Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Общая теория вихрей
.pdf
§4. ПРИНЦИП ФЕРМА, КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА 51
Отсюда
2
∂U
x
=
,U=
∂x
n
.
2
Это — уравнения движения материальной частицы единичной массы в потенциальном поле с силовой функцией U. Что и требовалось.
Теорема 7 составляет содержание оптико-механической аналогии,
установленной Иоганном Бернулли еще в 1696 году.
Применим этот результат к задаче о световых лучах в атмосфере, когда
показатель преломления медленно меняется с высотой z :
n(z)=n
(1 + εz). (4.19)
0
Ясно, что скорость света уменьшается вместе с плотностью воздуха. Следовательно, в обычных условиях ε<0. При малых значениях ε можно
считать, что
2
(z)
n
2
2
n
0
=
− gz, g = n
2
2
ε.
0
Но эта силовая функция описывает падение точки в пустоте. Следовательно, световые лучи — это параболы, выпуклые вверх. В частности, у линии
1
горизонта Солнце кажется на
/2градуса выше, чем на самом деле. Еще од-
но любопытное явление такого же рода — это мираж: путнику в пустыне кажется, что он видит голубую воду. Объяснение миража, найденное впервые
Монжем, заключается в следующем. Вблизи раскаленной поверхности Земли воздух более разрежен, что приводит к случаю ε>0 вформуле(4.19).
Световые лучи — параболы, обращенные выпуклостью вниз. Так что
на самом деле путник видит не водяную поверхность, а голубое небо.
С явлением миража Монж столкнулся во время египетской компании Наполеона, участником
которой он был. Объяснение миража Монж дал
в небольшой заметке, опубликованной в журнале Египетского института, учрежденного Наполеоном. Как сказал Араго, «по напечатании его
Рис. 13. Мираж
записки даже простые солдаты перестали удивляться миражу, от которого они приходили иногда в страх и недоумение».
◦
. Распространение света можно рассмотреть с точки зрения общей
5
вариационной задачи Лагранжа со связями. Для простоты будем считать
3
оптическую среду неоднородной, но изотропной. Пусть n(x), x ∈ E
—по-
казатель преломления; это означает, что в точке x световые частицы имеют
−1
скорость n
(x).
52 ГЛАВА I
Вариационный принцип Ферма можно сформулировать следующим
образом. Рассмотрим совокупность всех гладких путей x(t), t
1
удовлетворяющих уравнению связи
f(x)= ˙x
2
− n−2(x)=0, (4.20)
t t2,
которые начинаются в один и тот же момент времени t
чиваются в разные моменты времени t
вточкеx2. Среди всех этих путей
2
вточкеx1,азакан-
1
требуется найти тот, который доставляет стационарное значение действию
по Ферма
t
2
Ldt, где L ≡ 1.
t
1
Следуя общему методу множителей Лагранжа (см., например, [17]),
составим измененный лагранжиан
2
L = L + λf =1+λ(˙x
− n−2)
и будем трактовать множитель λ как дополнительную независимую переменную. Заменим вариационную задачу Ферма на условный экстремум вариационной задачей без связей. Согласно общей формуле вариационного
исчисления,
t
2
Ldt =
δ
t
1
t
2
∂L
−
∂x
t
1
∂L
∂ ˙x
δx +
+
∂L
∂˙λ
δλ
ddt∂L
∂ ˙x
t
2
. +L−
t
1
δx +
∂L
∂ ˙x
∂L
∂λ
˙x −
−
∂L
∂˙λ
ddt∂L
∂˙λ
˙
λδt
δλ
2
t
.
t
1
dt +
(4.21)
Подчеркнем, что (в отличие от формулы (4.4)) здесь еще учитывается производная от интеграла по временному пределу; так что δt
Поскольку на концах интервала [t
] вариации δx равны нулю, а L
1,t2
=0,аδt2=0.
1
не зависит от˙λ, то второе слагаемое в формуле (4.21) пропадает. Далее,
˙x −
∂L
˙
λ =1− λ(˙x
2
+ n−2). (4.22)
∂˙λ
значение λ равно n2/2.Тогдавэтойточке
2
−H = L−
∂L
∂ ˙x
Пусть в момент времени t = t
H =0. После этого из формулы для вариации измененного действия (4.21)
вытекают уравнения
∂˙λ
∂L
=
. (4.23)
∂λ
d
dt∂L∂ ˙x
∂L
=
dx
ddt∂L
,
§5. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМА УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ 53
Второе уравнение, очевидно, совпадает с уравнением связи (4.20). Далее,
так как лагранжиан L не зависит явно от времени, то функция (4.22) не
меняется вдоль решений системы уравнений Лагранжа (4.23).Поскольку
при t = t
она обращается в нуль, то H ≡ 0.
