Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Общая теория вихрей
.pdf
§3. СИСТЕМЫ ЛУЧЕЙ, ЗАКОНЫ ОТРАЖЕНИЯ И ПРЕЛОМЛЕНИЯ 41
тогда интеграл в левой части (3.8) равен нулю, поскольку векторы v1(x)
ортогональны Γ
ется в нуль для любого замкнутого контура Γ
. Следовательно, интеграл в правой части (3.8) обраща-
1
. Отсюда, в свою очередь,
2
вытекает потенциальность поля v(x).
4◦. Пусть Σ — гладкая регулярная поверх-
ность и v — векторное поле системы лучей Гамильтона. Положим
t
Σ
= g
(Σ), Σ0=Σ.
t
v
По теореме Малюса, поверхности Σ
нальны световым лучам; на этих поверхностях
эйконал принимает постоянные значения.
Оказывается, при t>0 поверхности Σ
ортого-
t
Рис. 7. Появление особенностей
t
могут иметь особенности. Это явление показано на рис. 7 для эллипса на плоскости; поле v
направлено внутрь эллипса. Появление особенностей связано с наличием каустик —огибающих семейств световых лучей («каустика» погречески означает «жгущая»: в этих местах происходит концентрация света). На рис. 8 изображена каустика эллипса (эта кривая — астроида).
Каустики поверхности Σ в общем случае сами
Рис. 8. Каустика эллипса
являются поверхностями. Особенности ортогональных поверхностей Σ
расположены как раз на каустиках Σ.
t
Каустики делят пространство на области, которые световые лучи заполняют с различными кратностями: через точки каждой такой области
проходит одинаковое число лучей. По этой причине на каустиках эйконал имеет особенности: он начинает ветвиться и становится многозначной
функцией.
Каустика допускает следующее конструктивное описание. Пусть x —
точка поверхности Σ. Плоскость, проходящая через нормаль к Σ вточке x, пересекает поверхность Σ по плоской кривой. Центр круга кривизны
этой кривой в точке x лежит, конечно, на нормали. Если мы будем вращать
плоскость сечения вокруг нормали, то кривая пересечения будет постоянно
меняться, а вместе с ней будут меняться положение центра круга кривизны и радиус кривизны линии сечения. За полоборота радиус пройдет через
максимум и минимум. Плоскости, которым отвечают эти экстремальные
42 ГЛАВА I
значения кривизны, пересекают поверхность Σ по главным линиям кри-
визны, ортогонально пересекающимся в точке x. Центры кругов кривизны
главных линий называются фокальными точками поверхности Σ. Вэтих
двух точках пересекаются бесконечно близкие нормали к Σ, проходящие
через главные линии кривизны. Фокальные точки, разумеется, зависят от
выбора точки x ∈ Σ. Геометрическое место всех фокальных точек совпадает с каустикой к Σ. Каустика называется также фокальной поверхностью.
Рис. 9. Каустика от источника света на
оси линзы
Каустики плоских кривых изучал еще Гюйгенс в 1650-х годах в связи со своей теорией эволют и эвольвент. В учебнике Лопиталя по анализу
бесконечно-малых (1700 г.) рассмотрены задачи об особенностях и перестройках семейств ортогональных плоских кривых. В 1852 г. Кэли исследовал каустику трехосного эллипсоида. В настоящее время теория особенностей систем лучей Гамильтона сильно продвинута и входит составной частью в теорию катастроф (см. обзорную статью [9], а также книгу [11]).
Насколько известно автору, особенности систем лучей Куммера в рамках
теории катастроф пока не изучались.
Отметим, что на практике каустики обычно возникают после отражения или преломления системы лучей Гамильтона (рис. 9 и 10).
Рис. 10. Каустика в чашечке кофе
§ 4. Принцип Ферма, канонические уравнения
Гамильтона, оптико-механическая аналогия
1◦. В работе «Синтез для рефракции» (1662 г.) Ферма показал, что законы Декарта преломления световых лучей выводятся из одного принципа,
§4. ПРИНЦИП ФЕРМА, КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА 43
согласно которому свет распространяется вдоль пути наименьшей продолжительности по времени.
На рис. 11 изображен преломленный луч
ACB, длина которого, конечно, больше прямолинейного отрезка ADB. Однако время движения частицы света по пути ACB меньше времени движения по прямой ADB. Всвязисэтим
Ферма пишет, что «. . . природа действует наибо-
лее легкими и доступными путями. Мы полагаем,
что именно так нужно выражать эту мысль, а не
так, как это принято обычно говорить, что приро-
да всегда действует по кратчайшим линиям».
