Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Общая теория вихрей
.pdf
§3. МЕРА ХААРА 191
Напомним, что на каждой группе Ли имеется единственная (с точностью до постоянного множителя) мера, инвариантная при всех левых (правых) сдвигах. В случае унимодулярной группы эта мера (называемая обычно мерой Хаара) биинвариантна. Аналитический критерий унимодулярности заключается в выполнении следующих соотношений для структурных
постоянных алгебры Ли:
k
=0, 1 i n. (3.4)
c
ik
В частности, все компактные группы унимодулярны. Подробности
можно найти, например, в книге [93].
Теорема 28 ([63]). При фиксированных значениях c фазовый поток
системы (3.3) сохраняет правоинвариантную меру на G.
Следствие 5. Если группа G унимодулярна, то фазовый поток систе-
мы (3.3) сохраняет меру Хаара на G.
АМЕЧАНИЕ. Как установлено в [48], уравнение Эйлера – Пуанкаре (1.11)
З
на алгебре g допускает инвариантную меру с гладкой плотностью в том
и только том случае, когда группа G унимодулярная. В этом случае фазовый
поток системы (1.11) сохраняет стандартную меру на g:
n
ω.
d
◦
. Доказательство теоремы 28 состоит в проверке того факта, что
2
интегральный инвариант из предложения 1 § 3 гл. I как раз является правоинвариантной мерой на группе G.
Пусть
,...,v
v
i1
in
— компоненты левоинвариантного поля vi.Всоответствиис(1.2),систему
уравнений (3.3) можно переписать в следующем виде:
˙x
=
i
vil(x)ωl(x, c). (3.5)
l
Система уравнений (1.11) и (1.2) гамильтонова. Следовательно, по
теореме Лиувилля, фазовый поток этой системы, представленный в канонических переменных
∂T
x, y =
∂ ˙x
,
192 ГЛАВА III
сохраняет стандартную меру. В переменных x, ω плотность этой меры мож-
но определить как якобиан преобразования
x, y → x, ω.
Положим
Так как
V = v
∂T
y
=
s
∂ ˙x
=
s
∂T
∂ω
i
ij
∂ω
∂ ˙x
.
i
=m
s
i
∂ω
∂ ˙x
i
,
s
то
∂y
∂ω
=
∂m
∂ ˙x
.
Следовательно, плотность лиувиллевой инвариантной меры в переменных x, ω равна
M =det
∂y
∂ω
=det
∂y
∂m∂m∂ω
=(detV )
−1
det I, (3.6)
где I — матрица оператора инерции.
Пусть
w
=(wi1,...,win), 1 i n,
i
— правоинвариантные векторные поля на группе G из п. 1
◦
.Поаналогии
с (1.2) положим
˙x
=wilsl, 1 i n. (3.7)
i
Здесь s =(s
,...,sn) ∈ g — скорость рассматриваемой системы. За-
1
пишем в явном виде интегралы Н¨етер:
=
f
j
∂T
∂ ˙x
l
∂ ˙x
∂s
l
=m
j
∂ω
k
wlj= cj, 1 j n. (3.8)
k
∂ ˙x
l
Систему уравнений (1.2), (1.11) можно заменить системой (3.5),добавив к ней тривиальные соотношения
˙c
= ...=˙cn=0.
1
Плотность меры Лиувилля в переменных x, c равна
−1
ρ = Mdet
∂f
∂ω
.
Эта функция, очевидно, дает плотность интегрального инварианта для системы (3.5) с фиксированными значениями c.
§3. МЕРА ХААРА 193
Полагая
W = w
ij
иучитываяформулы(3.6) и (3.8),получим
ρ =(detV )
◦
3
. Рассмотрим теперь систему дифференциальных уравнений на G
−1
∂f
det
∂m∂m∂ω
˙x
=vilωl, (3.10)
i
−1
=(detW )−1. (3.9)
в которую величины ω
,...,ωnвходят как постоянные параметры. При
1
всех значениях ω фазовый поток (3.10) представляет семейство правых
сдвигов на G.
−1
Лемма 2. Функция det W
— плотность интегрального инварианта
системы (3.10).
Следствие 6. Плотность правоинвариантной меры на группе G рав-
−1
на c det W
,c=const=0.
