Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Общая теория вихрей
.pdf
В. В. Козлов
Общаятеориявихрей
Издание второе, исправленное и дополненное
Москва Ижевск
2019
УДК 532.527
ББК 22.253.315+22.211
K 592
Интернет-магазин
• физика
• математика
• биология
• нефтегазовые
http://shop.rcd.ru
технологии
Козлов В. В.
Общая теория вихрей. — 2-е изд., испр. и доп. — М.–Ижевск: Институт
компьютерных исследований, 2019. — 324 с.
Книга посвящена математическому изложению аналогий, существующих между гидродинамикой, геометрической оптикой и механикой. Оказывается, изучение
семейств траекторий гамильтоновых систем, по существу, сводится к задачам многомерной гидродинамики идеальной жидкости. В частности, известный метод Гамильтона– Якоби отвечает случаю потенциальных течений. Рассказано о некоторых
приложениях такого подхода, в частности о вихревом методе точного интегрирования дифференциальных уравнений динамики.
Книга рассчитана на научных сотрудников и аспирантов, интересующихся математической физикой, механикой и дифференциальными уравнениями.
ISBN 978-5-4344-0669-7 ББК 22.253.315+22.211
c
В. В. Козлов, 2019
c
Ижевский институт компьютерных исследований, 2019
http://shop.rcd.ru
http://ics.org.ru
Оглавление
Предисловие ко второму изданию .................. 5
Введение ................................ 7
ЛАВА I. Гидродинамика, геометрическая оптика и классическая
Г
механика .............................. 17
§1. Вихревыедвижениясплошнойсреды.............. 17
§2. Точечныевихринаплоскости .................. 26
§ 3. Системы лучей, законы отражения и преломления, теорема
Малюса............................... 35
§ 4. Принцип Ферма, канонические уравнения Гамильтона, оптико-
механическаяаналогия ...................... 42
§5. Гамильтоноваформауравненийдинамики ........... 53
§ 6. Действие в фазовом пространстве и инвариант Пуанкаре–
Картана............................... 65
§ 7. Метод Гамильтона – Якоби и принцип Гюйгенса . . . . . . . . 72
§ 8. Гидродинамика гамильтоновых систем . . . . . . . . . . . . . 82
§ 9. Уравнения Ламба и проблема устойчивости . . . . . . . . . . 93
Г
ЛАВА II. Общая теория вихрей ................... 99
§1. УравненияЛамбаиуравненияГамильтона........... 99
§2. Сведениекавтономномуслучаю.................103
§3. Инвариантныеформыобъема ..................112
§4. Вихревыемногообразия......................116
§5. УравнениеЭйлера.........................124
§6. Вихривдиссипативныхсистемах................129
§7. СилаЛоренцаиееобобщения..................136
§ 8. Вихревая теория адиабатических равновесных процессов . . 146
§ 9. Инвариантные многообразия общего вида . . . . . . . . . . . 154
§ 10. Вихревая теория кинетического момента . . . . . . . . . . . . 165
4ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА III. Геодезические на группах Ли c левоинвариантной мет-
рикой ................................ 175
§1. УравненияЭйлера–Пуанкаре ..................175
§2. Вихреваятеорияволчка......................182
§3. МераХаара.............................189
§ 4. Скобки Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
§ 5. Функции Казимира и вихревые многообразия . . . . . . . . . 200
§ 6. Динамика изменяемых систем на группах Ли . . . . . . . . . 206
§ 7. Вихревая теория неголономных систем . . . . . . . . . . . . . 225
ЛАВА IV. Вихревой метод интегрирования уравнений
Г
Гамильт о н а ............................. 241
§ 1. Метод Гамильтона– Якоби и теорема Лиувилля о полной ин-
тегрируемости ...........................241
§ 2. Некоммутативное интегрирование уравнений Гамильтона . . 246
§3. Вихревойметодинтегрирования.................251
§ 4. Полная интегрируемость фактор-системы . . . . . . . . . . . 263
§ 5. Расширенный метод Гамильтона – Якоби . . . . . . . . . . . . 269
§ 6. Системы с трехмерными инвариантными многообразиями . . 282
Дополнение 1. Инварианты завихренности и вторичная гидродина-
мика ................................. 291
Дополнение 2. Квантовая механика и гидродинамика ....... 297
Дополнение 3. Уравнение вихря 2D-гидродинамики как кинетиче-
ское уравнение ........................... 303
Литература ............................... 311
Предметный указатель ........................ 321
Предисловие ко второму изданию
Эта книга вышла в 1998 году. Ее перевод на английский язык (с некоторыми добавлениями) появился в 2003 году в шпрингеровской серии
«Encyclopaedia of Mathematical Sciences», vol. 67 (Dynamical Systems X).
