Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Общая теория вихрей
.pdf
§9. ИНВАРИАНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ ОБЩЕГО ВИДА 161
Согласно (9.18),
Φ(ξ
Рассмотрим теперь инвариантное многообразие Σ
)=const. (9.19)
t,ηt
,ипустьξ и η ка-
t
саются этого многообразия в начальный момент времени t =0. Ввиду ин-
вариантности Σ
очевидно, останется справедливым при ограничении 2-формы Φ на Σ
векторы ξtи ηtбудут снова касаться Σt. Равенство (9.19),
t
t
:
Ω(ξ
t,ηt
)=const.
Но это означает справедливость соотношения (9.18) на инвариантном многообразии Σ
. Что и требовалось.
t
Как и симплектическая структура Φ,2-формаΩ замкнута: Ω=dω.Так
как дифференцирование по времени перестановочно с операцией внешнего
дифференцирования и L
Ω=d(ivdω), то уравнение (9.11) можно предста-
v
вить в эквивалентном виде:
∂ω
+ i
d
∂t
dω=0.
v
Следовательно, выражение в скобках есть полный дифференциал некоторой функции:
∂ω
+ i
dω = −dg.
v
∂t
Это уравнение, конечно, имеет вид уравнения Ламба, но при таком подходе
остается скрытым смысл функции g.
◦
4
. Самый простой пример инвариантных многообразий — это совместные уровни первых интегралов уравнений Гамильтона. Будем рассматривать автономные системы. Неавтономный случай сводится к автономному увеличением числа степеней свободы за счет добавления времени к обобщенным координатам. Следствием инвариантности многообразия
служит уравнение Ламба, которое в автономном случае не зависит от выбора локальных переменных.
Поскольку функция Гамильтона H — первый интеграл, то всегда име-
ется инвариантное многообразие
2n−1
= {x, y: H(x, y)=c}. (9.20)
Σ
c
Ввиду нечетности его размерности ограничение симплектической 2-формы Φ вырождено: в каждой точке Σ
2n−1
имеется единственная касательная
c
162 ГЛАВА II
прямая, состоящая из вихревых векторов. Несложно убедиться в том, что
вихревые линии совпадают с фазовыми траекториями гамильтоновой системы на (9.20). Обобщенная теорема Гельмгольца о вмороженности вихревых линий вырождается в тривиальное утверждение: поток гамильтоновой
2n−1
системы на Σ
переводит каждую фазовую траекторию в себя.
c
На этот пример можно посмотреть с другой стороны. Траектории гамильтоновой системы на (9.20) можно параметризовать одной из канонических переменных. Если, например, ∂H/∂y
H(x
, ..., xn,y1, ..., yn)=c
1
=0, то уравнение
n
можно разрешить (хотя бы локально) относительно y
y
+ K(x1, ..., xn,y1, ..., y
n
n−1
:
n
,c)=0.
Ограничение симплектической структуры Ω на (9.20) в переменных
, ..., xn,y1, ..., y
x
1
Ω=dω, ω = y
имеет следующий вид:
n−1
+ ...+ y
1dx1
n−1dxn−1
− Kdxn.
Вихревые линии Ω на (9.20) можно параметризовать сопряженной координатой x
, которую обозначим τ . Из уравнений Ламба легко выводятся
n
уравнения Уиттекера
∂K
=
∂y
,y
j
x
j
j
= −
∂K
,j=1, ..., n− 1.
∂x
j
Штрих обозначает производную по новому «времени» τ . Это наблюдение —
один из аспектов «вихревого принципа динамики», сформулированного
Картаном для общих неавтономных систем. Роль формы ω играет 1-форма энергии–импульса. Сказанное выше — гидродинамическая интерпретация процедуры понижения порядка гамильтоновых систем по Уиттекеру,
которая уже обсуждалась нами в § 5 гл. I.
