Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Общая теория вихрей
.pdf
§3. ВИХРЕВОЙ МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ 261
Уравнения (3.24) имеют очевидное семейство двумерных инвариантных многообразий, однозначно проектирующихся на конфигурационную
плоскость x
:
1,x2
˙x
= ωx2+ c1, ˙x2= −ωx1+ c2,ci=const.
1
Отсюда сразу видно, что траектории заряда будут окружностями (круги
Лармора). В канонических переменных эти многообразия имеют вид
ωx
y
1
2
=
+ c
,y2= −
1
2
ωx
1
+ c
. (3.27)
2
2
Если ω =0, то они будут, очевидно, вихревыми.
Для уравнений с гамильтонианом (3.23) будем искать n-мерные инвариантные многообразия в виде (ср. с (3.27))
∂S
y = Ax +
∂x
.
Тогда уравнение Ламба примет вид
∂
∂x∂S∂t
Ясно, что слагаемое 4A
+2A2Ax +
2
x является градиентом квадратичной формы
∂S
∂x
= −
∂h
. (3.28)
∂x
Φ=−2(Ax, Ax).
Чтобы уравнение (3.28) было непротиворечивым, слагаемое
∂S
2A
∂x
должно быть градиентом некоторой функции R(x). Критерий существования функции R заключается в коммутационном матричном равенстве
2
∂
A
∂x
2
∂
S
S
+
∂x
A =0.
2
2
Отметим, что при n =2оно эквивалентно условию гармоничности функции S :ΔS =0. Витогеиз(3.28) получаем аналог уравнения Гамильтона –
Якоби:
∂S
∂t
∂S
1
+
2
∂x
,
∂S
∂x
+2
∂S
,Ax+ R −
∂x
1
(Ax, Ax)+V =0. (3.29)
2
262 ГЛАВА IV
При n =2можно положить
∂S
∂x
1
= −
∂R
∂x
∂S
,
∂x
2
∂R
=
. (3.30)
∂x
2
1
Это — известные уравнения Коши– Римана; S и R — сопряженные гармонические функции. В стационарном случае уравнение (3.29) можно представить в виде уравнения для функции R :
∂R
1
2
∂x
2
+
1
∂R
∂x
2
2
+ ωR −
− ω
∂R
x1+
∂x
1
2
ω
2
1
+ x
2
2
(x
8
∂R
x
+
2
∂x
2
)+V = h.
(3.31)
Здесь h — постоянная энергии. При этом, конечно, надо помнить, что
к уравнению (3.31) добавляется условие гармоничности функции R.
Для гамильтониана (3.25)
V =
ω
2(x2
1
2
+ x
)
2
. (3.32)
8
Гармоническим полным интегралом (3.30) служит, например, функция
где c
и c2— произвольные постоянные, и
1
R = c
h =
2x1
(c
− c1x2,
2
+ c
1
2
2
)
2
.
Инвариантные многообразия гамильтоновой системы с гамильтонианом (3.25) можно искать в виде
∂S
y = −Ax +
∂x
.
Тогда rot u = −2A и уравнение Ламба принимает более простой вид:
∂
∂x∂S∂t
− 2A
∂S
∂x
= −
∂h
∂x
.
§4. ПОЛНАЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ ФАКТОР-СИСТЕМЫ 263
Полагая
∂S
∂x
∂P
=
,
∂x
2A
приходим к уравнению, аналогичному (3.29):
∂S
∂t
∂S
1
+
2
∂x
∂S
,
− P −
∂x
1
(Ax, Ax)+V =0.
2
Пусть n =2, матрица A имеет вид (3.26), а функция P определяется
из уравнений Коши – Римана (3.30). Тогда в стационарном случае получаем
уравнение
∂P
1
2
∂x
2
+
1
∂P
∂x
2
2
− ωP −
2
ω
2
(x
8
2
+ x
)+V = h. (3.33)
1
2
К нему надо добавить уравнение Лапласа ΔP =0.
Хотя уравнение (3.33) проще уравнения (3.31), однако для потенциала (3.32) оно не имеет нетривиальных гармонических решений.
§ 4. Полная интегрируемость фактор-системы
1◦. Как мы видели, если rank(rot u) постоянен и равен 2k,токон-
n
фигурационное многообразие M
расслоено (n −2k)-мерными вихревыми
многообразиями N. Отождествляя точки, лежащие на одних и тех же связных компонентах вихревых многообразий, приходим к 2k-мерному факторпространству M/N. Обобщенная теорема Гельмгольца – Томсона позволяет
корректно определить на M/N фактор-систему, которая также имеет вид
уравнений Ламба с невырожденной матрицей ротора (уравнения (4.11) главы II).