Настоящее издание расширено за счет добавления теории инвариантных многообразий общего вида, динамики изменяемых систем на группах
Ли, вихревой теории неголономных систем, а также расширенного метода
Гамильтона – Якоби. Кроме того, в книге обсуждается еще вихревая теория
адиабатических тепловых процессов, а также аналогия между электромагнетизмом и инерцией.
В книге широко используется теория внешних дифференциальных
форм, восходящая к Пуанкаре и Картану. Без нее вообще нельзя глубоко
понять гамильтонову механику. Для ознакомления с теорией внешних форм
можно порекомендовать книги:
• Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика.
М.: Мир, 1973.
• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М.:
Наука, 1979.
январь 2013 г. В. Козлов
Введение
Англичане преподают механику как науку
экспериментальную; на континенте же ее всегда излагают как науку более или менее дедуктивную и априорную. Бесспорно, правы англичане. . .
Анри Пуанкаре «Наука и гипотеза»
Декарт, Лейбниц и Ньютон
Как известно, основные принципы динамики изложены Ньютоном
в его знаменитом сочинении «Philosophiae Naturalis Principia Mathematica»,
изданном в 1687 году на средства его друга астронома Галлея. По существу,
эта книга написана с единственной целью — доказать эквивалентность законов Кеплера и предположения (подсказанного Ньютону Гуком), что ускорение планеты направлено к центру Солнца и что величина ускорения убывает обратно пропорционально квадрату расстояния между планетой и Солнцем. Для этого Ньютону потребовалось систематизировать принципы динамики (так появились знаменитые законы Ньютона) и развить основы
«теории флюксий» (математический анализ функций одной переменной).
Правда все свои открытия, содержащиеся в «Principia», Ньютон изложил
не на языка математического анализа (которым он к тому времени уже владел), а при помощи эквивалентных анализу геометрических элементарных
рассуждений. Соединение принципа равенства действия и противодействия
и закона обратных квадратов привело Ньютона к теории гравитации — взаимодействию на расстоянии. Кроме этого, в своей книге Ньютон обсуждает
широкий круг вопросов механики и математики: от законов подобия и теории удара до специальных вариационных задач и условий алгебраичности
абелевых интегралов. Практически все в «Principia» впоследствии стало
классическим. А. Н. Крылов — переводчик «Principia» на русский язык —
8ВВЕДЕНИЕ
в связи с этим сказал, что каждое предложение из книги Ньютона «. . . не
только не забылось, но разрослось в целые библиотеки руководств, трактатов, диссертаций и десятки тысяч журналов» [39].
После сказанного современному читателю, наверное, покажется странным, что публикация «Principia» Ньютона поначалу не вызвала практически
никакой реакции в континентальных научных центрах. Например, Лейбниц
в 1689 году (т.е. спустя два года после выхода «Principia») опубликовал
статью, в которой он объяснял движение планет в духе теории вихрей Декарта не только действием силы, направленной к Солнцу, но еще и переносом тонкой материей (эфиром), совершающей круговое движение. Впоследствии он неоднократно возвращался к этому вопросу, уточняя детали
такой модели. Эти представления Лейбница никак нельзя объяснить его
неинформированностью: Ньютон и Лейбниц долгое время состояли в переписке друг с другом. Следует еще добавить, что Лейбниц не был правоверным картезианцем. Кроме спора с Ньютоном о приоритете открытия
метода бесконечно малых, Лейбниц вел длительную полемику со сторонниками Декарта, настаивая на том, что произведение массы тела на квадрат
его скорости (живая сила по Лейбницу) является истинной мерой движения, а не произведение массы на скорость (импульс), как считал Декарт.
Ситуация резко изменилась после выхода в 1713 году второго издания
«Principia». В нем добавлено развернутое предисловие, написанное издателем Рожером Котсом, членом коллегии св. Троицы Кембриджа, а также
общее Поучение, помещенное Ньютоном в конце «Principia». В этих материалах в довольно резкой форме содержится критика декартовой теории
вихрей. Насмешливый стиль Котса допускает такие определения картезианской теории, как басня, бредни, нелепая выдумка, вздор и т.д. Стиль
самого Ньютона более сдержан, хотя теперь известно, что Ньютон сам тщательно редактировал предисловие Котса. Это предисловие обидело Лейбница, разделявшего общие идеи космогонической теории Декарта и внесшего
в нее ряд существенных дополнений, и подлило масла в огонь полемики
о приоритете открытия дифференциального и интегрального исчисления.