Действительно, каждый правый сдвиг на группе G — сдвиг по траекториям системы (3.10) при подходящих значениях ω
, ..., ωn.
1
Доказательство леммы 2.
Предположим, что в некотором состоянии положение системы опре-
0
0
= w
, ..., x
1
0
n
деляется локальными координатами x
0
представляются векторами w
, ..., w
1
W
При правом сдвиге на G координаты x
x
, ..., xn, а касательные векторы w
1
, ..., wn. Как хорошо известно,
w
1
0
W = JW
,dx1...dxn=detJdx
0
1
где J — матрица Якоби преобразования x
0
, а правоинвариантные поля
n
.Положим
0
.
ij
0
, ..., x
1
, ..., w
0
→ x.
0
n
0
n
переходят в координаты
— в касательные векторы
0
1
...dx
0
, (3.11)
n
Из соотношения (3.10) получаем равенство
det W
−1
dx1...dxn=det(W0)−1dx
0
...dx
1
0
,
n
которое означает, что фазовый поток системы (3.10) имеет интегральный
−1
инвариант с плотностью det W
.
194 ГЛАВА III
Для завершения доказательства теоремы 28 остается воспользоваться
формулой (3.9) и заключением леммы 2.
◦
. Аналогично доказывается
4
Лемма 3. Функция det V
−1
— плотность интегрального инварианта
системы (3.7).
Отсюда вытекает, что плотность левоинвариантной меры на группе G
−1
равна c det V
,c=const=0. В частности, для унимодулярной группы
det V
det W
=const.
Небезынтересно дать прямое доказательство лемм 2 и 3, использующее
аналитический критерий унимодулярности (3.4). Точнее, докажем, что при
всех значениях ω фазовый поток системы (3.10) сохраняет интегральный
−1
инвариант с плотностью det V
.
Действительно, рассмотрим матрицу
∂ ˙x
K =
V −˙V, (3.12)
∂x
где точка обозначает производную в силу системы (3.10). Легко проверить,
что j-ый столбец матрицы K равен
а элемент матрицы V
−1
K с номером k,j равен
Умножим равенство (3.12) на V
k,j
k
vkc
ωi,
ij
k
ωi.
c
ij
−1
слева и вычислим след правой и ле-
вой части полученного матричного равенства:
−1
tr V
K =trV
Ввиду предположения (3.4) tr V
tr V
∂ ˙x
−1
∂x
−1
K =0. Далее,
∂ ˙x
−1
V =tr
∂x
V − tr V
∂ ˙x
∂x
−1
˙
V.
§4. СКОБКИ ПУАССОНА 195
— это дивергенция правой части системы (3.10). Наконец,
tr V
−1
˙
V =
d
ln det V.
dt
В результате переходим к тождеству
d
∂ ˙x
+
tr
∂x
ln (det V )
dt
−1
=0,
которое является уравнением Лиувилля для плотности интегрального инварианта det V
−1
. Что и требовалось.
§ 4. Скобки Пуассона
1◦. Ключевую роль в гамильтоновой механике играют скобки Пуассо-
на. Они уже упоминались в гл. I в связи с динамикой точечных вихрей.
Мы напомним их определение и основные свойства, а также докажем ряд
утверждений, которые будут использованы в дальнейшем.
Каждой упорядоченной паре гладких функций f и g на фазовом пространстве M
которая называется скобкой Пуассона функций f и g. Производная по времени функции F (x, y, t) в силу гамильтоновой системы с гамильтонианом H, очевидно, равна
Следовательно, сами канонические уравнения можно переписать в следующем виде:
Эти соотношения показывают особую роль скобки Пуассона в теории гамильтоновых систем.
Скобка Пуассона удовлетворяет следующим свойствам:
(1) {f,g} = −{g, f} (кососимметричность);
(2) {c
(билинейность);
2n
1f1+c2f2
ставится в соответствие функция
n
i=1
∂F
∂t
∂f
∂x
i
+ {F, H}.
