Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Общая теория вихрей
.pdf
§6. ДИНАМИКА ИЗМЕНЯЕМЫХ СИСТЕМ НА ГРУППАХ ЛИ 211
Здесь r — радиус-вектор точки поверхности S относительно точки O1.Оказывается, силу и момент можно представить в следующей форме:
F = −
dt
∂T
d
l
∂v
,M= −
dt
−
∂T
∂ω
l
v ×
d
∂T
l
. (6.11)
∂v
Этот результат хорошо известен в случае, когда чистая деформация отсутствует (см., например, [66]). При этом, очевидно, T = T
.
2
Подставляя формулы (6.11) в уравнения (6.2) и (6.6), получим уравнения движения изменяемого тела в жидкости в форме уравнений Кирх-
гофа (6.2) и (6.6),причемT имеет смысл полной кинетической энергии
системы «тело+жидкость».
Докажем, например, первое равенство (6.11).Дляэтогодостаточно
проверить справедливость векторного равенства
l
= −
ρϕn dσ. (6.12)
S
∂T
∂v
Докажем его в проекции на ось ξ.Ясно,что
∂T
∂v
1
l
= −
ρ
2
S
∂ϕ
+ ϕ
ϕ
1
∂n
∂ϕ
1
dσ. (6.13)
∂n
Пусть Σ — сфера достаточно большого радиуса с центром в точке O
.При-
1
меним формулу Гаусса– Остроградского к области V , заключенной между
поверхностями S и Σ:
Σ
∂ϕ
− ϕ
ϕ
1
∂n
∂ϕ
∂n
1
dσ −
Правая часть этого равенства равна нулю, так как ϕ и ϕ
S
∂ϕ
− ϕ
ϕ
1
∂n
∂ϕ
∂n
1
dσ =
=
(ϕ1Δϕ − ϕ Δϕ1)dτ. (6.14)
V
— гармониче-
1
ские функции. Пусть a —радиуссферыΣ. Тогда подынтегральная функция в первом интеграле левой части равенства (6.14) убывает как O(a
−3
при a →∞(см., например, [66]). Поэтому интеграл по сфере обращается
)
212 ГЛАВА III
внуль,когдаa →∞. Таким образом, из (6.14) вытекает равенство
dσ =
S
∂ϕ
1
dσ.
ϕ
∂n
S
∂ϕ
ϕ
1
∂n
При учете этого равенства, а также в силу того, что ∂ϕ
/∂n = n1вточках
1
поверхности S, соотношение (6.12) можно записать в виде
= −ρ
ϕn1dσ.
S
∂T
∂v
l
1
Таким образом, равенство первых компонент векторов (6.13) доказано.
◦
3
. Эти примеры можно обобщить. Пусть G —связнаяn-мерная группа Ли, которая является конфигурационным многообразием механической
системы с n степенями свободы. Пусть g —ееалгебраЛи;этоn-мерное
векторное пространство левоинвариантных векторных полей на группе G,
а операция коммутирования [, ] совпадает с обычным коммутатором касательных векторных полей.
Пусть x =(x
, ..., ˙xn) — скорость системы — касательный вектор к G вточкеx.
=(˙x
1
Введем базис v
1
, ..., xn) — локальные координаты на G, ˙x =
1
, ..., vnнезависимых левоинвариантных векторных полей
(они линейно независимы во всех точках G). Скорость системы можно разложить по этому базису:
. (6.15)
kvk
Коэффициенты ω =(ω
˙x =ω
, ..., ωn) зависят от ˙x и x, причем линейно по
1
скоростям. Они называются квазискоростями и служат координатами на
алгебре g (подробности см. в § 1 гл. III).
Будем рассматривать движение системы по инерции. Так что лагран-
жиан сводится к кинетической энергии
T = T
+ T1+ T0.
2
Будем полагать, что функция T левоинвариантна: она зависит только от
квазискоростей ω ивремениt. Зависимость от времени появляется из-за
возможного изменения геометрии масс системы под действием только внутренних сил.