Основной результат вихревой теории интегрирования уравнений Га-
мильтона составляет
Теорема 40. Пусть выполнены условия (a), (b) и (c) теоремы 1 из
§ 3. Тогда решения фактор-системы на M/N находятся явно с помощью
квадратур.
Этот результат имеет два аспекта. Во-первых, утверждается, что можно
явно найти вихревые многообразия матрицы rot u, где u(x, t, c) —полный
264 ГЛАВА IV
интеграл исходного уравнения Ламба, и тем самым в явном виде представить уравнения фактор-системы. Во-вторых, утверждается, что дифференциальные уравнения фактор-системы можно явно проинтегрировать с помощью квадратур.
◦
. Обсудим сначала второй аспект и предположим, что мы уже при-
2
вели фактор-систему к уравнению Ламба с невырожденным ротором:
∂u
+(rotu)˙x = −
∂t
∂h
,x=(x
∂x
, ...,x2k). (4.1)
1
Как мы уже отмечали, такие системы уравнений называются системами
Биркгофа (сам Биркгоф называл (4.1) уравнениями Пфаффа). Ввиду невы-
рожденности ротора уравнение (4.1) можно явно разрешить относительно
скорости:
˙x = v(x, t). (4.2)
Предположим, что эти уравнения допускают k независимых интегралов
(x, t), ...,fk(x, t). (4.3)
f
1
Каждой из этих функций f
ле v
по правилу
s
можно однозначно сопоставить векторное по-
s
∂f
s
(rot u)v
s
= −
. (4.4)
∂x
В общем случае эти поля, конечно, зависят от времени. Спрашивается,
когда они коммутируют при каждом фиксированном значении t?
Чтобы ответить на этот вопрос, введем (как в § 1) матрицу Γ=γ
ij
обратную матрице rot u. Матрица Γ также будет кососимметричной.
Лемма 11. Если
то [v
p,vq
]=0.
Действительно, соотношение (4.4) показывает, что v
во поле, порождаемое гамильтонианом f
i,j
∂f
∂f
p
∂x
q
=0, (4.5)
∂x
i
j
— гамильтоно-
s
, относительно симплектической
s
γ
ij
структуры, задаваемой замкнутой невырожденной 2-формой
Ω=d
u
idxi
.
,
§4. ПОЛНАЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ ФАКТОР-СИСТЕМЫ 265
Выражение в левой части (4.5) — это скобка Пуассона функций fpи fq,
представленная не в канонических переменных x
, ...,x2k. После этих
1
замечаний лемма 11 становится следствием леммы 3 из § 4 главы II.
По аналогии с гамильтоновым случаем будем говорить, что функции f
и fqнаходятся в инволюции. Систему уравнений Биркгофа (4.1) назовем
вполне интегрируемой, если интегралы (4.3) находятся попарно в инволю-
ции.
Эту терминологию оправдывает
Предложение 23. Вполне интегрируемая система Биркгофа интегрируется в квадратурах.
Из этого утверждения вытекает важное
Следствие 9. Пусть выполнены предположения (a), (b) и (c) теории
вихревого интегрирования и
rank(rot u)=n.
Тогда уравнения Гамильтона интегрируются с помощью квадратур.
Автономный вариант этого утверждения выведен в §3 из теоремы Лиувилля о полной интегрируемости.
Доказательство предложения 23.
Перепишем уравнения (4.1) и (4.4) в инвариантной форме:
p
∂ω
+ i
Ω=−dh, (4.6)
v
∂t
Ω=−dfs. (4.7)
i
v
s
Поскольку функции (4.3) — интегралы системы (4.2),то
∂f
s
∂t
+ L
=0. (4.8)
vfs
Из (4.7) сучетом(4.8) получаем
∂
Ω=−Lvdfs=
L
viv
s
df
. (4.9)
s
∂t
С другой стороны, из (4.6) вытекает равенство
∂Ω
+ i
i
v
s
∂t
LvΩ=0. (4.10)
v
s
266 ГЛАВА IV
Вычитая (4.10) из (4.9) и используя (4.7), приходим к соотношению
i
∂vs/∂t
Ω+i
[vs,v]
Ω=0.
Поскольку 2-форма Ω невырождена, то
∂v
s
+[v
,v]=0. (4.11)
∂t
s
Расширим теперь 2k-мерное x-пространство, добавляя в качестве новой переменной координату t. Введем в расширенном (2k +1)-мерном про-
странстве k +1векторных полей
˜v, ˜v
,...,˜vk, (4.12)
1
которые получаются из полей v,v
,...,vkдобавлением t-компоненты
1
1, 0,...,0 соответственно. Ввиду предположения об инволютивности ин-
тегралов (4.3) поля v
, ...,vkкоммутируют при всех t (лемма 11). Следо-
1
вательно,
, ˜vj]=0,i,j=1, ...,k.
