Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Общая теория вихрей
.pdf
Дополнение 1.
Инварианты завихренности
и вторичная гидродинамика
1◦. Рассмотрим баротропное течение идеальной жидкости в потенциальном силовом поле. Оно описывается уравнением Ламба (1.5) (гл. I):
∂v
= v × rot v −
∂t
Будем рассматривать периодические граничные условия: все характеристики течения 2π-периодически зависят от координат x
ставлять себе течение по трехмерному евклидовому тору M = {x
mod 2π}.
Пусть u(x, t) — соленоидальное поле на M, удовлетворяющее уравнению (1.1):
∂u
=rot(v ×u). (2)
∂t
Как уже отмечалось, это уравнение играет важную роль в механике сплошной среды. В частности, ему удовлетворяет поле ротора скорости частиц
жидкости.
Теорема 1. Интеграл
I(t)=
не зависит от времени.
Для случая u =rotv эта теорема установлена Жан-Жаком Моро [120].
Доказательство.
Воспользуемся очевидной формулой
˙
I =
M
∂u
∂t
(u, v) d3x (3)
M
,v+u,
∂f
. (1)
∂x
. Можно пред-
∂v
∂t
1,x2,x3
3
x. (4)
d
1,x2,x3
292 ДОПОЛНЕНИЕ 1
Ввиду (1) и (2) подынтегральное выражение приводится к виду
(v × rot u, u)+(v, rot(v ×u)) −
∂f
,u. (5)
∂x
С помощью известной формулы
(rot a, b) − (rot b, a)=div(a ×b)
преобразуем второе слагаемое в (5):
(v, rot(v ×u)) = (v ×u, rot v)+div((v ×u) × v).
Далее, ввиду соленоидальности поля u
∂f
,u=divfu.
∂x
Таким образом, выражение (4) приводится к дивергентному виду:
div((v ×u) × v −fu).
По формуле Гаусса – Остроградского интеграл (4) равен нулю.
◦
2
. Теорема 1 имеет ряд интересных следствий для случая несжимаемой жидкости, когда div v =0. Рассмотрим соленоидальные поля w(x, t),
удовлетворяющие уравнению Эйлера
∂w
=[v, w]. (6)
∂t
Прежде всего докажем простое
Предложение 1. Если поле w, удовлетворяющее (6), соленоидально
при некотором значении t, то оно будет соленоидальным при всех t.
Доказательство предложения 1.
Используя известное тождество векторного анализа
rot(a × b)=[a, b]+a div b − b div a
и предположение о несжимаемости, перепишем уравнение (6):
∂w
=rot(v ×w) − v div w. (7)
∂t
ИНВАРИАНТЫ ЗАВИХРЕННОСТИ И ВТОРИЧНАЯ ГИДРОДИНАМИКА 293
Применим теперь к обеим частям этого равенства операцию div иучтем,
что div rot = 0:
∂
div w = −L
∂t
(div w).
v
Следовательно,
(div w).=0.
Из предложения 1 вытекает корректность предположения о соленоидальности поля w. Из равенства (7) вытекает также, что соленоидальное
поле w удовлетворяет уравнению (2). Таким образом, из теоремы 1 получаем
Следствие.
(w, v) d3x =const. (8)
M
Напомним, что уравнение (2) является условием вмороженности в поток жидкости интегральных кривых поля u, а уравнение Эйлера (6) —критерий вмороженности векторного поля w.
◦
. Интегральные инварианты (8) имеют интересную интерпретацию
3
в динамике несжимаемой идеальной жидкости.
Рассмотрим группу диффеоморфизмов M, сохраняющих элемент объема. Обозначим эту бесконечномерную группу SDiff M. Алгебра Ли груп-
пы SDiff M состоит из векторных полей на M с нулевой дивергенцией.
Определим скалярное произведение двух элементов этой алгебры (т.е. двух
соленоидальных векторных полей v
v
1,v2
и v2)спомощьюформулы
1
=(v1,v2) d3x.
