Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Общая теория вихрей
.pdf
§5. ФУНКЦИИ КАЗИМИРА И ВИХРЕВЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 201
Итак, скобка Пуассона функций на g∗также является функцией на g∗.
Скобка (5.1) называется скобкой Ли– Пуассона; она была впервые введена
Софусом Ли в его теории групп преобразований.
Из (5.1) вытекает важная формула
{m
i,mj
} =c
k
mk, (5.2)
ij
вполне аналогичная (4.3). Она показывает, что пространство линейных
∗
функций на g
(канонически изоморфное линейному пространству g)является алгеброй Ли относительно скобки Ли – Пуассона; эта алгебра, конечно,
изоморфна алгебре g.
Для скобки Ли – Пуассона выполнены условия (1)–(4). Однако она мо-
жет оказаться вырожденной: могут существовать непостоянные функции,
∗
коммутирующие со всеми функциями на g
. Такие функции принято назы-
вать функциями Казимира.
Рассмотрим пример. В задаче Эйлера о свободном вращении волчка
скобка Ли – Пуассона задается соотношениями
{m
Она вырождена: функция k
го момента тела) коммутирует со всеми функциями на (so(3))
} = m3, {m2,m3} = m1, {m3,m1} = m2.
1,m2
2
2
2
= m
1
+ m
2
+ m
2
3
(квадрат кинетическо-
∗
. Согласно
вихревой теории волчка Эйлера (§ 2), интегральные кривые гамильтоновой
2
системы с гамильтонианом k
◦
. Оказывается, функции Казимира тесно связаны с нетеровыми ин-
2
являются вихревыми линиями.
тегралами (4.1).
Лемма 7. {m
} =0для всех i, j =1,...,n.
i,Fj
Доказательство.
Действительно, примем в качестве гамильтониана функцию m
.По-
i
скольку она инвариантна при всех левых сдвигах (как и исходная левоинвариантная метрика), то уравнения с исходным гамильтонианом m
кают n нетеровых интегралов F
,...,Fn.
1
допус-
i
Например, для волчка Эйлера лемма 7 утверждает, что коммутируют
проекции кинетического момента тела на подвижные и неподвижные оси.
Это легко проверить непосредственно, используя канонические координаты θ, φ, ψ, p
θ,pφ,pψ
мент в направлении неподвижного вектора γ равен p
. Действительно (в обозначениях § 2), кинетический мо-
, а его проекции на
ψ
202 ГЛАВА III
подвижные оси равны I1ω1,I2ω2,I3ω3. Представленные в канонических
переменных, они не содержат угла прецессии ψ. Следовательно, их скобка
Пуассона с импульсом p
От канонических координат x, y в фазовом пространстве T
равна нулю.
ψ
∗
G G×g
мы можем перейти к переменным x, m. После этой подстановки нетеро-
вы интегралы становятся функциями от x, m, линейными по m
Пусть x
,...,xn— координаты в окрестности единицы группы G, которой
1
,...,mn.
1
отвечает значение x =0.
Лемма 8. Пусть в единице группы G правоинвариантные поля
,...,wnимеют вид
w
1
(1, 0,...,0)
T
,...,(0, 0,...,1)T. (5.3)
∗
Тогда в этой точке F
= mk(1 k m).
k
Доказательство.
Действительно, как отмечено в § 1, лево- и правоинвариантные поля на
группе G получаются переносами одного и того же касательного вектора
в единице с помощью левых и правых сдвигов. Следовательно, левоинвариантные поля в единице также имеют вид (5.3), и поэтому матрица их
компонент v
F
k
будет единичной. Учитывая (1.2) и (5.3),получим
ij
T
∂T
· w
=
∂ ˙x
k
=
∂T
∂ω∂ω∂ ˙x
· w
=
k
∂T
∂ω
∂ω
·
∂ ˙x
wk=
∂T
∂ω
= mk.
k
Для волчка Эйлера лемма 8 имеет простой смысл. Единица группы
SO(3) отвечает совпадению подвижных и неподвижных осей. Следова-
тельно, в этом положении совпадают проекции кинетического момента на
подвижные и неподвижные оси.
Предложение 19. Функции Казимира — это функции от нетеровых
интегралов, не зависящие от координат на группе.
Доказательство состоит из двух частей.
