Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Общая теория вихрей
.pdf
§5. РАСШИРЕННЫЙ МЕТОД ГАМИЛЬТОНА–ЯКОБИ 281
Мы положили для простоты записи массу частицы, ее заряд и скорость
света равными единице. В любом случае эти параметры можно «включить»
в магнитное поле
H =(H
1,H2,H3
).
Уравнения (5.39) допускают очевидное семейство стационарных трехмерных инвариантных многообразий
˙x
= H3x2− H2x3+ c1,
1
˙x
Вп.6
= H1x3− H3x1+ c2,
2
˙x
= H2x1− H1x2+ c3.
3
◦
§ 3 мы рассматривали плоскую задачу Лармора, когда x3=0.Что-
(5.40)
бы применить развитый выше метод, многообразия (5.40) следует представить в канонических переменных. Уравнение (5.39), очевидно, эквивалентно уравнению Лагранжа с лагранжианом
1
2
L =
(˙x
2
1
+˙x
2
2
+˙x
Зная лагранжиан, можно вычислить обобщенные импульсы y
2
3
)+
1
2
[(H
− H3x1)˙x1+
2x3
+(H
3x1
− H1x3)˙x2+(H1x2− H2x1)˙x3].
= ∂L/∂ ˙x
i
и представить инвариантные многообразия (5.40) в канонических переменных:
1
(H
=
y
1
2
1
=
y
2
2
1
=
y
3
2
(H
(H
3x2
1x3
2x1
− H2x3)+c1,
− H3x1)+c2,
− H1x2)+c3.
(5.41)
Условие невырожденности (5.3) здесь, конечно, выполнено.
Можно ли формулы (5.41) представить в виде (5.5)? В общем случае
это затруднительно. Однако можно обойти эту трудность, считая, что магнитное поле направлено, скажем, вдоль оси x
. Такое предположение, ко-
3
нечно, не уменьшает общности рассмотрения. Отметим, что специальный
выбор переменных — обычный прием и в классическом методе Гамильтона – Якоби.
Итак, пусть
= H2=0,H3= H (5.42)
H
1
i
282 ГЛАВА IV
— компоненты магнитного поля. Тогда формулы (5.41)
H
y
1
x
=
+ c1,y2= −
2
2
H
x
+ c2,y3= c
1
2
3
уже допускают представление (5.5),еслиположить
2
S = c
+ c2x2+ c3x3,α=
1x1
2
x
+ x
1
2
H, β =arctg
2
x
1
.
x
2
Мы, следовательно, имеем частный случай b) из п. 2.
Скобка Лагранжа [x
] равна H. Следовательно, при H =0матри-
1,x2
ца Ω невырождена. Легко вычисляется функция Бернулли:
2
c
3
. (5.43)
2
Очевидно, h c
1
(Hx
h =
2
2
/2. Вспомогательная гамильтонова система (5.7) прини-
3
+ c1)2+
2
1
(−Hx
2
+ c2)2+
1
мает вид
˙x
= Hx2+ c1, ˙x2= −Hx1+ c2.
1
Она совпадает с системой из двух первых уравнений (5.40) после подстановки (5.42). Линии уровня первого интеграла (5.43) дают окружности
Лармора радиуса
2
2h − c
H
2
3
.
Из формулы (5.22) сучетом(5.43) получаем простой закон изменения третьей координаты:
= c3t + x3(0).
x
3
§ 6. Системы с трехмерными инвариантными
многообразиями
1◦. Рассмотрим наиболее простое из вихревых решений уравнений
Ламба, когда
rank(rot u)=2 (6.1)
и, следовательно, k =1. Согласно условию (b), для интегрируемости в этом
случае надо иметь интеграл F уравнений Гамильтона (3.1).
§6. СИСТЕМЫ С ТРЕХМЕРНЫМИ ИНВАРИАНТНЫМИ МНОГООБРАЗИЯМИ 283
Задача существенно упрощается для автономных систем, когда гамильтониан H не зависит явно от времени. В качестве интеграла F можно взять
функцию H (x, y). При этом поле u(x, c), очевидно, удовлетворяет уравнению (3.10), поскольку оно совпадает с исходным автономным уравнением
Ламба. Условие (c) вихревой теории интегрирования переходит в условие
H(x, u(x, c)) =0. (6.2)
d
x
Итак, справедливо
Предложение 25. Если известно полное замкнутое решение u(x, c)
уравнений Ламба, причем выполнены условия (6.1) и (6.2), то уравнения
Гамильтона (3.1) интегрируются в квадратурах.
