Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метод Пенлеве и его приложения
.pdf
5.6. ПРИЛОЖЕНИЕ К ИНТЕГРИРУЕМЫМ УРАВНЕНИЯМ 147
неизвестной задачи рассеяния: 3, 2, 2, 2, 3, 2 (и 4 или 3 для случая n =2
в уравнении 27).
Следовательно, для описания задач рассеяния третьего порядка подходят только два класса эквивалентности под номерами 5 и 25 в классификации Гамбье. Интересующим нас представителем каждого класса эквивалентности будет то уравнение, которое Пенлеве называет совершенным
(полным) уравнением (в данном разделе под символом производной понимается ∂
Y
),
x
+3YY+ Y3+ rY + q =0, (G5)
Y
− 3Y2/(4Y )+3YY/2+Y3/4 − q(Y+ Y2)/(2q) −rY − q =0,
(G25)
здесь q и r — две произвольные функции. Эти два класса эквивалентны относительно группы бирациональных преобразований. Это показано в [163]
с помощью преобразования между G5(y; q, r) иG25(Y ; Q, R), записанного в явном виде
Y =
2z+ z2− (Q/Q)z − R
Q
,z= y +
Q
, 2y =
2Q
Y
Y
+ Y −
Q
,
Q
(5.193)
r = −R +
Q
Q
2
5Q
4Q
2
,q= −
−
Q
R
−
2
2
Q
+
2Q
Q
7Q
−
2
4Q
3
5Q
+
4Q
. (5.194)
3
Линеаризующие замены имеют вид
ψ
G5 Y =
G25
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
τ
Y =
ψ
=
τ
ψ
τ
=
τ
3q
−
2q
,ψ
+ rψ+ qψ =0, (5.195)
q
2z+ z2− (q/q)z −r
ψ
−r +
q
−
q
ψ
,z=
2
q
−
ψ
2
q
,
ψ
q
r
+
2
2
r
q
−
2q
ψ =0.
(5.196)
Соответствующие инволюции
G5(Y, q, r) → (−Y, −q, r +6Y
G25 (Y, q, r) → (−Y, −q, r − 3Y
), (5.197)
− (q/q)Y )(5.198)
понадобятся для определения сингулярного частного преобразования.
148 ГЛАВА 5
В частном случае уравнения G25 при q равной константе соотношение
(5.196) может быть проинтегрировано в явном виде
τ = ψψ
− (1/2)(ψ)2− (r/2)ψ2,τ=(q/2)ψ2. (5.199)
Вернемся к третьему шагу метода сингулярного многообразия. Предположение о виде связи (5.62) сводится в задаче рассеяния третьего порядка к выбору между двумя итолькодвумялинеаризирующими формула-
ми (5.195) и (5.196), а связанные с ними линейные ОДУ третьего порядка
относительно переменной ψ заменяют допущение (5.48). Далее на четвертом шаге в определяющих уравнениях неизвестные (a, b) заменяются на
неизвестные (q, r), входящие в уравнения Гамбье G5 и G25.
Эти две и только две возможности были переоткрыты в 1980 г. при
разработке теории рассеяния Каудреем (Caudrey) [56] и Каупом [247].
Применим полученные результаты к уравнениям Савада–Котера (СК)
и Каупа–Купершмидта (КК).
5.6.3.2. Структура особенностей уравнений СК и КК
Для удобства запишем каждое уравнение еще и в потенциальной форме. При обозначении u = v
имеют вид:
СК(u) ≡ βu
pСК(v) ≡ βv
KK(u) ≡βu
pКК(v) ≡ βv
+ u
t
+ v
t
+ u
t
+ v
t
xxxxx
xxxxx
консервативные и потенциальные уравнения
x
!
60
3
u
2
α
60
+
α
45
2α
45
+
2α
=0, (5.200)
x
3
v
=0, (5.201)
x
2
!
