Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Общая теория вихрей
.pdf
§7. СИЛА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ОБОБЩЕНИЯ 141
отсчета появляется электромагнитное поле с зарядами и токами, причем
соответствующая сила Лоренца искривляет траекторию частицы по точно
такому же закону.
Эту аналогию можно сделать более полной, если вместо движений
трехмерного евклидова пространства рассматривать его непрерывные деформации.
◦
. Представление об универсальности силы Лоренца в лагранжевой
4
механике можно также продемонстрировать с точки зрения теории инвариантных многообразий. Пусть L(˙x, x, t) — лагранжиан, а n-мерное инвари-
антное многообразие задается векторным соотношением
˙x = v(x, t). (7.9)
Обобщенная сила, действующая на лагранжеву систему, определяется равенством
F (˙x, x, t)=
d
dt∂L∂ ˙x
∂L
−
. (7.10)
∂x
Подчеркнем, что на вид лагранжиана мы не накладываем никаких ограничений. В частности, он может быть релятивистским.
Выведем формулу для ограничения силы (7.10) на инвариантную поверхность (7.9):
F | = F (v, x, t).
В канонических переменных
x, y =
∂L
∂ ˙x
инвариантная поверхность (7.9) имеет вид
y = u(x, t),
где
u =
∂L
∂ ˙x
˙x=v
— ковекторное поле на пространстве конфигураций. Ясно, что
∂u
∂t
∂u
+
v,
∂x
T
∂u
v.
∂x
∂L
∂x
(y)
∂
=
∂x
·
=
(L|−u · v)+
142 ГЛАВА II
Заметим, что
L|−u · v = −h,
где h — ограничение гамильтониана на инвариантную поверхность.
Итак, получаем искомую формулу для обобщенной силы:
∂u
∂t
∂h
+
∂x
+(rotu)v.
=
F
Сопоставляя с (7.3), естественно положить
∂u
∂t
∂h
+
,H= −rot u.
∂x
E =
Как и (7.6), эти поля удовлетворяют геометрической части уравнений
Максвелла.
Эти вычисления фактически содержатся в [4]. Они вполне аналогичны
известным преобразованиям Ламба из гидродинамики.
В качестве примера найдем инвариантную поверхность вида (7.9)
для уравнения движения заряда в заданном электромагнитном поле (7.3)
(где положено m = e = c =1). Ясно, что
∂v
¨x =
∂t
∂v
+
∂x
v =
∂v
+(rotv)v +
∂t
∂h
, (7.11)
∂x
где h =(v, v)/2.Сопоставляяс(7.3), естественно положить
∂v
∂h
+
∂t
= E, rot v = −H. (7.12)
∂x
Из второго уравнения вытекает, что поле v совпадает с векторным потенциалом магнитного поля, взятого с обратным знаком. Сам потенциал определен с точностью до градиента любой функции на конфигурационном пространстве. Если H =rotA,то
∂ψ
v = −A +
, (7.13)
∂x
где ψ — функция от x и t.
Согласно первому уравнению системы Максвелла (7.2),
∂A
E = −
∂t
∂ϕ
−
, (7.14)
∂x
§7. СИЛА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ОБОБЩЕНИЯ 143
где ϕ — некоторая гладкая функция от x и t. Из первого соотношения (7.12)
вытекает уравнение для пока неизвестной функции ψ:
откуда
∂ψ
∂t
∂ψ
∂
∂x
1
∂ψ
+
2
∂x
∂t
− A,
+
∂ψ
∂x
∂ϕ
∂h
+
∂x
=0;
∂x
− A+ ϕ(x, t)=f (t). (7.15)
За счет калибровки
ψ → ψ −f(t) dt
можно обнулить правую часть уравнения (7.15).
Само уравнение (7.15) имеет вид уравнения Гамильтона – Якоби. И это
не случайно. Действительно, вводя электромагнитные потенциалы A и ϕ,
уравнение (7.3) представим в виде уравнения Лагранжа с лагранжианом
1
L =
(˙x, ˙x)+(A, ˙x) −ϕ.
2
Применяя преобразование Лежандра
∂L
x, ˙x → x, y =
d ˙x
,
приходим к гамильтониану
1
(y − A, y − A)+ϕ.
H =
2
Соответствующее уравнение Гамильтона– Якоби совпадает как раз с уравнением (7.15).
