которые удовлетворяют соотношениям
ω = iwdω =0,
i
w
не меняется от точки к точке. Известно [30, 41], что в некоторых локальных
координатах форма ω принимает вид
dS + x
1dx2
+ ...+ x
2k−1dx2k
, 2k n. (7.10)
Здесь S — некоторая функция от x и t.
Теорема 34. Предположим, что вихревые векторы w 2-формы Ω удо-
влетворяют следующим условиям:
1) i
ϕ =0(w — возможное перемещение системы),
w
2) i
Φ=0(w — вихревой вектор 2-формы Φ).
w
Тогда поток системы (7.9) переводит вихревые многообразия в вихревые многообразия.
Это утверждение — многомерное обобщение классической теоремы
Гельмгольца о вмороженности вихревых линий.
Доказательство. Используя (7.10), запишем в явном виде уравнения
инвариантного многообразия
∂S
=
∂x
,u2=
1
u
1
∂S
+ x1, ..., u
∂x
2
2k+1
∂S
=
∂x
, ..., un=
2k+1
∂S
∂x
(7.11)
n
и уравнения (7.6)
∂S
∂
= −
˙x
1
∂x
2
.......................................................... (7.12)
= −
˙x
2k−1
∂
∂S
∂x
2k+1
∂t
∂t
∂
∂x
2k
+ h= ϕ
+ h+ ϕ
∂S
+ h+ ϕ
∂t
2k+1
, ˙x2=
2
2k
,...,
, ˙x2k=
∂
∂x
∂S
∂
∂x
1
∂S
∂t
n
+ h+ ϕ
∂t
∂
∂x
2k−1
+ h= ϕ
,
1
∂S
+ h+ ϕ
∂t
. (7.13)
n
2k−1
,
230 ГЛАВА III
Здесь ϕj= λaj. Согласно (7.11), матрица 2-формы Ω=dω имеет блочнодиагональный вид:
rot u =(J,...,J
!
"# $
k
, 0,...,0),J=
0 −1
10
.
Следовательно, пространство вихревых векторов порождается комбинациями n − 2k векторов
(0,...,0, 1, 0,...,0)
T
,...,(0,...,0, 0, 0,...,1)T.
Согласно условию 1,
= ···= ϕn=0. (7.14)
ϕ
2k+1
Но тогда из (7.13) вытекает, что функция
∂S
+ h
∂t
зависит только от x
,...,x2kи времени. Кстати сказать, этот факт распро-
1
страняет теорему Бернулли на нестационарный случай.
Нетрудно проверить, что условие 2 теоремы эквивалентно серии уравнений
∂x
∂ϕ
2k+1
∂ϕ
1
2k+1
=
∂x
1
,...,
∂ϕ
∂x
n−1
2k+1
∂ϕ
2k+1
=
∂x
,
n−1
...
∂ϕ
∂x
Cучетом(7.14) получаем, что функции ϕ
,...,x2kи t. Но тогда соотношения (7.12) будут замкнутой системой
x
1
обыкновенных дифференциальных уравнений относительно x
∂ϕ
1
=
∂x
n
n
,...,
1
∂ϕ
∂x
n−1
n
∂ϕ
n
=
.
∂x
n−1
,...,ϕ2kзависят лишь от
1
,...,x2k.
1
Поскольку вихревые многообразия локально задаются уравнениями
x1= x
0
,...,x2k= x
1
0
2k
,
то поток системы (7.9) (частью которой являются уравнения (7.12)) переводит вихревые многообразия в вихревые многообразия. Что и требовалось.
Подчеркнем, что система дифференциальных уравнений (7.12) замкнута и имеет вид (7.6). Ее фазовое пространство получается из конфигурационного пространства с помощью факторизации по естественному
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]