Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Общая теория вихрей
.pdf
§6. ВИХРИ В ДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМАХ 131
Положим, как и раньше,
h(x, t)=H(x, u(x, t),t),
˙x = v(x, t)=
∂H
∂y
. (6.5)
y=u
Несложно показать, что ковекторное поле u, функция h и векторное поле v
связаны соотношением
∂u
+(rotu)v = −
∂t
rot u =
∂u
∂x
∂h
− νu, (6.6)
∂x
∂u
j
i
j
∂x
.
i
−
Будем называть (6.6) обобщенным уравнением Ламба. В гидродинамике
дополнительное слагаемое −νu имеет смысл силы внешнего трения. При
ν =0 получаем обычное уравнение Ламба.
Уравнение (6.6) можно представить в эквивалентном виде с помощью
внешних дифференциальных форм. Положим, как обычно,
ω =u
, Ω=dω.
idxi
Тогда
∂ω
+ i
Ω=−dh − νω. (6.7)
v
∂t
Применяя к обеим частям операцию внешнего дифференцирования и используя формулу гомотопии, получим
∂Ω
+ L
Ω=−νΩ. (6.8)
∂t
v
Ясно, что левая часть этого равенства есть полная производная от формы Ω
в силу системы (6.5).
Уравнение (6.7) можно несколько преобразовать:
∂ω
+ L
ω = dg −νω, (6.9)
∂t
v
где g = ω(v) − h — лагранжиан рассматриваемой системы, ограниченный
на инвариантную поверхность Σ.
132 ГЛАВА II
3◦. Пусть gt— поток системы (6.5), γ — замкнутый контур на M.
Интеграл
I =
ω (6.10)
gt(γ)
будет функцией t. Воспользуемся известной формулой
˙
I(t)=
˙ω, ˙ω =
gt(γ)
∂ω
∂t
+ L
ω.
v
Поскольку γ — замкнутый контур, то из (6.9) будем иметь
˙
I = −ν(t)I.
Следовательно,
I(t)=I(0)μ(t). (6.11)
Таким образом, если интеграл
∞
ν(t) dt
0
расходится (например, ν =const=0), то I (t) монотонно стремится к нулю
при неограниченном возрастании t. Это свойство можно рассматривать как
явление диффузии вихрей в конечномерных диссипативных системах.
Не исключено, что это утверждение справедливо и для диссипативных
функций Релея общего вида. В его пользу свидетельствует следующее наблюдение. Если x
— изолированный минимум потенциальной энергии V,
0
то эта точка будет асимптотически устойчивым положением равновесия
для системы (6.1). В частности, пусть замкнутый контур γ лежит в малой окрестности точки x
. Тогда контур gt(γ) вырождается в точку x0при
0
t → +∞ и, следовательно, интеграл (6.10) стремится к нулю.
Стоит иметь в виду, что эволюция замкнутых путей в диссипативных
системах может приводить к замысловатым множествам. Рассмотрим, например, градиентную систему
∂ϕ
˙x = −
∂x
на двумерном торе, который реализован в виде поверхности вращения
в трехмерном пространстве, а ϕ — функция высоты точки. На рис. 19, a
§6. ВИХРИ В ДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМАХ 133
показана эволюция замкнутого контура из окрестности неустойчивого рав-
t
новесия: множество точек g
(γ) при t →∞стремится к сдвоенной кривой
(рис. 19, б).
Рис. 19. Эволюция замкнутых путей
В динамике вязкой жидкости уравнение (6.8) заменяется уравнением
∂Ω
+ L
Ω=νΔΩ, (6.12)
∂t
v
где Δ — оператор Лапласа. Асимптотические (при t → +∞) свойства решений уравнения (6.12) на компактном многообразии M изучены В. И. Арнольдом [8]. В этой работе рассмотрены явления переноса и диффузии
произвольных k-форм, удовлетворяющих уравнению (6.12). В нашем слу-
чае 2-форма Ω замкнута. Для гидродинамики особое значение имеет случай, когда M является трехмерным тором; к этой задаче приводит изучение
течений с периодическими граничными условиями.
В. И. Арнольд показал, что при достаточно большом коэффициенте
диффузии
(i) эволюция (6.12) с любым замкнутым начальным условием (dΩ=0
при t =0)приводит в пределе к стационарной k-форме из того
же класса когомологий (т. е. с теми же значениями интегралов по k-
мерным циклам);
(ii) в каждом классе когомологий замкнутых k-форм есть стационарная
форма, причем такая форма ровно одна.
