Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Общая теория вихрей
.pdf
§5. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМА УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ 61
удовлетворяет каноническим уравнениям Гамильтона
∂H
˙x
=
, ˙yk= −
∂y
k
Координаты x
k
будут сопряженными каноническими переменными,
k,yk
а пространство кокасательного расслоения P = T
∂H
, 1 k n. (5.14)
∂x
k
∗
M — фазовым про-
странством.
◦
. В гамильтоновой механике важную роль играет дифференциальная
4
1-форма
ϕ = ydx − Hdt =y
− Hdt, (5.15)
idxi
называемая формой энергии-импульса (термин предложен Э. Картаном [41]).
Например, интеграл Н¨етер (5.11) — это значение формы ϕ на поле симметрий v пространства-времени:
ϕ(v)=y ·v − Hu =
∂L
∂ ˙x
· v −
∂L
· x −Lu.
∂ ˙x
В общем случае, когда гамильтониан зависит от времени, полезно вве-
сти расширенное фазовое пространствоP = P × R
, dimP =2n +1.
t
Форма энергии-импульса (5.15) —это1-форманаP. Рассмотрим ее внешний дифференциал
φ = dϕ = −
dx
∧ dyi+
i
∂H
dxi∧ dt +
∂x
i
∂H
dyi∧ dt. (5.16)
∂y
i
Это — внешняя 2-форма, определенная на парах касательных векторов
к многообразиюP. Если
ξ =(x
ξ,ηξ,tξ
)T,η=(xη,yη,tη)
T
— два вектора в точке z =(x, y, t) ∈P, то значение φ(ξ, η) можно представить в следующем явном виде:
−Aξ · η,
где
A =
⎛
⎝
E
H
0 −E
n
H
x
n
0 −H
y
— кососимметрическая матрица порядка 2n+1,E
−H
⎞
x
⎠
y
0
— единичная n × n-мат-
n
(5.17)
рица.
62 ГЛАВА I
Любая 2-форма φ в нечетномерном пространстве вырождена: для лю-
бой точки z ∈P найдется ненулевой вектор ξ ∈ T
при всех η ∈ T
P. Вектор ξ будем называть вихревым вектором.Ясно,
z
P,такой, что φ(ξ, η)=0
z
что вихревые векторы — это собственные векторы матрицы A снулевым
собственным значением.
Чтобы пояснить происхождение названия «вихревой вектор», обсудим
простой пример. Пусть a =(u, v, w) — гладкое векторное поле в трехмерном
3
ориентированном евклидовом пространстве E
= {x,y, z}. Полю a поста-
вим в соответствие 1-форму
ϕ = udx + vdy + wdz
и рассмотрим ее внешний дифференциал
φ = dϕ =
+
∂u
∂z
∂w
∂y
−
−
∂w
∂x
∂v
dy ∧dz +
∂z
dz ∧dx +
∂v
∂x
∂u
−
∂y
dx ∧ dy.
(5.18)
Пусть ξ, η — два вектора в точке (x, y, z). По определению внешнего произведения, значение формы dx ∧dy на векторах ξ,η равно ориентированной
площади параллелограмма, построенного на проекциях этих векторов на
плоскость переменных x, y, то есть равно проекции векторного произведения ξ ×η на ось z. С учетом этого замечания формула (5.18) приобретает
вид
φ(ξ,η)=(ξ × η, rot a)=(rota × ξ, η).
Найдется линейный кососимметрический оператор A, такой, что
(rot a) × ξ = Aξ. Таким образом,
φ(ξ,η)=(Aξ, η). (5.19)
Матрица этого оператора (в декартовых координатах x, y, z) имеет вид (ср.
с (5.17))
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
∂v
∂x
∂w
∂x
0
∂u
−
∂y
∂u∂z∂w
−
∂u
∂y
∂z
∂v∂x∂u
−
0
∂v
−
∂z
∂z
∂v
∂z
−
⎞
∂w
−
⎟
∂x
⎟
⎟
∂w
⎟
.
⎟
∂z
⎟
⎠
0
§5. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМА УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ 63
Всилуформулы(5.19) вектор rot a (вихрь поля a) является вихревым вектором для 2-формы φ. Эти замечания служат мотивировкой для выбранной
нами терминологии в многомерном случае.
Форма φ называется неособой,еслидлявсехz ∈P вихревой век-
тор ξ(z) единственный с точностью до постоянного (ненулевого) множителя. Так, например, условием неособости 2-формы (5.17) является неравенство rot a =0. Поскольку ранг матрицы (5.17) равен 2n, то форма (5.16)
неособая.