[˜v
i
Легко проверить (см. § 5 гл. II), что (4.11) эквивалентны коммутационным
соотношениям
[˜v, ˜v
]=0,s=1, ...,k.
s
Рассмотрим теперь в (2k +1)-мерном расширенном пространстве ре-
гулярную (k +1)-мерную поверхность
I
= {x,t : f1= α1,...,fk= αk}. (4.13)
α
Ввиду (4.8) поле ˜v касается I
свойство для векторных полей ˜v
при всех значениях постоянных α. Это же
α
вытекает из соотношения (4.7).Таким
s
образом, k +1 полей (4.12) касаются (k +1)-мерных интегральных поверхностей (4.13), линейно независимы в каждой точке и попарно коммутируют. После этого интегрируемость в квадратурах системы (4.1) вытекает из
теоремы Ли об интегрируемости дифференциальных уравнений с абелевой
группой симметрий.
В § 1 главы II мы заметили, что локально уравнения Биркгофа (4.1) приводятся к обычным уравнениям Гамильтона. Однако это приведение не конструктивно, и поэтому предложение 23 формально не вытекает из теоремы
Лиувилля о полной интегрируемости гамильтоновых систем.
§4. ПОЛНАЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ ФАКТОР-СИСТЕМЫ 267
3◦. Нам осталось показать, что при выполнении условий (a), (b) и (c)
вихревые многообразия находятся с помощью квадратур. Тогда переход
к фактор-системе можно осуществить конструктивно.
Рассмотрим семейство поверхностей совместных уровней функций f
из условия (b):
n−k
= {x : f1(x, t)=β1, ...,fk(x, t)=βk}.
M
β
В неавтономном случае эти поверхности зависят от времени t как от параметра.
Зафиксируем значение t. Пусть V
, ...,Vk— гамильтоновы векторные
1
поля в 2n-мерном фазовом пространстве переменных x, y, порождаемые гамильтонианами F
мутируют: [V
поверхностей Σ
ректно определены проекции этих полей v
пространство. Так как поля V
Поскольку {F
лом векторного поля V
всех i, j =1, ...,k. Это значит, что поля v
сти M
.
β
, ...,Fk. Поскольку {Fi,Fj} =0, эти поля попарно ком-
1
]=0. Согласно условию (b), поля Viкасаются n-мерных
i,Vj
= {x, y : y = u(x, t, c)} (лемма 1 § 3), и поэтому кор-
c
, ...,vkна конфигурационное
1
попарно коммутируют, то [vi,vj]=0.
i
} =0, то каждая функция Fiявляется интегра-
i,Fj
: Vj(Fi)=0. Следовательно, vj(fi)=0для
j
касаются каждой поверхно-
i
С другой стороны, имеются независимые вихревые векторные поля w
,...,w
1
, которые также касаются Mβ. Действительно, соглас-
n−2k
но (3.10),
∂f
i
· w
=0.
j
∂x
Далее, векторы
, ...,vk,w1,...,w
v
1
n−2k
(4.14)
i
линейно независимы. В противном случае
λ
+μjwj=0 (4.15)
ivi
с некоторыми λ, μ, причем|λ
| =0. Умножая (4.15) слева на rot u ипри-
i
меняя (3.10),получим
(rot u)vi= −λ
λ
i
∂f
i
=0.
i
∂x
268 ГЛАВА IV
Однако, согласно условию (c), функции f1, ...,fkнезависимы. Следовательно, все λ
равны нулю. Получили противоречие.
i
Отметим, что число независимых касательных полей (4.14) совпадает
с размерностью интегральных поверхностей M
.
β
Найдем теперь (n − 2k)-мерные вихревые многообразия rot u, точнее
пересечение этих многообразий с (n−k)-мерными поверхностями M
k-мерные и поэтому задаются на M
ϕ
(x)=γ1,...,ϕk(x)=γk,x∈ Mβ.
1
уравнениями
β
. Они
β
По определению вихревых многообразий, функции ϕ
удовлетворяют урав-
i
нениям
w
1(ϕi
)=··· = w
n−2k(ϕi
)=0, 1 i k. (4.16)
Будем искать их из дополнительных условий
v
)=δji, 1 j k, (4.17)
j(ϕi
где δ
— символ Кронекера.
ji
Прежде всего надо показать, что системы уравнений (4.16)–(4.17) имеют решения. Действительно, [v
]=0, а коммутаторы [vi,wj] линейно
i,vj
выражаются через вихревые векторы w. Это вытекает из предложения 1 § 5
главы II с учетом замечания, что уравнение Ламба (3.10) не содержит производной от ковекторного поля u по независимой переменной, играющей
роль времени.
