Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Общая теория вихрей
.pdf
§1. УРАВНЕНИЯ ЛАМБА И УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА 101
Это утверждение — следствие вариационного принципа Пуанкаре –
Гельмгольца в фазовом пространстве (§ 6 гл. I): функционал P есть ограничение функционала действия
t
2
(y · ˙x − H ) dt
t
1
на кривые в пространстве положений M с помощью инвариантного соотношения y = u(x,t). Можно поступить по-другому, заметив, что уравнения
Лагранжа с лагранжианом L =u
− h совпадают с (1.4).
i˙xi
Биркгоф назвал интеграл вида (1.5) действием Пфаффа, а уравнения (1.4) — уравнениями Пфаффа. Он рассмотрел случай, когда кососимметричная матрица rot u невырождена (в частности, n четно). Тогда из (1.4)
можно однозначно выразить ˙x через x и t. В своих знаменитых «Динамиче-
ских системах» [15] Биркгоф сформулировал программу изучения уравнений (1.4) (когда det(rot u) =0). Результаты в этом направлении, получен-
ные до 1983 г., подытожены в монографии Р. Сантилли [124]. Сам Биркгоф
особое внимание уделил случаю, когда поле u не зависит явно от времени,
не заметив, что тогда (1.4) является обычной гамильтоновой системой.
Действительно, по теореме Дарбу, найдется локальное преобразование x → z такое, что
имеет вид
I =
T
(rot u)J
J
0 E
−E 0
,
где J — матрица Якоби ∂x/∂z, E — единичная матрица размера n/2. Вно-
вых переменных z
,...,znуравнение (1.4)
1
T
J
(rot u)J ˙z = −J
∂h
T
∂x
имеет каноническую форму
∂h
I ˙z = −
∂z
.
Сопряженными каноническими переменными являются координаты
z
,z
i
(1 i n/2).
n/2+i
Для дальнейшего особый интерес представляют случаи вырождения
матрицы ротора.
102 ГЛАВА II
3◦.
Теорема 19. Система (1.2) допускает относительный интегральный
инвариант
u · dx =const. (1.6)
t
g
(γ)
v
Здесь γ — любой замкнутый контур на M. Теорема 19 есть следствие
теоремы Пуанкаре (из § 6 гл. I): интеграл (1.6) — ограничение инварианта Пуанкаре на замкнутые кривые, целиком лежащие на инвариантной по-
n
верхности Σ
. Этот простой, но важный результат распространяет теорему
Томсона о сохранности циркуляции на многомерный случай.
Теорему 19 можно доказать и непосредственно. Для этого введем
1-форму
ω =u
idxi
и запишем уравнение Ламба (1.1) вэквивалентномвиде
∂ω
+ i
dω = −dh. (1.7)
v
∂t
Используя формулу гомотопии
= ivd + div,
L
v
получаем
∂ω
+ L
ω = dg, (1.8)
v
где g = i
∂t
ω−h. Функция g имеет простой механический смысл: это лагран-
v
жиан, в котором скорость ˙x заменена векторным полем v. Слева в (1.8) сто-
ит ˙ω — полная производная по времени от 1-формы ω в силу системы (1.2).
Пусть γ — некоторый путь (1-цепь) на M. Положим
I(t)=
ω.
t
g
(γ)
v
Нетрудно получить следующую формулу для изменения интеграла I:
˙
I =
∂ω
+ L
ω. (1.9)
∂t
t
g
(γ)
v
v
Если путь γ замкнутый (является циклом), то, согласно (1.8) иформуле
Ньютона– Лейбница,˙I =0. Надо сказать, что формула (1.9) справедлива
для любой k-формы ω илюбойk-цепи γ.
§2. СВЕДЕНИЕ К АВТОНОМНОМУ СЛУЧАЮ 103
4◦. Из теоремы 19 выводится важное следствие.
Теорема 20. Если поле u(x, t) потенциально при t =0, то оно будет
потенциальным для всех t.
