Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Общая теория вихрей
.pdf
§5. РАСШИРЕННЫЙ МЕТОД ГАМИЛЬТОНА–ЯКОБИ 271
По аналогии с гидродинамикой функции
α
, ..., αk,βkи S
1,β1
мы назвали потенциалами Клебша. В типичном случае (когда дифференциальная 1-форма ω имеет постоянный класс) потенциалы Клебша всегда
существуют. Подчеркнем, что функция S может зависеть от всех координат
, ..., xn.
x
1
Положим еще
∂S
h
Предложение 24. В указанных предположениях функция h
от x
, ..., xn, а переменные
2k+1
(x
, ..., x2k)=x
1
+ h. (5.6)
=
∂t
не зависит
удовлетворяют дифференциальному уравнению
где
∂u
∂t
=
u
α
+Ω˙x
∂β
i
∂x
= −
i
, ...,α
1
∂h
, (5.7)
∂x
∂β
i
∂x
.
2k
i
Ясно, что матрица Ω совпадает с матрицей ротора ковекторного по-
:
ля u
Ω=
∂u
∂x
∂u
∂x
T
.
−
Система вида (5.7) это система Биркгофа. Если функции ξ и η не зави-
сятявноотвремени,то∂u
/∂t =0и уравнение (5.7) совпадает с обычным
уравнением Гамильтона, но представленным не в канонических переменных. Симплектическая структура определяется кососимметрической мат-
рицей Ω, а гамильтонианом служит функция h
В переменных x
, ..., xn(n − 2k)-мерные вихревые многообразия
1
.
матрицы ротора поля u задаются равенствами
x
= γ1, ..., x2k= γ2k,γj=const.
1
272 ГЛАВА IV
Система обыкновенных дифференциальных уравнений (5.7) — это система на 2k-мерном пространстве, которая получается из конфигурационного
пространства факторизацией по вихревым многообразиям. Такая система
названа в § 4 гл. II фактор-системой. Ее конструкция тесно связана с многомерными обобщениями классических теорем Бернулли и Гельмгольца из
гидродинамики идеальной жидкости.
Подчеркнем еще, что предложение 24 справедливо при каждом фиксированном значении параметра c.
Доказательство предложения 24. Матрица ротора ковекторного поля (5.5) имеет вид
Ω0
00
.
Далее, при всех j>2k
∂u
∂t
j
=
2
S
∂
∂xj∂t
.
Поэтому последние (n − 2k) уравнений системы Ламба (5.2) принимают
вид
∂x
∂
∂S
+ h=0,j>2k.
∂t
j
Остается проверить, что первые 2k уравнений системы (5.2) сводятся
к обыкновенным дифференциальным уравнениям (5.7).
◦
2
. Через b1, ..., bnобозначим начальные координаты гамильтоновой
системы (5.1):
(0) = bi(1 i n),x(0) = (b1, ..., b2k)=b.
x
i
Напомним, что система Биркгофа (5.7) зависит еще от n параметров
, ..., cn.Пусть
c
1
x
= X(t, b,c)(5.8)
— общее решение замкнутой системы обыкновенных дифференциальных
уравнений (5.7):
X(0,b
,c)=b
при всех значениях c =(c1, ..., cn).
§5. РАСШИРЕННЫЙ МЕТОД ГАМИЛЬТОНА–ЯКОБИ 273
Теорема 41. Пусть u(x, t, c) — полное решение системы уравнений
Ламба (5.2) вида (5.5), причем
2
∂
S
=0,i,j=2k +1, ..., n. (5.9)
j
det
∂ci∂x
Если известно общее решение (5.8) системы (5.7), то остальные канонические переменные
x
, ..., xn,y1, ..., y
2k+1
n
в системе уравнений Гамильтона (5.1) находятся из соотношений
∂S
∂c
j
x=X
t
=
0
a
y
1
2k
∂h
+
∂c
j
i=1
∂S
=
∂c
j
t=0
j
= u1(x, t, c), ..., yn= un(x, t, c). (5.12)
k
∂
˙x
i
∂c
j
α
s=1
∂β
s
s
∂x
i
dt + aj, (5.10)
x=X
; j =2k +1, ..., n, (5.11)
Доказательство. Согласно предложению 24,
∂S
∂t
+ H (x
, ..., xn,u1, ..., un,t)=h(x1, ..., x2k,t,c1, ..., cn).
1
(5.13)
Вычислим сначала
∂S
∂c
.
∂
=
∂t∂S∂c
j
i
∂2S
∂xi∂c
j
+
j
˙xi=
∂
∂t∂c
2
S
+
j
i
∂2S
∂xi∂c
∂H
. (5.14)
∂y
j
i
Вертикальная черта обозначает подстановку (5.12). С другой стороны, согласно (5.13),
∂h
∂c
∂
=
∂cj∂t
j
2
S
+
∂u
∂H
dy
i
i
.