Пусть ξ(z) — ненулевое гладкое векторное поле вP, составленное из
вихревых векторов формы φ. Интегральные кривые этого поля (они не зависят, разумеется, от длины векторов ξ) назовем вихревыми линиями.Из
вида матрицы (5.17) следует, что если ξ =(x
то t
=0. Вихревые линии можно найти, интегрируя систему дифференци-
ξ
ξ,yξ,tξ
) — вихревой вектор,
альных уравнений
dz
= ξ(z),z∈P.
ds
Пусть x = x(s),y = y(s) и t = t(s) — решение этой системы. Поскольку dt/ds =0, то вихревые линии можно параметризовать временем t:
x = x(t),y= y(t). (5.20)
Теорема 8. Функции (5.20) удовлетворяют каноническим уравнениям
Гамильтона с гамильтонианом H.
Доказательство.
Действительно, вектор с компонентами
, −
∂H
, 1(5.21)
∂x
∂H
∂y
является вихревым.
Подчеркнем, что в качестве параметра на вихревых линиях совсем не
обязательно выбирать время: если
|∂H/∂x| + |∂H/∂y| =0,
то параметром может служить одна из координат x
, ..., yn.
y
1
, ..., xn,
1
64 ГЛАВА I
Теорема 8 устанавливает вихревой принцип гамильтоновой механики.
Этот результат фактически содержится в книге Эли Картана «Интегральные
инварианты». И. С. Аржаных распространил вихревой принцип на системы
с непотенциальными силами, а также на неголономные системы [3].
◦
. Положим w =yidxi. Если фазовое пространство есть про-
5
странство кокасательного расслоения конфигурационного многообразия, то
1-форма w корректно определена в целом. Ее внешний дифференциал
Ω=dω =dy
∧ dx
i
i
(5.22)
— замкнутая невырожденная 2-форма. Ясно, что
Φ=Ω−dH ∧dt.
По теореме Дарбу любая замкнутая невырожденная 2-форма локально
приводится к универсальному виду (5.22). Ее обычно называют симплек-
тической структурой, а локальные координаты x
, ..., xn,y1, ..., yn—
1
симплектическими или каноническими координатами. Наличие симплектической структуры на фазовом пространстве превращает его в симплектическое многообразие.
Пусть v — гамильтоново векторное поле, определяемое гамильтони-
аном H. Добавляя единичную t-компоненту, получаем векторное поле ξ
в расширенном фазовом пространстве; его компоненты имеют вид (5.21).
Согласно п. 4
◦
iξΦ=0,
где i — внутреннее произведение векторного поля ξ иформыΦ (оно равно
Φ(ξ, ·)). Это соотношение, очевидно, эквивалентно следующему
Ω − iξ(dHΛdt)=
0=i
v
= i
Ω+(ivdH)dt + dH.
v
Второе слагаемое в правой части, очевидно равно нулю и мы приходим
к инвариантному определению гамильтоновой системы:
i
Ω=−dH.
v
Подчеркнем, что это уравнение справедливо и в том случае, когда симплектическая структура Ω не приведена к каноническому виду (5.22).
§6. ДЕЙСТВИЕ В ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 65
§ 6. Действие в фазовом пространстве
и инвариант Пуанкаре – Картана
1◦. ПустьP = P × Rt— расширенное (2n +1)-мерное фазовое про-
странство, H (x, y, t) — гамильтониан. Форму энергии-импульса (5.15)
ϕ = y ·dx − Hdt
можно интегрировать по кривым γ :[0, 1] →P :
Этот интеграл будем называть действием в расширенном фазовом про-
странстве,илипростодействием.
Пусть z — набор переменных x, y, t. Если кривую γ представить ана-
литически с помощью гладких функций
x = x(s),y= y(s),t= t(s), 0 s 1,
то
I[γ]=
где штрих обозначает производную по s. Пусть t
Тогда в качестве параметра можно взять время t: x = x(t),y= y(t).
Предположим, что координаты и импульсы связаны соотношениями
или, что то же самое,
Тогда действие (6.2) вдоль такой специальной кривой совпадает с действием по Гамильтону
Вернемся к общему случаю и рассмотрим вариацию кривой γ —глад-
кое однопараметрическое семейство кривых γ
= γ. Вариация задается гладкой функцией двух переменных
γ
0
z = z(s, α),s∈ [0, 1],α∈ (−ε, ε).