С принципом Ферма согласуется также закон отражения световых лучей. Поэтому принцип
Ферма естественно положить в основу всей гео-
Рис. 11. К принципу
Ферма
метрической оптики. Правда, при этом его надо
формулировать как принцип стационарности времени распространения света (а не как принцип минимального времени). Дело в том, что через точки,
расположенные «после» каустики, проходят несколько световых лучей различной оптической длины (см. рис. 9).
Время распространения света выражается по формуле
− t1=
t
2
t
t
1
2
dt =
t
2
L(˙x, x) dt, L = |˙x|fx,
t
1
˙x
, (4.1)
|˙x|
где ˙x = v — скорость движения световых частиц, f — показатель прелом-
ления (3.1).
Интеграл
t
2
L(˙x, x) dt (4.2)
t
1
— оптическая длина пути x:[t
] → E3. Он является аналогом действия
1,t2
по Гамильтону в классической механике. Чтобы подчеркнуть эту аналогию,
подынтегральную функцию в (4.1) будем называть функцией Лагранжа,
или лагранжианом.Интеграл(4.2) часто называют действием по Ферма.
Лагранжиан (4.1) обладает следующим свойством однородности:
L(λ ˙x, x)=λL(˙x, x)
44 ГЛАВА I
для всех λ>0. Такие лагранжианы называются параметрическими:значе-
ние действия по Ферма (4.2) зависит только от траектории световой частицы (и направления движения), но не от ее параметризации (т.е. скорости
движения). Если s — некоторый новый параметр (˙s>0), то интеграл (4.2)
равен
s
2
L(x,x) ds, (·)=
s
1
ds
d
(·).
С учетом этих обозначений принцип Ферма можно представить в виде
уравнения
s
2
δ
Lds=0, (4.3)
s
1
где δ — символ варьирования (введенный Лагранжем). Дадим точные определения. Пусть x(s),s
s s2— некоторый гладкий путь. Его вариа-
1
ция — это гладкое семейство путей
(s)=x(s, α),α∈ (−ε, ε),
x
α
удовлетворяющее двум условиям:
(1) x
(2) x
(s)=x(s) для всех s1 s s2;
0
)=x(s1),xα(s2)=x(s2) для всех α.
α(s1
Действие по Ферма, вычисленное вдоль путей x
(s), является функ-
α
цией от α. Вариация δ — это производная по параметру α при α =0. По-
скольку s
и s2не зависят от α (условие (2)), то
1
s
2
δ
Lds=
s
1
s
2
∂L
δx+
∂x
s
1
∂L
δxds. (4.4)
∂x
Для гладких функций операции дифференцирования по t ипоα перестановочны. Следовательно, δx
=(δx). Поэтому формулу (4.4) можно пре-
образовать интегрированием по частям:
s
2
δ
Lds=
s
1
∂L
∂x
δx
s
s
s
2
2
−
1
s
1
∂L
∂x
∂L
∂x
δxds.
−
Так как δx =0при s = s
следующий вид:
s
2
s
1
и s = s2, то принцип Ферма (4.3) принимает
1
∂L
∂x
∂L
−
∂x
δxds =0 (4.5)
x(s)
§4. ПРИНЦИП ФЕРМА, КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА 45
для всех вариаций δx(s) пути x(s). В вариационном исчислении доказывается (это, кстати, несложно), что критерием стационарности действия на
пути x(s) является обращение в нуль выражения в квадратных скобках:
∂L
∂x
∂L
=0. (4.6)
−
∂x
Эти уравнения в вариационном исчислении называются уравнениями
Эйлера – Лагранжа. Поскольку в нашем случае лагранжиан L параметриче-
ский, то вместе с решением x(s) уравнения допускают семейство решений
x(λs),λ>0. Световой путь, параметризованный временем t, очевидно,
удовлетворяет уравнению
.
∂L
∂ ˙x
∂L
=0. (4.7)
−
∂x
В механике это уравнение принято называть уравнением Лагранжа.По
определению показателя преломления, функция x(t) удовлетворяет соотно-
шению L =1.
Итак, гладкий путь x(t) описывает движение световой частицы, если эта функция удовлетворяет уравнению (4.7) и соотношению L =1.
Рассмотрим более общий световой путь x(t), представляющий кусочногладкую кривую, трансверсальную границам раздела оптических сред. Точки разрыва скорости ˙x(t) отвечают моментам отражения или преломления
луча. В промежутках между точками разрыва функция ˙x(t) удовлетворяет
уравнению Лагранжа (4.7) (и, конечно, уравнению L =1), а в точке разрыва t = τ скорости ˙x(τ − 0) и ˙x(τ +0) связаны законом отражения или
преломления соответственно. Можно показать, что такие пути и только они
доставляют стационарное значение действию по Ферма.