Рассмотрим теперь общий случай, когда имеется набор функционально
независимых первых интегралов уравнений Гамильтона
, ..., Fm. (9.21)
F
1
Этот набор будем считать замкнутым:
{F
} = aij(F1, ..., Fm).
i,Fj
§9. ИНВАРИАНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ ОБЩЕГО ВИДА 163
Ранг кососимметрической m × m-матрицы скобок Пуассона aij четный;
обозначим его 2s. Согласно теореме Ли – Картана, в окрестности интегрального инвариантного многообразия
2n−m
Σ
= {x, y: F1(x, y)=c1, ..., Fm(x, y)=cm} (9.22)
c
можно указать новые независимые первые интегралы Φ
, ..., Φmввиде
1
функций от (9.22),такие,что
{Φ
, Φ2} = ...= {Φ
1
а остальные скобки Пуассона {Φ
, Φj} равны нулю. Эта теорема была уста-
i
, Φ2s} =1,
2s−1
новлена Софусом Ли в 1873 г. (см. также [68, гл. 9]), а затем передоказана
Э. Картаном в книге [28].
2n−m
В окрестности Σ
функции Φ1, ..., Φmможно принять за новые
c
канонические переменные
Y
, ..., Ys,Xs,Y
1,X1
s+1
, ..., Y
,m=2s + k. (9.23)
s+k
Согласно лемме Каратеодори о пополнении, к координатам (9.23) можно
добавить переменные
x
s+1
, ..., x
s+k,ys+k+1,xs+k+1
, ..., yn,x
n
(9.24)
(обозначим их малыми буквами) так, что (9.23) и (9.24) будут составлять
полный набор канонических координат.
Переменные (9.24) — локальные координаты на Σ
2n−m
. В этих пере-
c
менных ограничение 1-формы ω на (9.22) принимает вид
ω = c
Здесь c
dx
+ ...+ c
s+1
s+1
обозначает постоянное значение функции Φjна (9.22).Соответ-
j
s+k
dx
s+k
+ y
s+k+1dxs+k+1
+ ...+ yndxn.
ственно, ограничение симплектической структуры Φ на (9.22) имеет вид
Ω=dω = dy
s+k+1
∧ dx
+ ...+ dyn∧ dxn. (9.25)
s+k+1
Она, конечно, вырождена, если k =0. Вихревые многообразия формы
(9.25) — k-мерные поверхности, которые задаются уравнениями
x
s+k+1
= x
0
s+k+1
,y
s+k+1
= y
0
s+k+1
, ..., xn= x
0
,yn= y
n
0
. (9.26)
n
164 ГЛАВА II
Эти поверхности параметризуются локальными координатами
x
s+1
, ..., x
. (9.27)
s+k
Поскольку функции Φ
, ..., Φm— первые интегралы, то в канониче-
1
ских переменных (9.23)–(9.24) исходный гамильтониан зависит лишь от
Y
s+1
, ..., X
s+k,ys+k+1,xs+k+1
, ..., yn,xn.
Следовательно, ограничение гамильтониана H на инвариантное многообразие (9.22) есть функция h, зависящая лишь от
y
s+k+1,xs+k+1
и постоянных параметров c
s+1
, ..., c
, ..., yn,x
. Ограничение гамильтонова век-
s+k
n
(9.28)
торного поля v на (9.22) имеет компоненты (в координатах (9.24))
∂H
, ...,
∂Y
s+1
Черта означает, что вместо канонических переменных Y
∂Y
∂H
s+k
, −
∂x
∂H
s+k+1
, ...,
∂H
. (9.29)
∂y
n
, ..., Y
1
s+k
подставлены их постоянные значения. Подчеркнем, что компоненты (9.29) не
зависятоткоординат(9.27). Последние 2(n − s − k) частных производных (9.29) совпадают с производными ограничения гамильтониана h по
соответствующим переменным.
Ясно, что «функция Бернулли» h постоянна на фазовых траекториях
и на вихревых многообразиях (9.26). Поскольку компоненты поля (9.29) за-
2n−m
висят только от переменных (9.28),тофазовыйпотокнаΣ
c
переводит
вихревые многообразия в вихревые многообразия.
