Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Общая теория вихрей
.pdf
ГЛАВА IV
Вихревой метод интегрирования
уравнений Гамильтона
§ 1. Метод Гамильтона – Якоби
и теорема Лиувилля о полной интегрируемости
1◦. Как известно (§ 7 гл. I), метод Гамильтона – Якоби сводит задачу
о решении канонических уравнений
∂H
=
˙x
i
, ˙yi= −
∂y
i
∂H
, 1 i n,
∂x
i
(1.1)
H = H(x, y, t),
к исследованию уравнения в частных производных первого порядка
∂S
+ Hx
∂t
Пусть S(x, t, c),c=(c
, ...,xn,
1
, ...,cn) — полный интеграл уравнения (1.2):
1
∂S
∂x
,...,
1
∂S
,t=0. (1.2)
∂x
n
при всех c эта функция удовлетворяет уравнению (1.2),и
det
2
S
∂
∂xi∂c
=0. (1.3)
Тогда, по теореме Якоби, справедливы соотношения
y =
∂S
, −a =
∂x
∂S
,a=(a
∂c
,...,an), (1.4)
1
из которых находится общее решение системы (1.1): координаты x иимпульсы y как функции от t и 2n произвольных постоянных a
,...,cn.
c
1
,...,an,
1
242 ГЛАВА IV
Согласно условию (1.3), из первой группы уравнений можно найти (по
крайней мере локально) c
, ...,cnкак функции от x, y, t. Эти функции —
1
независимые интегралы уравнений (1.1), попарно находящиеся в инволюции: {c
} =0(лемма 4 из § 4 гл. III).
i,cj
Как заметил Лиувилль (1855 г.), последнее замечание можно обратить.
Теорема 36. Предположим что известны n независимых интегра-
лов F
(x, y, t), ...,Fn(x, y, t) уравнений (1.1), находящихся попарно в инво-
1
люции: {F
} =0. Тогда уравнения (1.1) интегрируются в квадратурах.
i,Fj
Интегрирование в квадратурах означает возможность отыскания полного решения с помощью алгебраических операций (включая обращение
функций) и вычисления интегралов функций одного переменного.
◦
2
. С методической точки зрения теорему Лиувилля проще сначала
доказать в автономном случае, когда функции H, F
, ...,Fnне зависят яв-
1
но от t и, в частности, гамильтониан H является одним из интегралов.
Для автономного случая теорема 36 была сформулирована несколько раньше Лиувилля французским математиком Буром. Полезно иметь в виду, что
каждая из гамильтоновых систем с гамильтонианом F
имеет тот же самый
i
набор интегралов. Такие системы называют еще вполне интегрируемыми.
Гамильтоновы векторные поля
v
, ...,v
F
1
F
n
касаются интегральных многообразий
N
= {F1= c1, ...,Fn= cn}
c
и попарно коммутируют (лемма 3 из § 4 гл. III). Следовательно, каждая компактная компонента N
будет n-мерным тором с условно-периодическими
c
движениями. Обсуждение геометрического варианта теоремы Лиувилля
можно найти, например, в книге [7].
◦
. Итак, докажем теорему 36 для автономного случая. Будем допол-
3
нительно предполагать, что
,...,Fn)
∂(F
1
∂(y1,...,yn)
=0. (1.5)
Это предположение носит технический характер и принято для простоты
изложения; оно гарантирует независимость функций F
, ...,Fn.
1
§1. МЕТОД ГАМИЛЬТОНА –ЯКОБИ И ТЕОРЕМА ЛИУВИЛЛЯ 243
Ввиду (1.5) систему алгебраических уравнений
F
(x, y)=c1, ...,Fn(x, y)=c
1
можно локально разрешить относительно импульсов
y
= u1(x, c), ...,yn= un(x, c).
1
Согласно следствию из леммы 1 (§ 4 гл. III), 1-форма
n
ω = u
+ ··· + undx
1dx1
n
(1.6)
будет полным дифференциалом некоторой функции W (x, c). Кстати, для
ее построения достаточно несколько раз вычислить интегралы от функции
одного переменного.
