Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Общая теория вихрей
.pdf
§10. ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА 171
Согласно общепринятым представлениям, магнитный монополь в чи-
стом виде в природе существовать не может (хотя это и не противоречит
уравнению Максвелла (10.16)). Магнитный монополь должен представлять
собой самостоятельно существующий северный или южный магнитный полюс, тогда как в обычном магните северный и южный полюсы появляются
лишь в паре. Однако не все физики согласны с принципом отсутствия магнитных монополей. Математическая теория магнитных «зарядов» (в том
числе квантовая) сильно продвинута (см. по этому поводу работы П. Дирака, например [33]).
Движение заряженной частицы в поле магнитного монополя рассмат-
ривал еще Дарбу [31] (1884 г.). Пуанкаре связал эту задачу с явлением затягивания катодных лучей, открытым Биркеляндом (1895 г.).
Уравнение движения заряженной частицы в магнитном поле монополя
имеет вид (10.1), но только в правую часть надо добавить силу Лоренца
(˙x × x)
μ
|x|
3
,μ=
eλ
.
c
Здесь e — заряд частицы, c — скорость света. Кроме интеграла энергии, это
уравнение допускает обобщенный интеграл кинетического момента:
x × ˙x + μ
x
= k, k ∈ R
|x|
3
. (10.17)
Этих интегралов вполне достаточно для точного интегрирования дифференциальных уравнений движения.
Из уравнения (10.17) вытекает равенство
(k, x)=μ|x|.
Это уравнение конуса вращения, ось симметрии которого параллельна вектору k.ЕслиV =0, то, как показал Дарбу [31], заряженная частица движет-
ся по геодезическим линиям этого конуса. При наличии гравитационного
силового поля анализ движения частицы можно найти, например, в книге [103]. В работе [98] эти результаты перенесены на более общий случай движения заряженной частицы в трехмерном пространстве постоянной
кривизны.
Три скалярных уравнения (10.17) снова определяют трехмерное ин-
вариантное интегральное многообразие в шестимерном фазовом пространстве. Только при μ =0его геометрия усложняется.
172 ГЛАВА II
Уравнение (10.17) нельзя разрешить относительно скорости ˙x.Дру-
гими словами, интегральное многообразие (10.17) не проектируется однозначно на конфигурационное пространство {x}.
С другой стороны, уравнение (10.17) можнолокальноразрешитьот-
носительно положения x. Более точно это означает следующее. Положим
2
2
2
= μx1(x
f
1
f
= μx2(x
2
f
= μx3(x
3
1
2
1
2
1
+ x
+ x
+ x
2
2
2
2
2
+ x
+ x
+ x
3
2
3
2
3
−1/2
)
+ x2˙x3− x3˙x2,
−1/2
)
+ x3˙x1− x1˙x3,
−1/2
)
+ x1˙x2− x2˙x1.
Можно показать, что при μ =0
∂(f
1,f2,f3
∂(x1,x2,x3)
вне координатных плоскостей x
◦
. Вернемся к задаче о движении частицы в центральном поле. Вих-
5
=0, x2=0и x3=0.
1
ревые линии на интегральных многообразиях Σ
)
=0
3
можно описать другим
k
способом, как это сделано в § 2 для волчка Эйлера.
Предложение 15. Гамильтонова система с гамильтонианом
1
H
имеет те же инвариантные многообразия Σ
[(x
=
2
− x3y2)2+(x3y1− x1y3)2+(x1y2− x2y1)2]
2y3
3
, а ограничение гамильтоно-
k
ва векторного поля
3
на Σ
является вихревым полем.
k
∂H
=
˙x
s
, ˙ys= −
∂y
s
∂H
(1 s 3) (10.18)
∂x
s
Это утверждение сразу же следует из общих результатов § 9. Дело
в том, что функция H
выражается через функции (10.4) и находится в ин-
волюции со всеми ними.
Если положить k
соотношения ˙x
, y2с точностью до ненулевого несущественного множителя совпадут
x
2
3
= k3=0,аk1=0, то уравнения (10.18) дадут нам
2
=˙y3=0, а уравнения для оставшихся переменных x1, y1,
с уравнениями (10.10).