60
2
u
x
2
v
xx
3
+
u
=0, (5.202)
2
x
α
60
3
+
v
=0. (5.203)
x
2
α
xxxx
xxxx
30
uu
+
α
30
+
α
30
+
α
30
+
α
v
xvxxx
uu
v
xvxxx
xx
xx
+
+
Каждое уравнение имеет два семейства подвижных особых точек со следующим ведущим порядком p (для уравнений в потенциальной форме)
v ∼ v
χpи индексами Фукса [429]:
0
pСК, F1: p = −1,v
pСК, F2: p = −1,v
pКК, F1: p = −1,v
pКК, F2: p = −1,v
= α, индексы −1, 1, 2, 3, 10, (5.204)
0
=2α, индексы − 2, −1, 1, 5, 12, (5.205)
0
= α/2, индексы −1, 1, 3, 5, 7, (5.206)
0
=4α, индексы − 7, −1, 1, 10, 12. (5.207)
0
Оба уравнения CК и КК проходят тест Пенлеве [429]. Сингулярный частный дифференциальный оператор, связанный с данным семейством, имеет
вид D = v
0∂x
.
5.6. ПРИЛОЖЕНИЕ К ИНТЕГРИРУЕМЫМ УРАВНЕНИЯМ 149
Существование двух семейств особых точек несколько сбивает с толку, т. к. все три интегрируемые УЧП вида (5.192) принадлежат иерархии,
базовый член которой имеет только одно семейство особых точек, так что
к ни одному из семейств уравнений СК и КК не применим метод сингулярного многообразия. Что касается КдФ5, то оно принадлежит иерархии,
где базовым членом является КдФ третьего порядка. «Минус первый» член
иерархии СК был первоначально записан Хиротой и Сатсумой [216],
pСК
−1
: v
xxt
6
v
+
=0, (5.208)
xvt
α
и успешно решен методом сингулярного многообразия [318, 319]. Для
иерархии уравнений КК «минус первый» член определяется как [438]
pКК
−1
: vtv
xxt
3
−
4
6
2
v
+
xt
2
v
v
=0. (5.209)
x
t
α
Это уравнение имеет только одно семейство, и его можно записать в эквивалентной форме [226]
3
pКК
−1
: w
+4zwx+2zxw =0,zt=
xxx
2
)x,z= vx. (5.210)
(w
4
Следовательно, для того, чтобы применить метод сингулярного многообразия к СК и КК, необходимо выбрать подходящее семейство, которое соответствует единственному семейству (5.208) или (5.209) при отображении
от базового члена к следующему члену иерархии. Этим единственным подходящим семейством является F1 для уравнений (5.204) и (5.206).
Практически метод сингулярного преобразования применяется следующим образом. Предположим, что имеется сингулярное частное преобразование для одного семейства (5.33) и пара Лакса второго порядка (5.39)–(5.40), в случае же скалярной пары третьего порядка выбира-
ется совокупность равенств, состоящая из соотношения с частной производной по t (5.49) и соотношения с частными производными по x (5.195)
или (5.196).
Что касается связи между τ и ψ, то для пары второго порядка эта связь
представляет собой равенство, в то время как для пары третьего порядка она может представлять из себя линеаризующее преобразование пятого
уравнения Гамбье или двадцать пятого уравнения Гамбье.
Следовательно, на четвертом шаге метода сингулярного многообразия
для каждого УЧП необходимо исследовать только три варианта: пара Лакса
второго порядка и уравнение Риккати, пара Лакса третьего порядка и G5,
пара Лакса третьего порядка и G25. Это будет кратко изложено в следующих двух разделах, более полное изложение можно найти в [430, 322]
и заметках летней школы [78, 317].
150 ГЛАВА 5
5.6.3.3. Метод усечения с парой Лакса второго порядка
В методе усечения для одного семейства для уравнений СК и КК
с предположением
v = v
ln τ + V, τ = ψ, (5.211)
0∂x
где V некоторая функция, на которую не накладываются ограничения, ψ —
решение пары Лакса второго порядка (5.39)–(5.40), невозможно ввести
произвольную комплексную постоянную при решении усеченных уравнений. Однако этот метод дает возможность получить преобразование Беклунда между уравнениями СК и КК. Наиболее быстрый способ добиться
результата состоит в применении метода для консервативной формы КК,
что дает
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
α
u =
E
E
2
∂
ln τ + U, τ = ψ,
x
2
αS
≡ U −
2
≡ Sxx+ S2/4 − βC =0.