Это — аналог знаменитой теоремы Лагранжа из гидродинамики идеальной жидкости. Ее доказательство очень простое. Если локально u =
= ∂ϕ/∂x при t =0, то интеграл (1.6) по достаточно малому замкнутому
контуру γ равен нулю. Следовательно, он равен нулю при всех значениях t.
Однако, как хорошо известно из анализа, тогда подынтегральное выражение является замкнутой 1-формой.
Легкопонять,чтоеслиполеu имеет однозначный потенциал ϕ вцелом
на M при t =0(т. е. форма ω точна), то это свойство имеет место при
всех t.
В потенциальном случае из уравнений Ламба (1.1) выводится «ин-
теграл Лагранжа – Коши». Действительно, если u = ∂ϕ/∂x, то rot u =0
и уравнение (1.1) принимает следующий вид:
∂ϕ
∂
∂x
Следовательно,
∂ϕ
∂t
Это и есть интеграл Лагранжа – Коши. После замены
+ h=0.
∂t
+ h(x, t)=g(t). (1.10)
ϕ → ϕ −g(t) dt,
не меняющей поля импульсов, функция g в правой части (1.10) становится
равной нулю.
Если уравнения (1.1) получены как уравнения Ламба для потенциальной инвариантной поверхности уравнений Гамильтона, то (1.10) превращается в известное уравнение в частных производных Гамильтона – Якоби.
§ 2. Сведение к автономному случаю
1◦. Общая теория интегральных инвариантов создана Пуанкаре и изложена им в III томе «Новых методов небесной механики». Ряд важных дополнений сделал Эли Картан. Они подытожены в его «Интегральных инвариантах» [41]. Основная идея книги Картана — автономизация
104 ГЛАВА II
дифференциальных уравнений, т. е. переход от пространства положений
к пространству-времени, в котором координаты x ивремяt считаются
совершенно равноправными переменными. Эта последовательная релятивистская точка зрения оказалась весьма плодотворной, и мы применим ее
к уравнениям Ламба.
n
Введем (n +1)-мерное пространство-времяM = M
(наборы переменных x
,...,xn,t) будем обозначать буквой z. Для даль-
1
× Rt. Его точки
нейшего несущественно, что пространство-время имеет структуру прямого
произведения.
Дифференциальные уравнения (1.2) заменяются следующим:
˙x = v(x, t),
˙
t =1,
или, более кратко,
˙z =˜v(z). (2.1)
В координатах z = {x, t} поле ˜v, конечно, имеет компоненты v, 1. Для
уравнения (2.1) на самом деле несущественно, что его решения параметризованы временем t. Ключевую роль здесь играют интегральные кривые
поля ˜v: они касаются во всех своих точках векторов из поля ˜v. Если па-
раметризовать интегральные кривые вM переменной t и затем спроектировать их на M, то получим решения исходного уравнения (2.1).Сэтой
точкизренияважнонесамополе˜v, а определяемое им поле направлений
(векторы ˜v можно умножить на любую функцию от z, отличную от ну-
ля). Следуя релятивистской механике, интегральные кривые поля ˜v можно
называть мировыми линиями.
Уравнения Ламба (1.1) имеют следующее эквивалентное представление:
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
∂u
1
∂t
rot u ···
∂u
n
∂u
1
−
∂t
∂h
+
∂x
1
··· −
∂u
n
∂h
+
∂t
∂x
∂t
n
⎞
∂h
+
∂x
1
∂h
+
∂x
n
0
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
v
1
⎟
.
.
⎟
.
=0.
⎟
⎠
v
n
1
(2.2)
Первые n уравнений (по строкам) в точности совпадают с соответствующими уравнениями Ламба, а последнее уравнение
∂u
i
∂t
∂h
+
∂x
=0
v
i
i
есть простое следствие (1.1) (с учетом кососимметричности матрицы rot u).