Рассмотрим теперь течение однородной идеальной жидкости в области M ; для простоты мы считаем плотность жидкости равной единице.
Уравнение неразрывности приводит к условию несжимаемости: div v =0.
t
Течения жидкости описываются кривыми g
t
морфизм g
: M → M переводит каждую частицу из ее начального положе-
на группе SDiff M:диффео-
ния в положение, которое она занимает в момент времени t.
Несложно проверить, что кинетическая энергия жидкости
T =
v, v
2
(9)
294 ДОПОЛНЕНИЕ 1
— правоинвариантная риманова метрика на группе SDiff M. В 60-е годы было подмечено следующее важное обстоятельство: течения идеальной несжимаемой жидкости — геодезические линии метрики (9).Это—
следствие принципа наименьшего действия, который, если угодно, можно
считать определением идеальной жидкости (см. [94, 96, 119]).
Как уже отмечалось в гл. III (§ 3), правые сдвиги включаются в фазовые потоки левоинвариантных полей. Левоинвариантные поля на группе
SDiff M — это соленоидальные поля на M, удовлетворяющие уравнению
Эйлера (6). Следовательно, по теореме Н¨етер уравнения геодезических на
группе SDiff M допускают бесконечную серию линейных интегралов (8):
w, v =const. Отметим, что точно такой же вид имеют нетеровы интегра-
лы и в конечномерном случае. Действительно, пусть
T =
1
2
g
ij
(x)˙xi˙x
j
— кинетическая энергия, задающая скалярное произведение
Если w =(w
ξ,η =g
ξ =(ξ
, ...,wn) — поле симметрий, то интеграл Н¨етер имеет вид
1
, ...,ξn),η=(η1,...,ηn).
1
∂T
· w =g
∂ ˙x
ij˙xiwj
ijξiηj
= w, ˙x.
,
Строение линейных по скорости интегралов натуральных механических систем и их связь с группами симметрий были исследованы в работе Мориса
Леви 1878 года (за 40 лет до публикации Эмми Н¨етер). В дифференциальной геометрии (где роль кинетической энергии играет риманова метрика)
поля симметрий обычно называются полями Киллинга; они изучались Кил-
лингом в работе 1892 года.
Поскольку кинетическая энергия (9) представляет собой невырожденную квадратичную форму, то бесконечная серия интегралов (8) позволяет
в принципе найти скорость течения v как функцию на группе SDiff M.
Таким образом, на SDiff M естественным образом возникает бесконечномерная динамическая система, фазовый поток которой схож по своим свойствам со стационарным течением невязкой жидкости. Было бы интересным изучить эту систему с гидродинамической точки зрения, изложенной
ИНВАРИАНТЫ ЗАВИХРЕННОСТИ И ВТОРИЧНАЯ ГИДРОДИНАМИКА 295
в гл. III (вихревые векторы и многообразия, поверхности Бернулли, инвариантные меры ...). Такой подход можно назвать вторичной гидродинамикой.
Первые шаги в этом направлении сделаны в работе [32].
◦
. Теорема Моро на самом деле является частным случаем одного
4
общего наблюдения из § 3 гл. II. Пусть 1-форма ω удовлетворяет уравнению
Ламба
∂ω
+ i
dω = −dh
v
∂t
и Ω=dω. Если M замкнуто и dim M =2s +1, то
ω ∧ Ωs=const. (10)
M
Для течений идеальной жидкости с периодическими граничными условиями M = T
3
ω = v1dx1+ v2dx2+ v3dx
3
— 1-форма циркуляции. Легко сосчитать, что
3
ω ∧ Ω=(rotv, v) dx
.
Соотношение (10) можно обобщить, заменяя Ω любой замкнутой
m-формой Φ, вмороженной в поток:
∂Φ
+ L
Φ=0.
