Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Общая теория вихрей
.pdf
§1. УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА –ПУАНКАРЕ 181
векторные поля на SO(3) соответствуют вращениям твердого тела с постоянной угловой скоростью вокруг оси, фиксированной в неподвижном
пространстве.
−1
Ортогональное преобразование с матрицей x
ло в начальное положение. Следовательно, v(t)=x
переводит твердое те-
−1
(t)V (t) — скорость
точки тела в подвижной системе отчета, связанной с твердым телом. Таким
−1
образом, v = x
−1
(t)R(t)=R(0) — радиус-вектор точки тела в подвижном простран-
= x
˙xr = ω × r,гдеω — вектор угловой скорости, а r =
стве. Отсюда вытекает, что левоинвариантные поля на SO(3) отвечают вращениям твердого тела с угловой скоростью, постоянной в подвижном пространстве.
Выберем в твердом теле три взаимно ортогональные оси, проходящие
через неподвижную точку (например, главные оси инерции тела). Пусть
v
1,v2,v3
— независимые левоинвариантные поля на SO(3), порожденные
вращениями твердого тела с единичной угловой скоростью вокруг этих
осей. В силу отмеченного изоморфизма алгебры so(3) и алгебры векторов трехмерного евклидова пространства получаем следующие формулы
для коммутаторов:
]=v3, [v2,v3]=v1, [v3,v1]=v2. (1.10)
[v
1,v2
◦
. Пусть ·, · — некоторая риманова метрика на группе G:
7
˙x, ˙x =a
(x)˙xi˙xj.
i,j
С точки зрения динамики эта метрика определяется кинетической энергией T и задает инерционные свойства системы: T = ˙x, ˙x/2.
Метрика ·, · называется левоинвариантной, если она не меняет значений при всех левых сдвигах. Другими словами, значение билинейной
формы ·, · на любой паре левоинвариантных векторных полей постоянно
(не зависит от точки на G).
Пусть v
,...,vn— базис независимых левоинвариантных полей. По-
1
ложительно определенная матрица Грама
I = I
,Iij= vi,vj =const
ij
называется тензором инерции механической системы в этом базисе. По
формуле (1.2)
/
1
=
j
I
2
ijωiωj
.
T =
.
1
2
ω
ivi
,ωjv
182 ГЛАВА III
В отсутствие внешних сил уравнения Пуанкаре (1.4) принимают следующий вид:
˙m
i
=c
j
mjωk,ms=Ispωp. (1.11)
ik
Представленные в переменных ω, они являются дифференциальными
уравнениями на алгебре g группы G и в переменных m — на двойственном
∗
линейном пространстве g
.
Уравнения (1.11) будем называть уравнениями Эйлера – Пуанкаре.
В качестве комментария рассмотрим частный случай, когда G есть группа SO(3). Свойство левоинвариантности кинетической энергии вращаю-
щегося волчка очевидно. Используя коммутационные соотношения (1.10),
уравнения (1.11) легко привести к форме
I ˙ω + ω ×Iω =0, (1.12)
где ω — угловая скорость, а I — тензор инерции тела. Это — знаменитые
динамические уравнения Эйлера, опубликованные им в 1758 году.
Уравнения (1.11) составляют половину уравнений движения. К ним
следует добавить геометрические уравнения (1.2). С дифференциальногеометрической точки зрения эти уравнения описывают геодезические линии левоинвариантной метрики на группе Ли.
§ 2. Вихревая теория волчка
1◦. Ключевой вопрос применимости общей теории вихрей, развитой
в главе II, состоит в нахождении инвариантных многообразий, однозначно
проектирующихся на конфигурационное пространство. Этот вопрос легко
и естественно решается для волчка Эйлера — задачи о вращении по инерции
твердого тела с неподвижной точкой в трехмерном евклидовом пространстве. Многие результаты этого параграфа непосредственно обобщаются на
более общую задачу о геодезических на группах Ли с левоинвариантной
метрикой.