Покажем теперь, что
H(x, u(x, c)) = h(c). (1.7)
Действительно, вычислим производную левой части равенства (1.7) по ко-
ординате x
:
i
∂H
∂x
=
i
∂u
j
∂H
∂y
j
= ai. (1.8)
∂x
j
i
Поскольку
F
(x, u(x, c)) ≡ ck, (1.9)
k
то
∂F
∂x
k
+
i
j
∂F
∂y
∂u
j
k
=0. (1.10)
∂x
j
i
Из (1.8) и (1.10) вытекают равенства
i
∂F
k
a
i
∂y
i
= {H,Fk} +
i,j
∂H
∂y
∂u
∂F
∂y
j
j
k
∂x
i
i
∂u
i
−
∂x
.
j
Поскольку функции F
замкнута, то a · ξ
a =(a
, ...,Fn— первые интегралы и 1-форма (1.6)
1
=0, где
k
, ...,an)T,ξk=
1
∂F
k
, ...,
∂y
1
∂F
∂y
k
n
.
y=u
244 ГЛАВА IV
Ввиду неравенства (1.5) векторы ξ1, ...,ξnлинейно независимы. Следовательно, a =0, что доказывает (1.7).
Положим
S(x, t, c)=−h(c)t + W (x, c). (1.11)
Поскольку гамильтониан H не зависит явно от t и выполнено (1.7),то
при фиксированных значениях c функция (1.11) удовлетворяет уравнению
Гамильтона – Якоби (1.2). Осталось проверить неравенство (1.3). Из (1.9)
вытекают соотношения
или, что то же самое,
i
∂F
∂y
∂F
∂y
∂u
k
i
= δkj,
∂c
i
j
∂u
= E.
∂c
Следовательно, матрица
∂u
∂c
2
∂
W
=
∂x∂c
=
∂x∂c
2
∂
S
невырождена.
Для завершения доказательства теоремы 36 осталось воспользоваться
теоремой Якоби о полном интеграле.
◦
4
. В неавтономном случае (следуя § 6 гл. I) полезно расширить фазо-
вое пространство, ввести новые канонические координаты x
n+1
= t, y
n+1
и перейти к гамильтониану
H = y
+ H (x1,...,xn,y1, ...,yn,x
n+1
n+1
).
Дифференциальные уравнения Гамильтона
∂H
˙x
=
s
, ˙ys= −
∂y
s
∂H
, 1 s n +1, (1.12)
∂x
s
очевидно, эквивалентны исходным уравнениям (1.1). Первые интегралы из
теоремы 36 будут теперь иметь вид
F
= Fk(x1, ...,xn,y1,...,yn,x
k
), 1 k n.
n+1
Ясно, что
∂F
k
, H} =
{F
k
{F
, Fj} = {Fi,Fj} =0.
i
∂t
+ {F
,H} =˙Fk=0,
k
§1. МЕТОД ГАМИЛЬТОНА –ЯКОБИ И ТЕОРЕМА ЛИУВИЛЛЯ 245
Таким образом, гамильтонова система (1.12) с n +1степенями свободы
допускает n +1независимых интегралов H, F
, ...,Fn, находящихся по-
1
парно в инволюции. Остается применить к (1.12) автономный вариант теоремы Лиувилля.
◦
. Как мы видели (§ 1 гл. II), гамильтоновы системы дифференциаль-
5
ных уравнений допускают более общее описание:
∂h
. (1.13)
∂x
Здесь (x
зии M
,...,xn)=x — локальные координаты на гладком многообра-
1
n
, rot u — невырожденная матрица ротора ковекторного поля u(x),h—
гладкая функция на M
(rot u)˙x = −
n
. В силу предположения невырожденности rot u, n
будет обязательно четным. По теореме Дарбу, заменой переменных x систему (1.13) локально всегда можно привести к каноническому виду уравнений Гамильтона. Однако это приведение лишь в исключительных случаях
удается осуществить в явном виде.