Идея доказательства существования решений системы уравнений
в частных производных первого порядка (4.16) и (4.17) состоит в следующем. Введем на M
новые локальные координаты y, z такие, что вихре-
β
вые многообразия задаются соотношениями y =const. Переменные z —
координаты на вихревых многообразиях. В новых переменных операторы
дифференцирования вдоль вихревых полей имеют вид
Пусть
a
c
j
∂
i
∂y
i
(y, z)
+b
∂
. (4.18)
∂z
j
∂
j
∂z
j
(4.19)
— операторы, отвечающие коммутирующим полям v. Поскольку коммутатор операторов (4.18) и (4.19) имеет вид (4.18), то коэффициенты a
не за-
i
висят от z. Поскольку операторы (4.19), отвечающие различным полям v
,
s
§5. РАСШИРЕННЫЙ МЕТОД ГАМИЛЬТОНА–ЯКОБИ 269
коммутируют между собой, то тем же свойством обладают k «усеченных»
операторов
∂
a
(y)
i
. (4.20)
∂y
i
В этом случае можно сделать обратимую замену переменных y → ˜y, после
которой операторы (4.19) имеют следующий вид:
∂ ˜y
∂
, ...,
1
∂ ˜y
∂
.
k
Осталось заметить, что в новых переменных можно положить
=˜y1, ...,ϕk=˜yk.
ϕ
1
Поскольку векторные поля (4.14) независимы, то из (4.16) и (4.17) однозначно находятся (с помощью только алгебраических операций) частные
производные от функции ϕ
по локальным координатам на Mβ. Хорошо из-
i
вестно, что функция восстанавливается по ее частным производным с помощью нескольких интегрирований по одной переменной. Теорема полностью доказана.
§ 5. Расширенный метод Гамильтона – Якоби
1◦. Снова рассмотрим систему дифференциальных уравнений Гамильтона
и сопоставим ей систему обобщенных уравнений Ламба
∂u
i
+
∂t
˙x
∂H
=
k
, ˙yk= −
∂y
k
∂u
i
−
∂x
j
j
∂u
∂x
∂H
, 1 k n, (5.1)
∂x
k
j
v
i
j
= −
∂h
,i i n. (5.2)
∂x
i
Здесь
(x, t), ..., un(x, t)) = u(x, t)
(u
1
— ковекторное поле на конфигурационном пространстве {x},
v
(x, t)=
j
∂H
∂y
j
y=u(x, t)
270 ГЛАВА IV
— компоненты векторного поля,
h(x, t)=H(x, u(x, t),t).
Напомним, что полное решение системы (5.2) — это семейство решений u(x, t, c), гладко зависящее еще от n параметров (c
, ..., cn)=c,
1
такое, что
, ..., un)
∂(u
1
∂(c1, ..., cn)
=0. (5.3)
Для целей точного интегрирования дифференциальных уравнений Гамильтона можно по-разному использовать полное решение (полный интеграл)
уравнений Ламба.
Будем искать решение системы (5.2) следующего вида:
ω =u
Здесь α
, ..., cn, причем матрица скобок Лагранжа
c
1
, ..., αk,βk— функции от x1, ..., x2k, времени и параметров
1,β1
⎡
⎢
⎢
Ω=
⎢
⎣
= α1dβ1+ ...+ αkdβk+ dS. (5.4)
idxi
0[x
]0··· [x2,x2k]
[x
2,x1
.
.
.
,x1][x2k,x2] ··· 0
[x
2k
] ··· [x1,x2k]
1,x2
.
.
.
.
.
.
⎤
⎥
⎥
⎥
.
.
⎦
.
невырождена. Напомним определение скобок Лагранжа:
[x
i,xj
]=
k
s=1
∂x
∂α
s
−
∂x
i
∂α
∂x
∂β
s
j
∂β
s
s
.
∂x
i
j
В определенном смысле скобки Лагранжа двойственны скобкам Пуассона
(обсуждение см., например, в [86]).
В (5.4) дифференцирований по t и c нет. Формула (5.4) эквивалентна
следующей серии соотношений:
∂β
∂S
=
u
1
∂x
+ α
1
1
∂x
1
1
+ ...+ α
∂β
k
,
k
∂x
1
.......................................
(5.5)
∂S
=
u
2k
∂x
2k
u
=
2k+1
∂x
∂β
+ α
1
∂x
∂S
, ..., un=
2k+1
1
+ ...+ α
2k
k
∂x
∂S
∂x
∂β
k
,
2k
.
n
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]