{f,g} =
˙x
= {xi,H}, ˙yi= {yi,H}, 1 i n.
i
∂g
∂y
∂f
−
∂y
i
∂g
,
∂x
i
i
,g} = c1{f,g}+ c2{f2,g}, где c1,c2— вещественные числа
196 ГЛАВА III
(3) {{f,g},h} + {{g,h},f} + {{h,f},g} =0(тождество Якоби);
(4) {fg,h} = f{g, h}+ g{f, h} (правило Лейбница);
(5) если {f,g} =0для всех функций g, то f =const(невырожденность).
Множество всех гладких функций на фазовом пространстве C
∞
с обычными правилами сложения и умножения на числа образует бесконечномерное линейное пространство. Согласно (1), (2) и (3), операция «внутреннего умножения» {·, ·} превращает это пространство в алгебру Ли.
Из тождества Якоби вытекает простая, но важная
Теорема 29 (Пуассон). Скобка Пуассона первых интегралов уравнений Гамильтона также является первым интегралом.
Отметим, что скобка двух интегралов может оказаться константой или
даже нулем. Из теоремы Пуассона вытекает, что интегралы образуют подалгебру Ли в алгебре Ли всех функций.
Если {f, g} =0, то говорят, что функции f и g коммутируют, или
находятся в инволюции.Есликтомужеf и g не зависят от t,тоf — интеграл уравнений Гамильтона с гамильтонианом g, и наоборот, g — интеграл
уравнений Гамильтона с гамильтонианом f . Эта двойственность объясняет
термин «инволюция».
◦
. В качестве важного примера рассмотрим нeтеровы интегралы (3.2),
2
которые в канонических переменных имеют следующий вид:
F
= y · w1, ..., Fn= y · wn. (4.1)
1
Предложение 18. Линейные комбинации функций F
,...,Fnс опера-
1
цией коммутирования {·, ·} порождают n-мерную алгебру Ли, изоморфную g.
Доказательство.
Действительно, поскольку алгебра правоинвариантных полей на группе G изоморфна алгебре Ли g,тополяw
бы
]=c
[w
i,wj
Здесь c
k
— структурные постоянные алгебры g.
ij
,...,wnможно выбрать так, что-
1
k
wk. (4.2)
ij
Нетрудно проверить равенства
} = y · [wi,wj].
{F
i,Fj
§4. СКОБКИ ПУАССОНА 197
Ввиду (4.1) и (4.2) получаем
} =c
{F
i,Fj
◦
3
. Пусть f1,...,fn— функции на фазовом пространстве M2n(воз-
k
Fk. (4.3)
ij
можно, зависящие от t), причем
,...,fn)
∂(f
1
∂(y1,...,yn)
=0.
Тогда, по теореме о неявных функциях, систему уравнений
f
(x, y, t)=c1, ...,fn(x, y, t)=c
1
n
(4.4)
можно разрешить (по крайней мере локально) относительно импульсов y:
y
= u1(x, t, c), ..., yn= un(x, t, c),c=(c1, ...,cn). (4.5)
1
Введем n × n-матрицу скобок Пуассона
A =
{f
i,fj
.
}
В выражениях для скобок импульсы следует заменить в соответствии с формулами (4.5).
Лемма 4. rank(rot u)=rankA.
Следствие 7. Если функции f
1-форма
,...,fnнаходятся в инволюции, то
1
(x, t, c) dx
u
i
i
замкнута при всех значениях t и c.
Доказательство леммы 4.
Воспользуемся очевидным фактом, что функции
(x, t, c)=fk(x, u(x, t, c),t), 1 k n, (4.6)
F
k
тождественно равны c
∂F
∂x
∂f
k
i
k
=
∂x
i
. Следовательно,
k
∂f
+
∂y
∂u
j
k
=0,
∂x
j
i
∂F
∂x
∂f
s
i
s
=
∂x
+
s
∂f
∂y
∂u
j
s
=0.
∂x
j
i
198 ГЛАВА III
Умножим первое равенство на ∂fs/∂yi, а второе — на −∂fk/∂yiипросуммируем по индексу i. В результате придем к соотношениям
{f
k,fs
} +
i,j
∂f
∂y
∂u
∂f
k
∂y
j
j
s
∂x
i
i
∂u
i
−
=0, 1 k, s n. (4.7)
∂x
j
Введем n × n-матрицу
∂f
i
B =
.