§6. ДИНАМИКА ИЗМЕНЯЕМЫХ СИСТЕМ НА ГРУППАХ ЛИ 213
Таким образом,
1
T
(Iω, ω),T
=
2
2
=(λ, ω), (6.16)
1
где матрица (тензор) инерции I = I
ковектор) λ =(λ
свободное слагаемое T
, ..., λn) — заранее известные функции времени. Так как
1
зависит лишь от времени, то оно несущественно
0
и гироскопический вектор (точнее,
ij
(поскольку не присутствует в уравнениях движения). Уравнения Пуанкаре
будут уравнениями только на алгебре Ли g:
Здесь c
j
— структурные постоянные алгебры Ли g.
k
i
∂T
∂ω
k
.
=c
j
∂T
ω
k
i
, 1 k n. (6.17)
i
∂ω
j
Если G = SO(3), то уравнения (6.17) переходят в уравнения Лиувил-
ля (6.7) (где положено M =0), а если G = SO(3),то(6.17) совпадают
с обобщенными уравнениями Кирхгофа, описывающими движение изменяемого тела по инерции в безграничном объеме идеальной жидкости.
Изменяемые системы на группах Ли с левоинвариантной кинетической
энергией можно изучать методом, развитым в § 3 гл. III. С этой целью рассмотрим n независимых правоинвариантных векторных полей w
, ..., wn.
1
Порождаемые ими фазовые потоки являются семействами левых сдвигов
на группе G. Поскольку лагранжиан (совпадающий с кинетической энергией) по предположению левоинвариантен, то полная система дифференциальных уравнений движения (6.15) и (6.17) допускает n независимых
нетеровых интегралов
∂T
∂ω
· w
= c1, ...,
1
∂T
∂ω
· w
= cn, (6.18)
n
, ..., cn— набор произвольных постоянных. Левые части этих урав-
где c
1
нений линейны относительно скоростей ˙x
сти квадратичной формы T
систему (6.18) можно разрешить относительно
2
, ..., ˙xn. Ввиду невырожденно-
1
скоростей:
˙x = v(x, t, c),x∈ G. (6.19)
Это система уравнений на группе, зависящая от параметров c. Поток системы (6.19) по своим свойствам аналогичен течениям многомерной идеальной жидкости.
214 ГЛАВА III
Будем рассматривать случай, когда c =0: можно считать, что в на-
чальный момент система покоилась, а затем под действием внутренних
сил начала меняться ее геометрия масс. Уравнения (6.19) вэтомслучае
сильно упрощаются. Действительно, поскольку c =0и векторные поля
, ..., wnлинейно независимы во всех точках G,то∂T/∂ω =0.Ввиду
w
1
формул (6.16)
∂T
= Iω + λ =0.
∂ω
−1
Следовательно, квазискорость ω = −I
λ — известная функция времени.
Без ущерба для общности можно считать, что тензор инерции приведен к диагональному виду:
, ..., In).
1
λ
k
, 1 k n,
I
k
Если λ
I =diag(I
, ..., λn— компоненты ковектора гироскопических сил λ,то
1
= −
ω
k
и, следовательно, уравнения (6.19) при c =0сразу вытекают из системы (6.15):
n
λ
k=1
k
vk(x). (6.20)
I
k
Напомним, что v
˙x = −
, ..., vn— фиксированный набор независимых векторных
1
полей на группе G.
Неавтономная система (6.20) обладает важными свойствами. Например, она допускает интегральный инвариант (инвариантную меру), плотность которого совпадает с плотностью правоинвариантной меры на группе G. Этот результат несложно выводится из результатов рассмотрения стационарного случая (§ 3 гл. III). В частности, для унимодулярной группы G
(сюда, например, относятся все компактные группы) поток системы (6.20)
сохраняет двустороннюю меру Хаара.
С другой стороны, поток системы (6.20) переводит интегральные кривые каждого правоинвариантного векторного поля w в интегральные кривые этого же поля. Другими словами, эти кривые вморожены в поток системы (6.20).
§6. ДИНАМИКА ИЗМЕНЯЕМЫХ СИСТЕМ НА ГРУППАХ ЛИ 215
ПРИМЕР 1. В задаче Лиувилля о вращении изменяемого тела уравнения (6.20) имеют следующий вид:
˙
θ = −
˙ϕ =
˙
ψ = −
λ
cos ϕ
1
I
λ
sin ϕ cos θ
1
I1sin θ
sin ϕ
λ
1
I1sin θ
1
+
−
λ
sin ϕ
2
I
2
λ
2
+
λ
cos ϕ
2
I2sin θ
,
cos ϕ cos θ
I2sin θ
.