В итоге исходная гамильтонова система с n степенями свободы сведена
к изучению гамильтоновой системы с n − s − k степенями свободы
∂h
=
˙x
j
, ˙yj= −
∂y
j
∂h
; s + k +1 j n. (9.30)
∂x
j
В теории понижения порядка гамильтоновых систем по Картану [28]
(см. также [10]) эта система называется приведенной. С другой стороны,
система (9.30) совпадает с фактор-системой, полученной из ограничения
2n−m
гамильтоновой системы на Σ
вивалентности, когда отождествляются точки на Σ
после факторизации по отношению эк-
c
2n−m
, лежащие в одной
c
§10. ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА 165
связной компоненте каждого вихревого многообразия. Корректность операции факторизации обосновывается обобщенными теоремами Бернулли
и Гельмгольца. Фактор-система вводится и в более общем неавтономном
случае (см. § 4 гл. II).
РИМЕР 4. Предположим, что гамильтонова система допускает
П
замкнутый набор 2s функционально независимых первых интегралов
, ..., F2s, причем ранг матрицы их скобок Пуассона равен 2s.Тогда
F
1
ограничение гамильтоновой системы на инвариантное многообразие
2n−2s
Σ
= {x, y: F1(x, y)=c1, ..., F2s(x, y)=c2s}
c
будет гамильтоновой системой (уравнение Ламба)
i
Ω= −dh, Ω=Ω|Σ,h= H|Σ. (9.31)
v
В рассматриваемом случае 2-форма Ω
невырождена. Вопрос о каноническом представлении гамильтоновой системы (9.31) упирается в способ конструктивного приведения замкнутой невырожденной 2-формы к каноническому виду (существующему по теореме Дарбу).
Рассмотрим еще одно инвариантное многообразие на единицу мень-
шей размерности
2n−2s
Σ
∩{x, y : H(x, y)=c
c
}. (9.32)
2s+1
Оно нечетномерно, и поэтому ограничение симплектической структуры
на (9.32) — вырожденная, но не особая 2-форма. Ее вихревые линии совпадают с траекториями исходной гамильтоновой системы на (9.32).Эти
траектории можно представить как решения неавтономной гамильтоновой
системы с n − s −1 степенями свободы. Это наблюдение в принципиальном плане распространяет процедуру понижения порядка по Уиттекеру на
большее число степеней свободы.
§ 10. Вихревая теория кинетического момента
1◦. Движение частицы единичной массы в центральном поле описы-
вается дифференциальным уравнением Ньютона
¨x = −
∂V
,x∈ E
∂x
3
. (10.1)
166 ГЛАВА II
Потенциал силового поля V есть функция только от |x| — расстояния от
частицы до центра сил. Уравнение (10.1) имеет интеграл кинетического
момента
x × ˙x = k, k ∈ R
3
. (10.2)
Уравнение (10.1) можно представить как систему канонических урав-
нений Гамильтона
2
˙x =
∂H
∂y
, ˙y = −
∂H
∂x
,H=
|y|
2
+ V (|x|).
Из первого уравнения вытекает, что
˙x = y.
Векторный интеграл кинетического момента (10.2)
x × y = k (10.3)
эквивалентен трем скалярным соотношениям
x
− x3y2= k1,x3y1− x1y3= k2,x1y2− x2y1= k3. (10.4)
2y3
2
2
2
= k
Предложение 13. Если k
1
+ k
ний (10.4) задает связную регулярную трехмерную поверхность Σ
2
2
+ k
=0, то система уравне-
3
3
вше-
k
стимерном фазовом пространстве переменных x, y.
Действительно, если k =0, то оси ортогонального трехгранника мож-
но выбрать так, что третья ось будет направлена вдоль вектора k.Вэтих
переменных уравнения (10.4) принимают следующий вид:
=0,y3=0,x1y2− x2y1= |k|.
x
3
3
Таким образом, инвариантная поверхность Σ
определяется одним алгеб-
k
раическим уравнением в четырехмерном пространстве
4
= {x1,x2,y1,y2}.