◦
. Уравнения Лагранжа, записанные в явном виде, содержат вторые
2
производные от x по t и поэтому являются уравнениями второго порядка. Полезно перейти к уравнениям первого порядка, вводя шестимерное
фазовое пространство. Обычно уравнения Лагранжа представляют в виде уравнений Гамильтона, применяя преобразование Лежандра. Напомним
его определение и основные свойства.
Считая x параметром, рассмотрим лагранжиан L(v,x) как функцию от
скорости v =˙x (в задачах оптики функция L формально не определена при
v =0). Положим
∂L
y =
. (4.8)
∂v
46 ГЛАВА I
Это импульс световой частицы. Если матрица Гессе вторых частных производных
∂
∂v
2
L
=
2
2
L
∂
∂vi∂v
j
(4.9)
невырождена, то по теореме о неявных функциях из (4.8) (по крайней мере
локально) можно выразить v как функцию от импульса y (при фиксированном x). Оказывается, v является градиентом некоторой функции от y (как
и в случае исходного преобразования (4.8)). Действительно, положим
H(x, y)=y ·v − L(v, x)
v(y,x)
(4.10)
ивычислимградиентH по y:
∂H
∂y
= v + y
∂v
∂y
−
∂L∂v∂v
∂y
= v +y −
∂L
∂v
∂v
= v. (4.11)
∂y
Соответствие L → H называется преобразованием Лежандра. В силу двойственности формул (4.8) и (4.11), а также симметрии соотношения (4.10) по отношению к функциям L и H, преобразование Лежандра
инволютивно: его квадрат будет тождественным преобразованием.
Оказывается,
∂L
∂H
∂x
+
=0. (4.12)
∂x
Конечно, импульсы y и скорости v здесь следует считать связанными соотношением (4.8) или (4.11). Для доказательства достаточно продифференцировать равенство (4.10) по x:
∂H
∂x
= y
∂v
∂x
∂L
∂x
−
∂L
∂v∂v∂x
−
= −
∂L
∂x
+y −
∂L
∂v
∂v
∂x
= −
∂L
∂x
.
Теорема 5 (Пуассон – Гамильтон). Функция x(t) — решение уравне-
ний Лагранжа (4.7) тогда и только тогда, когда функции
x = x(t),y=
∂L
∂ ˙x
x(t)
удовлетворяют уравнениям
˙x =
∂H
, ˙y = −
∂y
∂H
. (4.13)
∂x
§4. ПРИНЦИП ФЕРМА, КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА 47
Дифференциальные уравнения (4.13) принято называть канонически-
ми уравнениями Гамильтона, а функцию H — гамильтонианом. Пространство сопряженных переменных x, y называют фазовым пространством (по
предложению У. Гиббса).
Первое уравнение системы (4.13) совпадает с уравнением (4.11) иявляется непосредственным следствием преобразования Лежандра (оно фактически было получено Пуассоном). Второе уравнение (4.13) получается
из уравнения Лагранжа (4.7) после замены ∂L/∂ ˙x на импульс y и исполь-
зования соотношения (4.12). Если воспользоваться соотношением (4.11)
и преобразованием Лежандра H → L, то уравнения Гамильтона (4.13) перейдут в уравнение Лагранжа.
◦
. К сожалению, в геометрической оптике теорема 1 непосредствен-
3
но не применима, поскольку лагранжиан (4.1) является параметрическим
и поэтому матрица Гессе (4.9) вырождена. Действительно, по формуле Эйлера для однородных функций
∂L
· v = L.
∂v
Следовательно, компоненты импульса ∂L/∂v однородны по v снулевой
степенью однородности. Применяя еще раз формулу Эйлера к ∂L/∂v вточ-
ке v =0, получаем, что
2
L
∂
v =0. (4.14)
2
∂v
Следовательно,
det
2
∂
L
≡ 0.
2
∂v
Эту трудность можно преодолеть следующим образом. Введем замкнутое множество точек v ∈ R
поверхность называется индикатрисой вточкеx ∈ E
3
, удовлетворяющее уравнению L(v,x)=1. Эта
3
. Можно сказать, что
индикатриса — это совокупность скоростей частиц света, выпускаемых из
точки x по разным направлениям. Например, для изотропной среды индикатриса в точке x является сферой радиуса 1/n(x), где n — показатель
преломления. Ниже рассматривается важный для оптики случай, когда индикатрисы являются гладкими выпуклыми поверхностями.
Введем в рассмотрение фигуратрису — множество импульсов y ∈ R
3
определяемых аналитически соотношениями
,
y =
∂L
,L(v,x)=1. (4.15)
∂v
48 ГЛАВА I
Можно показать, что фигуратриса также будет выпуклой поверхностью.