2
Мы можем ввести канонический импульс y по формуле
∂L
y =
∂ ˙x
=2λ ˙x.
Из уравнения связи (4.20) найдем множитель λ:
λ = |y|n/2.
Функция Гамильтона
H = λ(˙x
2
+ n−2) − 1=
|y|
− 1. (4.24)
n
Поскольку H =0,тонасветовыхлучах
2
= n2. (4.25)
y
Уравнения Лагранжа (4.23) можно представить в канонической форме:
˙x =
∂H
, ˙y = −
∂y
∂H
∂x
.
Сучетомформулы(4.24) для гамильтониана и соотношения (4.25) они
принимают уже известный нам вид:
˙x =
y
2
n
, ˙y =
∂n
1
.
n
∂x
Итак, проведенный выше вывод уравнений распространения света связывает лагранжеву механику со связями с геометрической оптикой и трактует
индикатрису (4.20) как наложенную на систему нелинейную связь.
§ 5. Гамильтонова форма уравнений динамики
1◦. Напомним сначала основные принципы лагранжевой механики.
Положения механической системы находятся в однозначном соответствии
сточкамиконфигурационного пространства — гладкого многообразия M
Число n =dimM называется числом степеней свободы механической си-
стемы. Локальные координаты (x
называют обобщенными,илилагранжевыми, координатами.
,...,xn)=x на Mnв механике обычно
1
n
.
54 ГЛАВА I
В качестве примера рассмотрим твердое те-
3
ло в E
, вращающееся вокруг неподвижной точ-
ки. Эта система имеет три степени свободы.
Положения твердого тела однозначно сопостав-
3
ляются с вращениями E
— ортогональными
поворотами, переводящими неподвижные ортогональные оси XYZ вподвижныйтрехгранник xyz, жестко связанный с твердым телом.
Рис. 14. Углы Эйлера
Эти повороты задаются ортогональными матрицами 3 ×3 с определителем, равным +1 (ортогональные матрицы с определителем −1 соответствуют преобразованиям, меняющим ориен-
тацию). Совокупность таких матриц образует группу, которая обозначает-
3
ся SO(3) (специальная ортогональная группа поворотов E
). Это и есть
конфигурационное пространство волчка в трехмерном пространстве. Можно показать, что группа SO(3) как трехмерное многообразие диффеоморфна трехмерной сфере, у которой отождествлены антиподальные точки. В качестве локальных координат на SO(3) удобно принять углы Эйлера θ,ϕ, ψ,
изображенные на рис. 14.
Они корректно определены, если θ меняется в открытом интерва-
ле (0,π).
Пусть t → x(t) — некоторое движение системы. Набор производных
локальных координат по времени (˙x
, ..., ˙xn)= ˙x называется скоростью
1
системы. При заменах локальных координат скорости преобразуются по
контравариантному закону:если(x
то
n
˙x
=
i
j=1
1
,...,x
∂x
∂x
)=x— новые координаты,
n
i
˙xj, (5.1)
j
или, более кратко,
˙x
= J ˙x,
где J = ∂x
/∂xj — матрица Якоби преобразования x → x. Всилуэто-
i
го скорости являются касательными векторами к M. Вообще, касатель-
ные векторы — это один раз контравариантные тензоры. Мы говорим,
что в точке x
дой системе координат (x
сел v =(v
∈ M задан один раз контравариантный тензор, если в каж-
0
,...,xn) (в окрестности x0) задан набор чи-
1
,...,vn), преобразующихся при переходе к другим координатам
1
§5. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМА УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ 55
x
1
Частные производные вычисляются в точке x
,...,x
по правилу (5.1):
n
n
∂x
∂x
i
vj.
j
.
0
v
=
i
j=1
Совокупность всех касательных векторов в точке x
образует n-мер-
0
ное векторное пространство, которое называется касательной плоскостью
и обозначается T
тельных плоскостей
M. В механике важную роль играет объединение каса-
x
0
TxM = TM,
x∈M
называемое пространством касательного расслоения многообразия M. Оно
само имеет структуру гладкого 2n-мерного многообразия: локальными координатами на TM служат наборы координат x
изводных ˙x
, ..., ˙xn. Пара (x, ˙x) ∈ TM называется состоянием системы,
1
, ..., xnна M и их про-
1
асамоTM — пространством состояний.