Пусть α, β, γ — ортонормированный репер в неподвижном пространстве. Мы будем рассматривать эти векторы как векторы в подвижном пространстве, связанном с твердым телом. Тогда они уже не будут постоянными; их эволюция со временем описывается уравнениями Пуассона
˙α + ω ×α =0,˙β + ω × β =0, ˙γ + ω × γ =0. (2.1)
§2. ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ВОЛЧКА 183
Эти уравнения вместе с динамическими уравнениями Эйлера образуют полную систему уравнений движения. Они допускают следующие интегралы:
(Iω,α)=c
, (Iω,β)=c2, (Iω,γ)=c3, (2.2)
1
отражающие свойство неизменности вектора кинетического момента тела
K = Iω как вектора неподвижного пространства.
Интегралы (2.2) имеют прозрачную
групповую интерпретацию. Вращениям
волчка с постоянной угловой скоростью
ω = α отвечает правоинвариантное векторное поле на SO(3). Фазовый поток этого поля состоит, очевидно, из левых сдвигов на группе SO(3). Однако кинетическая энергия волчка инвариантна при левых сдвигах. Следовательно, по теореме
Н¨етер (§ 5 гл. I), уравнения движения допускают интеграл
∂T
,α=const.
∂ω
Рис. 24. Вращающийся волчок
Из формулы (2.2) вытекает очевидное равенство
Iω = c
α + c2β + c3γ. (2.3)
1
Оно позволяет представить скорость вращения волчка как однозначную функцию на конфигурационном пространстве. Другими словами, векторное равенство (2.3) задает трехмерное стационарное инвариантное многообразие, однозначно проектирующееся на группу SO(3). В дальнейшем
2
2
рассматривается нетривиальный случай, когда c
◦
2
. Для определенности изложения введем в рассмотрение подвижный
+ c
1
2
+ c
=0.
2
3
трехгранник, образованный главными осями инерции твердого тела относительно точки закрепления. В этих осях тензор инерции приводится к диагональному виду: I =diag(I
1,I2,I3
).Пустьω1,ω2,ω3— проекции вектора
угловой скорости на эти подвижные оси. Эти предположения упрощают
вид кинетической энергии тела
T =(I
2
ω
1
1
+ I2ω
2
+ I3ω
2
2
)/2. (2.4)
3
184 ГЛАВА III
Для того чтобы представить инвариантные многообразия (2.3) вканонических переменных, введем в качестве обобщенных координат углы
Эйлера θ, ϕ, ψ (§ 5 гл. I). Они однозначно определяют положение главных
осей инерции твердого тела относительно неподвижного трехгранника.
Геометрические соотношения (1.2) принимают вид известных кинема-
тических формул Эйлера (1760):
=˙ψ sin θ sin ϕ +˙θ cos ϕ,
ω
1
ω
=˙ψ sin θ cos ϕ −˙θ sin ϕ,
2
ω
=˙ψ cos θ +˙ϕ.
3
(2.5)
Они позволяют представить кинетическую энергию (2.4) как квадра-
тичную форму по обобщенным скоростям˙ψ,˙θ, ˙ϕ. Сопряженные импульсы
вводим по обычному правилу:
∂T
p
ψ
,p
=
∂˙ψ
∂T
,p
=
θ
∂˙θ
∂T
.
=
ϕ
∂ ˙ϕ
Используя (2.4) и (2.5), получаем следующие формулы:
∂ω
p
= I1ω
ψ
= I
p
= I1ω1cos ϕ − I2ω2sin ϕ,
θ
p
= I3ω3.
ϕ
1
+ I
1
∂˙ψ
sin θ sin ϕ + I2ω2sin θ cos ϕ + I3ω3cos θ,
1ω1
2ω2
∂ω
∂˙ψ
3ω3
∂ω
∂˙ψ
3
=
2
+ I
Известны выражения компонент векторов α, β, γ через углы Эйлера:
α =
β =
γ =
⎡
cos ψ cos ϕ − cos θ sin ψ sin ϕ
⎣
−cos ψ sin ϕ − cos θ sin ψ cos ϕ
⎡
sin ψ cos ϕ +cosθ cos ψ sin ϕ
⎣
−sin ψ sin ϕ − cos θ cos ψ cos ϕ
⎡
sin θ sin ϕ
⎣
sin θ cos ϕ
sin ψ sin θ
cos ψ sin θ
⎤
⎦
.