§2. СВЕДЕНИЕ К АВТОНОМНОМУ СЛУЧАЮ 105
Кососимметричная матрица (n+1)-го порядка в левой части (2.2) есть
матрица ротора 1-формы
ϕ = ω −hdt, ω =u
idxi
,
определенной наM. Следовательно, уравнение (2.2) допускает следующую
инвариантную запись:
φ =0,φ= dϕ. (2.3)
i
˜v
◦
. В соответствии с терминологией, принятой в § 5 гл. I, вектор ˜v —
2
вихревой вектор для замкнутой 2-формы φ. Если ϕ — форма энергииимпульса в расширенном фазовом пространстве, то равенство (2.3) представляет вихревой принцип гамильтоновой механики (см. § 5).
Пусть n четно и 2-форма φ является неособой. Тогда вектор ˜v опре-
делен однозначно с точностью до ненулевого множителя. В общем случае
уформыφ имеются другие линейно независимые вихревые векторы. Среди
них — векторы ˜w, имеющие в координатах x, t компоненты w, 0, где w —
вихревой вектор 2-формы Ω=dω в n-мерном пространстве M. Число независимых вихревых векторов w равно n −rank(rot u). Эти векторы играют
в нашей теории ключевую роль. Ясно, что векторы вида ˜v +˜w также будут
вихревыми для формы φ.
Приведем еще один пример из электродинамики (заимствованный
у Картана [41, п. 81]), где появляется уравнение (2.3).ПустьE и H —
электрическое и магнитное поля в пустоте, c — скорость света. Рассмотрим
тензор электромагнитного поля F
⎛
0 H
⎜
−H
3
⎜
⎝
H2−H
— кососимметрическую матрицу
ij
−H2cE
3
0 H1cE
0 cE
1
⎞
1
⎟
2
⎟
. (2.4)
⎠
3
−cE1−cE2−cE30
Ей можно поставить в соответствие внешнюю 2-форму
∧ dxj, (2.5)
ijdxi
где x
1,x2,x3
— пространственные декартовы координаты в трехмерном ев-
клидовом пространстве, а x
F =F
= t —время.
4
Форма F — замкнута: dF =0. Это — следствие двух уравнений Макс-
велла
∂H
1
+rotE =0, div H =0.
c
∂t
106 ГЛАВА II
Следовательно, F = df , где 1-форма
f =f
idxi
называется 4-потенциалом электромагнитного поля. Оставшиеся два уравнения Максвелла приводят к волновому уравнению для коэффициентов f
i
Ранг кососимметрической матрицы (2.4) может быть одним из чисел:
2
4, 2, 0. Ее определитель равен c
(E,H)2. Следовательно, rank F =2, если
поля E и H ортогональны и отличны от нуля. Именно этот случай представляет наибольший интерес с точки зрения теории электромагнитных волн.
2
Итак, пусть всюду (E,H)=0и E
+ H2=0. Тогда замкнутая 2-фор-
ма F имеет два вихревых вектора. Их пространственные и временные компоненты равны соответственно
H, 0(2.6)
и
c[E,H],H
Проекции интегральных кривых поля (2.6) на R
2
. (2.7)
3
= {x1,x2,x3} будут маг-
нитными силовыми линиями, а пространственные компоненты поля (2.7)
определяют направление распространения электромагнитной волны.
◦
. Форму ϕ можно интегрировать по ориентированным кривым γ
3
вM, что позволяет задать функционал «действия»
I[γ]=
ϕ. (2.8)
γ
Из леммы о вариации действия (§ 6 гл. I) сразу же выводится вариационный
принцип: интегральные кривые поля ˜v являются экстремалями функциона-
ла (2.8) в классе кривых с фиксированными концами.