1) Пусть функция
,...,Fn)(5.4)
Φ(F
1
не зависит от координат x
,...,xnна группе G.ПосколькуFk= mkпри
1
x =0(лемма 2), то функция (5.4) совпадает с функцией
Φ(m
,...,mn). (5.5)
1
§5. ФУНКЦИИ КАЗИМИРА И ВИХРЕВЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 203
Согласно лемме 7, эта функция (а значит, и (5.4)) коммутирует со всеми нетеровыми интегралами. Ввиду совпадения вида коммутационных соотношений (4.3) и (5.2) функция (5.5) коммутирует со всеми m
,...,mn.
1
Значит, она — функция Казимира.
2) Обратно, пусть (5.5) — функция Казимира. Тогда (5.4) коммутирует
со всеми нетеровыми интегралами. Следовательно, она не зависит от точки
на группе. Поскольку функции (5.4) и (5.5) совпадают при x =0,тоони
равны тождественно.
◦
. При фиксированных значениях нетеровых интегралов
3
= c1,...,Fn= c
F
1
n
(5.6)
канонические импульсы можно представить как однозначные функции на
группе G:
= u1(x, c), ..., yn= un(x, c).
y
1
Пусть T — левоинвариантная метрика (кинетическая энергия) на груп-
пе G, представленная в канонических переменных. Положим
∂T
∂y
y=u(x,c)
= v(x, c),x∈ G.
˙x =
Поле v, очевидно, совпадает с полем (3.3).
Пусть Φ
(x, y), ..., Φk(x, y) — функции Казимира. Им можно сопо-
1
ставить k векторных полей на группе G:
w
(x, c)=
1
∂Φ
Векторные поля v,w
1
, ..., wk(x, c)=
∂y
y=u
,...,wkимеют прозрачный геометрический
1
∂Φ
∂y
k
.
y=u
смысл. Пусть
T,vΦ
, ..., v
1
v
— гамильтоновы векторные поля на G ×g
ми T,Φ
,...,Φk. Поскольку эти функции левоинвариантны, то интегралы
1
Φ
k
∗
, порожденные гамильтониана-
(5.7)
Н¨етер будут интегралами каждого поля (5.7). Следовательно, векторные
поля (5.7) касаются каждой n-мерной регулярной поверхности
= {F1= c1,...,Fn= cn}⊂G × g∗.
Σ
c
Образы гамильтоновых полей (5.7) при естественном проектировании
→G (точка x, y переходит в точку x) — это как раз наши векторные
Σ
c
поля v, w
,...,wk.
1
204 ГЛАВА III
Теорема 30. Справедливы следующие заключения:
(1) поля w
,...,wk— вихревые,
1
(2) они коммутируют с полем v и между собой,
(3) ω(w
)=const,гдеω =uidxi.
j
Это утверждение, отмеченное в работе [111], распространяет на мно-
гомерный случай свойства a—c вихревой теории волчка (§ 2).
Доказательство.
Заключение (1) — прямое следствие леммы 5 из § 4. Поскольку
} =0, {Φi, Φj} =0,
{T,Φ
i
то гамильтоновы поля (5.7) коммутируют между собой (лемма 4 из § 4).
Следовательно, коммутируют проекции на группу G сужений этих полей
на инвариантные многообразия Σ
.
c
Докажем, наконец, заключение (3). Сперва заметим, что каждая од-
нородная часть разложения функции Казимира в ряд Маклорена по однородным формам переменных m
,...,mnсама является функцией Казими-
1
ра. Поэтому можно ограничиться рассмотрением однородных многочленов.
Далее,
равно pΦ
i
ω =y ·
w
s
,гдеp — степень однородности Φs(формула Эйлера). Согласно
s
∂Φ
∂y
s
y=u
(5.8)
предложению 17, функция Казимира — полином от нетеровых интегралов.
Поэтому после подстановки y = u(x, c) получаем, что правая часть (5.8)
зависит лишь от c
◦
. В связи с теоремой 30 возникает естественный вопрос: исчерпыва-
4
ют ли комбинации векторных полей w
,...,cn.
1
,...,wkвсе вихревые поля? Ответ
1
на этот вопрос существенно зависит от постоянных нетеровых интегралов
,...,cn. Например, если c =0,тоиω =0, и поэтому любое ненулевое
c
1
векторное поле будет вихревым.