В нашем случае 2-форма Ω точна. Следовательно, ее класс когомоло-
134 ГЛАВА II
гий тривиальный, и поэтому (согласно (ii)) Ω → 0 при t →∞. Впределе
интеграл от 1-формы ω (циркуляция жидкости) по любому гомотопному
нулю замкнутому контуру γ равен нулю. По-видимому,
lim
t→+∞
◦
4
. Напомним, что ковекторное поле u будет потенциальным
ω =0.
gt(γ)
(u = ∂ϕ/∂x) тогда и только тогда, когда интеграл от 1-формы ω по любому
замкнутому контуру (стягиваемому в точку) равен нулю. С учетом этого
замечания из (6.11) получаем обобщенную теорему Лагранжа о потенциальных течениях: если поле u(x, t) потенциально при некотором t = t
0
, то
оно будет потенциальным при всех значениях t.
Подставляя в (6.6) (u = ∂ϕ/∂x), получаем аналог интеграла Лагран-
жа–Коши:
∂ϕ
∂t
+ Hx,
∂ϕ
,t+ νϕ = f(t). (6.13)
∂x
Пусть θ(t) — решение обыкновенного дифференциального уравнения
˙
θ + ν(t)θ = f (t).
Преобразование ϕ → ϕ + θ(t) не меняет поля градиента и позволяет положить в (6.13) f =0. При ν =0полученное уравнение совпадает с уравне-
нием Гамильтона – Якоби.
Уравнение (6.13) в стационарном случае (когда функции ϕ, ν, f не зависят явно от t) получил впервые И. С. Аржаных [4], не связывая, правда,
подстановку ∂ϕ/∂x с теоремой Лагранжа. Им же доказана следующая тео-
рема, обобщающая теорему Якоби о полном интеграле.
Пусть ϕ(t, x
, ..., xn,c1, ..., cn) — полный интеграл уравнения (6.13)
1
(где f =0). Тогда общее решение уравнений (6.2) находится из соотношений
∂ϕ
= −αμ(t),
∂c
∂ϕ
= y, α =(α
∂x
,...,αn)=const.
1
При ν =0получаем теорему Якоби.
Впрочем, теорему Аржаных просто вывести из теоремы Якоби. Для
этого в (6.13) (где f =0) сделаем подстановку
ϕ =
ψ(x, t)
μ(t)
.
§6. ВИХРИ В ДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМАХ 135
Функция ψ будет удовлетворять уравнению
∂ψ
+ μHx,
∂t
∂ψ
1
,t=0, (6.14)
μ
∂x
в которое входят явно лишь производные от ψ. Уравнение (6.14) —это
уравнение Гамильтона – Якоби для системы с гамильтонианом (6.4).
◦
5
. Пусть w1(t),w2(t) — касательные к M (в общей точке) векторы,
которые переносятся потоком системы (6.5).Из(6.8) вытекает равенство
(t),w2(t)) = Ω(w1(0),w2(0))μ(t).
Ω(w
1
Таким образом, если Ω(w
(t),w2(t)) обращается в нуль при t =0, то эта
1
функция — тождественный нуль для всех значений t. Следовательно, вихревые векторы замкнутой 2-формы Ω вморожены в поток системы (6.5).
Отсюда, в свою очередь, вытекает обобщенная теорема Гельмгольца– Том-
сона: поток системы дифференциальных уравнений (6.5) переводит вихре-
вые многообразия в вихревые многообразия.
◦
. Если 1-форма ω имеет постоянный класс, то ее локально можно
6
привести к виду
ω = dS + x
1dx2
+ ··· + x
2k−1dx2k
,
где 2k — ранг замкнутой 2-формы Ω,S— некоторая гладкая функция от
,...,xn,t. Координаты x1,...,x2kи функция S — это обобщенные по-
x
1
тенциалы Клебша из § 4. В этих переменных вихревые многообразия задаются уравнениями
= a1, ..., x2k= a2k,a=const, (6.15)
x
1
а обобщенные уравнения Ламба (6.6) имеют следующий явный вид:
∂æ
= −
˙x
1
− νx1, ˙x2=
∂x
2
∂æ
∂x
,
1
...............
˙x
2k−1
= −
∂x
∂æ
∂x
∂æ
2k
2k+1
− νx
= ...=
2k−1
, ˙x2k=
∂æ
=0, (6.17)
∂x
n
∂x
∂æ
2k−1
,
где æ=∂S/∂t + νS + h.
(6.16)
136 ГЛАВА II
Из (6.15) и (6.17) получаем обобщенную теорему Бернулли:прификсированных значениях t функция æ постоянна на вихревых многообразиях.