I[γ]=
1
ϕ. (6.1)
γ
(y · x− Ht) ds, (6.2)
t
0
t
1
˙x =
y =
2
L
∂H
∂L
∂ ˙x
x(t)
∂y
.
dt.
> 0 и t(0) = t1,t(1) = t2.
, −ε<α<ε(ε>0), причем
α
66 ГЛАВА I
Производная
∂z
∂α
α=0
будет гладким векторным полем u, заданным вдоль исходной кривой γ. Оно
называется полем вариаций (и часто обозначается δz). Подчеркнем, что мы
рассматриваем вариации общего вида и не предполагаем, что в концевых
точках z
действия (6.1) — это, как обычно, производная от функции I[γ
= z(0) и z2= z(1) кривой γ поле u обращается в нуль. Вариация
1
] при α =0.
α
Лемма 1 (о вариации действия).
z
2
+
z
iuφ, (6.3)
1
γ
где φ = dϕ, i
δI = ϕ(u)
φ = φ(u, ·) — внутреннее произведение поля u и2-формыφ.
u
Доказательство.
Поле вариаций u, определенное на кривой γ, можно продолжить до
гладкого поля в некоторой окрестности γ. Вариация действия — это производная вдоль поля u вточкахкривойγ:
δI =
Luϕ. (6.4)
γ
Воспользуемся формулой гомотопии:
L
ϕ = diuϕ + iudϕ.
u
Тогда (6.4) принимает следующий вид:
z
2
ϕ
+
δI = i
u
iuφ.
z
1
γ
Формула (6.3) получена впервые Эли Картаном в его «Интегральных
инвариантах». Подчеркнем ее универсальность: она не зависит от вида
1-формы ϕ.
Теорема 9. Гладкая кривая γ вP сконцамивточкахz
1,z2
является
вихревой линией тогда и только тогда, когда для всех полей вариаций u
z
2
δI[γ]=ϕ(u)
. (6.5)
z
1
§6. ДЕЙСТВИЕ В ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 67
Доказательство.
Действительно, пусть γ — вихревая линия. Тогда касательные к ней
векторы обнуляют 2-форму φ и, в частности, на касательных векторах
φ =0. Следовательно, согласно (6.3),
i
u
iuφ =0, (6.6)
γ
что доказывает (6.5). Обратно, если вдоль некоторой кривой γ для всех
векторных полей u справедливо (6.6),тоi
φ =0на касательных векторах
u
к γ. Поскольку векторы u произвольны, то γ — вихревая линия. Что и требовалось.
Из теоремы 9 вытекает важное
Следствие 1. Вихревые линии в расширенном фазовом пространстве
совпадают с экстремалями действия в классе кривых с закрепленными концами.
Это утверждение составляет принцип стационарности действия в фазовом пространстве, предложенный Гельмгольцем и Пуанкаре. Укажем
любопытную связь этого принципа с принципом Гамильтона. На кривых
вP, параметризованных временем t ∈ [t
], действие I представляется
1,t2
интегралом
t
2
Ldt, L = y · ˙x −H(x, y, t).
t
1
«Лагранжиан» L вырожден: он вообще не зависит от скорости ˙y. Принцип
Гельмгольца– Пуанкаре можно записать в виде «принципа Гамильтона»:
t
2
δ
Ldt =0.
t
1
Уравнения Эйлера – Лагранжа
.
∂L
=
∂ ˙x
∂L
∂x
.
∂L
,
∂ ˙y
∂L
=
∂y
эквивалентны каноническим уравнениям Гамильтона
˙y = −
∂H
∂x
, ˙x =
∂H
∂y
.
68 ГЛАВА I
2◦. В качестве простого следствия принципа стационарности действия
в фазовом пространстве укажем метод Уиттекера понижения порядка
автономных гамильтоновых систем.
Пусть H : P → R — функция Гамильтона, не зависящая явно от времени. Тогда H будет интегралом канонических уравнений
∂H
˙x
=
k
, ˙yk= −
∂y
k
∂H
;1 k n. (6.7)
∂x
k
Предположим, что в некоторой точке энергетической поверхности
2n−1
Σ
= {(x,y) ∈ P : H(x, y)=h}
h
одна из частных производных гамильтониана H отлична от нуля; пусть,
например, ∂H/∂y
можно разрешить (хотя бы локально) относительно y
Так как ˙x
= ∂H/∂yn=0, то при фиксированном значении h фазовые
n
кривые x = x(t),y= y(t) можно параметризовать переменной x
=0. Тогда уравнение
n
,...,xn,y1,...,yn)=h
H(x
1
+ K(x1,...,xn,y1,...,yn,h)=0.