Если H =0, то инвариантная поверхность
˙x = −A +
∂ψ
∂x
(7.16)
не будет лагранжевой относительно симплектической структуры
∧ d ˙xi.
dx
i
В канонических переменных поверхность (7.16) имеет потенциальный вид:
∂ψ
∂x
.
y =
144 ГЛАВА II
Другими словами, она лагранжева относительно «правильной» симплекти-
ческой структуры
∧ dyi=dxi∧ d ˙xi+
dx
i
◦
. Эти наблюдения можно обобщить. Вместо подстановки (7.12) рас-
5
i>j
∂A
∂x
i
−
j
∂A
∂x
j
i
dx
∧ dxj.
i
смотрим общее уравнение для векторного поля v в трехмерном евклидовом
пространстве, которое вытекает из сопоставления уравнений (7.3) и (7.11):
∂v
+(rotv) × v +
∂t
∂h
= E − H × v.
∂x
Вводя магнитный потенциал A и используя формулу (7.14), перепишем это
уравнение в следующем виде:
∂(v + A)
∂t
+(rot(v + A)) × v = −
∂
(h + ϕ). (7.17)
∂x
В отсутствие магнитного поля (когда A =const) это уравнение сов-
падает с уравнением Эйлера (в форме Ламба), описывающим движение
идеальной жидкости в потенциальном силовом поле. Поскольку уравнения движения заряда в электромагнитном поле гамильтоновы, то уравнение (7.17) легко выводится из общих результатов главы II об инвариантных многообразиях гамильтоновых систем. Отметим два свойства уравнения (7.17) с учетом указанной гидродинамической аналогии.
В стационарном случае функция
1
h + ϕ =
(v(x),v(x)) + ϕ(x)(7.18)
2
постоянна на линиях тока (интегральных кривых векторного поля v)ина
обобщенных вихревых линиях (интегральных кривых векторного поля
rot(v + A)=H +rotv). Это — обобщенная теорема Бернулли;функ-
цию (7.18) естественно назвать функцией Бернулли. В частности, каждая
связная и регулярная поверхность Бернулли
B
=x:
α
1
2
v
(x)+ϕ(x)=α
2
будет двумерным тором.
С другой стороны, в общем нестационарном случае обобщенные вихревые линии вморожены в поток системы дифференциальных уравнений (7.9).Это—обобщенная теорема Гельмгольца.
§7. СИЛА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ОБОБЩЕНИЯ 145
По аналогии с теорией Гамильтона – Якоби полезно ввести полное ре-
шение системы уравнений в частных производных (7.17): это функция
v(t, x, c), c =(c
1,c2,c3
), которая при фиксированных значениях параметра c удовлетворяет уравнению (7.17) и которая удовлетворяет условию
невырожденности
ρ(t, x, c)=
∂(v
1,v2,v3
∂(c1,c2,c3)
)
=0.
Для потенциального течения (7.13) это условие переходит в известное
условие невырожденности для полного решения уравнения Гамильтона–
Якоби:
det
∂xi∂c
2
∂
ψ
=0.
j
При каждом фиксированном значении c функция ρ удовлетворяет урав-
нению неразрывности
∂ρ
+div(ρv)=0.
∂t
Без ущерба для общности ρ можно считать положительной; это плотность
воображаемой жидкости.
В стационарном случае векторные поля
v и
H +rotv
ρ
(7.19)
коммутируют и касаются регулярных поверхностей Бернулли. Отсюда вытекает, в частности, что частицы жидкости движутся по поверхностям Бернулли по условно-периодическому закону (как и в обычной гидродинамике). Кстати сказать, свойство регулярности поверхности Бернулли B
α
можно представить как условие линейной независимости векторов (7.19) во
всех точках B
.
α
Следовательно, если известно полное стационарное решение системы уравнений (7.17) с регулярными поверхностями Бернулли, то задача
о движении заряда в электромагнитном поле становится интегрируемой.
С другой стороны, если H +rotv =0, то при наличии полного реше-
ния системы (7.17) эта задача интегрируется методом Гамильтона – Якоби.
Таким образом, особым является случай, когда ненулевой вектор H +rotv
коллинеарен вектору скорости v. Здесь траектории частиц жидкости демонстрируют хаотическое поведение. В отсутствие магнитного поля этот факт
строго доказан С. Л. Зиглиным [36].
146 ГЛАВА II
§ 8. Вихревая теория адиабатических равновесных
процессов
1◦. Традиционное изложение классической термодинамики связано
с некоторыми затруднениями методического характера, о которых писал
еще Клейн [43]. По его словам, читателю «. . . предлагается пробиваться
к цели сквозь барьеры непривычных математических понятий по пути,
с трудом проложенному первыми исследователями (Карно, Клаузиус), между тем как очертания этой цели могут быть уже издали ясно и отчетливо
постигнуты, если только обратить внимание в соответствующую сторону».