Инерционные свойства механической системы определяются ее кине-
тической энергией
T =
aij(x)˙xi˙xj. (5.2)
2
i,j=1
1
Это гладкая функция на TM, которая на каждой касательной плоскости
T
M является положительно определенной квадратичной формой. С гео-
x
метрической точки зрения T задает риманову метрику на M. Если система
движется по инерции (в отсутствии внешних сил), то ее траектории — геодезические линии метрики (5.2).
Сила (F
,...,Fn)=F, действующая на систему, представляет объект
1
иного рода — ковектор —одинразковариантный тензор. По определению,
это наборы чисел (u
,...,un)=u, заданные в каждой локальной системе
1
координат, причем при переходе к другим координатам они преобразуются
по правилу
u
n
∂x
j=1
j
uj, (5.3)
∂x
i
=
i
или, более кратко,
u
=(JT)−1u.
56 ГЛАВА I
Укажем важный пример поля ковекторов. Пусть f : M → R —некото-
рая гладкая функция. Положим
∂f
=
u
i
, 1 i n. (5.4)
∂x
i
Легко проверить, что это — гладкое ковекторное поле на M. Оно называется градиентом функции f. Подчеркнем, что градиент функции — это не
вектор, а ковектор. Ему можно сопоставить касательный вектор только при
наличии римановой метрики на M.
Ковектор u =(u
жить по правилу
,...,un) ивекторv =(v1,...,vn) можно перемно-
1
n
u · v =
uivi. (5.5)
i=1
В соответствии с (5.1) и (5.3) это произведение является инвариантом (не
зависит от выбора локальных координат). Например, если ковектор u имеет
вид (5.4), то произведение (5.5) является производной функции f вдоль
векторного поля v.
Движения t → x(t) механической системы с кинетической энергией T,
на которую действует сила F, — это решения дифференциальных уравнений
Лагранжа
Компоненты силы F
i
.
∂T
∂ ˙x
∂T
−
i
= Fi, 1 i n. (5.6)
∂x
i
в общем случае зависят от x, ˙x и t. Можно показать,
что при заменах локальных координат наборы чисел в левой части равенства (5.6) преобразуются по ковариантному закону. Таким образом, в обеих
частях уравнения движения (5.6) стоят ковекторы. Это обстоятельство называется свойством ковариантности уравнений Лагранжа. В приложениях
важное значение имеют потенциальные силы:
∂V
= −
F
i
, 1 i n,
∂x
i
где V — некоторая гладкая функция на M, которая называется потенциальной энергией. В этом случае уравнения (5.6) можно переписать в более
изящном виде:
.
∂L
∂ ˙x
∂L
=0,L= T −V. (5.7)
−
∂x
Функция L называется функцией Лагранжа,илилагранжианом.
§5. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМА УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ 57
Отсюда сразу следует, что движения механической системы в потен-
циальном поле совпадают с экстремалями вариационной задачи
t
2
Ldt=0,δx(t1)=δx(t2)=0.
δ
t
1
«Удивительно, что у Лагранжа это предложение приведено лишь между
строк; этим объясняется тот странный факт, что это соотношение в Германии — главным образом благодаря трудам Якоби, — а затем и во Франции
обычно называется принципом Гамильтона, тогда как в Англии никто не
понимает этого обозначения; там это равенство известно под правильным,
хотя и мало наглядным наименованием принципа стационарного действия»
(Ф. Клейн «Лекции о развитии математики в XIX столетии»).
◦
. Инвариантность действия по Гамильтону относительно групп пре-
2
образований конфигурационного пространства тесно связана с законами
сохранения — интегралами уравнений Лагранжа. Пусть v(x) — векторное
поле на M. Ему можно сопоставить дифференциальное уравнение
dx
= v(x),x∈ M.
dα
Его фазовый поток обозначим g
α
. Пусть t → x(t) — движение механиче-
v
ской системы — решение уравнений (5.7).Положим
x
α
(t)=g
α
(x(t))
v
и вычислим действие по Гамильтону на этих кривых:
t
2
I[x
(t)] =
α
L(˙xα(t),xα(t)) dt.
t
1
Обозначая символом δ производную по α при α =0и используя (4.3),
получим:
δ
t
2
t
1
Ldt=
∂L
∂ ˙x
· v
t
2
∂L
∂ ˙x
.
t
2
−
t
1
t
1
∂L
−
· vdt. (5.8)
∂x
Второе слагаемое в этой формуле обращается в нуль, поскольку при
α =0кривая x
(t) будет решением уравнений Лагранжа. Предположим,
α
58 ГЛАВА I
что действие по Гамильтону инвариантно относительно действия груп-
α
. Тогда левая часть (5.8) также равна нулю. Следовательно, соглас-
пы g
v
но (5.8), значение функции
∂L
f(˙x, x)=
· v (5.9)
∂ ˙x
постоянно на каждом решении уравнений (5.7). Это известная теорема
Н¨етер (1918 г.) Отметим, что производные ∂L/∂ ˙x
преобразуются по ко-
i
вариантному закону. Так что ∂L/∂ ˙x — ковектор; он называется импульсом
механической системы.