Легко понять, что скобку Пуассона можно определить не только с ис-
пользованием канонических переменных. Действительно, пусть g —гладкая
n
функция на M
. Вычислим ее производную в силу системы (1.13):
∂g
˙g = {g,h} =γ
∂h
ij
∂x
. (1.14)
∂x
i
j
Здесь γ
— элементы матрицы, обратной rot u. Скобки (1.14), очевидно,
ij
обладают всеми свойствами скобки Пуассона.
Предположим теперь, что система дифференциальных уравнений (1.13)
допускает n/2 независимых интегралов
= h,f2, ...,f
f
1
, (1.15)
n/2
попарные скобки Пуассона (1.14) которых равны нулю. Спрашивается,
можно ли в этом случае проинтегрировать в квадратурах систему (1.13)?
Ввиду неконструктивности теоремы Дарбу мы не можем воспользоваться
методом Гамильтона – Якоби. Тем не менее для систем вида (1.13) также
справедлива теорема Лиувилля, однако ее доказательство основано на других идеях.
Пусть v
, ...,v
1
— гамильтоновы поля, порожденные гамильтониа-
n/2
нами (1.15):
∂f
k
(rot u)v
k
= −
, 1 k n/2.
∂x
246 ГЛАВА IV
Поле v1отвечает исходному векторному полю (1.13). Эти поля попарно
коммутируют и касаются n/2-мерных интегральных многообразий
= {x ∈ M : f1(x)=c1,...,f
I
c
n/2
(x)=c
n/2
}.
Таким образом, мы приходим к следующей общей картине: на k-мер-
k
ном многообразии I
заданы k векторных полей, которые линейно независимы в каждой точке I и попарно коммутируют между собой. Тогда,
оказывается, интегральные кривые каждого из этих полей можно найти
с помощью квадратур. Это утверждение является частным случаем теоре-
мы Софуса Ли об интегрируемости системы k дифференциальных урав-
нений, допускающей k-мерную разрешимую группу симметрий. В нашем
случае фазовые потоки векторных полей v
интегральные кривые каждого поля v
i
, ...,vk(k = n/2) переводят
1
в интегральные кривые того же поля. Таким образом, мы имеем k-мерную коммутативную группу симметрий
(как известно, все абелевы группы являются разрешимыми).
Теорема Ли — это непрерывный аналог знаменитой теории Галуа о решении в радикалах алгебраического уравнения с разрешимой группой перестановок его корней. Ее подробное доказательство с приложениями к уравнениям Гамильтона можно найти в книге [54].
Отметим, что компактные связные компоненты неособых интегральных многообразий I
вых координатах на этих торах компоненты векторных полей v
будут n/2-мерными торами, причем в некоторых угло-
c
, ...,v
1
n/2
постоянны одновременно. Таким образом, фазовые потоки векторных полей v
сводятся к равномерному движению по прямым линиям (см., напри-
k
мер, [7]).
§ 2. Некоммутативное интегрирование уравнений
Гамильтона
1◦. Пусть
F
, ...,F
1
m
(2.1)
— независимые интегралы гамильтоновой системы в 2n-мерном фазовом
пространстве. В автономном случае среди них может быть функция Гамильтона.
Набор функций (2.1) не обязательно инволютивный. Пусть 2r —ранг
кососимметричной матрицы их скобок Пуассона
{F
}, 1 i, j m. (2.2)
i,Fj
§2. НЕКОММУТАТИВНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ГАМИЛЬТОНА 247
Мы рассматриваем область фазового пространства, где этот ранг постоянен.
Отметим, что почти всюду ранг матрицы (2.2) принимает максимальное
значение.
Из симплектической геометрии хорошо известно неравенство
m n + r.
Например, в книге Картана [41] оно является простым следствием других,
более глубоких, результатов. Предположение
m = n + r (2.3)
часто называется условием некоммутативной интегрируемости уравнений
Гамильтона. Смысл этого термина будет разъяснен ниже. В частном случае, когда интегралы (2.1) коммутируют (r =0), условие (2.3) переходит
в известное условие Лиувилля полной интегрируемости гамильтоновых систем. Условие (2.3) имеет прозрачный смысл: к функциям (2.1) нельзя добавить другие независимые функции без увеличения ранга матрицы их скобок Пуассона.
