Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Общая теория вихрей
.pdf
§1. ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ 21
Теорема 1. Поле w(x, t) удовлетворяет уравнению
∂w
=[v, w]. (1.13)
∂t
Скобка [·, ·] — коммутатор векторных полей. Напомним его опреде-
ление. Пусть a = {a
ром [a, b] называется поле c = {c
правилу
} и b = {bj} — два векторных поля. Их коммутато-
i
}, компоненты которого вычисляются по
k
c
=
j
∂a
j
− a
b
i
∂x
i
i
∂b
j
,
i
∂x
i
или, что то же самое,
b −
∂b
∂x
a.
Если L
a,Lb,Lc
∂a
c =
∂x
— операторы дифференцирования вдоль полей a, b, c, то
L
= LbLa− LaLb.
c
Выражение справа — коммутатор операторов L
a
и Lb.
Поля a, b коммутируют,если[a,b]=0. Это свойство имеет место
тогда и только тогда, когда фазовые потоки полей a, b перестановочны:
q
p
g
a
q
= g
p
g
a
b
g
b
для всех p, q ∈ R.
Теорема 1 сначала была установлена В. И. Арнольдом [6] для однородной идеальной жидкости, когда ρ =const. Здесь можно поло-
жить w =rotv. Общий случай рассмотрен в [46]. Если движение среды
стационарно, то поля v и u/ρ коммутируют (хотя на первый взгляд кажется, что должны коммутировать поля u и ρv — плотность импульса). Уравнение (1.13) обычно называют уравнением Эйлера для изменения момента.
Оно является бесконечномерным аналогом известных уравнений Эйлера,
описывающих вращение волчка (см. [96]).
Для несжимаемой жидкости (когда ρ =const) уравнение (1.13),вко-
тором w =rotv, только по форме отличается от классического уравнения
Гельмгольца
dw
dt
i
=
∂v
i
w
j
j
∂x
j
(1 i 3).
22 ГЛАВА I
Стоит еще отметить, что Лагранж в 1760 году установил уравнение, схожее
с уравнением Гельмгольца (см. [66]). Когда жидкость сжимаемая, обобщенное уравнение Гельмгольца (в котором w =(rotv)/ρ) вывел Нансон в 1874
году; его результат был повторен Кирхгофом и Стоксом (см. [66])
Доказательство теоремы 1.
Вычислим сначала
∂
u
∂t
1
=
ρ
rot(v × u)+
ρ
u
div(ρv). (1.14)
2
ρ
С другой стороны,
u
v,
1
=
ρ
[v, u]+
ρ
u
Lvρ. (1.15)
2
ρ
Воспользовавшись известным тождеством векторного анализа
rot(a × b)=[a, b]+a div b − b div a
и соленоидальностью поля u, преобразуем (1.15):
Так как L
v,
ρ + ρ div v =div(ρv), то из (1.14) и (1.16) будет следо-
v
1
u
ρ
rot(v × u)+
=
ρ
u
div v +
ρ
u
Lvρ. (1.16)
2
ρ
вать (1.13).
Рассмотрим теперь стационарные движения сплошной среды, когда
все характеристики движения не зависят явно от времени. Предположим
сначала, что u ×v =0(вихревые движения в сильном смысле). Тогда вихре-
вые линии будут отличаться от линий тока — траекторий частиц жидкости
(интегральных линий поля v). В этом случае каждой точке x из области
течения естественно поставить в соответствие плоскость π(x), порожденную линейными комбинациями независимых векторов v(x) и u(x) (или,
чтотожесамое,v и w = u/ρ). Согласно теореме 1, поля v и w коммутируют: [v, w]=0. Поэтому, по теореме Фробениуса, распределение плос-
костей инволютивно (или интегрируемо): через каждую точку x проходит
единственная максимальная интегральная поверхность M
ления, у которой касательная плоскость в любой точке z ∈ M
этого распреде-
x
совпадает
x
с π(z). Ясно, что линии тока и вихревые линии лежат на интегральных поверхностях. В самом общем случае поверхности M могут быть погружены
3
весьма сложным образом: они, вообще говоря, не замкнуты.