y
n
:
n
, которую
n
будем обозначать τ :
= xi(τ),yi= yi(τ), 1 i n − 1.
x
i
Теорема10(Э.Уиттекер,[86]). Функции x(τ ),y(τ ) удовлетворяют
каноническим уравнениям
dx
dτ
i
∂K
=
∂y
dy
i
∂K
dτ
= −
,i n −1. (6.8)
∂x
i
,
i
Эти уравнения называются уравнениями Уиттекера. В общем случае
система (6.8) будет уже неавтономной. Если координата x
циклическая
n
(она не входит явно в выражение для гамильтониана), то канонические
уравнения Уиттекера автономны и их число степеней свободы снова можно
понизить на единицу. Уравнения (6.8) несложно получить прямыми вычислениями, однако мы применим принцип стационарности действия.
§6. ДЕЙСТВИЕ В ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 69
Доказательство теоремы Уиттекера.
Пусть
x = x(t),y= y(t)
— решение канонической системы (6.7). Эта кривая (обозначим ее γ)по
предположению лежит на Σ. Следовательно, для вариаций γ в классе кривых с закрепленными концами, лежащих на Σ, будем иметь
δI[γ]=δ
(y · ˙x − H )dt = δ
γ
Поскольку в локальных координатах x
2n−1
на Σ
y · dx =
γ
y1dx1+ ··· + y
γ
y · dx =0.
γ
,...,x
1
n−1dxn−1
n−1,xn,y1
− Kdxn,
,...,y
n−1
то остается воспользоваться следствием теоремы 9.
Теорема Уиттекера подсказывает способ автономизации уравнений Гамильтона с зависящим от времени гамильтонианом H (x, y, t). С этой целью
увеличим размерность фазового пространтва P на две единицы, добавляя
две канонически сопряженные переменные x
n+1
= t, y
ивводяновый
n+1
гамильтониан
H = y
+ H (x1,...,xn,y1,...,x
n+1
n+1
).
Дифференциальные уравнения Гамильтона
∂H
˙x
=
s
, ˙ys= −
∂y
s
∂H
∂x
s
,s n,
совпадают с исходными каноническими уравнениями (6.7).Первоеиздо-
полнительных уравнений,
˙x
n+1
=
∂y
=1,
n+1
∂H
является тривиальным тождеством, а второе,
= −
∂H
∂x
,
˙y
n+1
представляет теорему об изменении энергии для исходных уравнений (6.7).
Полагая Σ
2n+1
= {x, y : H =0} и применяя метод Уиттекера понижения
70 ГЛАВА I
порядка, приходим к обычным каноническим уравнениям с гамильтонианом H.
З
АМЕЧАНИЕ. Дуальность времени t и взятой с обратным знаком энергии H
можно заметить из явного выражения для 1-формы Картана
ϕ = y ·dx − Hdt.
Однако среди 2n +2переменных x, y, t, h (h = −H) не все являются независимыми: одна из них (переменная h) — известная функция остальных.
На самом деле не существенно, относительно какой из 2n +2переменных
разрешать уравнение H =0. Например, в неавтономном случае это уравне-
ние можно разрешить относительно t, и тогда роль «времени» будет играть
переменная h.
3◦. Из теоремы 9 можно вывести ин-
тегральный инвариант Пуанкаре – Картана, играющий важную роль в теории га-
мильтоновых систем. Пусть γ
—замкну-
0
тый путь в расширенном фазовом пространствеP ; его можно задать периодической функцией
z = z
(α),αmod 2π.
0
Рис. 16. Вихревая трубка
Согласно § 5, через каждую точку γ
0
про-
ходит единственная вихревая линия
z = z(s, α),s∈ R,z(0,α)=z
(α). (6.9)
0
Совокупность таких вихревых линий образует цилиндрическую поверхность Γ — вихревую трубку. Переменная s является параметром на вих-
ревых линиях; ее можно выбирать разными способами. Рассмотрим на Γ
замкнутую кривую γ
чение s. Положим, для определенности, s =1. Кривые γ
гомотопны на Γ (γ
, которая получается из (6.9), если зафиксировать зна-
1
и γ1, очевидно,
0
непрерывно переходит в γ1при изменении параметра s
0
от 0 до 1).
Теорема 11 (Картан, [41]).
0
ϕ =
ϕ. (6.10)
γ
1
γ
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]