Это принцип справедлив и для вихревых полей ˜w. Поскольку t-ком-
поненты векторов ˜w равны нулю, то интегральные кривые поля ˜w (вихре-
вые линиии) лежат на гиперповерхностях t =constи поэтому их можно
считать кривыми на конфигурационном пространстве M. Вэтомслучаевариационный принцип можно слегка изменить: вихревые линии являются
экстремалями функционала
ω,
γ
где γ — ориентированные кривые на M. Здесь время t считается параметром.
.
§2. СВЕДЕНИЕ К АВТОНОМНОМУ СЛУЧАЮ 107
Если коэффициенты 1-формы ϕ периодичны по t (скажем, с периодом τ ), то в качестве пространства-времениM можно принять «цилиндр» —
прямое произведение M и окружности {t mod τ}. Вэтомслучаесреди мировых линий могут оказаться замкнутые кривые. Легко понять, что
они доставляют стационарные значения функционалу (2.8), определенно-
му на пространстве всех замкнутых кривых. Этот простой результат может оказаться полезным для доказательства существования периодических
решений системы (2.1). Примером может служить теорема Конли – Цендера [102] о наличии n +1 различных τ -периодических решений уравнений
Гамильтона на 2n-мерном торе с τ-периодическим гамильтонианом.
◦
. Пусть γ1— некоторая замкнутая кривая вM. Через каждую точ-
4
ку γ
проходит единственная мировая линия. Их совокупность образует
1
цилиндрическую поверхность Γ (рис. 18). Пусть γ
кривая на Γ, гомологичная γ
. Тогда
1
γ
1
ϕ =
ϕ. (2.9)
γ
2
— еще одна замкнутая
2
Действительно, по теореме Стокса разность этих интегралов равна
φ, φ = dϕ.
Γ
Однако этот интеграл равен нулю, поскольку 2-форма φ обращается в нуль
на любой паре линейно независимых векторов, касающихся Γ (ввиду (2.3),
поскольку ˜v касается Γ по построению).
Равенство (2.9) содержит как частный случай интегральный инвариант Пуанкаре – Картана (§ 6 гл. I). В качестве
формы ϕ надо взять 1-форму энергииимпульса в расширенном фазовом пространстве.
Если γ
ровых линий гиперповерхностями t = t
и γ2— сечения трубки ми-
1
1
и t = t2, то равенство (2.9) переходит
в теорему 2 из § 1.
Рис. 18. Трубка мировых линий
Заменим теперь мировые линии вихревыми линиями — интегральными кривыми вихревого поля ˜w. Поскольку
108 ГЛАВА II
поле ˜w также удовлетворяет (2.3), то интеграл по замкнутому циклу от
1-формы ϕ будет относительным инвариантом для системы уравнений
dz
=˜w(z),
dα
α — некоторый вещественный параметр, играющий роль времени. Так как
t-компонента вектора ˜w равна нулю, то в качестве интересного следствия
получаем, что система дифференциальных уравнений на M
dx
= w(x, t),
dα
задающая вихревые линии, при каждом значении t допускает (как и система
˙x = v(x, t)) интегральный инвариант
ω.
γ
Здесь γ — любой замкнутый контур на конфигурационном пространстве M.
Этот факт обобщает наблюдение Картана ([41, п. 24]), что дифференциальные уравнения траекторий и дифференциальные уравнения вихревых
линий в гидродинамике идеальной жидкости допускают один и тот же линейный интегральный инвариант.
◦
. По формуле Стокса
5
∂γ
ω =
dω (2.10)
γ
каждому относительному интегральному инварианту (порождаемому k-формой ω) отвечает абсолютный интегральный инвариант (порождаемый
(k +1)-формой Ω=dω). Это замечание принадлежит Пуанкаре (как и общая формула (2.10)).
Таким образом, система дифференциальных уравнений (1.2) допускает
абсолютный инвариант
Ω, (2.11)
σ
где σ — произвольная двумерная поверхность (в общем случае с краем).