λ
3
−
,
I
3
(6.21)
Здесь θ, ϕ, ψ — углы Эйлера — координаты на группе SO(3).Всоответствии с системой (6.20) в этих формулах коэффициенты при −λ
k/Ik
определяют компоненты независимых левоинвариантных векторных полей на
группе SO(3). Действительно, например,
cos ϕ, −sin ϕ cos θ/ sin θ, sin ϕ/ sin θ (6.22)
— компоненты единичной угловой скорости, направленной вдоль первой
подвижной оси (что вытекает из кинематических уравнений Эйлера (2.5)
главы III). Но это как раз означает, что (6.22) — компоненты левоинвариантного векторного поля.
Уравнения (6.21) допускают интегральный инвариант
sin θdθdϕdψ,
который совпадает с двусторонней инвариантной мерой Хаара на группе SO(3) (см. § 2 гл. III). В углах Эйлера θ, ϕ, ψ правоинвариантное поле, отвечающее вращению трехгранника с единичной угловой скоростью
вокруг третьей неподвижной оси, имеет компоненты
0, 0, 1.
Следовательно, интегральные кривые этого поля задаются уравнениями
θ, ϕ =const. Поскольку уравнения системы (6.21) не содержат явно угла
прецессии ψ, то отсюда вытекает, что указанные линии вморожены в поток системы (6.21). Это обобщенная теорема Гельмгольца о вмороженности
вихревых линий.
216 ГЛАВА III
ПРИМЕР 2. Рассмотрим частный случай плоскопараллельного движения изменяемого тела в жидкости без воздействия внешних сил: тело движется так, что в каждый момент времени его форма и распределение масс
симметричны относительно некоторой неподвижной плоскости Π.Пустьx,
y — декартовы координаты начала подвижной системы отсчета на плоскости Π,аα — угол поворота подвижных осей. Нетрудно показать, что в каждый момент времени неподвижную систему отсчета можно выбрать так,
что кинетическая энергия системы «тело+жидкость» имеет вид
1
T =
2
(a
v
1
1
2
+ a2v
2
+ bω2)+λ1v1+ λ2v2+ μω + χ.
2
Здесь ω =˙α — угловая скорость подвижного репера, v
, v2— проекции
1
скорости начала этого репера на подвижные оси. Коэффициенты в этой
формуле считаются известными функциями времени. В случае плоскопараллельного движения тела группа G совпадает с группой движений плоскости E(2).
Уравнения (6.20) принимают следующий вид:
˙x = −
λ
cos α
1
a
λ
sin α
2
+
1
a
2
, ˙y = −
λ
1
a
sin α
1
λ
cos α
2
−
a
2
, ˙α = −
μ
. (6.23)
b
Здесь, конечно, предполагается? что суммарный импульс и кинетический
момент системы «тело+жидкость» равны нулю.
Укажем левоинвариантные векторные поля на E(2):
X =(cosα, −sin α, 0),Y=(sinα, cos α, 0),Z=(0, 0, 1).
Их коммутаторы:
[X, Y ]=0, [X, Z]=Y, [Y, Z]=−X. (6.24)
В отличие от системы (6.21), уравнения (6.23) легко интегрируются в самом общем случае. Поток системы (6.24) сохраняет стандартную меру на
группе E(2) = {x, y, α mod 2π}.
◦
4
. Положим в системе (6.20)
λ
= −
k
I
k
u
k
§6. ДИНАМИКА ИЗМЕНЯЕМЫХ СИСТЕМ НА ГРУППАХ ЛИ 217
и будем считать эти функции управлениями. Более точно, предположим, что
≡ 0 при k>m,аu1, ..., um— произвольные кусочно-гладкие функции
u
k
времени, удовлетворяющие неравенствам |u
(t)| ε (ε>0). При ε =0
k
гироскопический ковектор будет равен нулю и, согласно (6.20),система
будет покоиться (если, конечно, c =0). Спрашивается, всегда ли можно
подобрать m управлений u
любого начального положения x
, ..., umтак, чтобы система переместилась из
1
(1)
∈ G в любое наперед заданное x
(2)
∈G?
Это свойство называется полной управляемостью.