в E
§1. ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ 23
Свойство интегрируемости распределения плоскостей π(x) можно получить по-другому. Рассмотрим векторное поле s = u × v:вкаждойточ-
3
ке x ∈ E
ненулевой вектор s(x) ортогонален π(x). Спрашивается, суще-
ствует ли семейство поверхностей
f(x
1,x2,x3
)=c, c ∈ R,
ортогональное полю s? Условие ортогональности сводится к равенству
∂f
∂x
,
s = g
где g =0— некоторая гладкая функция. Так как
∂g
rot s =
∂x
∂f
×
,
∂x
то
(rot s, s)=0. (1.17)
Итак, необходимое условие интегрируемости распределения π(x) сводится к равенству (1.17). Несложно доказать, что оно достаточно для интегрируемости.
В нашем случае условие (1.17) заведомо выполнено, так как rot s =
=rot(u × v)=0ввиду (1.1).
Наиболее просто описывается движение частиц сплошной среды по
компактным интегральным поверхностям. Пусть M — компактная поверхность без края. Так как поля v и w касаются M, линейно независимы во
всех точках и коммутируют, то поверхность M — двумерный тор (точнее, M
диффеоморфна тору) и в некоторых угловых координатах ϕ
1,ϕ2
mod 2π на
этом торе дифференциальные уравнения для линий тока и вихревых линий
˙x = v(x),x
= w(x)
имеют следующий вид:
˙ϕ
= ω1, ˙ϕ2= ω2; ϕ
1
=Ω1,ϕ
1
=Ω2(ω, Ω=const).
2
Доказательство этой дифференциально-топологической теоремы можно
найти, например, в книге [7] (гл. 10), где рассмотрен более общий случай n-мерных многообразий, допускающих n попарно коммутирующих касательных векторных полей.
24 ГЛАВА I
Следовательно, в компактном случае линии тока либо замкнуты (и тогда периоды обращения частиц по разным замкнутым траекториям совпадают), либо всюду плотны на M. Первый случай реализуется, когда отно-
шение частот ω
В координатах ϕ
рационально, а во втором ω1/ω2иррационально.
1/ω2
уравнение
1,ϕ2
dx
= u(x)=ρ(x)w(x)
ds
приводится, очевидно, к виду
dϕ
i
=Ω
ρ, i =1, 2
ds
i
и интегральные линии векторного поля u (в магнитой гидродинамике —
силовые линии магнитного поля) тоже прямые. Следовательно, они либо
все замкнуты, либо всюду плотно обматывают M. Однако если ρ =const,
то (в отличие от линий тока) интегральные линии поля u замыкаются через
разные промежутки параметра s.
Если касательные поля u и v полны на M (тоестьихфазовыепото-
p
q
и g
ки g
u
определены для всех p, q ∈ R), то в некомпактном случае M
v
диффеоморфна цилиндру или плоскости и в некоторых координатах на M
линии тока и вихревые линии тоже выпрямляются в целом.
◦
. Описанная конструкция находит наиболее содержательное приме-
4
нение в задаче о баротропных течениях идеальной жидкости в потенциальном силовом поле. Согласно теореме Бернулли, функция Бернулли f
постоянна на линиях тока и вихревых линиях. Следовательно, интегральные поверхности M совпадают с поверхностями уровня интеграла Бернул-
ли f = c.
Теорема 2. Предположим, что область течения жидкости компактна и ограничена регулярной аналитической поверхностью, а поле скоростей v аналитично и v × rot v =0. Тогда почти все связные поверхности
Бернулли
M = {x : f (x)=c}
(кроме, быть может, конечного числа) диффеоморфны либо двумерному
тору, либо кольцу (прямое произведение отрезка на окружность).При
этом на каждом из торов все линии тока либо замкнуты, либо всюду
плотны, а на каждом кольце линии тока замкнуты. Периоды обращения
частиц жидкости по разным замкнутым траекториям, лежащим на одной поверхности Бернулли, совпадают.