Спор о приоритете хорошо известен (см., например, увлекательную книгу
В. И. Арнольда [10]). Напротив, полемика вокруг вихревой теории материи
сейчас практически забыта и лишь вскользь упоминается в книгах по истории механики. Между тем труды Ньютона встретили на континенте сильную оппозицию, которая продолжалась не один десяток лет. Кроме Лейбница, в числе ее убежденных противников были такие выдающиеся ученые, как Гюйгенс, Вариньон, Иоганн, Даниил и Бернулли и др. «Немецкие
ВВЕДЕНИЕ 9
и французские ученые яростно нападают на философию Ньютона и остаются на позициях Декарта», — писал ньютонианец Джонс к Котсу в 1711 году
(см. [39], с. 210). Среди аргументов в защиту теории Ньютона выдвигался
и тезис свободы мнений: «Пусть они (картезианцы — В. К.) остаются при
своем мнении, но пусть они будут справедливы и предоставят другим такую же свободу, какую они желают, чтобы была предоставлена им. Пусть
же нам будет предоставлено право придерживаться ньютоновской философии, которую мы считаем более правильной. . . » (из предисловия Котса ко
второму изданию «Principia»).
Чтобы лучше разобраться в существе полемики, напомним основные
идеи теории Декарта. Они изложены
Декартом в «Discours de la m´ethode»
(1637) и в капитальном труде «Principia
philosophiae» (1644). Космология Декарта исходит из признания первоначального хаоса, который путем движения в соответствии с фиксированными законами упорядочивается в известную схему — космос (как тут не
вспомнить современные идеи синергетики!). По Декарту, Вселенную заполняет тончайшая всепроникающая жидкость (прототип эфира), которая находится в постоянном вихревом движении. Это движение удаляет от оси вихря
наиболее крупные частицы материи, из
которых затем образуются планеты. Далее, как пишет Декарт в своем «Трактате о свете»: «Материя неба должна вра-
Рис. 1. Вихри во Вселенной
(из «Космогонии» Декарта)
щать планеты не только вокруг Солнца,
но и вокруг собственного центра. . . и, следовательно, образовывать вокруг
планет малые неба, вращающиеся в том же направлении, что и большое
небо». Сам термин «вихрь» (tourbillon) навеян сравнением с течением реки,
завихряющейся вокруг несомых ею предметов.
Основная идея вихревой теории разъяснялась Гюйгенсом на простом
примере вихревого вращения воды в ведре. Два одинаковых тела, помещенных на разных расстояниях от оси вихря, вращаются с различными
10 ВВЕДЕНИЕ
скоростями: ближе к оси скорость оказывается большей. Это наблюдение
находится в качественном совпадении с законом убывания скоростей планет по мере их удаления от Солнца. Но имеется ли здесь согласие с законами Кеплера?
НьютониБернулли
Этот вопрос рассматривался самим Ньютоном в «Principia» (отдел IX).
Согласно Ньютону, если однородная вязкая жидкость приводится в движение равномерно вращающимся вокруг своей оси цилиндром (шаром),
то в стационарном случае времена обращений частиц жидкости пропорциональны первой (соответственно второй) степени их расстояния до оси
вращения. В соответствии же с третьим законом Кеплера должна была бы
получиться полукубическая функция от расстояния. Поучение к своим теоремам Ньютон заключает словами: «Пусть философы сами посмотрят, при
каком условии может быть объяснено вихрями явление, заключающееся
в существовании указанного полукубического отношения».
В работе 1730 г., премированной Парижской академией наук, Иоганн
Бернулли указал на ошибки в рассуждениях Ньютона. Тема конкурса, объявленного академией, — объяснение эллиптической формы орбит планет
(спустя сорок лет после выхода книги Ньютона!). Кстати, в этой работе
Бернулли привел аналитический вывод эллиптичности орбит из закона тяготения (который теперь повторяется в руководствах по механике). Ньютон
использовал громоздкие геометрические рассуждения в подражание античным авторам. Полученная Бернулли зависимость периода обращения частицы от расстояния тоже не соответствовала закону Кеплера, к тому же
его выводы оказались не вполне корректными. Первое правильное решение
гидродинамической задачи получено Стоксом в 1845 году: при вращении
цилиндра и шара степени расстояний равны соответственно двум и трем.
В конкурсных сочинениях 1732 и 1734 гг. о причине наклонности орбит планет к солнечному экватору И. Бернулли постепенно отходит от теории вихрей. Аналогично эволюционировали взгляды и Даниила Бернулли,
разделившего с отцом премии Парижской академии.
Ньютон и Бернулли рассматривали вязкую жидкость. Между прочим,
если считать эфир Декарта идеальной жидкостью, то задача получения полукубического отношения легко решается. Для простоты ограничимся случаем плоскопараллельного течения и найдем условия реализации равномерного вращения частиц жидкости по окружности. Пусть r — расстояние
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]