⎤
⎦
,
⎤
⎦
,
cos θ
Вывод этих формул можно найти, например, в трактате Уиттекера [86].
(2.6)
(2.7)
§2. ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ВОЛЧКА 185
Учитывая (2.3) и (2.7),из(2.6) получаем окончательный вид инвариантных многообразий в канонических переменных:
= c3,
p
ψ
p
= c1cos ψ + c2sin ψ,
θ
p
= c1sin θ sin ψ −c2sin θ cos ψ + c3cos θ.
ϕ
(2.8)
Интересно отметить, что эти формулы не зависят от моментов инерции
тела I
1,I2,I3
.
Введем в рассмотрение фундаментальную 1-форму
ω = p
dψ + pθdθ + pϕdϕ
ψ
и2-формуΩ=dω.
2
Предложение 16. Еслиc
=0,тоrank(Ω) = 2.
k
Таким образом, найденные трехмерные инвариантные многообразия
являются вихревыми.
Доказательство.
Действительно, не нарушая общности, можно считать, что постоянный
вектор кинетического момента K направлен вдоль γ : K = kγ, k = |K| =0.
Тогда в формулах (2.8) можно положить c
= c2=0,c3= k. Следователь-
1
но, ω = k(dψ +cosθdϕ) и
Ω=k sin θdϕ ∧ dθ. (2.9)
Поскольку углы Эйлера определены при 0 <θ<π,товэтихточках
rank(Ω) = 2. По-другому выбирая обобщенные координаты, можно убе-
диться в том, что 2-форма Ω невырождена и в полюсах θ =0и θ = π.Что
и требовалось.
◦
. При фиксированном значении k инвариантные соотношения (2.3)
3
(или, что то же самое, (2.8)) задают на группе SO(3) некоторую динамиче-
скую систему
˙x = v(x),x=(ψ, θ, ϕ). (2.10)
С использованием кинематических формул Эйлера эти уравнения можно легко записать в явном виде:
˙
ψ = k
sin
I
1
˙
θ = k
1
−
I
1
˙ϕ = k cos θ
2
ϕ
+
1
I
2
1
−
I
3
2
cos
ϕ
,
I
2
sin θ sin ϕ cos ϕ,
2
sin
I
cos
ϕ
−
1
I
(2.11)
2
ϕ
.
2
186 ГЛАВА III
Уравнения (2.11) хорошо известны в связи с точным интегрированием
задачи Эйлера [86]. Их фазовый поток задает стационарное «течение» на
группе SO(3). Изучим его свойства.
Справедливы следующие утверждения.
a. Вихревые поля w на группе SO(3), коммутирующие с полем скоро-
стей v, порождают вращение твердого тела с угловой скоростью ω =
= μγ, μ =const. В частности, эти вихревые поля правоинвариантны
и все вихревые линии замкнуты. Расслоение группы SO(3) вихревыми
линиями совпадает с известным в топологии расслоением Хопфа.
b. Эти поля определяются соотношениями i
Ω=0,ω(w)=
ω
=const=0.
∗
c. Гамильтонова система на T
H
= K2/2=[(I1ω1)2+(I2ω2)2+(I3ω3)2]/2
SO(3) с гамильтонианом
имеет те же самые трехмерные инвариантные поверхности (2.8).От-
вечающие им векторные поля на группе SO(3) вида (2.10) являются
вихревыми полями, коммутирующими с полем (2.11).
d. Используя (2.4) и (2.5), можно вычислить g — определитель матрицы
коэффициентов g
кинетической энергии:
ij
g = I
1I2I3
sin2θ. (2.12)
Оказывается, уравнения (2.10) допускают интегральный инвариант
√
mes (D)=
gd3x. (2.13)
D
Он задает на группе SO(3) меру, инвариантную относительно всех
левых и правых сдвигов.
