Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Общая теория вихрей
.pdf
§8. ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ АДИАБАТИЧЕСКИХ РАВНОВЕСНЫХ ПРОЦЕССОВ 151
Рис. 22. Фазовый переход
где q1(q2) — количество тепла, отданного (полученного) машиной при изотермическом процессе. Следовательно,
q
2
− q1=
τ
2
q1− q1=(τ2− τ1)
τ
1
q
1
=Δτ ΔS.
q
2
Впрочем, эта формула сразу следует из формулы dω = dτ ∧ dS и теоремы
Стокса.
Формуле (8.13) можно придать более общий смысл. Она справедлива
для цикла γ
, который получается из цикла γ с помощью следующего построения: через каждую точку γ проводим адиабату и сдвигаем эту точку
по указанной адиабате на фиксированное значение температуры τ .
Инвариантность интеграла (8.12) также тесно связана с вихревыми линиями. Пусть n 2 ипустьγ — замкнутый цикл в M. Проводя через каждую точку γ вихревую линию, получим вихревую трубку σ — двумерную
цилиндрическую поверхность в M. Оказывается, если γ
цикл на σ, гомологичный γ (γ
и γ одинаково охватывают σ), то
γ
ω =
ω. (8.14)
γ
—любойдругой
Это — простое следствие теоремы Стокса.
Особенно просто такая конструкция выглядит при n =2.Тогда
dim M =3и2-формаΩ будет неособой: через каждую точку M прохо-
дит единственная вихревая линия.
152 ГЛАВА II
Равенство (8.14) справедливо и для фазовых переходов второго ро-
да [38, 65]. В этом случае фазовое пространство M делится некоторой гиперплоскостью Λ (поверхность равновесия фаз) на две области N и N
(M = N ∪ N,N∩ N=Λ), в каждой из которых заданы гладкие 1-формы притока тепла ω и ω
вокрестностяхN и N
дифференциалы dω и dω
. Эти формы можно продолжить до гладких форм
, причем на поверхности Λ они совпадают, а их
нет. Это означает, что при переходе из N в N
вихревые линии претерпевают излом.
Пусть σ — трубка вихревых линий в M, γ и γ
на σ, расположенные в N и N
соответственно. Тогда
ω =
γ
γ
ω. (8.15)
— гомологичные циклы
Идея доказательства ясна из рис. 22: ввиду непрерывности
λ
где λ — цикл на σ ∩ Λ, гомологичный γ и γ
ω =
ω,
γ
.
Равенство (8.15) вполне аналогично теореме Малюса из геометрической оптики.
◦
. С интегральными инвариантами тесно связан вариационный прин-
4
цип: решения системы (1.2) являются экстремалями вариационной задачи
t
2
δ
ω − hdt=0 (8.16)
t
1
в классе кривых с закрепленными концами. Это — обобщение вариационного принципа Гельмгольца– Пуанкаре для гамильтоновых систем.
Пусть γ — гладкий путь в M , параметризованный параметром α,
α
α α2,и
1
0,v1
, ..., vn)
v =(v
— поле скоростей (8.7) на γ. Рассмотрим функционал
α
2
I[γ]=
[ω(v)+S]dα, ω(v)=ivω, (8.17)
α
1
§8. ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ АДИАБАТИЧЕСКИХ РАВНОВЕСНЫХ ПРОЦЕССОВ 153
в классе путей с фиксированными концами. Справедлив следующий вариационный принцип:
путь γ — стационарная точка функционала (8.17) тогда и только тогда,
когда
1) dτ /dα =1(v
0
=1),
2) путь γ представляет адиабатический неизотермический процесс.
Вариационные принципы такого типа в литературе по термодинамике,
по-видимому, не отмечались (ср. с [14, 34]).
Стационарность функционала (8.17) на адиабатических неизотермических процессах вытекает из (8.16). Для доказательства обратного утверждения введем функцию Лагранжа
dS
L = ω(v)+S = τ
dα
+ S
и воспользуемся уравнениями Эйлера – Лагранжа
∂L
∂τ
∂L
=
∂τ
,
∂L
∂a
∂L
. (8.18)
=
∂a
Здесь штрих обозначает производную по α. Второе уравнение дает соотно-
шение
Ввиду предположения (8.3) и равенств (8.9) имеем τ
∂S/∂a = ∂S/∂a.
τ
=1. Первое уравне-
ние (8.18) приводится к соотношению
∂S
∂τ
∂S
+
∂a
vi=0,
i
эквивалентному условию адиабатичности.