§1. ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ 25
Для несжимаемой жидкости это утверждение доказано в работе [6],
а в общем случае — в работе [46].
Доказательство.
Так как v ×rot v =0, то из уравнения Ламба (1.5) вытекает, что f —
непостоянная аналитическая функция: df =0. Следовательно, все поверх-
ности Бернулли f = c (за исключением, быть может, некоторого конечного
числа) регулярны. Это вытекает из изолированности критических значений аналитической функции, заданной на компактном множестве [126]. На
регулярных поверхностях Бернулли, очевидно, v × rot v =0. Если M =
= {f = c} не имеет общих точек с границей, то остается воспользоваться
описанной выше общей конструкцией. Случай, когда M пересекается с границей, более простой; он рассмотрен в работе [6]. Линии тока в этих двух
задачах изображены на рисунке, заимствованном из [6].
Рис. 2. Линии тока вихревых течений
Пусть теперь u =0, однако u × v =0(вихревое движение в слабом
смысле). Тогда линии тока и вихревые линии будут совпадать, а f ≡ const.
Здесь уже линии тока могут иметь сложное запутанное поведение и уравнение движения частиц жидкости ˙x = v(x) может вообще не иметь непо-
стоянных интегралов. Примером служит так называемое ABC-течение на
3
трехмерном торе T
= {x,y, z mod 2π} с евклидовой метрикой. Компонен-
ты поля скоростей v имеют вид
A sin z + C cos y, B sin x + Acos z, C sin y + B cos x. (1.18)
Здесь rot v = v. Как показано С. Л. Зиглиным [36], для почти всех значений A, B, C поле (1.18) не допускает непостоянных аналитических интегралов. Численные расчеты М. Хэннона показывают, что некоторые траек-
3
тории всюду плотно заполняют трехмерные области на торе T
. Это свиде-
тельствует о хаотизации течения.
26 ГЛАВА I
5◦. В заключение сделаем несколько замечаний о свойствах стационарных вихревых движений в целом. Пусть снова u × v =0.Тогдавве-
денная выше функция f будет, вообще говоря, многозначной во всей области течения жидкости. Однако если область течения односвязная (например, область между вложенными сферами), то функция f , очевидно, будет
обычной однозначной функцией. Следовательно, к таким течениям применима теорема 2. В частности, частицы жидкости постоянно расположены
на обобщенных поверхностях Бернулли
{x: f (x)=c}.
В многосвязном случае ситуация иная: траектории отдельных частиц
могут всюду плотно заполнять всю область течения. Приведем простейший
пример, относящийся к задаче с периодическими граничными условиями.
После очевидного отождествления точек трехмерного евклидова пространства область течения можно считать трехмерным тором с «плоской» евклидовой метрикой.
Пусть
v =(v
1,v2,v3
) и u =(u1,u2,u3)
— векторные поля с постоянными компонентами, причем v × u =0.Эти
поля, конечно, удовлетворяют уравнению (1.1). Жидкость будем считать
однородной: ρ =const. Следовательно, уравнение неразрывности (1.3) вы-
полняется автоматически, а постоянное магнитное поле u, очевидно, соленоидальное. Хорошо известно, что для почти всех наборов чисел v
, v2, v
1
3
все траектории частиц будут всюду плотны (и даже равномерно распределены) на трехмерном торе — области течения. Соответствующий первый
интеграл f, конечно, будет многозначной функцией (она линейна по угловым координатам x
, x2и x3).
1
Более детально этот круг вопросов обсуждается в [113]. Родственные консервативные системы уравнений, связанные с движением жидкости, рассматриваются в книге [5].