∂t
v
Теорема 2. Пусть M замкнуто и dim M = ms +1,s— целое. Тогда
s
ω ∧ Φ
=const.
Доказательство.
Пусть τ = ω ∧ Φ
˙τ =˙ω ∧ Φ
s
. Тогда
s
+ ω ∧˙Φ ∧ ... ∧ Φ+··· =˙ω ∧Φs= dg ∧ Φs,
где g = ω(v) −h — лагранжиан. Так как форма Φ замкнута, то
s
dg ∧ Φ
= d(gΦs).
Следовательно, по формуле Стокса
dt
d
τ =
M
dg ∧ Φs=
M
d(gΦs)=0.
M
Дополнение 2.
Квантовая механика и гидродинамика
1◦. Как известно, в квантовой механике динамика частицы единичной
3
массы в потенциальном поле с потенциалом V (x),x ∈ E
описывается
уравнением Шр¨едингера
= −
2
¯h
Δψ + Vψ. (1)
2
i¯h
∂ψ
∂t
Здесь ψ(x, t) — комплекснозначная волновая функция, ¯h — постоянная
Планка, i
|ψ(x, t)|
ни t вточкеx ∈ E
2
= −1. Волновая функция имеет следующий физический смысл:
2
— плотность вероятности нахождения частицы в момент време-
3
. Поэтому принимается, что
ψ¯ψd3x =1. (2)
3
E
Это предположение корректно, поскольку интеграл в левой части (2) не
зависит от t для любого решения уравнения (1).
Полагая
√
ψ =
ρ exp(iS/¯h), (3)
для скалярных функций ρ(x, t) 0,S(x, t) получим следующую систему
уравнений:
∂S
∂x
+ V −
=0, (4)
√
2
Δ
ρ
¯h
2
=0. (5)
√
ρ
∂S
∂t
∂ρ
+divρ
∂t
∂S
∂x
2
1
+
2
Здесь Δ —операторЛапласа.
Насколько известно автору, уравнения (4)–(5) получены впервые
Э. Маделунгом. Они изучались также Д. Бомом в связи с его гипотезой
298 ДОПОЛНЕНИЕ 2
«скрытых параметров» — попыткой уйти от вероятностной интерпретации
квантовой механики [26]. При ¯h → 0 уравнение (5) перейдет в обыч-
ное уравнение Гамильтона – Якоби, описивающее потенциальные семейства
траекторий обычной классической частицы с гамильтонианом
2
y
H =
+ V (x,t),
2
а уравнение (4) будет совпадать с уравнением Лиувилля для плотности
интегрального инварианта градиентной динамической системы
∂S
˙x =
. (6)
∂x
После того, как найден полный интеграл уравнения Гамильтона– Якоби, решение уравнения (4) сводится к простым квадратурам. Подставляя найденные таким путем функции S и ρ в выражение (3), получим так называемое
квазиклассическое приближение к решениям уравнения Шр¨едингера (1).
◦
. Бом предложил интерпретировать уравнение (5) в общем случае,
2
когда ¯h =0, снова как уравнение Гамильтона– Якоби для обычной клас-
сической частицы, которая находится в суперпозиции двух потенциальных
полей: с потенциалами V и
√
2
Δ
P = −
¯h
ρ
. (7)
√
2
ρ
Функцию P Бом назвал квантовомеханическим потенциалом. Конечно, такое представление имеет реальный смысл лишь после того, как найдена
функция ρ. Поучительное обсуждение и критические замечания по концепции Бома можно найти в работах из сборника [26].
На самом же деле уравнения (4) и (5) имеют прозрачную гидродинамическую интерпретацию. Уравнение (4) — это уравнение неразрывности
дляполяскоростей(6), а уравнение (5) — это интеграл Лагранжа – Коши
для потенциальных течений «идеальной баротропной» жидкости под действием потенциальных массовых сил с плотностью потенциала V. Кванто-
вомеханический потенциал P играет роль функции давления. Только, в отличие от обычных предположений гидродинамики, P зависит не только от
плотности ρ, но и от ее производных.