Адиабатические изотермические процессы характеризуются следующим более простым вариационным принципом: функционал
J[γ]=
ω (8.19)
γ
принимает стационарное значение в классе путей с фиксированными концами. Это утверждение легко доказывается тем же способом.
154 ГЛАВА II
ЗАМЕЧАНИЕ. Значение функционалов (8.17) и (8.19) на адиабатических процессах (соответственно неизотермических и изотермических) равно разности значений функции τS в концевых точках. Напомним, что произведение τS равно разности внутренней и свободной энергий термодинамической системы.
5◦. Все сказанное выше справедливо и для несколько более общего
класса процессов, чем адиабатические. Предположим, что поле (8.7) таково, что
S = g(τ), (8.20)
L
v
где g — некоторая вещественная функция.
Сучетом(8.20) получаем
i
Ω=dS −(LvS)dτ = dB, (8.21)
v
где B = S − f (τ ), f — первообразная функции g. Соотношение (8.21)
вполне аналогично (8.8), только роль энтропии играет функция B.
§ 9. Инвариантные многообразия общего вида
1◦. Инвариантные многообразия уравнений Гамильтона с n степенями
свободы
∂H
=
˙x
k
, ˙yk= −
∂y
k
не всегда однозначно проектируются на конфигурационное пространство
идаженевсегдаимеютразмерностьn. Приведем простые примеры.
∂H
(1 k n)(9.1)
∂x
k
A. Все фазовое пространство является инвариантным многообразием
размерности 2n. Дифференциальные уравнения Гамильтона можно представить как уравнение Ламба
i
Φ=−dH. (9.2)
V
Здесь V — гамильтоново векторное поле, определяемое уравнениями (9.1),
а
Φ=
n
dyk∧ dxk= d
k=1
n
k=1
ykdx
k
(9.3)
— симплектическая структура. Поскольку 2-форма Φ невырожденна, то вихревые векторы будут нулевыми, и поэтому нульмерные вихревые многообразия сводятся к точкам фазового пространства.
§9. ИНВАРИАНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ ОБЩЕГО ВИДА 155
B. Фазовые траектории автономных гамильтоновых систем также будут инвариантными многообразиями (единичной размерности). В случае
одной степени свободы замкнутые фазовые траектории на фазовой плоскости не могут взаимно однозначно проектироваться на конфигурационную
прямую.
C. Рассмотрим еще малые колебания, которые описываются квадратичным гамильтонианом
n
H =
1
2
i=1
λi(x
2
i
+ y
2
),λi=0.
i
Среди инвариантных многообразий имеются линейные пространства
Σ={x, y : x
= y1= ...= xk= yk=0}, dim Σ = 2(n −k). (9.4)
1
Если n четно и k = n/2,тоdim Σ = n. Но и в этом случае инвариантная
плоскость (9.4) не проектируется взаимно однозначно на n-мерное конфигурационное пространство {x}.
Другие примеры, связанные с задачей о движении в центральном поле,
можно найти в следующем параграфе.
Можно ли и в таких более общих случаях представить условия инвариантности в форме уравнений Ламба? Будут ли сами уравнения Ламба
обладать свойством инвариантности (то есть не зависеть от параметризации
инвариантных многообразий)? Этот круг вопросов составляет содержание
настоящего параграфа.
◦
. Положим
2
ϕ =y
kdxk
.
Согласно (9.3),
Φ=dϕ. (9.5)
Для уравнений динамики, когда фазовое пространство есть пространство
кокасательного расслоения многообразия конфигураций, формула (9.5)
имеет место в целом.
Рассмотрим s-мерное многообразие
s
Σ
= {x, y: xk= ξk(z1, ..., zs,t),yk= ηk(z1, ..., zk,t)}, (9.6)
t
вложенное в 2n-мерное фазовое пространство. Переменные z =
, ..., zs) — локальные координаты на (9.6). Можно считать, что
=(z
1
156 ГЛАВА II
у нас имеется фиксированное многообразие Σsс локальными координатами z
, ..., zs,аΣ
1
s
есть образ Σsпри его отображении ftвфазовое
t
пространство, задаваемое формулами
x = ξ(z, t),y= η(z, t).
s
Если функции ξ и η не зависят явно от времени, то многообразия Σ
и Σ
можно отождествить.