◦
2
. Оказывается, при n =3условие замкнутости полного решения
в предложении 25 можно снять. Доказательство этого утверждения использует теорему Эйлера – Якоби об интегрирующем множителе. Случай n =3
представляет особый интерес с точки зрения аналогии между гидродинамикой и вихревой теорией гамильтоновых систем.
Предложение 26 ([111]). Пусть n =3и найдено полное стационарное
решение уравнения Ламба, удовлетворяющее условиям (6.1) и (6.2). Тогда
уравнение Гамильтона интегрируются в квадратурах.
Если ранг ротора поля u постоянен, то при n =3он может быть равен либо нулю, либо двум. В первом случае решение будет потенциальным
и интегрируемость уравнений Гамильтона вытекает из теоремы Якоби. Если ранг равен двум, а функция
h(x, c)=H(x, u(x, c)) (6.3)
не зависит от x, то поле
∂H
v(x, c)=
∂y
(6.4)
y=u
коллинеарно ротору и интегральные кривые поля v могут демонстрировать
хаотическое поведение. Напомним, что для потенциальных течений функция h зависит лишь от c.
◦
. Доказательство предложения 26.
3
Рассмотрим динамическую систему на M
3
, определяемую полем (6.4):
˙x = v(x, c). (6.5)
284 ГЛАВА IV
При каждом значении c =(c1,c2,c3) она допускает непостоянный интеграл (6.3) и интегральный инвариант с плотностью
∂u
ρ(x, c)=det
.
∂c
Докажем, что при этих предположениях система дифференциальных уравнений (6.5) на трехмерном многообразии интегрируется в квадратурах.
Перейдем от координат x
1,x2,x3
к новым координатам z1,z2,z3, по-
лагая
z
= h(x1,x2,x3).
3
Тогда уравнения (6.5) примут вид
= V1(z1,z2,z3), ˙z2= V2(z1,z2,z3), ˙z3=0.
˙z
1
Они допускают интегральный инвариант с плотностью
∂x
P (z
1,z2,z3
)=ρ det
.
∂z
Положим z
= α =const. Очевидно, функция
3
P (z
1,z2
,α)
будет плотностью интегрального инварианта для системы
˙z
= V1(z1,z2,α), ˙z2= V2(z1,z2,α). (6.6)
1
Поскольку
∂PV
∂z
∂PV
1
+
1
∂z
2
=0,
2
то локально 1-форма
P (V
— полный дифференциал некоторой функции f(z
∂f
= −PV2,
∂z
1
1dz2
− V2dz1)
∂f
= PV1.
∂z
2
1,z2
,α):
Остается заметить, что функция f — непостоянный интеграл системы (6.6)
и ее нахождение, как известно, требует простых квадратур.
§6. СИСТЕМЫ С ТРЕХМЕРНЫМИ ИНВАРИАНТНЫМИ МНОГООБРАЗИЯМИ 285
4◦. Для систем на плоскости плотность интегрального инварианта ρ
названа Эйлером интегрирующим множителем. Якоби распространил наблюдение Эйлера на систему n дифференциальных уравнений, допуска-
ющих n − 2 независимых интегралов и инвариантную меру. Обсуждение
строения потоков на интегральных поверхностях таких систем можно най-
◦
ти в книге [45]. Рассуждения п. 3
соответствуют в гидродинамике известной теореме Клебша о том, что если для стационарного течения известна
непостоянная функция Бернулли, то движение частиц жидкости можно найти с помощью квадратур. Роль интегрального инварианта здесь, конечно,
играет масса вещества.