∂y
j
Здесь импульсы также исключены с помощью подстановки (4.5). Согласно
предположению, матрица B невырождена.
Совокупность соотношений (4.7) можно представить в матричной
форме
A = −B(rot u)B
T
.
Как известно, в этом случае ранги матриц A и rot u совпадают.
◦
. Пусть Φ(x, y, t) еще одна функция на фазовом пространстве, ком-
4
мутирующая с функциями f
, ...,fn:
1
} =0, 1 k n. (4.8)
{Φ,f
k
Ей можно сопоставить гамильтонову систему
Положим
˙x =
w =
∂Φ
, ˙y = −
∂y
∂Φ
∂y
y=u(x,t,c)
∂Φ
∂x
.
.
Ясно, что w — векторное поле на конфигурационном пространстве.
Лемма 5. Если Φ – функция от f
, ...,fn,тоw — вихревое поле:
1
(rot u)w =0. (4.9)
Доказательство.
Из (4.4) и (4.5) вытекают тождества
y
≡ ui(x, t, f(x, y, t)), 1 i n.
i
§4. СКОБКИ ПУАССОНА 199
Следовательно,
где δ
— символ Кронеккера.
ij
n
s=1
∂u
∂c
∂f
s
i
= δij, (4.10)
∂y
s
j
Умнож а я (4.7) на производные
∂u
∂c
∂u
p
k
q
,
∂c
,
s
суммируя по индексам k, s и используя (4.10), приходим к равенствам
∂u
k,s
∂c
∂u
p
∂c
k
q
{fk,fs} +
s
∂u
∂x
∂u
p
q
q
−
∂x
=0.
p
Чтобы проверить справедливость (4.9), умножим полученные соотношения на
w
p
∂Φ
=
∂y
p
y=u(x,t,c)
и просуммируем по p от 1 до n. Нас интересуют значения
ksp
∂u
∂c
∂u
p
k
∂Φ
∂y
p
∂c
q
s
{fk,fs}.
Согласно предположению, функция
φ(x, t, c)=Φ(x, u(x, t, c),t)
зависит лишь от c
= f1, ..., cn= fn.Поэтому
1
∂u
p
∂Φ
∂y
p
=
∂c
p
∂c
k
∂φ
.
k
Далее, сумма
∂φ
{fk,fs}
∂c
k
k
равна скобке Пуассона {Φ,f
}, которая обращается в нуль согласно пред-
s
положению.
200 ГЛАВА III
5◦. Каждой гладкой функции f , заданной в фазовом пространстве,
можно поставить в соответствие каноническую систему дифференциальных уравнений с гамильтонианом f :
˙x =
∂f
, ˙y = −
∂y
∂f
∂x
.
Порождающее ее векторное поле называется гамильтоновым;обозначим
его v
.
f
Пусть L
— оператор дифференцирования вдоль поля vf.Поопреде-
f
лению скобки Пуассона
L
h = {h, f }.
f
Лемма 6. Коммутатор гамильтоновых векторных полей v
и vg—
f
гамильтоново поле с гамильтонианом {f,g}.
Следствие 8. Если {f,g} =0,то[v
f,vg
]=0.
Доказательство леммы 6 основано на применении тождества Якоби. Дей-
ствительно,
(L
− LfLg)h = Lg{h, f}−Lg{h, g} =
gLf
= {{h,f },g}−{{h, g},f} =
= −{{f,g},h} = L
{f,g}
.
§ 5. Функции Казимира и вихревые многообразия
1◦. Сосчитаем скобку Пуассона двух функций f и h, определенных на
дуальном пространстве g
Для этого надо (следуя общему правилу) рассмотреть гамильтонову систему с гамильтонианом h и вычислить полную производную по времени
функции f в силу этой системы. В переменных x, m уравнения Гамильтона
имеют вид уравнений Четаева (1.7):
∗
: они зависят только от переменных m1,...,mn.
j
˙m
k
=c
∂h
m
ik
, 1 k n.
j
∂m
i
Поскольку f не зависит от x, то нет смысла записывать замыкающую группу уравнений. Следовательно,
∂f
˙
f = {f,h} =c
j
m
j
ik
∂m
∂g
. (5.1)
∂m
k
i
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]