§ 2. Точечные вихри на плоскости
1◦. Рассмотрим плоскопараллельное течение однородной идеальной
жидкости. Пусть
a(x, y, t),b(x, y, t)
§2. ТОЧЕЧНЫЕ ВИХРИ НА ПЛОСКОСТИ 27
— компоненты скорости v частиц жидкости в декартовых координатах x, y.
Из уравнения неразрывности div v =0вытекает, что при всех значениях t
1-форма
ady− bdx
является дифференциалом некоторой функции Ψ(x, y, t):
a = ∂Ψ/∂y, b = −∂Ψ/∂x.
Следовательно, уравнения движения частиц жидкости
˙x =
∂Ψ
, ˙y = −
∂y
∂Ψ
∂x
(2.1)
имеют каноническую форму дифференциальных уравнений Гамильтона.
Роль гамильтониана играет функция Ψ. В стационарном случае она постоянна на линиях тока. Поэтому Ψ часто называют функцией тока.
В гидродинамике важную роль играет течение с функцией тока
Ψ=−
æ
ln r, r
2π
2
=(x −x0)2+(y −y0)2. (2.2)
Ей отвечает поле скоростей
v =
æ
2πr
y − y
0
−
,
r
x − x
r
0
. (2.3)
В этом случае говорят, что течение порождает вихрь интенсивности æ,
расположенный в точке с координатами x
. Поле скоростей (2.3) потен-
0,y0
циально: оно является градиентом многозначной функции
y − y
Φ=
æ
2π
arctg
0
. (2.4)
x − x
0
Функции (2.2) и (2.4) — сопряженные гармонические функции:
ΔΦ = 0, ΔΨ = 0,
2
где Δ ≡ ∂
/∂x2+ ∂2/∂y2— оператор Лапласа. Легко понять, что интен-
сивность вихря равна циркуляции скорости
adx+ bdy,
вычисленной по любому замкнутому контуру, один раз охватывающему
точку (x
жение сконцентрировано в одной особой точке с координатами (x
) против часовой стрелки. Таким образом, все вихревое дви-
0,y0
0,y0
).
28 ГЛАВА I
2◦. Если на плоскости заданы n точечных вихрей с интенсивностя-
и координатами (xs,ys), то естественно рассмотреть функцию тока
ми æ
s
n
Ψ=−
2π
1
æsln rs,r
s=1
2
=(x −xs)2+(y −ys)2.
s
Движение частицы жидкости в поле n точечных вихрей описывается уравнениями (2.1). Согласно теореме Гельмгольца– Томсона, вихри «вморожены» в идеальную жидкость и их интенсивности не меняются со временем.
Следовательно, движение самих вихрей можно описать системой дифференциальных уравнений
где r
∂Ψ
s
=
˙x
s
— расстояние между вихрями с интенсивностями ækи æs.
ks
, ˙ys= −
∂y
s
= −
Ψ
s
2π
1
∂Ψ
∂x
ækln(rks),
k=s
s
, 1 s n,
s
(2.5)
1
Кирхгоф [42] предложил записывать эти уравнения в более симметричной гамильтоновой форме:
∂H
=
æ
s˙xs
, æs˙ys= −
∂y
s
H = −
2π
1
j=k
∂H
, 1 s n,
∂x
s
æjækln(rjk).
(2.6)
Кроме гамильтониана H, эти уравнения допускают еще три интеграла:
2
P
=æsxs,Py=æsys,M=æs(x
x
s
+ y
2
)/2.
s
Эти функции имеют прозрачный механический смысл: H — кинетическая
энергия взаимодействующих вихрей, P — импульс плоского течения безгра-
ничной жидкости, M — половина момента импульса относительно начала
координат (см. [42]).
Уравнения Кирхгофа (2.6) можно привести к обычным каноническим
уравнениям Гамильтона, если положить
√
±æsxs,ηs=√±æsys(s =1,...,n).
ξ =
1
Строгий вывод этих уравнений содержится в дополнении 3.