В теории некоммутативного интегрирования обычно рассматриваются
замкнутые наборы интегралов (2.1): их скобки Пуассона являются функциями от F
, ...,Fm. Это предположение естественно с точки зрения тео-
1
ремы Пуассона. Легко понять, что любой набор первых интегралов можно
расширить до замкнутого набора с помощью дифференцирований и алгебраических операций (см., например, [41]). Однако предположение замкнутости не всегда необходимо.
◦
. В качестве примера укажем теорему Нехорошева [73], с которой,
2
собственно, и началась современная теория некоммутативного интегриро-
1
. Предполагается, что автономная гамильтонова система допускает
вания
n + k независимых первых интегралов
, ...,F
F
1
, (2.4)
n+k
причем первые n − k функций находятся в инволюции со всеми интегралами (2.4). Введем (n −k)-мерные интегральные многообразия в 2n-мерном
1
Вообще, начала этой теории выходят к работам В. А. Стеклова (их перевод на русский
язык содержится в сборнике [83]), развивавшего в свою очередь классические идеи Якоби
и Ли. В частности. В. А. Стекловым сформулировано условие (2.3) точной интегрируемости
уравнений Гамильтона с избыточным набором первых интегралов. Более подробные комментарии по этим вопросам можно найти в [112].
248 ГЛАВА IV
фазовом пространстве
= {F1= c1, ...,F
I
c
Н. Н. Нехорошев доказал, что если I
c
n+k
= c
}. (2.5)
n+k
связно и компактно, то Icдиффеоморфно (n −k)-мерному тору, причем в окрестности этого тора найдутся
канонические координаты J, p, ϕ mod 2π, q такие, что
= Js(F1, ...,F
J
s
), 1 s n −k, (2.6)
n−k
а сопряженные переменные p, q зависятотвсехинтегралов(2.4).
Поскольку гамильтониан H системы, очевидно, находится среди пер-
вых n−k интегралов, то, согласно (2.6), в новых канонических переменных
H = H(J
1
Следовательно, угловые координаты ϕ
,...,J
, ...,ϕ
1
n−k
).
на (n −k)-мерном инва-
n−k
риантном торе равномерно изменяются со временем:
∂H
=
˙ϕ
s
=const, 1 s n − k.
∂J
s
Докажем первую часть теоремы Нехорошева о том, что компактные
связные компоненты интегральных многообразий (2.5) будут торами. Для
этого введем n − k гамильтоновых векторных полей v
рые порождаются гамильтонианами F
, ...,F
1
. Поскольку эти функ-
n−k
,...,v
1
n−k
, кото-
ции по предположению независимы и находятся в инволюции со всеми
функциями (2.4), то поля v
, ...,v
1
но коммутируют. Так как dim I
c
независимы, касаются Icипопар-
n−k
= n − k, то отсюда вытекает требуемое
(ср. с § 1).
Попутно мы доказали, что в предположениях теоремы Нехорошева исходные дифференциальные уравнения Гамильтона интегрируются в квадратурах. Действительно, мы конструктивно строим (n − k)-мерные инвариантные многообразия и указываем в явном виде n − k независимых касательных полей, которые попарно коммутируют между собой. Среди этих
полей имеется исходное гамильтоново векторное поле. Остается воспользоваться теоремой Ли об интегрируемости в квадратурах системы уравнений,
допускающей полную абелеву группу симметрий.
§2. НЕКОММУТАТИВНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ГАМИЛЬТОНА 249
В теореме Нехорошева m = n + k, а ранг матрицы скобок Пуассона
функций (2.4) допускает очевидную оценку
2r n + k −(n − k)=2k.
Следовательно, неравенство m n + k превращается в равенство, и поэтому выполнено условие некоммутативной интегрируемости.