R
Так как единственная критическая точка квадратичной формы
x
− x2y
1y2
1
совпадает с началом координат, то при k =0поверхности Σ
ны. В свою очередь, связность Σ
можно вывести из известных свойств
k
регуляр-
k
(10.5)
нейтральных квадрик (см., например, [13]). Имеется два семейства Φ и Ξ
3
прямых на Σ
таких, что:
§10. ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА 167
1) через каждую точку x ∈ Σ проходит ровно по одной прямой из Φ и Ξ;
2) любые две прямые из Φ и Ξ пересекаются ровно по одной точке из Σ.
Следовательно, Σ
3
линейно связна, а значит, и связна. Таким образом,
k
предложение доказано.
3
Кстати сказать, свойство линейчатости многообразия Σ
легко вывести
k
непосредственно из уравнения (10.3).Пустьточка
лежит на Σ
,y= y
x = x
0
3
, k =0. Тогда, очевидно, x0=0и y0=0. Рассмотрим теперь
k
0
(10.6)
две прямые
,y= y0+ x0s и x = x0+ y0s, y = y0, (10.7)
x = x
0
где s — вещественный параметр. Очевидно, они пересекаются в точке (10.6)
3
илежатнаΣ
.
k
Любопытная особенность интегральных инвариантных многообра-
зий (10.4) состоит в следующем: они трехмерные и регулярные, но не
проектируются взаимно однозначно (даже локально) на трехмерное пространство конфигураций и на пространство импульсов. Другими словами,
из уравнений (10.4) нельзя выразить импульсы (координаты) через координаты (соответственно импульсы).
◦
.
2
Предложение 14. Интегральное многообразие Σ
3
(k =0)— вихревое.
k
Другими словами, ограничение симплектической структуры
2
= dx1∧ dy1+ dx2∧ dy2+ dx3∧ dy
Ω
3
на Σ
— ненулевая замкнутая 2-форма.
k
Доказательство. Пусть точка x = x
, y = y0лежит на Σ
0
3
3
. Соглас-
k
но (10.7), через эту точку проходят две касательные прямые с направляющими векторами
=(0,y0) и n2=(x0, 0).
n
1
Значение симплектической 2-формы на этих векторах равно
2
Ω
(n1,n2)=−(x
Почти всюду на Σ
3
оно отлично от нуля. Что и требовалось.
k
0
0
0
0
0
y
+ x
1
y
1
2
2
+ x
0
y
)=−(x0,y0).
3
3
168 ГЛАВА II
Поскольку инвариантное многообразие (10.4) трехмерное, то оно рас-
слоено на вихревые линии. Изучим распределение вихревых векторов
и структуру семейства вихревых линий. Снова будем предполагать, что кинетический момент вертикален (x
= y3=0). Зафиксируем точку на Σ
3
с координатами
0
= x
1
,y1= y
1
x
0
,x2= x
1
0
,y2= y
2
0
.
2
Компоненты касательных векторов τ вэтойточке
ξ
1,η1,ξ2,η2
удовлетворяют соотношению
0
y
ξ
1
2
− η1x
0
− ξ2y
2
0
+ η2x
1
0
=0. (10.8)
1
Компоненты вихревого вектора в этой же точке
0
0
0
,w
w
x
,w
y
1
1
x
,w
2
0
y
2
находятся из равенства
2
(w, τ)=w
Ω
0
η1− w
x
1
0
ξ1+ w
y
1
0
η2− w
x
2
0
ξ2=0, (10.9)
y
2
справедливого для всех ξ, η, удовлетворяющих (10.8).
Сопоставляя (10.8) и (10.9), получаем, что с точностью до ненулевого
множителя
0
0
0
0
=(x
,y
w
, −x
2
2
, −y
1
0
).
1
Следовательно, вихревые линии — интегральные кривые векторного поля w — находятся как решения следующей линейной системы дифференциальных уравнений:
= x2,y
x
1
= y2,x
1
= −x1,y
2
= −y1. (10.10)
2
Функция (10.5) — первый интеграл этой системы. Следовательно, инте-
3
гральные кривые (10.10) действительно лежат на Σ
скольку все решения (10.10) периодичны, то Σ
(при разных k). По-
k
3
(k =0) расслаивается на
k
замкнутые вихревые линии.