§2. ТОЧЕЧНЫЕ ВИХРИ НА ПЛОСКОСТИ 29
Здесь знак «+» выбирается при æ > 0, азнак«−»—приæ < 0. Через K
обозначим функцию H, представленную в переменных ξ, η. В новых координатах уравнения (2.6) имеют вид
∂K
˙
= ∓
ξ
s
, ˙ηs= ±
∂η
s
∂K
, 1 s n.
∂ξ
s
В связи с этим замечанием полезно ввести скобку Пуассона
{f,g} =
s
∂f
∂y
∂g
∂x
s
1
æ
s
∂f
−
∂x
s
∂g
,
∂y
s
s
которая в переменных ξ,η имеет стандартную форму. Ясно, что гамильтониан H коммутирует с функциями P
{H, P
} = {H, Py} = {H, M } =0.
x
x,Py
,M:
Легко проверить равенства
{P
Следовательно, импульсы P
} = −æk=const, {Px,M} = −Py, {Py,M} = Px. (2.7)
x,Py
и Pyкоммутируют, если сумма интенсивно-
x
стей вихрей равна нулю.
◦
. В случае положительных интенсивностей уравнения Кирхгофа
3
(2.6) можно представить также в виде градиентной системы. Пусть (·, ·) —
риманова метрика на многообразии Σ, Φ — функция на Σ. Дифференциальные уравнения
˙x = v(x),x∈ Σ,
называются градиентными,илиэволюционными,
если
(v, ·)=dΦ(·). (2.8)
Потенциальные поля, очевидно, порождают градиентные уравнения. Градиентные системы изучались Ляпуновым в теории устойчивости, С. Смейлом с точки зрения структурной устойчивости,
Рис. 3. Потенциал системы точечных вихрей
а также Р. Томом и его последователями в теории
катастроф. Функцию Φ обычно называют потенциальной функцией,или
потенциалом.
30 ГЛАВА I
По аналогии с (2.4) положим (см. рис. 3)
Φ=
1
æsækϕsk,ϕsk=arctg
2π
s=k
y
− y
s
xs− x
k
k
и перепишем уравнения Кирхгофа (2.6) в градиентной форме (2.8):
æ
s˙xs
∂Φ
=
∂x
Здесь риманова метрика в R
лой
Из (2.8) вытекает, что
где |·|
— длина ковектора в дуальном пространстве. Следовательно, ес-
∗
, æs˙ys=
s
2n
= {x1, ..., xn,y1, ..., yn} задается форму-
æ
s
˙
Φ=
(dx
∂Φ
, 1 s n. (2.9)
∂y
s
2
2
+ dy
).
s
2
, (2.10)
∗
s
∂Φ
∂x
ли Φ — однозначная функция, то Φ(x(t)) при t → +∞ стремится либо
к +∞, либо к некоторой постоянной c (если Σ компактно, то c —критическое значение функции Φ). Поэтому при t → +∞ решение x(t) либо
уходит на бесконечность, либо неограниченно приближается к множеству
критических точек функции Φ.
В нашем случае потенциал Φ — многозначная функция. Поэтому результат об асимптотическом поведении решений системы (2.9) здесь не
применим. Однако непрерывная ветвь функции Φ сростомt либо неограниченно возрастает, либо монотонно стремится к некоторой постоянной.
◦
. При n =2формула (2.10) имеет следующий явный вид:
4
˙
Φ=
æ
1æ2(æ1
4π2r
+æ2)
. (2.11)
2
12
Исследуем движение двух точечных вихрей более подробно. Из интеграла H =constвытекает, что расстояние между вихрями r
всегда постоян-
12
но. Воспользуемся формулой (2.11) и определением потенциала Φ:сточностью до постоянного множителя Φ совпадает с углом поворота отрезка,
соединяющего два вихря. Согласно (2.11), этот отрезок вращается с посто-
янной угловой скоростью
æ
1+æ2
. (2.12)
2
2πr
12
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]