Однако для почти всех значений c
,...,cnдругих вихревых полей нет.
1
Эти значения определяются условием, что ранг r кососимметрической мат-
рицы скобок Пуассона
k
c
c
k
ij
{F
i,Fj
} =
k
§5. ФУНКЦИИ КАЗИМИРА И ВИХРЕВЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 205
максимальный. Кстати сказать, r — число четное. Можно показать, что количество независимых функций Казимира равно k = n −r.Тогда,полемме 4 из § 4, все вихревые векторы сводятся к линейным комбинациям векторов w
,...,wk.
1
Поскольку поля w
,...,wkлевоинвариантные, то эти векторы линей-
1
но независимы во всех точках группы G. Так как они коммутируют, то
(по теореме Фробениуса) их линейные комбинации порождают интегрируемое k-мерное распределение касательных векторов на G. Интегральные
k-мерные многообразия этого распределения будут как раз вихревыми мно-
гообразиями.
Если группа G компактна (как для волчка Эйлера), то вихревые многообразия — замкнутые поверхности. Это — аналог свойства замкнутости
вихревых линий в случае вращающегося волчка. Поскольку k-мерные вих-
ревые многообразия компактны и допускают k независимых коммутирующих касательных полей, то они будут k-мерными торами. Тор, содержащий
единицу группы, будет подгруппой группы G; он называется максималь-
ным тором группы G. Максимальные торы играют ключевую роль в клас-
сификации компактных групп Ли (см., например, [2]).
Свойство компактности вихревых многообразий позволяет осуществить в целом факторизацию группы G по вихревым многообразиям. По-
сле факторизации система уравнений ˙x = v(x, c) становится гамильтоновой
на фактор-пространстве четной размерности n −k. Обсуждение различных
аспектов понижения порядка систем с симметриями можно найти в книге [12].
◦
. Пусть H1,...,Hs— функции на дуальном пространстве g∗,ко-
5
торые являются первыми интегралами уравнений движения: их скобка
Ли – Пуассона с кинетической энергией, представленной в переменных
,...,mn, равна нулю. Эти интегралы можно продолжить до функций,
m
1
заданных во всем пространстве. Положим
(x, c)=H1(x, u(x, c)), ..., hs(x, c)=Hs(x, u(x, c)).
h
1
Если H
чений c ∈ R
еще
ны на линиях тока и на вихревых линиях), а векторные поля v
группе G коммутируют с вихревыми полями w
,...,Hsне являются функциями Казимира, то для почти всех зна-
1
n
функции h1, ..., hsнепостоянные на группе G.Положим
∂H
=
v
1
∂y
Теорема 31. Функции h
1
,...,vs=
y=u
,...,hs— функции Бернулли (они постоян-
1
∂H
s
∂y
,...,wk.
1
y=u
.
,...,vsна
1
206 ГЛАВА III
Это утверждение — следствие коммутируемости функций H1,...,H
с нетеровыми интегралами и функциями Казимира. Поскольку к функци-
,...,Hsможно добавить кинетическую энергию, то теорема 31 —
ям H
1
обобщение свойства f вихревой теории волчка.
Рассмотрим важный частный случай, когда
s =(n − k)/2(5.9)
и независимые интегралы H
,...,Hsпопарно находятся в инволюции. То-
1
гда, очевидно,
[v
]=0, 1 i, j s. (5.10)
i,vj
Пусть
B
= {x: h1(x1)=α1, ..., hs(x)=αs}
α
— поверхности Бернулли. Для некритических значений α ∈ R
n
они являются регулярными многообразиями размерности s+k, которые (по теореме 29)
допускают s + k независимых касательных полей
, ..., vs,w1, ..., wk.
v
1
Согласно теореме 31 и (5.10), эти поля попарно коммутируют. Следовательно, если группа G компактна, то каждая связная компонента поверхности
Бернулли будет (s + k)-мерным тором.