Это расслоение сродни классическому расслоению Хопфа трехмерной
сферы ее большими кругами. Чтобы продемонстрировать это, введем новые
комплексные координаты ξ
= ξ1+ iη2,y1= iξ2− η1,x2= iξ2+ η1,y2= ξi− iη2.
x
1
, η1, ξ2, η2по формулам
1
3
k
§10. ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА 169
В новых переменных квадратичная форма (10.5) переходит в сумму квадратов
2
2
2
+ η
ξ
+ ξ
1
1
2
+ η
,
2
2
а уравнения вихревых линий (10.10) переходят в уравнения
ξ
= η1,η
1
= −ξ1,ξ
1
= −η2,η
2
= ξ2.
2
Их решения как раз параметризуют большие круги на трехмерных сферах.
◦
. Факторизацию интегрального многообразия Σ
3
3
по вихревым лини-
k
ям проще всего провести с использованием полярных координат. Положим
= r sin ϕ, x2= r cos ϕ,
x
= prsin ϕ +
y
1
1
cos ϕ
r
p
,y2= prcos ϕ −
ϕ
sin ϕ
r
p
.
ϕ
(10.11)
Так как
y
+ y2dx2= prdr + pϕdϕ,
1dx1
то преобразование (10.11) — каноническое. В новых переменных
− x1y2= pϕ= k,
x
H =
2y1
1
2
1
+˙x
2
)+V =
2
(˙x
2
1
2
p
r
2
2
p
ϕ
+
r
2
+ V (r).
(10.12)
Поскольку p
= k =const,то
ϕ
2
Ω
= d(prdr + pϕdϕ)=dpr∧ dr. (10.13)
При k =0переменные
ϕ mod 2π, r > 0,p
нумеруют точки интегральной поверхности Σ
r
3
. В этих переменных гамиль-
k
тоново векторное поле v имеет компоненты
k
, ˙r = pr, ˙pr= −
˙ϕ =
2
r
∂V
∂r
+
. (10.14)
3
r
2
k
С другой стороны, согласно (10.13), вихревое поле имеет вид
w =(1, 0, 0).
170 ГЛАВА II
Следовательно, факторизация по вихревым линиям сводится к простому
исключению угловой переменной ϕ. В частности, фактор-многообразие —
это двумерная плоскость {r>0,p
}. Эта плоскость служит фазовым про-
r
странством гамильтоновой фактор-системы. Ее гамильтониан — функция
2
h =
p
2
2
k
r
+
+ V (r).
2
2r
Уравнения фактор-системы
˙r =
∂h
, ˙pr= −
∂p
r
∂h
∂r
были известны еще Ньютону.
Так как div v =0, то поток системы (10.14) сохраняет стандартную
меру на Σ
. В частности, поля v и w коммутируют (как и должно быть
k
по теореме 1 гл. I) и вихревые линии вморожены в фазовый поток системы (10.14). Поскольку функция h не зависит от ϕ, то она постоянна не
только на линиях тока (интегральных кривых поля v), но и на вихревых
линиях.
◦
. Усложним теперь рассматриваемую задачу, предположив, что ча-
4
стица несет электрический заряд и на нее дополнительно действует магнитное поле монополя, расположенного в точке x =0. Это поле центральное:
H = −λ
x
,λ=const. (10.15)
3
|x|
Несложно проверить, что оно дездивергентное:
div H =0 (x =0). (10.16)
Можно ли это поле интерпретировать как реально существующее маг-
нитное поле? С физической точки зрения — нет, поскольку магнитные «заряды» (монополи) отсутствуют: поток магнитного поля через любую замкнутую поверхность равен нулю. В нашем случае поток поля (10.15) через
любую сферу с центром в точке x =0равен
что отлично от нуля при λ =0.
−4πλ,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]