Очевидно, что при m =1система не может быть вполне управляемой:
она не может сойти с интегральной кривой левоинвариантного векторного
поля v
, которая в свою очередь никогда не сможет заполнить всё G (ес-
1
ли, конечно, n>1). Наиболее интересной задача о полной управляемости
выглядит при m =2.
Теорема 32. Система
m
˙x =
вполне управляема тогда и только тогда, когда поля v
uk(t)vk(x),x∈ G, (6.25)
k=1
, ..., vmне лежат
1
в некоторой подалгебре, не совпадающей со всей алгеброй g.
Это условие можно переформулировать следующим образом. Если
среди векторных полей v
, ..., vmи среди векторных полей, составлен-
1
ных из них последовательными применениями операции коммутирования,
можно указать n векторных полей V
, ..., Vn, линейно независимых хо-
1
тя бы в одной точке G, то из любой точки связной группы G можно
прийти в любую другую, смещаясь конечное число раз по траекториям
полей v
, ..., vm. В этом заключается известная теорема Рашевского –
1
Чжоу [78, 101]. Она лежит в основе современной геометрической теории
управления (см., например, [1]).
Поскольку поля V
, ..., Vnлевоинвариатны (как коммутаторы лево-
1
инвариантных полей на группе G), то из их линейной независимости хотя
бы в одной точке G вытекает, что они линейно независимы во всех точках
группы G. Нужное управление строится так, что временной промежуток
делится на интервалы Δ
равны нулю, а u
(t)=ε или uk(t)=−ε при t ∈ Δk.
k
, в которых все управления, кроме одного uk(t),
k
Указанное достаточное условие полной управляемости также и необходимо. Действительно, пусть поля v
мутаторы) порождают собственную подалгебру g
, ..., vm(и их последовательные ком-
1
⊂ g, dim g= m<n.
218 ГЛАВА III
Алгебра gсодержит все левоинвариантные векторные поля V1, ..., V
которые получаются из полей v
ем операции коммутирования. Введем на группе Gm
, ..., vmпоследовательным применени-
1
-мерное распределе-
m
ние касательных векторов, которое в каждой точке x ∈ G порождается линейными комбинациями векторов V
(x), ..., V
1
(x).Таккакподалгебраg
m
замкнута относительно операции коммутирования, это распределение интегрируемо. Следовательно, вся группа расслоена на семейство интегральных
многообразий Σ
касательное пространство к Σ
(c —набор(n − m) независимых параметров) таких, что
c
вточкеx совпадает с линейными комбина-
c
циями векторов
V
(x), ..., V
1
Следовательно, если точка x
для всех u
x
также лежит в Σc. Остается заметить, что поскольку dim Σc= m<n,
0
то Σ
c
(t), ..., um(t) решение системы (6.25) с начальным условием
1
не может совпадать со всей группой G. Что и требовалось.
принадлежит некоторому пространству Σc,то
0
(x).
m
Так как коммутатор левоинвариантных векторных полей есть линейная комбинация v
, ..., vnс постоянными коэффициентами, то рассматри-
1
ваемая задача о полной управляемости — чисто алгебраическая. Более того,
условия полной управляемости зависят исключительно от групповой структуры G. В частности, если группа G коммутативна, полная управляемость
возможна лишь при m = n.
◦
. Уравнения (6.21) описывают вращение твердого тела с симмет-
5
ричными маховиками, причем вращением маховиков (гиродинов) можно
управлять внутренними силами. Поскольку маховики симметричны, то их
вращение не меняет геометрию масс. Следовательно, I
=const.Вкаче-
k
стве управлений естественно принять относительные кинетические моменты маховиков λ
, λ2и λ3. Эта задача хорошо изучена (см., например, [81]).
1
В частности, управляя только двумя маховиками (не лежащими на одной
оси), тело можно повернуть из любого положения в любое заданное. Этот
факт — простое следствие теоремы 32 (с учетом свойств группы SO(3)).
Если положить u
, то этот самый общий случай сводится к упомянутой задаче о теле
ции u
k
= −λk/Ikи считать теперь управлениями функ-
k
с симметричными маховиками. Развиваемый метод можно применить к известной задаче о падающей кошке. В первой публикации на эту тему [118]
приведены фотографии, показывающие, как падающая кошка за счет только внутренних усилий меняет пространственную ориентацию на противоположную. Для объяснения эффекта смены ориентации кошку часто мо-
,
§6. ДИНАМИКА ИЗМЕНЯЕМЫХ СИСТЕМ НА ГРУППАХ ЛИ 219
делируют двумя шарнирно связанными гироскопами Лагранжа [105, 109].