◦
. Теорема о торическом строении интегральных многообразий при
3
общем условии (2.3) была доказана А. С. Мищенко и А. Т.Фоменко в предположении, что интегралы (2.1) порождают конечномерную алгебру Ли (их
скобки Пуассона линейно выражаются через функции (2.1)). Для замкну-
тых наборов интегралов общего вида этот результат был получен позже
А. В. Стрельцовым. А. В. Браилов доказал интегрируемость в квадратурах
гамильтоновых систем с замкнутым набором интегралов, удовлетворяющих условию (2.3). Его идея состоит в том, что в предположении замкнутости можно конструктивно (с помощью алгебраических операций) указать
полный набор касательных коммутирующих полей на интегральных мно-
2
гообразиях
.
Обзор результатов по теории некоммутативного интегрирования гамильтоновых систем и связь этой теории со старыми результатами Ли, Картана и Дирака можно найти в книге А. Т.Фоменко [89].
◦
. В качестве примера вновь рассмотрим волчок Эйлера. Здесь n =
4
=3, а m =4: уравнения движения допускают интеграл энергии H итри
нетеровых интеграла — проекции кинетического момента K
x,Ky,Kz
на
неподвижные оси. Ввиду коммутационных соотношений
{H, K
} =0,...,{Kx,Ky} = Kz,...
x
ранг матрицы скобок Пуассона в типичных точках равен двум; следовательно, r =1и выполнено условие некоммутативной интегрируемости (2.3).
Покажем, как в этой задаче применяется теорема Нехорошева. Мы
2
имеем четыре (3 + 1) интеграла: H, K
мента), K
. Функции H и K2(в количестве 3 − 1) коммутируют со
y,Kz
(квадрат модуля кинетического мо-
всеми интегралами.
2
Стоит еще отметить, что H, K
и Kxобразуют полный независимый
набор интегралов в инволюции. Таким образом, все шестимерное фазовое
пространство расслаивается на трехмерные инвариантные торы с условнопериодическими движениями. Однако, ввиду наличия еще одного неза-
2
Теорема А. В. Браилова сформулирована в кратких заметках В. А. Стеклова [83].
250 ГЛАВА IV
висимого интеграла, эти трехмерные торы расслоены на двумерные торы, целиком лежащие на трехмерных инвариантных многообразиях, выделяемых условиями постоянства проекций K
x,Ky,Kz
. При естественном
проектировании на конфигурационное пространство эти двумерные торы
переходят в поверхности Бернулли из гидродинамической теории волчка
Эйлера.
◦
. Все сказанное выше касалось автономного случая. Однако условие
5
некоммутативной интегрируемости (2.3) легко переносится на неавтономный случай. Действительно, предположим, что интегралы (2.1) и функция
Гамильтона H(x, y, t) могут явно зависеть от времени. Расширим фазовое
пространство, вводя новые сопряженные канонические переменные x
= t,y
и новый гамильтониан
n+1
n+1
=
H = y
Функции (2.1) будут интегралами F
+ H (x, y, x
n+1
= Fs(x, y, x
s
n+1
).
) расширенной систе-
n+1
мы:
, H} =0, 1 s m. (2.7)
{F
s
Кроме того, согласно §1,
{F
, Fj} = {Fi,Fj}. (2.8)
i
Итак, мы имеем гамильтонову систему с n +1степенями свободы,
которая допускает m +1независимых первых интегралов
H, F
,...,Fm. (2.9)
1
В соответствии с (2.7) и (2.8) ранг матрицы их скобок Пуассона не увеличился и остался равным
2r =rank{F
i,Fj
}.
Следовательно, для расширенной автономной гамильтоновой системы
справедливо равенство (2.3).
Из этих замечаний вытекает, в частности,
Теорема 37. Предположим, что неавтономная гамильтонова система с n степенями свободы допускает n + k независимых интегралов (2.4)
(зависящих, вообще говоря, от времени), причем первые n − k из них на-
ходятся в инволюции со всеми интегралами (2.4). Тогда уравнения Гамильтона можно проинтегрировать с помощью квадратур.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]