Напомним, что на каждой компактной группе имеется единственная
(с точностью до множителя) биинвариантная мера, которая называет-
ся мерой Хаара [93]. Инвариантую меру системы (2.10) можно также
представить в виде интеграла
ω ∧ Ω. (2.14)
e.МетриканаSO(3), задаваемая кинетической энергией твердого тела,
позволяет вычислить ротор поля v. Это поле — вихревое. Оказывается,
rot v коммутирует с полем v.
§2. ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ВОЛЧКА 187
f. Интеграл Бернулли h равен k2(I−1γ,γ)/2. Критические точки функ-
ции h — орбиты постоянных вращений волчка вокруг главных осей
инерции (с фиксированным значением момента K ), и критические зна-
чения совпадают со значениями энергии на этих вращениях. Если c не
является критическим значением функции h, то поверхность Бернулли
= {h(x)=c} — двумерный тор с условно-периодическим движе-
B
c
нием.
◦
. Доказательство а–f основано на простых прямых вычислениях.
4
Ввиду (2.9) векторные поля
ψ
= μ, θ=0,ϕ=0 (2.15)
являются вихревыми. Поля (2.11) и (2.15) коммутируют при условии
μ =const. Согласно кинематическим формулам Эйлера, поле (2.15) порож-
дает вращение твердого тела с угловой скоростью ω = μγ, что доказывает а.
Так как μ =const,тоω(w)=kμ =const. Отсюда вытекает заключе-
ние b. Аналогично доказывается с.
Согласно предложению 1 из § 1 гл. I, уравнения (2.11) допускают интегральный инвариант
νdψdθdϕ (2.16)
с плотностью
ν =
∂(p
ψ,pθ,pϕ
∂(c1,c2,c3)
)
=sinθ.
Ввиду формулы (2.12) инвариант (2.16) отличается от (2.13) постоянным
множителем. Наличие интегрального инварианта (2.14) для системы (2.10)
вытекает из предложения 2 § 3 главы II. Поскольку sin θ>0 при 0 <θ<π,
то инвариант (2.16) задает меру на группе SO(3). Непосредственное дока-
зательство ее инвариантности относительно левых и правых сдвигов группы SO(3) можно найти, например, в книге [72].
Согласно § 5 главы II, компоненты ротора поля (2.11) (во внутренней
метрике на SO(3), определяемой кинетической энергией) равны
k
I1I2I
, 0, 0.
3
−
√
Следовательно, поля rot v и v коммутируют, что доказывает заключение е.
188 ГЛАВА III
Доказательство f повторяет рассуждения § 1 главы I. Если тензор инерции I не шаровой, то h ≡ const,ипоэтомуполеv не коллинеарно своему
ротору.
◦
. Для волчка Эйлера нетрудно выписать явные формулы для потен-
5
циалов Клебша. Действительно, можно положить
S = kψ, x
В интервале 0 <θ<πкоордината x
= k cos θ, x2= ϕ. (2.17)
1
, очевидно, меняется монотонно.
1
В этих переменных фундаментальная 1-форма ω имеет следующий вид:
1dx2
.
Следовательно, x
ω = dS + x
и S — потенциалы Клебша.
1,x2
Факторизация конфигурационного пространства — группы SO(3) по
замкнутым вихревым линиям эквивалентна исключению угла прецессии ψ.
Правые части уравнений (2.11) не содержат координаты ψ, и поэтому уравнения для θ и ϕ являются уравнениями на базе расслоения SO(3) вихревыми линиями. Нетрудно понять, что эта база диффеоморфна двумерной
сфере, для которой θ и ϕ будут обычными сферическими координатами.
Эта сфера в динамике твердого тела обычно называется сферой Пуассона.
В соответствие с общими результатами § 4
главы II координаты x
и x2на сфере Пуассо-
1
на удовлетворяет дифференциальным уравнениям Гамильтона
∂h
= −
˙x
1
∂x
, ˙x2=
2
∂h
∂x
,
1
где
2
h =
sin
1
2
I
1
cos
x
2
+
— функция Бернулли, представленная в канонических координатах x
2
&
x
2
2
− x
I
2
1,x2
k
. Расслоение сферы
2
'
x
1
2
+
1
2I
3
Рис. 25. Динамическая система на сфере Пуассона
Пуассона линиями уровня функции h изображено на рис. 25.