Для волчка Эйлера n =3,k=1(единственная функция Казими-
ра — квадрат модуля момента), s =1(если тензор инерции не шаровой,
то интеграл энергии независим с функцией Казимира). Соотношение (5.9)
выполнено, и поэтому группа SO(3) расслоена на двумерные торы — поверхности Бернулли.
s
§ 6. Динамика изменяемых систем на группах Ли
1◦. В 1858 г. Лиувилль рассмотрел общую задачу о вращении деформируемого тела вокруг неподвижной точки, геометрия масс которого
изменяется только под действием внутренних сил по заранее заданному
закону. Им получены обобщенные динамические уравнения Эйлера, отнесенные к подвижным осям, которые в каждый момент времени совпадают
с главными осями инерции тела. Различные аспекты уравнений Лиувилля
обсуждают в книге Рауса [80]. Можно расширить задачу Лиувилля, рассматривая общие пространственные движения изменяемого тела. Оказывается, расширенные уравнения Лиувилля допускают естественное представление в форме уравнений Кирхгофа, описывающих движение твердого тела
в безграничном объеме жидкости.
§6. ДИНАМИКА ИЗМЕНЯЕМЫХ СИСТЕМ НА ГРУППАХ ЛИ 207
Итак, отнесем движение системы материальных точек с массами m
к двум декартовым системам отсчета: неподвижной (инерциальной) Oxyz
иподвижнойO
точка O
не обязана совпадать с центром масс системы точек и в общем
1
случае оси ξ, η, ζ не являются осями инерции этой системы. Пусть r
ξηζ. Подчеркнем, что (в отличие от подхода Лиувилля)
1
k
радиус-вектор k-й точки относительно неподвижной системы отсчета, F
и Φk— соответственно внешняя и внутренняя силы, действующие на k-ю
точку, r
= r
— радиус-вектор точки O1относительно точки O.Положимrk=
0
+ ρk.
0
Рис. 26. Изменяемое тело
k
—
k
Напомним, что любую вектор-функцию времени t → f(t) можно рас-
сматривать также в подвижной системе отсчета. Ее производную относительно подвижной системы (относительную скорость) будем обозначать
точкой. Абсолютная и относительная скорости связаны формулой Эйлера
df
=˙f + ω ×f,
dt
где ω — угловая скорость подвижной системы отсчета.
Введем в рассмотрение кинетическую энергию системы точек:
dr
k
k
,
dt
dr
k
,
dt
= v +˙ρ
+ ω ×ρk, (6.1)
k
T =
m
dr
k
dt
1
2
208 ГЛАВА III
где v = dr0/dt — скорость начала подвижной системы отсчета. В дальнейшем предполагается, что изменение геометрии масс системы точек под
действием внутренних сил происходит по заранее заданному закону. Другими словами, предполагается, что ρ
— известные функции времени.
k
Из соотношений (6.1) вытекает, что
∂T
= mv +m
∂v
+mk(ω × ρk),m=m
k˙ρk
k
— это импульс P изменяемого тела. По теореме об изменении импульса
dP
= F =F
dt
.
k
В подвижной системе это уравнение приобретает вид
.
∂T
∂v
+ ω ×
∂T
= F. (6.2)
∂v
Воспользуемся теперь теоремой об изменении кинетического момента
относительно точки O:
dt
m
r
k
k
d
dr
k
×
dt
=r
× (Fk+Φk). (6.3)
k
При учете принятых обозначений кинетический момент тела равен
∂T
+ r
× P, (6.4)
∂ω
0
где
∂T
∂ω
=m
× (ω ×ρk)) +mk(ρk× ˙ρk)+
k(ρk
m
kρk
× v. (6.5)
Первое и второе слагаемые в этой формуле имеют смысл кинетического
момента системы относительно точки O
при переносном и относитель-
1
ном движениях тела. Третье слагаемое обращается в нуль, если точка O
совпадает с центром масс изменяемого тела.
Так как момент внутренних сил равен нулю, то из соотношений (6.3)
и (6.4) получаем уравнение
d
dt∂T∂ω
+ v ×
∂T
∂v
=(r
× Fk) − r0× F.
k
1
§6. ДИНАМИКА ИЗМЕНЯЕМЫХ СИСТЕМ НА ГРУППАХ ЛИ 209
В подвижных осях оно принимает следующий вид:
∂T
∂v
.
+ ω ×
∂T
∂ω
+ v ×
∂T
= M, (6.6)
∂v
где M — момент внешних сил относительно подвижной системы отсчета.
Уравнения (6.2) и (6.6) по форме совпадают с известными уравнениями
Кирхгофа, описывающими движение твердого тела в идеальной жидкости
(см. [29]).