Этот результат несложно получить прямым вычислением. Для этого
применим операцию внешнего дифференцирования к обеим частям равенства (1.8):
∂Ω
+ L
Ω=0. (2.12)
∂t
v
§2. СВЕДЕНИЕ К АВТОНОМНОМУ СЛУЧАЮ 109
Мы использовали известные тождества:
∂
∂t
d = d
∂
,dL
∂t
= Lvd, dd =0.
v
Для доказательства инвариантности интеграла (2.11) осталось использовать равенство (1.9).
Уравнение (2.12) в матричной форме имеет следующий вид:
∂
rot u + rot((rotu)v)=0. (2.13)
∂t
Точнее говоря, это — матричная форма уравнения
∂Ω
+ di
Ω=0. (2.14)
∂t
v
Поскольку форма Ω замкнута (dΩ=0), то (2.12) и (2.14) эквивалентны.
К уравнению (2.14) приводится известное уравнение (1.1) (гл. I) для
изменения соленоидального поля, вмороженного в поток. Для обычного
уравнения Ламба в трехмерном евклидовом пространстве уравнение (2.13)
принимает вид хорошо известного уравнения для изменения вихря:
∂
rot v =rot(v × rot v).
∂t
◦
6
. Поскольку система (2.1) имеет относительный инвариант (2.9),то
она допускает также абсолютный инвариант
φ, φ = dϕ. (2.15)
σ
Легко показать, что 2-формы Ω и φ связаны соотношением
φ =Ω+(i
Ω) ∧ dt. (2.16)
v
Действительно, так как ϕ = ω − hdt, то
∂ω
Φ=dω −
Согласно (1.7), −dh = ∂ω/∂t + i
∧ dt −dh ∧ dt.
∂t
Ω. Отсюда сразу следует (2.16).
v
110 ГЛАВА II
Формула (2.16) допускает обобщение. Справедливо
Предложение 7. Предположим, что система (1.2) имеет абсолют-
ный интегральный инвариант с k-формой Ω. Тогда система (2.1) допускает абсолютный инвариант (2.15) с k-формой
φ =Ω+(−1)
k
(ivΩ) ∧ dt. (2.17)
При k =2получаем (2.16). Предложение 7 фактически принадлежит
Картану ([41, п. 30]), только вместо явной формулы для φ Картан приводит
правило ее вывода: в явное выражение для формы Ω вместо дифференциалов dx
надо подставить разности dxi− vidt.
i
В качестве примера рассмотрим движение сплошной среды в евклидо-
3
вом пространстве E
= {x1,x2,x3}, описываемое системой уравнений
˙x
= v1, ˙x2= v2, ˙x3= v3. (2.18)
1
Функции v
, разумеется, зависят от x и t. Пусть ρ(x, t) —плотностьве-
i
щества в точке x и в момент времени t. Масса, заполняющая трехмерный
объем τ вмоментвремениt, равна интегралу
ρdx1∧ dx2∧ dx3. (2.19)
τ
Этот интеграл представляет, конечно, абсолютный инвариант системы (2.18).
Сохранность интеграла (2.19) выражается известным уравнением неразрывности (1.3) из гл. I.
3
Применяя к 3-форме Ω=ρd
x преобразование (2.17),приходим
к3-форме
φ = ρ(dx
−v
∧ dx2∧ dx3− v1dx2∧ dx3∧ dt −
1
∧ dx1∧ dt −v3dx1∧ dx2∧ dt).
2dx3
Картан назвал эту форму элементом материи. Если мы рассмотрим трех-
мерную совокупность частиц сплошной среды, причем каждая частица рассматривается в свой определенный момент ее движения, то в четырехмерном пространстве-времени {x
Интеграл от 3-формы φ по τ
1,x2,x3
∗
, очевидно, равен общей массе совокупности
,t} получим трехмерную область τ∗.
рассматриваемых частиц.
Как заметил Картан, в общем случае предложение 7 не справедливо
для относительных инвариантов. Мы дополним наблюдения Картана следующим утверждением.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]