∂c
i
j
Далее, по формулам (5.5)
=
2
∂
S
∂cj∂x
+ θij,
i
∂u
dc
i
j
274 ГЛАВА IV
где
θ
ij
θ
ij
Ясно, что дополнительные слагаемые θ
k
∂
=
∂c
j
s=1
∂β
s
α
s
, 1 i 2k,
∂x
i
=0,i>2k.
не зависят от x
ij
2k+1
, ..., xn.
Следовательно,
2k
∂h
∂c
∂
=
∂cj∂t
j
2
S
+
i
∂2S
∂cj∂x
∂H
∂y
i
+
i
θij˙xi. (5.15)
i=1
Сопоставляя (5.14) и (5.15), приходим к равенству
∂S
∂c
.
∂h
=
∂c
j
2k
−
j
i=1
k
∂
˙x
i
∂c
j
α
s=1
∂β
s
s
. (5.16)
∂x
i
Отметим, между прочим, что это равенство справедливо при всех j =
=1, ..., n.
Производные ˙x
, ..., x2k,времениt и параметров c1, ..., cn. Подставляя в правую часть
x
1
, ..., ˙x2kнаходятся из (5.7) как функции от
1
соотношения (5.16) решения системы обыкновенных дифференциальных
уравнений (5.7) и интегрируя по t, получаем искомую формулу (5.10).Конечно, в выражениях для ∂S/∂c
также следует сделать подстановку (5.8).
j
При t =0решениями (n − 2k) уравнений (5.10)–(5.11) будут, очевидно,
x
2k+1
= b
, ..., xn= bn.
2k+1
Следовательно, по теореме о неявной функции (с учетом условия (5.9))из
(5.10)–(5.11) можно найти координаты x
, ..., xnкак функции времени
2k+1
и 2n параметров
, ..., bn,c1, ..., cn. (5.17)
b
1
Подстановка координат в формулы (5.12) даст нам импульсы в виде функций времени и параметров (5.17). В результате мы получили общее решение дифференциальных уравнений Гамильтона, так как при t =0
∂(x, y)
∂(b, c)
=det
E 0
∗
∂u
∂c
=det
∂u
i
=0.
∂c
j
Теорема доказана.
§5. РАСШИРЕННЫЙ МЕТОД ГАМИЛЬТОНА–ЯКОБИ 275
Рассмотрим некоторые частные случаи.
а) Пусть k =0.Тогдавсеα, β равны нулю и h
и параметров c
, ..., cn. Согласно теореме 41, общее решение системы
1
— функция времени
канонических уравнений Гамильтона определяется по формулам
∂S
∂c
, (5.18)
j
t=0
Ясно, что
После подстановки
∂S
∂c
t
∂h
=
j
y
i
0
=
t
0
∂c
j
∂S
∂x
∂h
∂c
j
1
S = S −
dt + aj,aj=
,i,j=1, ..., n. (5.19)
i
t
∂
dt =
∂c
hdt.
j
0
t
hdt (5.20)
0
соотношения (5.18)–(5.19) принимают вид классических формул Якоби:
∂1S
= aj,yi=
∂c
j
∂1S
,i,j=1, ..., n.
∂x
i
Вторая формула (5.18) при этом не меняется:
∂1S
a
=
j
∂c
.
j
t=0
Таким образом, теорема 41 является прямым обобщением теоремы
Якоби о полном интеграле. Кроме того, формулами (5.18)–(5.19) можно
пользоваться, не прибегая к калибровочному преобразованию (5.20).
b) Пусть функции α
раметров c
, ..., cn. Тогда условие невырожденности (5.3) полного реше-
1
, ..., αk,β1, ..., βkне зависят от времени t ипа-
1
ния (5.5) принимает привычный вид:
2
S
∂
=0. (5.21)
j
det
∂xi∂c
276 ГЛАВА IV
Уравнения (5.7) становятся обычной гамильтоновой системой относительно симплектической структуры с матрицей Ω. Общее решение канонической системы Гамильтона (5.1) определяется равенствами
∂S
∂c
t
∂h
=
j
∂c
j
0
x=X
dt +
∂S
∂c
, 1 j n, (5.22)
j
t=0
и (5.12), в которых компоненты ковекторного поля u(x, t, c) выражаются формулами (5.5). С учетом неравенства (5.21) систему уравнений (5.22)
можно локально разрешить относительно всех координат x
, ..., xn.Прав-
1
да, первые 2k из них уже найдены как решения гамильтоновой системы (5.7).
c) Пусть теперь k =1, исходная гамильтонова система (5.2) автоном-
ная и полное решение (5.5) также не зависит от t. В этом случае вспомогательная гамильтонова система (5.7) легко интегрируется в квадратурах,
а после этого решения уравнений Гамильтона (5.1) находятся из алгебраических соотношений (5.10)–(5.12).