Рис. 23. Инвариантное многообразие
Найдем условие инвариантности многообразия (9.6) относительно потока исходной гамильтоновой системы. Ясно, что
∂ξ
∂t
k
∂ξ
∂z
k
˙zp=
p
+
∂H
∂y
,
k
∂η
∂t
k
∂η
∂z
k
˙zp= −
p
+
∂H
∂x
k
, (9.7)
s
t
где черта обозначает результат подстановки вместо канонических перемен-
s
ных x и y соответственно ξ(z, t) и η(z, t). Условие реализации Σ
s
образа Σ
размера s × 2n равен s.Нотогдаиз(9.7) скорости ˙z
при отображении ftозначает, что ранг матрицы Якоби
⎤
⎡
∂ξ
k
⎥
⎢
∂z
p
⎥
⎢
⎦
⎣
∂η
k
∂z
p
, ..., ˙zsоднозначно
1
как
t
находятся как функции от z и t. Следовательно, можно положить
= vp(z, t), 1 p s. (9.8)
˙z
p
§9. ИНВАРИАНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ ОБЩЕГО ВИДА 157
Функции v1, ..., vs— компоненты векторного поля v, касательного к Σsи,
вообще говоря, зависящего от времени. Далее положим
ω = ϕ| =η
(z, t) dξk(z, t)(9.9)
k
(дифференцирования по t нет) и h(z, t)=H|.
s
Теорема 27. Пусть Σ
— инвариантное многообразие для гамильто-
t
новой системы (9.1). Тогда
∂ω
+ i
dω = −dh, (9.10)
v
∂t
где h
= h −η
Если функции ξ
∂ξ
k
.
k
∂t
, ..., ξnне зависят от времени, то уравнение (9.10)
1
в точности совпадает с уравнением Ламба. Так как dd =0, то из теоремы 27
вытекает
s
Следствие. Если Σ
инвариантно, то на Σsвыполняется уравнение
t
вихря
∂Ω
+ L
Ω=0, Ω=dω. (9.11)
∂t
Подчеркнем, что замена функции h на h
v
не меняет уравнения вихря (9.11). Следовательно, это уравнение (в отличие от уравнения Ламба)
инвариантно, то есть не зависит от способа параметризации инвариантного
многообразия. Впрочем, в автономном случае для стационарных инвариантных многообразий уравнение Ламба также обладает свойством инвариантности.
Теорема 27 позволяет распространить на инвариантное многообра-
s
зие Σ
гидродинамическое описание потока системы (9.8). В частности,
t
в стационарном случае функция h снова постоянна на линиях тока и вихревых многообразиях 2-формы dω. С другой стороны, в общем нестационарном случае вихревые многообразия вморожены в поток системы (9.8). Рассмотрим еще потенциальное течение, когда вихря нет: dω =0(1-форма ω
есть полный дифференциал некоторой функции g(z, t)). Тогда из (9.10) по-
лучаем «интеграл Лагранжа – Коши»: функция
не зависит от z.
∂g
+ h +η
∂t
∂ξ
k
k
∂t
158 ГЛАВА II
Выведем условие инвариантности (9.10). По определению функции h,
∂h
∂z
=
j
∂H
∂x
∂ξ
k
∂z
j
k
Умножая первое уравнение (9.7) на −∂η
+
/∂zj, а второе на ∂ξk/∂zjисум-
k
∂H
∂y
∂η
k
. (9.12)
∂z
j
k
мируя их, получим
k
∂t
∂η
k
−
∂z
∂ξ
∂z
∂η
k
j
∂ξ
k
∂t
j
k
+
p
k
∂ξ
∂z
∂η
k
∂z
j
∂η
k
−
∂z
p
∂ξ
k
k
= −
v
p
∂z
p
j
Здесь мы воспользовались (9.8) и (9.12).
Согласно (9.9),
ω =
j
k
∂ξ
k
η
k
∂z
. (9.14)
dz
j
j
Следовательно,
∂ω
∂t
k
k
∂ξ
∂η
k
k
+ η
∂t
∂z
k
j
∂z
∂ξ
∂z
∂ξ
k
k
−
∂t
j
∂η
∂t
k
=
j
=
j
∂
∂η
∂z
∂ξ
k
dz
=
+ d
j
k
∂ξ
k
.
η
k
∂t
∂t
j
k
j
Отсюда вытекает, что первое слагаемое в левой части (9.13) равно
∂ω
∂t
− d
∂ξ
k
.
η
k
∂t
k
Далее, так как
dω =
dηk∧ dξk=
k
k, i, j
∂η
∂z
∂ξ
k
∂z
i
k
dzi∧ dzj,
j
∂h
.