Теорема Н¨етер справедлива и для неавтономных систем, когда лагранжиан зависит явно от времени. В этом случае полезно ввести расширенное
конфигурационное пространство
M = M × R
где R
— ось времени. Кривые t → x(t) естественно параметризовать новым
t
параметром τ : t = t(τ),t
> 0 (штрих обозначает производную по τ ). Тогда
,
t
действие по Гамильтону принимает следующий вид:
t
2
L(˙x, x, t) dt =
t
1
τ
2
L(x
,x,t,t) dτ,L = tL
τ
1
x
,x,t.
t
ЛагранжианL параметрический; по виду он напоминает лагранжиан (4.1)
из геометрической оптики.
Пусть v — векторное поле наM, порождающее систему уравнений
dx
= v(x, t),
dα
dt
= u(x,t).
dα
Здесь v —поленаM, зависящее от t. Если фазовый поток этой системы
сохраняет действие по Гамильтону, то уравнения Лагранжа (5.7) имеют
интеграл
· v +
∂L
· u. (5.10)
∂t
∂L
∂x
Ввиду формул
∂L
∂L
∂x
∂L
,
=
∂ ˙x
∂t
= L −
∂L
∂ ˙x
· ˙x.
§5. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМА УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ 59
Интеграл (5.10) принимает следующий явный вид:
∂L
∂ ˙x
· v −
∂L
· ˙x − Lu. (5.11)
∂ ˙x
Рассмотрим частный случай, когда лагранжиан L не зависит явно от t.
Тогда в качестве поля симметрий можно положить, очевидно, v =0,u=1.
В этом случае интеграл Н¨етер переходит в интеграл
∂L
L −
∂ ˙x
· ˙x.
Если L = T −V, то эта функция будет полной энергией H = T + V, взятой
с обратным знаком.
Отметим, что теорема Н¨етер восходит к более ранним наблюдениям
Лагранжа и Якоби о связи классических интегралов систем взаимодействующих частиц с инвариантностью уравнений динамики относительно группы преобразований Галилея.
◦
3
. Представим n дифференциальных уравнений Лагранжа второго
порядка в виде системы 2n уравнений Гамильтона первого порядка. Как
и в § 4, введем канонические импульсы (y
∂L
=
y
i
, 1 i n. (5.12)
∂ ˙x
i
Это — ковекторы — элементы пространства T
тельному пространству T
M. Для «натурального» лагранжиана L = T − V
x
формула (5.12)
=
y
i
j=1
задает изоморфизм линейных пространств TxM и T
жианов L(˙x, x, t) отображение (5.12) T
,...,yn)=y, полагая
1
∗
x
n
aij˙x
j
M → T
x
∗
M будет обратимым отоб-
x
M, двойственного каса-
∗
M. Для каких лагран-
x
ражением «на»? Оказывается, для этого достаточно потребовать выполнения следующих двух условий:
1) симметричная матрица
∂ ˙xi∂ ˙x
2
L
∂
j
положительно определена;
60 ГЛАВА I
2) лагранжиан как функция скорости растет на бесконечности быстрее
линейной функции:
L(˙x)
→ +∞, когда | ˙x|→∞.
|˙x|
Здесь |·|— некоторая норма в T
x
M.
Действительно, в этом случае график функции
L(˙x) будет выпуклой поверхностью и при каж-
дом значении ковектора y функция
y · ˙x − L(˙x)
будет иметь ровно одну критическую точку
(см. рис. 15).
Эта точка будет как раз решением уравне-
Рис. 15. Преобразование Лежандра
ния (5.12).
Таким образом, можно ввести функцию
Гамильтона
H(x, y, t)=y · ˙x − L(˙x, x, t)
˙x→y.
(5.13)
При фиксированных значениях t гамильтониан будет гладкой функцией на
2n-мерном многообразии, которое является объединением кокасательных
плоскостей
∗
T
M =
x∈M
∗
T
M.
x
Формулу (5.13) можно записать в следующем виде:
H =
∂L
∂ ˙x
· ˙x − L
˙x→y
.
Если L = T − V, то гамильтониан будет совпадать с полной механической
энергией: H = T + V.
В соответствии с теоремой Пуассона – Гамильтона (§ 4), если t → x(t) —
решение уравнений Лагранжа, пара функций
x(t),y(t)=
∂L
∂ ˙x
x(t)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]