§10. ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА 173
Если вихревые линии параметризовать временем t,тоиз(10.10) будут
следовать уравнения
1
= −
∂W
, ¨x2= −
∂x
1
¨x
∂W
∂x
,W=
2
1
2
1
+ x
2
),
2
(x
2
описывающие колебания линейного осциллятора на плоскости. Напомним,
что (по теореме Бертрана) все ограниченные траектории частицы в центральном поле замкнуты только для двух потенциалов: ньютоновского (гравитационного) и гуковского (потенциала упругой пружины).
ГЛАВА III
Геодезические на группах Ли
c левоинвариантной метрикой
§ 1. Уравнения Эйлера – Пуанкаре
1◦. Пусть v1,...,vn— касательные векторные поля на n-мерном кон-
фигурационном пространстве M , линейно независимые в каждой точке M
(или некоторой его части). Их коммутаторы можно разложить по векторам {v
Коэффициенты c
но положить
Коэффициенты (ω
квазискоростями,онизависятотвыбораполейv. В частности, если в ка-
честве v
то, очевидно, ω
де функции от ω,x и t: L = L(ω, x, t). Оказывается, в новых переменных
уравнения Лагранжа с лагранжианом L примут следующий вид:
где X
} как по базису:
k
[v
]=c
i,vj
k
— функции от точки x ∈ M .
ij
k
vk. (1.1)
ij
Скорость системы ˙x — также касательный вектор. Следовательно, мож-
˙x =ω
,...,ωn)=ω — линейные функции от ˙x — называются
1
взять векторные поля с операторами дифференцирования
k
∂
, ...,
∂x
1
=˙xk.
k
. (1.2)
kvk
∂
, (1.3)
∂x
n
Лагранжиан механической системы L(˙x, x, t) можно представить в ви-
∂L
∂ω
k
— производная Ли вдоль векторного поля vk.
k
n
.
j
∂L
=
c
i,j=1
ωi+ Xk(L), (1.4)
ki
∂ω
j
176 ГЛАВА III
Уравнения (1.4) получены впервые Анри Пуанкаре в 1901 г. [122]. Ес-
ли операторы дифференцирования X
имеют вид (1.3),тоуравнения Пу-
k
анкаре перейдут в обычные уравнения Лагранжа. Следует иметь в виду,
что система уравнений (1.4) не замкнута; для ее замыкания надо добавить
соотношения (1.2).
◦
. Выведем уравнения Пуанкаре. Пусть
2
X
=
i
∂
a
is
∂x
s
s
— явный вид оператора дифференцирования вдоль поля vi. По определению
коммутатора,
[X
]=XiXj− XiXj=c
i,Xj
k
X
k
ij
или, что то же самое,
l
∂a
∂x
is
l
ajl=
l
∂a
∂x
js
l
ail+
k
c
aks. (1.5)
ij
k
Учитывая покомпонентную запись соотношения (1.2)
=
˙x
s
aksωk, 1 s n,
k
получаем
∂L
∂ω
=
k
∂L
∂ ˙x
∂ ˙x
∂ω
s
s
k
∂L
=
aks. (1.6)
∂ ˙x
s
Далее, используя уравнения Лагранжа, имеем
∂L
∂ω
.
k
.
∂L
∂x
∂L
∂ ˙x
s
s
aks+
=
=
+
a
ks
∂L
∂ ˙x
∂a
∂L
ks
∂x
ailωi.
l
˙xl=
l
∂ ˙x
s
∂a
ks
∂x
s
Учитывая соотношения
∂L
∂x
=
s
∂x
+
s
∂L
∂L
∂ ˙x
∂a
il
ωi,
∂x
l
s
преобразуем полученное равенство:
.
∂L
∂ω
∂L
∂x
aks+
s
=
k
∂L
∂ ˙x
∂a
∂x
s
ks
∂a
a
il
∂x
l
is
a
l
.
ω
kl
i
§1. УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА –ПУАНКАРЕ 177
Используя теперь (1.5), приходим к соотношению
.
∂L
∂ω
∂L
=
k
∂ ˙x
ajsc
s
j
ωi+ Xk(L).
ki
Наконец, с учетом (1.6) получаем уравнения Пуанкаре (1.4).
◦.