Достаточно вспомнить, что обычно одним и тем же символом (dQ) обозначаются как дифференциалы функций, так и бесконечно малые приращения величин, которые функциями вообще не являются. На самом деле
естественным способом изложения равновесной термодинамики является
метод внешних дифференциальных форм.
Пусть a
τ — абсолютная температура. В термодинамике фундаментальное значе-
ние имеет 1-форма притока тепла
, ..., an— внешние параметры термодинамической системы,
1
ω = dE +A
где E — внутренняя энергия системы; A
щая лагранжевой координате a
. Например, если в качестве координаты
i
, (8.1)
idai
— обобщенная сила,отвечаю-
i
принять объем газа, то обобщенная сила будет, как известно, давлением.
Величины E и A
термодинамической системы. Соотношения A
— функции от a и τ . Их задание входит в определение
i
= fi(a1, ..., an,τ) обычно
i
называются уравнениями состояния. Кроме объема, в качестве обобщен-
ных координат часто фигурируют концентрация, заряд, намагниченность,
электрическая поляризация, тензор деформации. При этом обобщенными
силами являются соответственно химпотенциал, потенциал, магнитная напряженность, электрическая напряженность, тензор напряжения.
Дифференциальная форма
A
idai
(8.2)
—работасилA на бесконечно малом перемещении da. В термодинамике
предполагается, что при фиксированных значениях τ форма (8.2) замкнута.
Если пространство состояний {a
, ..., an} совпадает с Rn, то (по лемме
1
§8. ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ АДИАБАТИЧЕСКИХ РАВНОВЕСНЫХ ПРОЦЕССОВ 147
Пуанкаре) эта форма будет точной (является дифференциалом некоторой
гладкой функции от a).
Будем предполагать, что
/∂τ )2=0. (8.3)
(∂A
i
Значит, форма притока тепла (8.1) незамкнута, Ее внешний дифференциал dω равен
∂A
i
Ω=
∂τ
dτ ∧ da
. (8.4)
i
Матрица этой 2-формы — кососимметрическая (n +1)× (n +1)-матрица:
⎡
⎢
⎢
⎢
−
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
−
0
∂A
∂τ
.
.
.
∂A
∂τ
∂A
∂τ
1
0 ... 0
.
.
.
n
0 ... 0
1
...
.
.
.
⎤
∂A
n
⎥
∂τ
⎥
⎥
⎥
. (8.5)
⎥
.
⎥
.
⎥
.
⎦
Ввиду предположения (8.3) ранг дифференциальной формы (8.4) равен 2.
Поскольку 2-форма Ω замкнута, то класс этой формы совпадает с ее рангом.
На самом деле в термодинамике предполагается большее: класс формы притока тепла равен 2. Это означает, что в каждой точке τ, a
, ..., a
1
коразмерность линейного пространства векторов ω,таких,чтоiwω =0,
Ω=0, равна 2. Хорошо известно, что 1-формы класса 2 имеют инте-
i
w
грирующий множитель. Более точно, по теореме Дарбу локально всегда
найдутся две независимые гладкие функции f и g,такие,чтоω = fdg.
Согласно второму началу термодинамики [38, 65], такое представление
существует в целом:
ω = τdS, (8.6)
n
где S — энтропия термодинамической системы — гладкая функция от
, ..., an.Множительτ по своему физическому смыслу всегда поло-
τ,a
1
жителен.
Равновесная термодинамика — это, по сути дела, геометрия дифференциальных форм постоянного класса 2.
◦
. Процессом, происходящим в термодинамической системе, назы-
2
вается ориентированный путь γ :Δ→ M ,гдеΔ — интервал числовой
148 ГЛАВА II
оси R,M = {τ, a1, ..., an} — пространство состояний. Ориентация пути
указывает направление процесса. В равновесной термодинамике процесс
трактуется как бесконечно медленная смена равновесных состояний термодинамической системы. Такие процессы являются обратимыми.
Интеграл от 1-формы по пути γ — это количество тепла, полученное
системой во время процесса, а интеграл
A
idai
γ
равен работе внешних сил. Процесс называется адиабатическим,еслион
происходит без притока или оттока тепла.
Пусть гладкий путь γ параметризован параметром α ∈ Δ: координаты τ, a — гладкие функции α. Можно вычислить скорость процесса:
dτ
,v
=
v
0
dα
da
1
, ..., v
=
1
dα
da
n
.