∂z
j
(9.13)
то второе слагаемое в левой части (9.13) совпадает с i
dω. Суммируя ска-
v
занное, из (9.13) получим соотношение (9.10), что доказывает теорему 27.
Отметим, что в общем случае условие (9.10) не будет критерием ин-
вариантности многообразия (9.6).
§9. ИНВАРИАНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ ОБЩЕГО ВИДА 159
ПРИМЕР 2. Пусть Σ — фазовая траектория автономной гамильтоновой
системы с n степенями свободы. Тогда s =1и, очевидно,
∂ω
=0,dω=0.
∂t
Следовательно, равенство (9.10) сводится к условию, что ограничение гамильтониана на эту кривую будет константой. Это условие будет критерием
инвариантности кривой только при n =1.
Однако при s = n обобщенные уравнения Ламба (9.10) также будут
и необходимыми условиями инвариантности многообразия (9.6).
РИМЕР 3. Вновь рассмотрим уравнения Гамильтона (9.1) инайдем
П
условие инвариантности n-мерного многообразия Σ, которое задается уравнениями
= ξ1(x1, ..., x
y
1
n−1,yn
,t), ..., y
x
= −ξn(x1, ..., x
n
n−1
= ξ
n−1(x1
n−1,yn
,t).
, ..., x
n−1,yn
,t),
(9.15)
Многообразие Σ однозначно проектируется на n-мерную координатную
плоскость канонических переменных x
h(x
, ..., x
1
n−1,yn
v
,t)=H(x1, ..., x
∂H
∂y
, ..., v
1
=
1
n−1
1
=
, ..., x
∂y
n−1
, −ξn,ξ1, ..., ξ
n−1
∂H
,v
n−1
и yn.Положим
n−1,yn
∂H
∂x
n
=
n
,t),
(9.16)
и
ω = ξ
1dx1
+ ...+ ξ
n−1dxn−1
− yndξn.
Критерий инвариантности n-мерного многообразия (9.15) задается модифицированным уравнением Ламба
где z
= x1,..., z
1
∂ξ
∂t
i
= x
∂ξ
∂z
i
j
n−1
i
+
n−1
∂ξ
j
−
∂z
i
, zn= ynи
h
= h − y
= −
v
j
∂ξ
n
n
∂t
(1 i n), (9.17)
∂z
i
.
∂h
Конечно, уравнение (9.17) можно также представить в виде (9.10).
160 ГЛАВА II
Этот результат выводится из теоремы 27. Впрочем, его нетрудно получить прямым вычислением. Если ξ
не зависит явно от времени, то hсов-
n
падает с функцией (9.16) — ограничением гамильтониана на инвариантное
многообразие (9.15). Для потенциальных течений ω = dS ,гдеS —некоторая гладкая функция от переменных x
, ..., x
1
n−1,yn
и времени. В частности, потенциальное (лагранжево) инвариантное многообразие представляется в виде уравнений
∂S
=
∂x
, ..., y
1
n−1
y
1
◦
. Как уже отмечено выше, уравнение вихря (9.11) не зависит от
3
∂S
=
∂x
,xn=
n−1
∂S
; S= S − ξnyn.
∂y
n
выбора параметризации инвариантного многообразия. Это уравнение является необходимым условием инвариантности, но отнюдь не его критерием.
Например, для потенциальных (лагранжевых) многообразий (когда dω =0)
оно вырождается в тривиальное тождество. Тем не менее уравнение (9.11)
и следствия из него составляют важную часть теории инвариантных многообразий гамильтоновых систем, и мы дадим непосредственный вывод этого
уравнения для инвариантных многообразий общего вида.
Он основан на классическом результате Пуанкаре и Картана об абсолютном интегральном инварианте уравнений Гамильтона: поток гамильтоновой системы сохраняет симплектическую структуру. Это означает справедливость равенства
∂Φ
∂Φ
=
+ L
Φ=0. (9.18)
∂t
∂t
V
Слева стоит полная производная от симплектической 2-формы Φ вдоль гамильтонова векторного поля V . Она действительно равна нулю, так как
форма Φ от t явно не зависит и
Φ=iVdΦ+diVΦ.
L
V
Первое слагаемое равно нулю ввиду замкнутости 2-формы Φ (dΦ=0),
а второе — ввиду уравнения Гамильтона (9.2):
Φ=−d(dH)=0.
di
V
Пусть ξ и η — два вектора, касательных к фазовому пространству гамильтоновой системы в одной и той же точке, а ξ
и ηt—ихобразывмо-
t
мент времени t после переноса потоком исходной гамильтоновой системы.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]