При таком подходе приходится иметь дело с довольно сложной динамической системой. Ее конфигурационное пространство — прямое произведение
SO(3)×SO(3). Предложенный выше подход сводит эту задачу, по сути де-
ла, к задаче о теле с маховиками. Следуя [105, 109], можно рассмотреть
задачу о быстродействии. Для тела с маховиками она была детально изучена (см., например, [81]).
Заметим, что в задаче о падающей кошке можно ограничиться рассмотрением системы двух первых уравнений (6.21). Дело в том, что нас не
интересует угол поворота кошки при приземлении. Укажем простой пример
гарантированного управления с обратной связью:
= ξ cos ϕ, u2= −ξ sin ϕ, u3= η.
u
1
Здесь ξ, η — произвольные непрерывные функции времени, причем ξ(t) > 0.
Первое уравнение системы (6.21) принимает вид˙θ = ξ,ипоэтомузаконечное время угол θ изменяется от 0 до π, что и решает задачу управления.
◦
. Если положить в системе дифференциальных уравнений (6.23)
6
то при u
λ
= −
1
,u2= −
a
1
u
1
=0изменяемая «плоская» система «тело+жидкость» не бу-
3
λ
2
,u3= −
a
2
μ
,
b
дет вполне управляемой (согласно равенствам (6.24)). Если же положить
=0), то при подходящем выборе управлений u2, u3(соответственно
u
1(u2
, u3) сопутствующий подвижный репер можно переместить из любого
u
1
положения в любое наперед заданное.
Этот вывод можно уточнить, показав, что подходящие управления
можно найти в классе непрерывных функций. Рассмотрим интересный частный случай, когда форма границы S тела не меняется в подвижной системе
отсчета, а внутри материальной оболочки перемещается всего одна материальная точка.
Итак, свяжем с твердым телом подвижную систему отсчета O
ξη так,
1
чтобы кинетическая энергия системы «тело+жидкость» имела вид
1
=
T
2
(a
v
1
1
2
+ a2v
2
+ bω2).
2
Поскольку граница S не деформируется, то коэффициенты этой формы постоянны. Кроме массы тела, коэффициенты a
и a2включают еще и при-
1
соединенные массы жидкости. Присоединенные массы учитывают инерционные свойства движущейся жидкости; они пропорциональны плотности
220 ГЛАВА III
жидкости и существенно зависят от формы границы S. С теорией присоединенных масс (и моментов инерции) можно познакомиться по классическому учебнику [66]. В общем случае a
конечно, a
1
= a2.
= a2. Если жидкости нет, то,
1
Движение точки массы m задается некоторыми известными функциями ξ(t) и η(t). Проекции абсолютной скорости этой точки на подвижные
оси ξ, η имеют вид
= v1+˙ξ −ωη, u2= v2+˙η + ωξ. (6.26)
u
1
Полная кинетическая энергия изменяемого тела равна
T = T
+
2
(u
2
2
+ u
), (6.27)
1
2
m
а уравнения Кирхгофа (6.2) и (6.6) принимают более простой вид:
.
∂T
∂v
1
− ω
∂T
∂ω
∂T
∂v
=0,
2
.
+ v
.
∂T
∂v
2
∂T
1
∂v
2
− v
∂T
2
∂v
+ ω
1
=0.
∂T
∂v
=0,
1
Предположим снова, что тело начало движение из состояния покоя. Тогда
∂T
∂v
∂T
∂T
=
∂v
1
2
=0.
=
∂ω
Используя выражение (6.27) иформулы(6.26), получаем
v
= −κ1(˙ξ − ωη),v2= −κ2(˙η + ωξ),
1
κ
[(1 − κ1)η˙ξ −(1 −κ2)ξ ˙η]
ω =
=
κ
1
3
1+κ3[(1 − κ1)η2+(1− κ2)ξ2]
m
m + a
, κ2=
1
m
m + a
, κ3=
2
,
m
.
b
Воспользуемся простыми кинематическими соотношениями
˙x = v
cos α − v2sin α, ˙y = v1sin α + v2cos α, ˙α = ω. (6.29)
1
(6.28)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]