Существует единственная гладкая функция H(x, y), положительно-однородная по y (H (x, λy)=
= λH(x, y) для всех λ>0) ирав-
Рис. 12. Индикатриса и фигуратриса
ная 1 при всех y, лежащих на фигуратрисе: функция H линейна на
каждом луче, проходящем через точ-
3
ку x ∈ E
, и равна 1 в точке пересечения луча с фигуратрисой. Преобразо-
вание
∂H
v =
,H(x, y)=1
∂y
переводит фигуратрису в исходную индикатрису. Таким образом, функции L и H, так же как индикатриса и фигуратриса, двойственны друг другу.
Но это не есть двойственность по Лежандру. В основе теории параметрического гамильтониана лежит известное в геометрии преобразование полюсов
и поляр относительно единичной сферы.
Теорема 6. Вдоль световых лучей выполняются соотношения
˙x =
∂H
, ˙y = −
∂y
∂H
. (4.16)
∂x
Доказательство.
Перейдем к непараметрическому случаю, чтобы воспользоваться пре-
образованием Лежандра. Введем новый лагранжиан L
∗
= L2/2, однород-
ный по ˙x степени 2. Покажем, что матрица Гессе
2L∗
∂
2
∂v
положительно определена. Зафиксируем точку x и рассмотрим регулярную
кривую v = v(s),v
=0, лежащую на индикатрисе L∗(v(s),x) ≡ 1/2.Диф-
ференцируя это тождество по s, получим равенства
∂L
∂v
∗
· v
=0,
∂
2L∗
∂v
v· v= −
2
∂L
∂v
∗
· v
. (4.17)
§4. ПРИНЦИП ФЕРМА, КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА 49
Поскольку v=0— касательный вектор и индикатриса — выпуклая
поверхность, то ускорение v
тельно,
направлено внутрь индикатрисы. Следова-
∗
∂L
∂v
· v
< 0.
Но тогда, согласно (4.17),
2L∗
∂
v· v> 0. (4.18)
2
∂v
Значит, эта квадратичная форма положительно определена на касательной
плоскости к каждой точке индикатрисы.
Из формулы Эйлера для однородных функций
∗
∂L
∂v
· v =2L
∗
вытекает, что производные ∂L∗/∂vk— однородные функции по v степени 1.
Применяя еще раз формулу Эйлера, получим
∂
2L∗
∂v
v =
2
∂L
∂v
∗
.
Следовательно,
∂
2L∗
∂v
v · v =
2
∂L
∂v
∗
· v =2L
∗
> 0.
Таким образом, неравенство (4.18) справедливо и для вектора v, трансверсального к индикатрисе. Поэтому квадратичная форма (4.18) положительно
3
определена во всем R
и, следовательно,
2L∗
∂
det
2
∂v
> 0.
Ввиду равенств
t
2
δ
L∗dt =
t
1
t
2
LδL dt и L =1
t
1
функция x(t) является экстремалью вариационной задачи
t
2
δ
L∗dt =0.
t
1
50 ГЛАВА I
Введем канонический импульс
∗
∂L
y =
∂ ˙x
На индикатрисе L =1получаем соотношение (4.15).ПосколькуL
= L
∂L
∂ ˙x
.
∗
—од-
нородная функция относительно скорости ˙x степени 2, то
∗
∂L
∂ ˙x
· x −L
∗
= L∗(˙x, x).
Положим H
∗
H
(x, y)=
∗
= H2/2. На кривой x = x(t),y= y(t), задающей движение
световой частицы, очевидно, H ≡ 1. Следовательно, H — введенная выше
функция, двойственная параметрическому лагранжиану L.
Используя теперь теорему 5, получаем уравнения (4.16):
˙x =
∂H
∂ ˙y
∗
= H
∂H
∂y
=
∂H
, ˙y = −
∂y
∂H
∂ ˙x
∗
= −H
∂H
∂x
= −
∂H
∂x
.
Уравнения (4.16) получены Гамильтоном в работе «О системах лучей», представленной в 1824 году Ирландской академии наук. Впоследствии (1834 г.) он распространил этот результат на динамику консервативных систем.
◦
4
. В частном случае, когда среда изотропна, L = | ˙x|n(x). Следова-
тельно, H = |y|/n(x).
3
Теорема 7. Световые лучи в оптической среде E
= {x} с показате-
лем преломления n(x) являются траекториями движения материальной
2
точки в потенциальном поле с силовой функцией n
/2.
Доказательство.
Запишем в явном виде канонические уравнения (4.16) c гамильтонианом H = |y|/n на уровне H =1:
y
y
=
˙x =
|y|n
2
n
, ˙y =
Перейдем к новому времени τ по формуле dτ = n
|y|
n
∂n
1
∂n
=
2
∂x
.
n
∂x
2
dt. Обозначая штрихом
дифференцирование по τ, будем иметь
= y, y= n
x
∂n
∂x
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]