Сделаем еще одно замечание. Предположим, что найдено решение
системы уравнений Ламба, зависящее не от всех параметров c
, ..., cn,
1
а только их части. Более точно, пусть имеется решение
u(x
, ..., xn,t,c
1
2k+1
, ..., cn)
такое, что выполнено условие (5.9). Легко понять, что соотношения (5.10)–
(5.11) по-прежнему будут выполняться. Число этих соотношений равно
(n −2k).Первые2k координат x
, ..., x2kнаходятся как решения замкну-
1
той системы обыкновенных дифференциальных уравнений. А из уравнений (5.10)–(5.11) с учетом неравенства (5.9) находятся остальные (n −2k)
координат x
, ..., xnкак функции времени, зависящие еще от n +(n −
2k+1
− 2k)=2(n − k) параметров
b
, ..., bn,c
1
, ..., cn. (5.23)
2k+1
Соотношения (5.12) (вместе с (5.5)) дают нам импульсы в виде функций
времени и тех же 2(n − k) параметров (5.23). Таким образом, при сделанном выше предположении мы находим 2(n − k)-параметрическое решение
исходной системы дифференциальных уравнений Гамильтона. При k =0
получаем общее решение. Однако в ряде случаев можно показать, что наличие этого 2(n −k)-параметрического семейства полностью решает задачу
интегрирования системы канонических уравнений Гамильтона.
§5. РАСШИРЕННЫЙ МЕТОД ГАМИЛЬТОНА–ЯКОБИ 277
3◦. В потенциальном случае ранг кососимметрической матрицы
rot u =
∂u
i
∂x
j
∂u
j
−
∂x
i
равен нулю. Чтобы продемонстрировать возможности развиваемого метода,
рассмотрим следующий по простоте случай, когда
rank(rot u)=2.
Более точно, пусть фундаментальная 1-форма
ω =u
idxi
имеет вид
ω = x
+ dS(x, c, t)(5.24)
1dx2
(дифференцирований по t и c нет). Для дифференциальных форм постоянного класса такое представление всегда существует (см., например, [22]).
Правда, нужные координаты x
, ..., xnне всегда можно ввести конструк-
1
тивным способом.
Дифференциальной форме (5.24) отвечает n-мерное многообразие
∂S
=
y
1
,y2= x1+
∂x
1
∂S
∂x
,y3=
2
∂S
, ..., yn=
∂x
3
∂S
. (5.25)
∂x
n
Условие невырожденности (5.3) имеет канонический вид (5.9).Условия
инвариантности (5.2) эквивалентны двум уравнениям
1
= −
∂f
∂x
,v2=
2
v
∂f
,f= h +
∂x
1
∂S
, (5.26)
∂t
и (n − 2) соотношениям
∂f
= ...=
∂x
3
Следовательно, f — функция только от x
, ..., cn.
c
1
∂f
=0. (5.27)
∂x
n
, x2и t, а также параметров
1
На инвариантном многообразии (5.25)
∂H
v
=
j
∂y
=˙x
j
(j =1, 2).
j
278 ГЛАВА IV
Поэтому (5.26) — замкнутая система канонических дифференциальных
уравнений Гамильтона
1
= −
∂f
∂x
, ˙x2=
2
˙x
∂f
. (5.28)
∂x
1
Это система уравнений (5.7). В общем случае она неавтономная. С другой стороны, определение функции h вместесусловиями(5.27) дает нам
обобщенное уравнение Гамильтона– Якоби:
∂S
∂t
+Hx
, ..., xn,
1
∂S
∂x
,x1+
1
∂S
∂x
∂S
,
∂x
2
3
, ...,
∂S
,t= f(x1,x2,t,c).
∂x
n
(5.29)
Пусть
0
= X1(t, c, x
x
1
0
,x
),x2= X2(t, c, x
1
2
— решение системы (5.28) с начальными условиями x
0
0
,x
)(5.30)
1
2
0
0
и x
1
2
при t =0.