В случае движения тела по инерции (когда F =0и M =0) уравне-
ния Кирхгофа (6.2) и (6.6) совпадают с уравнениями Эйлера – Пуанкаре на
алгебре e(3) — алгебре Ли группы движений трехмерного евклидова пространства. Это наблюдение отмечено впервые, по-видимому, Браквеллем
и Биркгофом в 1945 г. (см. [16], а также [20]).
В качестве примера рассмотрим частный случай, когда O
масс тела. Тогдаm
=0,ипоэтомуP = mv, а величина (6.5) будет
kρk
—центр
1
кинетическим моментом тела относительно центра масс Iω + λ,где
Iω =m
× (ω ×ρk)),λ=mk(ρk× ˙ρk).
k(ρk
Симметричный линейный оператор I — оператор инерции; ясно, что в общем случае I и λ зависят от времени. В этом случае уравнение (6.6) переходит в уравнение Лиувилля
·
(Iω + λ)
◦
. Следуя работе [60], выведем теперь уравнения движения изменя-
2
+ ω ×(Iω + λ)=M. (6.7)
емого тела в безграничном объеме идеальной несжимаемой жидкости, совершающей потенциальное течение и покоящейся на бесконечности. Чтобы получить уравнения движения, надо в явном виде записать правые части уравнений (6.2) и (6.6). Предположим, что тело под действием только
внутренних сил деформируется по заранее известному закону. Снова свяжемстеломподвижнуюдекартовусистемуотсчетаO
ξηζ.
1
Заметим, что скорость любой точки поверхности тела S равна сумме
переносной и относительной скоростей. Переносная скорость определяется формулой Эйлера v + ω × ρ,гдеρ — радиус-вектор этой точки относительно O
. Относительная скорость определяется чистой деформацией
1
тела в подвижной системе отсчета. Как это обычно делается, представим
210 ГЛАВА III
потенциал течения в виде суммы
3
ϕ =
где v
, v2, v3(ω1, ω2, ω3) — компоненты вектора скорости точки O1(угловой
1
viϕi+
i=1
3
i=1
ωiϕ
+ ϕ∗, (6.8)
i+3
скорости) в подвижной системе отсчета (см., например, [66]). Потенциалы
, ..., ϕ6и ϕ∗— гармонические функции вне тела, определяемые услови-
ϕ
1
ем непроницания: в каждой точке границы тела ∂ϕ/∂n (n — внешняя нор-
маль к границе S) равна нормальной составляющей скорости этой точки.
Поэтому указанные потенциалы находятся как решения соответствующей
внешней задачи Неймана. В частности, ϕ
, ϕ2, ϕ3— потенциалы, отвечаю-
1
щие поступательному движению тела с единичной скоростью вдоль осей ξ,
η, ζ,аϕ
, ϕ5, ϕ6— потенциалы, отвечающие вращению тела с единичной
4
угловой скоростью вокруг этих осей. Если граница тела S деформируется,
то (в отличие от классической задачи о движении твердого тела) потенциалы ϕ
, ..., ϕ6зависят еще явно от времени. Функция ϕ∗— потенциал,
1
описывающий течение жидкости, возникающее при чистой деформации тела. Если тело твердое (неизменяемое), то, очевидно, ϕ
∗
=0.
Как известно (см., например, [66, § 46]), кинетическая энергия жидкости находится по формуле
= −
T
l
S
∂ϕ
ρ
2
dσ, (6.9)
ϕ
∂n
где ρ — плотность жидкости, n =(n
1,n2,n3
) — внешняя нормаль к S,
а dσ — элемент площади поверхности S.Ясно,что
= T2+ T1+ T0,
T
l
где T
деформируется, то T
— однородная форма по vi, ωjстепени k. Если граница тела не
k
= T0=0и коэффициенты квадратичной формы T
1
(присоединенные массы и присоединенные моменты инерции) постоянны.
В общем случае коэффициенты однородных форм T
зависят от времени.
k
Хорошо известно [66], что сила F имоментM относительно точки O
действующие со стороны жидкости на тело, имеют вид
F =
d
dt
S
ρϕn dσ, M =
d
ρϕ(r × n)dσ. (6.10)
dt
S
2
,
1
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]