Следовательно, уравнения (6.16) представляют собой замкнутую систему
обыкновенных дифференциальных уравнений, обобщающую канонические
уравнения Гамильтона. Поскольку вихревые многообразия «нумеруются»
координатами x
,...,x2k, то отсюда снова получаем теорему Гельмголь-
1
ца – Томсона.
§ 7. Сила Лоренца и ее обобщения
В этом параграфе обсуждается структура силы Лоренца и связанная
с этим аналогия между электромагнетизмом и инерцией. Рассматриваются
задача об инвариантных многообразиях уравнений движения заряда в электромагнитном поле и условия лагранжевости таких многообразий.
◦
. Как известно, на заряженную частицу, движущуюся в электромаг-
1
нитном поле, действует сила Лоренца
1
F = eE +
где E и H — напряженности электрического и магнитного полей, e —заряд, v — его скорость, а c — скорость света. В свою очередь компоненты
электромагнитного поля удовлетворяют системе уравнений Максвелла
(v × H), (7.1)
c
1
rot E = −
rot H =
4π
, div E =4πρ,
c∂H∂t
1c∂E
j +
c
, divH =0.
∂t
(7.2)
Эти уравнения записаны при отсутствии поляризации и намагничивания
среды, но при наличии зарядов (с плотностью ρ)итоков(сплотностьюj).
Формула (7.1) получена Х. Лоренцем в 1892 году. Ее частный случай,
когда имеется только магнитное поле, выведен О. Хевисайдом тремя годами
раньше. Поучительная история уравнений (7.1) и (7.2) подробно изложена
в книге Э. Уиттекера [87].
В отсутствие других сил уравнение движения заряженной частицы
в трехмерном евклидовом пространстве имеет вид
m¨x = eE +
1
(˙x × H ),x∈ E
c
3
. (7.3)
§7. СИЛА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ОБОБЩЕНИЯ 137
В отличие от уравнений Максвелла, инвариантных относительно преобразований Лоренца– Пуанкаре, уравнение (7.3) не допускает такой инвариантности. Эту трудность несложно обойти, заменяя (7.3) уравнением
Лагранжа
·
∂L
∂ ˙x
∂L
= F
−
∂x
с релятивистским лагранжианом
L = −mc
%
2
1 −
2
˙x
.
2
c
Это уравнение (с учетом формул (7.1) и (7.2)) уже лоренц-инвариантно. Вообще, специальная теория относительности пригодна лишь для описания динамики одной заряженной частицы в заданном электромагнитном
поле. Последовательной релятивистской теории многих взаимодействующих частиц не существует (см. по этому поводу [58]).
В дальнейшем (для краткости письма) положим e =1и c =1.Этого
всегда можно добиться подходящим выбором единиц измерения.
◦
. Магнитная составляющая силы Лоренца по своим свойствам явля-
2
ется гироскопической силой. В частности, ее присутствие не влияет на со-
хранность полной энергии. Это наблюдение позволяет развить формальную
аналогию между гироскопическими силами и силой Лоренца.
Стоит подчеркнуть, что использование различного рода аналогий было вообще типично для классиков электромагнетизма (см. [87]). Например,
для вывода своих уравнений Максвелл широко использовал чисто механические модели, в то время как Кельвин руководствовался аналогиями
с вихревыми течениями идеальной жидкости. Ниже обсуждается аналогия
между электромагнетизмом и инерцией.
Рассмотрим динамическую систему с n степенями свободы, лагранжи-
ан которой имеет общий вид
L = T +(a, ˙x)+b, (7.4)
где T — положительно определенная квадратичная форма по скорости (которую можно интерпретировать как кинетическую энергию системы), а ковектор a искалярb — гладкие функции от x и t. Уравнение Лагранжа
d
dt∂L∂ ˙x
∂L
−
=0
∂x
138 ГЛАВА II
можно представить в следующем виде:
d
dt∂T∂ ˙x
∂T
−
∂x
= −
∂a
∂t
+
∂b
∂x
−
∂a
∂x
−
∂a
∂x
T
˙x. (7.5)
Это уравнение описывает движение системы с кинетической энергией T
(задающей ее инерциальные свойства) под действием силы, линейно зависящей от скорости.
Положим
∂b
∂a
+
,H=rota, (7.6)
∂x
T
∂a
∂x
∂a
−
∂x
.
где
E = −
rot a =
∂t
Тогда сила, фигурирующая справа в уравнении (7.5), принимает вид силы
Лоренца:
F = E +˙x × H.