◦
. В заключение рассмотрим гамильтоновы системы с трехмерными
5
интегральными инвариантными многообразиями. Более точно, пусть автономная гамильтонова система с n степенями свободы допускает 2n − 3
независимых первых интегралов
, ..., F
F
1
. (6.7)
2n−3
Фазовое пространство расслаивается на семейство трехмерных инвариантных многообразий
3
Σ
= {F1= c1, ..., F
c
2n−3
= c
}. (6.8)
2n−3
Кроме интегралов (6.7), автономная гамильтонова система допускает
еще один интеграл F
= H.Пусть
2n−2
h:Σ
3
c
→ R
— ограничение гамильтониана на инвариантную поверхность (6.8);это
3
гладкая функция на Σ
, если в точках этой поверхности интегралы (6.7)
c
независимы. Будем считать ее непостоянной. Другими словами, интегра-
, ..., F
лы F
1
фиксированном значении постоянной энергии c
будут независимыми функциями. Предположим, что при
2n−2
= H инвариантная ин-
2n−2
тегральная поверхность
3
∩{H = c
Σ
c
} (6.9)
2n−2
будет гладкой регулярной компактной поверхностью. При малом изменении
постоянной энергии это свойство не исчезнет.
Сначала заметим, что каждая связная компонента (6.9) будет двумерным тором, как любая гладкая ориентированная компактная двумерная поверхность, допускающая касательное векторное поле без особых точек. Это
286 ГЛАВА IV
хорошо известный топологический факт. Ориентированность (6.9) вытекает из свойства ориентированности фазового пространства гамильтоновой
системы и предположения о линейной независимости градиентов функций
, ..., F
F
1
в точках поверхности (6.9). С другой стороны, исходное га-
2n−2
мильтоново векторное поле касается поверхности (6.9) и не имеет положений равновесия, поскольку в противном случае dH =0в некоторой
точке (6.9). Но это противоречит предположению о функциональной независимости 2n − 2 первых интегралов.
Хорошо известно, что в некоторой окрестности каждого тора можно
ввести координаты
, ..., c
c
1
и ϕ1,ϕ2mod 2π,
2n−2
в которых дифференциальные уравнения Гамильтона будут иметь вид
λ
˙c
=0(1 j 2n − 2), ˙ϕk=
j
где λ
— функции от (c1, ..., c
k
)=c,аG — положительная гладкая
2n−2
2π-периодическая функция от угловых переменных ϕ
k
(k =1, 2), (6.10)
G
и ϕ2, зависящая еще
1
от набора параметров c. Этот результат имеет место и для динамических
систем общего вида, подчиняющихся условиям теоремы Эйлера – Якоби об
интегрируемости. Он вытекает из исследований Пуанкаре, Зигеля, Колмогорова и др. авторов (см., например, [45, 97]).
Ясно, что угловые координаты ϕ
и ϕ2параметризуют инвариантные
1
двумерные торы, а фазовые траектории на них — «прямолинейные» обмотки
− λ1ϕ2=const.
λ
2ϕ1
Если G =const, то движение по этим прямым неравномерное. Другими
словами, в переменных ϕ
и ϕ2движение гамильтоновой системы на то-
1
рах (6.9) не будет условно-периодическим.
Можно ли для гамильтоновой системы подобрать новые угловые переменные на инвариантных торах, которые изменялись бы равномерно со
временем? Этот вопрос тесно связан с проблемой малых знаменателей. Рассмотрим дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка
2π
2π
4π
1
2
Gdϕ1dϕ2. (6.11)
0
0
∂R
λ
1
∂ϕ
1
+ λ
∂R
= G − G, G =
2
∂ϕ
2
§6. СИСТЕМЫ С ТРЕХМЕРНЫМИ ИНВАРИАНТНЫМИ МНОГООБРАЗИЯМИ 287
Если оно допускает гладкое решение, то гладкой заменой переменных
ϕ → ψ mod 2π вторая система (6.10) приводится к условно-периодиче-
скому виду
λ
˙
= ωk,ωk=
ψ
k
k
(k =1, 2) (6.12)
G
(см. [45]).
Пусть
G =
G +
G
m1m
2
i(m1ϕ1+m2ϕ2)
e
— ряд Фурье функции G. Будем искать решение уравнения (6.11) ввиде
тригонометрического ряда
R
m1m
2
i(m1ϕ1+m2ϕ2)
e
. (6.13)
Тогда
G
m1m
2
R
m1m
=
2
i(m1λ1+ m2λ2)
.