=
n
dα
Критерий адиабатичности выражается равенством
v
0
∂S
+
∂a
vi=0,
i
где v =(v
0,v1
i
, ..., vn).
dS =
v
∂S
∂τ
Обратно, пусть в пространстве состояний M задано векторное поле v(τ,a). Ему можно поставить в соответствие автономную систему дифференциальных уравнений
da
dα
i
= v
(τ,a),i 1, (8.7)
i
dτ
dα
= v
(τ,a),
0
решения которой — квазистатические процессы рассматриваемой термодинамической системы.
Если процесс не изотермический (v
ра α на пути γ можно принять абсолютную температуру: a
в (8.7) v
=1. При таком соглашении с учетом формулы (8.6) для адиаба-
0
=0),товкачествепарамет-
0
= ai(τ).Тогда
i
тического процесса имеем
i
dω = iv(dτ ∧ dS )=
v
∂S
(dai− vidτ)=dS. (8.8)
∂a
i
§8. ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ АДИАБАТИЧЕСКИХ РАВНОВЕСНЫХ ПРОЦЕССОВ 149
Это — стационарное уравнение Ламба, роль «гамильтониана» h играет энтропия с обратным знаком. Следовательно, к уравнению (8.8) можно применить все результаты вихревой теории.
Вихревые векторы w =(w
i
w
, ..., wn) определяются из равенства
0,w1
Ω=0, Ω=dω.
Другими словами, w — собственные векторы кососимметрической матрицы (8.5) с нулевым собственным значением. Из формул (8.4) и (8.6) вытекает, что
∂A
i
∂S
=
∂τ
,i 1. (8.9)
∂a
i
Ввиду предположения (8.3) получаем равенства
w
=0,
0
∂S
∂a
wi=0.
i
Второе равенство приводит к «теореме Бернулли»: энтропия постоянна
на вихревых линиях — интегральных кривых поля w. С учетом равенства
=0 вихревые линии представляют в точности изотермические адиаба-
w
0
тические процессы.
Напомним, что вихревые многообразия — это максимальные интегральные поверхности интегрируемого распределения вихревых векторных
полей. Легко понять, что они являются (n −1)-мерными поверхностями
Σ
= {τ,a : τ =const,S(τ,a)=s =const}. (8.10)
s
По «теореме Гельмгольца– Томсона» фазовый поток системы (8.7) (в кото-
рой v
=1) переводит вихревые многообразия в вихревые многообразия.
0
Это наблюдение подсказывает возможность «опустить» динамическую
систему (8.7) на фактор-многообразие M/Σ, которое получается из M
отождествлением точек, лежащих на одной и той же поверхности (12). Ясно, что точки M/Σ однозначно задаются параметрами τ,s, которые удовлетворяют уравнению (см. (8.8))
(dτ ∧ ds)=ds. (8.11)
i
v
В переменных τ,s поле v имеет вид
ds
v
=1,
0
dτ
=0.
150 ГЛАВА II
Это — гамильтонов вариант теоремы о выпрямлении векторного поля: система (8.11) гамильтонова со стандартной симплектической структурой
(формой площади dτ ∧ds) и гамильтонианом −s. Аналог уравнения (8.11)
в гидродинамике — это известные уравнения Клебша – Стюарта.
◦
. Пусть γα—замкнутыйпутьвM , вмороженный в поток систе-
3
мы (8.7) (где v
=1). Согласно обобщенной теореме Пуанкаре,
0
ω =const. (8.12)
Этот результат можно сформулировать по-другому: работа внешних сил
, ..., Anпо всем замкнутым циклам γαодна и та же.
A
1
Рис. 21. Циклы Карно
ПРИМЕР 1. Рассмотрим два цикла Карно γ и γ(рис. 21) для идеального газа, отвечающие одним и тем же значениям энтропии s
τ
− τ1= τ
2
− τ
, то цикл γполучается в результате сдвига цикла γ по
2
1
и s2.Если
1
траекториям соответствующей системы (8.7). Следовательно, ввиду (8.1)
и (8.12)
pdv =
γ
pdv. (8.13)
γ
Другими словами, работа, совершенная тепловой машиной на циклах γ
и γ
(или количество тепла, полученное машиной), одна и та же. На самом
деле работа (8.13) равна (τ
)(s2−s1). Это легко вывести из классиче-
2−τ1
ских формул Карно:
ΔS = q
1/τ1
= q2/τ2,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]