Считая лагранжиан L функцией, выпуклой по ω и возрастающей
3
на бесконечности быстрее любой линейной функции, выполним преобразование Лежандра:
m
k
, H =(m ·ω −L)
∂ω
k
ω→m
.
∂L
=
Тогда как известно,
∂H
=
ω
k
,Xk(L)=−Xk(H).
∂m
k
Уравнения (1.4) в переменных x, m примут вид
j
˙m
=
k
i,j
∂H
c
m
ki
− Xk(H), 1 k n. (1.7)
j
∂m
i
Они называются уравнениями Четаева [100].
◦
. Пусть теперь конфигурационное пространство M является груп-
4
пой Ли G.Напомним,чтоG — группа (с операцией умножения τ, σ → τσ)
и одновременно гладкое многообразие, причем
−1
(а) τ → τ
— гладкое отображение G → G,
(б) τ,σ → τσ — гладкое отображение G × G → G.
Для нас основным примером будет группа SO(3) — группа поворо-
тов трехмерного евклидова пространства. Она состоит из ортогональных
матриц третьего порядка с определителем, равным единице. Произвольная
3 × 3-матрица задается девятью произвольными параметрами. Шесть независимых условий ортогональности выделяют в девятимерном пространстве гладкую регулярную трехмерную поверхность — многообразие SO(3).
С топологической точки зрения это трехмерная сфера, у которой отождествлены антиподальные точки. Легко проверить, что операция умножения матриц будет гладким преобразованием этой поверхности. Как уже отмечалось
(§ 5 гл. I), группа SO(3) — конфигурационное пространство в задаче о вра-
щении твердого тела вокруг неподвижной точки.
178 ГЛАВА III
Поскольку G — группа, то для любых σ, τ найдется единственное ρ
−1
такое, что ρσ = τ (ρ = τσ
). Через Φρобозначим левый сдвиг группы G,
порожденный элементом ρ:
Φ
: ξ → ρξ, ξ ∈ G.
ρ
Согласно условию (б), Φ
−1
что Φ
ρ
Φ
— диффеоморфизм, и поэтому его дифференциал dΦρесть изоморфизм
ρ
=Φ
−1
тоже гладкое отображение (условие (а)). Следовательно,
ρ
касательных пространств T
— гладкое отображение группы G на себя. Ясно,
ρ
и Tτ.
σ
Гладкое векторное поле v на G называется левоинвариантным,если
dΦ
v(σ)=v(τ )(1.8)
ρ
для всех τ и σ. Это условие можно упростить, положив в (1.7) σ = e (e —
единица группы G):
dΦ
v(e)=v(τ )
τ
для всех τ ∈ G. Таким образом, левоинвариантные векторные поля на G
образуют n-мерное линейное пространство g, изоморфное T
G.
e
Если u, v — гладкие векторные поля и Φ — гладкое отображение, то,
как легко проверить,
dΦ([u, v]) = [dΦ(u),dΦ(v)].
Сучетомформулы(1.8) из этого факта вытекает важное следствие: ком-
мутатор левоинвариантных полей является левоинвариантным векторным
полем. Таким образом, линейное пространство g превращается в алгебру
Ли, если умножение элементов из g определить как операцию коммутиро-
вания. Это умножение обладает следующими свойствами:
1) [u, v]=−[v, u],
2) [c
+ c2u2,v]=c1[u1,v]+c2[u2,v],c1,c2∈ R,
1u1
3) [[u, v],w]+[[v, w],u]+[[w, u],v]=0для любых u, v, w ∈ g (тождество
Якоби).
Алгебра g называется алгеброй Ли группы G.
Если v
торных полей на G,товравенстве(1.1) коэффициенты c
,...,vk— набор линейно независимых левоинвариантных век-
1
k
будут постоян-
ij
ными. Они называются структурными постоянными алгебры Ли. Очевид-
но, c
k
ij
= −c
k
.
ji
§1. УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА –ПУАНКАРЕ 179
Аналогично определяются правоинвариантные векторные поля на
группе Ли G, которые переходят в себя при всех правых сдвигах группы G. Легко проверить, что линейное пространство правоинвариантных
полей с операцией коммутирования является алгеброй, изоморфной алгебре Ли группы G.
Более подробно с этими вопросами можно познакомиться, например,
по книге Шевалье [93]. Изложение, ориентированное на применение к дифференциальным уравнениям, см. в [74].