Если (6.13) — ряд Фурье квадратично суммируемой функции на торе, то
Для почти всех чисел вращения λ
2
G
m
1m2
(m1λ1+ m2λ2)
1/λ2
< ∞. (6.14)
2
этот ряд действительно сходится. Однако в типичной ситуации из-за аномально малых знаменателей
ряд (6.14) расходится для всюду плотного множества отношений λ
1/λ2
имеющего мощность континуума. Для таких чисел вращения преобразование системы (6.10) к (6.12) вообще невозможно.
Теорема 42. Для уравнений Гамильтона система (6.10) всегда приво-
дится к виду
λ
k
=0 (1 j 2n − 2),˙ψk= ωk=
˙c
j
(k =1, 2).
G
Доказательство основано на вихревой теории гамильтоновых систем.
3
Трехмерное интегральное многообразие Σ
есть стационарное инвариант-
c
ное многообразие для уравнений Гамильтона. Следовательно, на этом многообразии выполняется уравнение Ламба
i
dω = −dh. (6.15)
v
,
288 ГЛАВА IV
В окрестности регулярного инвариантного тора в качестве координат можно взять h и ϕ
вид
Компоненты u
mod 2π. Пусть в этих переменных 1-форма ω имеет
1,ϕ2
ω =
—гладкие2π-периодические функции от ϕ1и ϕ2,гладко
j
| = u1dϕ1+ u2dϕ2+ u3dh.
y
kdxk
зависящие еще и от энергии h. Уравнение (6.15) можно представить в виде
формального равенства
(rot u) × v = −grad h. (6.16)
В указанных переменных система дифференциальных уравнений на Σ
3
c
имеет вид
˙
h =0, ˙ϕ
λ
1
=
G
, ˙ϕ
1
λ
2
=
2
. (6.17)
G
Она допускает инвариантную меру с плотностью G>0. Следовательно,
согласно § 1 гл. I, векторные поля
v и
rot u
G
(6.18)
касаются инвариантного тора и коммутируют между собой. Согласно предположению, dh =0.Поэтомуиз(6.15) вытекает, что векторы (6.18) ли-
нейно независимы. Таким образом, гамильтоново векторное поле (6.17) на
двумерном инвариантном торе допускает нетривиальное касательное коммутирующее векторное поле, что и доказывает теорему 42.
Укажем еще одно доказательство, основанное на предъявлении периодического решения уравнения (6.11) с использованием (6.16).Учитывая
формулу (6.17) для компонент векторного поля v, получаем, что векторное
уравнение (6.16) эквивалентно двум скалярным соотношениям:
∂u
∂ϕ
∂u
1
2
2
=
∂ϕ
1
и λ
∂u
3
1
∂ϕ
1
+ λ
2
∂u
∂ϕ
3
2
= −G + λ
∂u
1
1
∂h
+ λ
∂u
2
∂h
2
. (6.19)
Первое уравнение легко решается методом Фурье:
где U
и U2— функции только от h,аS — некоторая 2π-периодическая
1
функция от ϕ
∂S
u
=
1
и ϕ2, зависящая еще от параметра h. Тогда второе уравне-
1
+ U1,u2=
∂ϕ
1
∂S
∂ϕ
+ U2,
2
ние (6.19) принимает вид
∂
1
∂ϕ
1
(u3− S)+λ
λ
∂
(u3− S)=−G + λ
2
∂ϕ
2
∂U
1
1
∂h
+ λ
∂U
2
.
2
∂h
§6. СИСТЕМЫ С ТРЕХМЕРНЫМИ ИНВАРИАНТНЫМИ МНОГООБРАЗИЯМИ 289
Усредняя обе части по угловым переменным ϕ1и ϕ2, получим соотношение
∂U
1
λ
1
∂h
Следовательно, 2π-периодическая функция R = S−u
+ λ
∂U
2
=
∂h
G.
удовлетворяет урав-
3
2
нению (6.11), и поэтому уравнения (6.10) на инвариантном торе приводятся
к условно-периодическому виду (6.12). Что и требовалось.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]