◦
. В заключение кратко обсудим вихревую теорию волчка Эйлера
6
с диссипацией (§ 6 гл. II). В этом случае динамические уравнения Эйлера принимают вид
I ˙ω + ω ×Iω = −νIω.
§3. МЕРА ХААРА 189
Здесь ν(t) > 0 — коэффициент вязкости. Эти уравнения вместе с уравнениями Пуассона (2.1) дают соотношения
(Iω,α)=c
где c =const, ˙μ = ν. Без ущерба для общности можно считать, что c
= c
=0. Полагая c2μ = k(t),из(2.18) получим
2
μ, (Iω,β)=c2μ, (Iω,γ)=c3μ, (2.18)
1
=
1
Iω = kγ.
Это векторное равенство позволяет найти угловую скорость тела как однозначную функцию его положения и времени:
˙x = v(x, t),x=(ψ, θ, ϕ) ∈ SO(3).
В переменных ψ,θ, ϕ — углах Эйлера — эта система совпадает с уравнениями (2.11), в которых k будет известной функцией времени.
Как и при ν =0, векторные поля
ψ
= λ, θ=0,ϕ=0
будут вихревыми, и мы снова получаем уже известное нам расслоение
группы SO(3) замкнутыми вихревыми линиями. Поскольку правые части
уравнений (2.11) не содержат угла прецессии ψ, то фазовый поток уравнений (2.11) (с переменным коэффициентом k ) переводит вихревые линии
в вихревые линии.
Потенциалы Клебша снова имеют вид (2.17). Функция S и функция
Бернулли h теперь зависят от времени. Поскольку˙k = −νk,тогамильтониан H из § 6 главы II (формула (6.17)) равен, очевидно, функции h.Так
как функция h независитотуглаψ, то получаем обобщенную теорему Бернулли: при фиксированных значениях t функция h постоянна на вихревых
линиях.
§ 3. Мера Хаара
1◦. Основные идеи вихревой теории волчка Эйлера переносятся на
более общую задачу о геодезических линиях левоинвариантных метрик на
группах Ли.
Пусть G — группа Ли с локальными координатами x=(x
T (˙x, x) — левоинвариантная метрика, w
,...,wn— независимые правоин-
1
вариантные поля на группе G.
,...,xn),
1
190 ГЛАВА III
Предложение 17. Фазовый поток правоинвариантного (левоинвари-
антного) поля — семейство левых (правых) сдвигов на G.
Это — хорошо известный факт теории групп Ли (см., например, [93]).
Проиллюстрируем предложение 17 примером матричной группы GL(n).
Поскольку каждая группа Ли локально изоморфна некоторой подгруппе GL
(теорема Адо), то отсюда будет следовать заключение предложения 17 в общем случае.
Итак, согласно § 1, правоинвариантное векторное поле на GL(n) имеет
вид Az,гдеA — постоянная n × n-матрица, z ∈ GL(n). Оно порождает
линейную систему дифференциальных уравнений
dz
= Az. (3.1)
dα
Как известно, ее общее решение имеет вид
Aα
z = e
z0.
Соответствие
α → e
Aα
z0,z0∈ GL(n)
порождает однопараметрическую группу левых сдвигов.
Пусть теперь z → zA — левоинвариантное поле. Тогда уравнение (3.1)
надо заменить на следующее:
dz
= zA.
dα
Его общее решение
z = z
Aα
e
0
порождает правые сдвиги на группе GL(n).
Согласно предложению 17, фазовые потоки правоинвариантных векторных полей w
,...,wn— семейства левых сдвигов на G.Посколькуки-
1
нетическая энергия T левоинвариантна, то уравнения движения допускают
n нетеровых интегралов
∂T
∂ ˙x
· w
= cn. (3.2)
n
Так как поля w
∂T
· w
= c1, ...,
1
∂ ˙x
,...,wnлинейно независимы в каждой точке G,то
1
при фиксированных значениях c линейную алгебраическую систему (3.2)
можно однозначно разрешить относительно скорости:
˙x = v(x, c),x∈ G. (3.3)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]