Тогда решения канонической системы дифференциальных уравнений Гамильтона (5.1) находятся из соотношений
∂S
∂c
t
∂f
∂c
0
∂S
∂x
j
x1=X1,x2=X
,y2= x1+
1
2
∂S
∂x
dt +
,y3=
2
=
j
y
=
1
∂S
∂c
j
t=0,xk=x
∂S
, ..., yn=
∂x
3
, 1 j n, (5.31)
0
k
∂S
. (5.32)
∂x
n
Это прямое следствие теоремы 41. Согласно условию (5.9) (по теореме о неявных функциях), из (5.31) можно найти положение системы как
функцию времени, начальных условий x
0
, ..., x
1
0
и параметров c1, ..., cn.
n
Формулы (5.32) определяют импульсы в виде функций времени. В итоге
параметры c
, ..., cnвыражаются через начальные координаты x
1
и начальные импульсы y
0
, ..., y
1
0
.
n
0
, ..., x
1
При n =2это утверждение вырождается: соотношение (5.29) не несет
какой-либо нетривиальной информации о решениях. В этом случае вопрос
сводится к условию существования семейства вихревых инвариантных поверхностей вида
∂S
=
y
1
,y2= x1+
∂x
1
∂S
∂x
.
2
0
n
§5. РАСШИРЕННЫЙ МЕТОД ГАМИЛЬТОНА–ЯКОБИ 279
Вавтономномслучае(когдаH не зависит явно от t) естественно искать семейство стационарных инвариантных многообразий (когда S есть
функция от x и c). Тогда гамильтонова система (5.28) легко интегрируется
в квадратурах и можно показать, что хотя бы одна из частных производных
∂f
∂c
, ...,
1
∂f
∂c
n
отлична от нуля. В противном случае исходный гамильтониан H вообще не
зависит от импульсов.
Рассмотрим еще частный неавтономный случай, когда f =0.Тогда
уравнение (5.29) переходит в уравнение Гамильтона– Якоби для системы
с гамильтонианом
, ..., xn,y1,x1+ y2,y3, ..., yn,t), (5.33)
H(x
1
а функция S будет его полным решением. В действительности исходная
гамильтонова система и система с гамильтонианом (5.33) всегда одновременно интегрируются методом Гамильтона – Якоби.
◦
. Продемонстрируем развиваемый метод точного интегрирования на
4
примере волчка Эйлера. Без ущерба для общности будем считать вертикальным постоянный кинетический момент твердого тела. Его величину
обозначим c (∈ R). В качестве обобщенных координат примем обычные уг-
лы Эйлера θ, ϕ, ψ. Согласно § 2 гл. III, уравнения движения волчка допускают семейство стационарных инвариантных многообразий, причем формула (5.4) имеет следующий вид:
ω = cdψ+ c cos θdϕ. (5.34)
Следовательно,
S = cψ, α = c cos θ, β = ϕ.
Первыми 2k =2координатами служат углы θ и ϕ. Легко вычисляется
их скобка Лагранжа:
[θ, ϕ]=c sin θ. (5.35)
Так что кососимметрическая 2 ×2-матрица Ω невырождена, если c =0.
Ввиду стационарности функция Бернулли h
совпадает с h — ограниче-
нием кинетической энергии твердого тела на инвариантное многообразие.
280 ГЛАВА IV
Нетрудно проверить, что
Здесь I
sin
2
θ sin2ϕ
I
1
2
c
h =
2
, I2, I3— главные моменты инерции твердого тела.
1
2
sin
+
θ cos2ϕ
I
2
+
cos
2
θ
I
3
. (5.36)
Используя (5.35) и (5.36), получаем систему дифференциальных уравнений (5.7):
˙
θ = c
˙ϕ = c cos θ
1
1
−
I
2
1
−
I
3
sin θ sin ϕ cos ϕ,
2
sin
I
cos
ϕ
−
1
I
2
2
ϕ
.
(5.37)
I
1
Поскольку эта система автономная и допускает непостоянный интеграл (5.36), то она интегрируется в квадратурах.
Соотношение (5.16)
.
∂S
=
∂c
∂h
∂c
−
∂
(c cos θ)˙ϕ
∂c
сучетом(5.36) и (5.37) определяет угол прецессии ψ. После элементарных
преобразований получаем уравнение
˙
ψ = c
2
ϕ
sin
+
I
1
cos
2
ϕ
. (5.38)
I
2
Уравнения (5.37) и (5.38), конечно, хорошо известны в теории волчка Эйлера. Отметим еще, что
2
S
∂
=1.
∂ψ ∂c
Следовательно, условие (5.9) теоремы 41 заведомо выполнено.
Хотя решение (5.34) содержит всего один параметр (а не три), мы фактически получили общее решение уравнений свободного вращения твердого тела с неподвижной точкой, поскольку выбор направления кинетического момента не имеет никакого значения.
◦
5
. В качестве иллюстративного примера рассмотрим еще задачу Лар-
мора о движении заряженной частицы в постоянном магнитном поле. Ее
движение описывается уравнением Ньютона
¨x =˙x × H, x ∈ E
3
. (5.39)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]