Символ «×» обозначает результат действия многомерного ротора на вектор:
˙x × H = −H × ˙x = −(rot a)˙x.
В трехмерном евклидовом пространстве эта операция сводится к обычному
векторному умножению.
Очевидно, поля (7.6) удовлетворяют «геометрическим» уравнениям
Максвелла:
rot E = −
∂H
, div H =0. (7.7)
∂t
Если иметь точную аналогию с электромагнитными силами, то введенные
выше поля E и H должны удовлетворять еще двум оставшимся «физическим» уравнениям Максвелла. Эти соотношения для полей (7.6) вобщем
случае, конечно, не справедливы. Более того, они могут иметь смысл только
в трехмерном пространстве (когда n =3).
Если конфигурационное пространство рассматриваемой системы сов-
3
падает с E
, то оставшиеся уравнения Максвелла будут выполнены
при подходящем выборе плотности зарядов ρ и плотности тока j.Если
не учитывать физические соотношения для j и ρ (вроде закона Ома), то
аналогия между гироскопическими силами и силой Лоренца для систем
с тремя степенями свободы становится более полной.
§7. СИЛА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ОБОБЩЕНИЯ 139
На первый взгляд развиваемая аналогия неполна уже при n =3.Дей-
ствительно, мы имеем шесть компонент векторных полей E и H,алагранжиан (7.4) содержит только четыре произвольные функции: три компоненты ковектора a искалярb.ОднакополяE и H не являются независимыми; они удовлетворяют уравнениям Максвелла. Легко понять, что формулы (7.6) на самом деле дают общее решение геометрических уравнений
Максвелла (7.7). Так что это противоречие только кажущееся.
Стоит отметить, что сам Х. Лоренц получил свою формулу (7.1) при-
мерно тем же способом. Исходный пункт его рассуждений — лагранжиан
с гироскопическими слагаемыми. Любопытно, что вид этих линейных по
скорости слагаемых он вывел из более ранней формулы Клаузиуса для силы
взаимодействия движущихся зарядов, которую сейчас вряд ли кто сочтет
правильной (см. [87]).
◦
. Применим эти общие соображения к задаче о движении свободной
3
точки относительно вращающейся (следовательно, неинерциальной) системы отсчета. Пусть
x =x
iei
— радиус-вектор точки массы m в подвижном пространстве. Ее кинетическая энергия вычисляется по формуле
m
(˙x, ˙x)+m(v
2
+ ω ×x, ˙x)+
0
— скорость начала подвижной системы отсчета, ω — ее угловая ско-
где v
L =
0
m
(v
+ ω ×x, v0+ ω ×x),
0
2
рость вращения (все векторы рассматриваются в подвижном пространстве).
Этот лагранжиан имеет вид (7.4). Следовательно,
m
a = m(v
+ ω ×x),b=
0
(v
2
+ ω ×x)2.
0
По формулам (7.6)
H =rota =2mω,
(7.8)
где w
∂b
∂a
+
E = −
=˙v0+ ω ×v0— ускорение начала подвижной системы. Следова-
0
∂t
∂x
= −m&w
+˙ω ×x + ω × (ω ×x)',
0
тельно, E = −mw,гдеw — ускорение точки подвижного пространства
с радиусом-вектором x, рассматриваемое как вектор того же пространства.
140 ГЛАВА II
Рис. 20. Подвижная система отсчета
Поля E и H, задаваемые формулами (7.8), конечно, удовлетворяют
геометрическим уравнениям (7.7). Два других уравнения Максвелла также
будут справедливыми, если положить
4πρ =2mω
2
, 4πj = −m
∂w
∂t
,
где w — поле ускорений точек вращающейся системы отсчета. Любопытно
отметить, что плотность распределения зарядов всегда неотрицательна. Как
и магнитное поле, она не зависит от точки пространства. Если векторы w
и ω постоянны в подвижной системе отсчета, то тока нет (j =0). Наоброт,
если ω =0(система отсчета не вращается), то заряды и магнитное поле исчезают, а ток будет однородным векторным полем (не зависящим от точки
пространства).
Уравнение движения (7.5) выражает классическаую теорему о сложении ускорений. Слагаемое E представляет силу инерции переносного движения, а магнитная составляющая силы Лоренца
˙x × H =2m(v
× ω),v
отн.
отн.
=
˙xiei,
будет силой Кориолиса.
Таким образом, мы приходим к аналогии между инерцией и электро-
магнетизмом. Искривление траектории частицы в подвижном пространстве
мы обычно объясняем появлением сил инерции. Но можно считать эту частицу заряженной и полагать, что при переходе в неинерциальную систему
0
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]