◦
. В качестве важного примера рассмотрим группу невырожденных
5
матриц n × n, которая обычно обозначается GL(n). Известные формулы
для элементов произведения матриц и обратной матрицы показывают, что
2
GL(n) — группа Ли, размерность которой равна n
. Вычислим ее алгебру
Ли gl(n).
Пусть e — единичная матрица. Рассмотрим касательные векторы к GL
вточкеe.Пустьt → x(t) — гладкая кривая на GL и x(0) = e.Тогда
x(t)=e + tA + o(t), (1.9)
где A — некоторая n × n матрица, и, cледовательно, ˙x(0) = A.Такимоб-
разом, касательное пространство T
совпадает с линейным пространством
e
квадратных матриц порядка n.
При левом сдвиге x → zx(t) кривая (1.9) перейдет в кривую
t → zx(t). Ее производная при t =0равна zA. Следовательно, при этом
сдвиге вектор A из T
Пусть z = z
перейдет в вектор zA, касательный к GL вточкеz.
e
и A = aij. Левоинвариантному полю z → zA
ij
отвечает оператор дифференцирования
z
isasj
∂z
∂
.
ij
Пусть z → zB еще одно левоинвариантное векторное поле. Их комму-
татор в точке z = e равен, очевидно, [A, B]=BA−AB. Следовательно, алгебра Ли gl(n) изоморфна пространству всех вещественных n × n-матриц
с естественным законом коммутирования.
Алгебра gl(n) играет важную роль в теории алгебр Ли. Согласно тео-
реме Адо, каждая алгебра Ли изоморфна некоторой подалгебре gl(n) при
подходящем выборе n.
Пусть z → Az и z → Bz — два правоинвариантных векторных по-
ля на GL. Их коммутатор равен AB − BA; он отличается только знаком
от [A, B].
180 ГЛАВА III
Важное значение с точки зрения приложений играет специальная ор-
тогональная группа SO(n), состоящая из ортогональных n × n-матриц
с определителем +1.Ясно,чтоSO(n) ⊂ GL(n), so(n) ⊂ gl(n),
и dim (SO(n)) = n(n − 1)/2.
В этом случае матрицы x(t) из (1.9) удовлетворяют соотноше-
T
нию xx
= e. Следовательно,
e =(e + tA + o(t))(e + tA
T
+ o(t)) = e + t(A + AT)+o(t),
откуда A
T
+ A =0. Таким образом, алгебра so(n) состоит из кососиммет-
ричных матриц порядка n.
◦
. При n =3каждой кососимметричной матрице
6
A =
⎛
⎝
0 a
3
−a30 a
−a
⎞
2
⎠
1
a2−a10
можно поставить в соответствие вектор a трехмерного ориентированного
евклидова пространства с компонентами a
1,a2,a3
. Легко проверить, что по
этому правилу коммутатор матриц [A, B] переходит в обычное векторное
произведение a × b. Таким образом, алгебра so(3) изоморфна линейному
пространству векторов трехмерного пространства, в котором коммутатор
совпадает с операцией векторного умножения.
Группа SO(3) — конфигурационное пространство задачи о вращении
твердого тела вокруг неподвижной точки: все положения тела можно получить из некоторого его фиксированного положения с помощью поворотов.
Вращение твердого тела задается функцией t → x(t),гдеx — ортогональная
матрица из SO(3). Скорость вращения ˙x(t) есть касательный вектор к груп-
пе в точке x(t). Его можно перенести в единицу группы (то есть в алгебру
so(3)) двумя естественными способами: левым и правым сдвигом. В ре-
−1
зультате мы получили две кососимметричные матрицы x
˙x и ˙xx−1.
Пусть R(t) — радиус-вектор точки тела в неподвижном пространстве.
Тогда R(t)=x(t)R(0) и, следовательно,
V (t)=˙R(t)= ˙x(t)R(0) = ˙xx
−1
R(t).
В трехмерном ориентированном пространстве кососимметрический опера-
−1
тор ˙xx
есть оператор векторного умножения Ω ×(·). В результате получаем формулу Эйлера V =Ω×R.ВекторΩ называется вектором угловой ско-
рости в неподвижном пространстве. Таким образом, правоинвариантные
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]