Таким образом, решения уравнения Шр¨едингера находятся в однозначном соответствии с потенциальными течениями идеальной обобщенно баротропной жидкости с функцией давления (7). Эта аналогия физикам хорошо известна. Ее обсуждение и применение к динамике сверхпроводимости
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И ГИДРОДИНАМИКА 299
содержится, например, в известном курсе лекций Р. Фейнмана (т. 3, гл. 19).
В связи со сказанным возникает интересный вопрос: имеют ли физический
смысл вихревые течения этой воображаемой «квантовой» жидкости? Положительный ответ на этот вопрос можно найти в работе [116].
◦
. Вновь вернемся к предельному переходу от квантовой механики
3
к классической, когда ¯h → 0. В пределе уравнение (5) будет замкнутым.
t
Пусть g
ный момент времени частица локализована в некоторой точке x
— поток динамической системы (6).Предположим,чтовначаль-
∈ R3.
0
Другими словами, при t =0плотность вероятности ρ является дельтафункцией Дирака δ(x −x
). Тогда уравнение (4) дает нам, что в произволь-
0
ный момент времени t плотность ρ(x, t) будет снова δ-функцией:
t
ρ(x, t)=δ(x −g
(x0)).
Этот факт легко понять из следующих рассуждений. Пусть D —любая
3
область в R
, не содержащая точку x0. Тогда при t =0будем иметь, что
ρd3x =0. (8)
D
Согласно (4), ρ — плотность интегрального инварианта системы (6).Следовательно, равенство (8) будет иметь место в любой момент времени t для
t
любой области D, не содержащей точку g
(x0). Что и требовалось. Отме-
тим, что этот вывод, конечно, справедлив для систем дифференциальных
уравнений общего вида (не только градиентных).
Таким образом, если при t =0частица локализована в некоторой точ-
, то в момент времени t она будет локализована в точке gt(x0) иее
ке x
0
закон движения
t → g
t
(x0),
конечно, удовлетворяет уравнению Ньютона
∂V
¨x = −
∂x
.
При ¯h =0ситуация совсем другая. Уравнения (4) и (5) связаны друг
с другом, и поэтому из-за присутствия квантовомеханического потенциала P сосредоточенная в точке плотность вероятности ρ будет «расплываться» по всему пространству. Это явление, тесно связанное с соотношением неопределенности Гейзенберга, напоминает явление диффузии вихрей
в вязкой жидкости (§ 2 гл. I).
300 ДОПОЛНЕНИЕ 2
Расплывание плотности вероятности проще всего продемонстрировать
на примере свободной частицы на прямой R = {x}. Уравнение Шр¨едингера
принимает вид
∂ψ
= −Δψ. (9)
i
∂t
Для простоты записи формул мы положили ¯h =2. В так называемом им-
пульсном представлении решения уравнения (9) имеют вид
+∞
ψ(x, t)=
√
1
2π
−∞
ϕ(p)e
i(px−p2t)
dp, (10)
где ϕ — произвольная квадратично суммируемая функция на прямой:
+∞
|ϕ(p)|2dp = 1 (11)
−∞
(см., например, [88]). Положим, например,
2
εp
1
−
4
ϕ =
ε
π
e
2
,ε>0.
Условие нормировки (11), очевидно, выполнено. Используя известные
свойства преобразования Фурье, из формулы (10) получаем явное выражение для плотности вероятности:
2
−
e
εx
ε2+4t
2
. (12)
ρ(x, t)=
2
√
ε
π(ε2+4t2)
При t =0получаем формулу
2
x
−
1
πε
ε
e
.
ρ =
√
Когда ε → 0, то это выражение стремится к δ-функции:
lim
ε→0
+∞
−∞
√
1
πε
2
x
−
ε
e
f(x) dx = f(0).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]