4
12
=0,
(5.212)
Со значениями S и C, определенными из последних двух уравнений, условие совместности (4.32) выражает то, что постоянный уровень коэффициента U удовлетворяет уравнению СК. Далее, решения u уравнения КК и U
уравнения СК могут быть записаны только как функции χ (см. уравнение (4.27)):
U = −α((χ
−1
)x+ χ−2)/6,u= α(2(χ−1)x− χ−2)/6, (5.213)
и исключение χ приводит к преобразованию Беклунда между СК и КК
(w = v
Этот результат ранее был получен Хиротой [215]. Если рассматривать в качестве переменной разложения обратную величину χ
, W = v
pСК
α(w + W/2)
&
(w − W)(72W
+2(w − W )
):
pКК
+(w − W )2=0, (5.214)
x
2
/α2+6W
x
=0. (5.215)
t
/α) − 72wxWxx/α − 3W
xxx
−1
, то она удовлетво-
xxxx
'
+
x
ряет другому УЧП пятого порядка, которое обладает свойством Пенлеве, —
уравнению Форди–Гиббонса [148].
В силу того, что рассмотренное усеченное разложение не приводит
к появлению произвольной постоянной, следует рассмотреть пару Лакса
третьего порядка.
5.6. ПРИЛОЖЕНИЕ К ИНТЕГРИРУЕМЫМ УРАВНЕНИЯМ 151
5.6.3.4. Метод усечения с парой Лакса третьего порядка
и уравнением G5
Пусть связь между переменными τ и ψ имеет вид τ = ψ иопределяется линеаризующим преобразованием G5, пара Лакса имеет третий
порядок и определена с производной по x (x-часть) (5.195) и производной
по t (t-часть) (5.49). Такое предположение приводит к успеху для уравнения СК, но не для КК. Предположения приводят к скалярной паре Лакса
уравнения СК следующего вида [430, 73]
L
= ∂
1
x
L
= β∂t+ 18
2
+6
∂
− λ, (5.216)
x
α
U
x
α
− 9λ!∂
2
+ 36
x
2
U
− 6
2
α
!
U
xx
∂
x
α
− 36λ
U
, (5.217)
α
U
3
ранее полученной в билинейном формализме Сатсумой и Каупом [388].
5.6.3.5. Метод усечения с парой Лакса третьего порядка
и уравнением G25
Применим метод усечений для уравнения КК, предполагая, что задача
рассеяния имеет третий порядок, линеаризирующее преобразование G25
задает связь между переменными τ и ψ, пара Лакса третьего порядка
определена с производной по x (x-часть) (5.196) и производной по t
(t-часть) (5.49). В процессе решения получаем [320]
=0, (5.218)
q
x
что позволяет использовать проинтегрированный вид связи (5.199) между
переменными τ и ψ. Окончательно получаем пару Лакса в виде
U
3
= ∂
L
1
x
L
= β∂t− 9λ∂
2
+6
U
∂
x
α
+3
2
+3
x
x
− λ, (5.219)
α
U
xx
+36
α
2
U
2
α
U
xxx
− 3
∂
x
α
− 72
UU
α
x
2
− 36λ
U
,
α
(5.220)
впервые найденную Каупом [247], и сингулярное частное преобразование
u =(α/2)∂
2
ln τ + U, τ = ψψxx− (1/2)ψ
x
2
+3(U/α)ψ2,τx= λψ2.
x
(5.221)
Это результат был впервые получен в [280].
152 ГЛАВА 5
5.6.3.6. Преобразование Беклунда
Исключение, приводящее к преобразованию Беклунда, может быть
сведено всего лишь к подстановке (пятый шаг метода сингулярного многообразия) при условии, что пара Лакса третьего порядка представлена
в виде эквивалентной системы пятого порядка относительно двух переменных (так называемых псевдопотенциалов [426]), одной из которых является
/τ, для того, чтобы записать сингулярное частное преобразование в виде
τ
x
ψ
СК: Y
1
КК: Z =
τ
x
=
=
τ
τ
x
=2
τ
v − V
x
=
ψ
v − V
α
, (5.222)
α
. (5.223)
Вторая компонента этого псевдопотенциала выбирается соответственно
ввиде
ψ
СК: Y
КК: Y
xx
, (5.224)
=
2
ψ
ψ
x
. (5.225)
=
1
ψ
Система относительно переменных (Y
) для уравнения СК представля-
1,Y2
ет собой каноническую проективную систему Риккати (5.55)–(5.59),асистема относительно переменных (Y
,Z−1) является другим видом линеа-
1
ризуемой системы Риккати [320].
Окончательно для уравнения СК автопреобразование Беклунда имеет
вид [317]
(v − V )
/α +3(v − V )(v + V )x/α2+(v − V )3/α3− λ =0, (5.226)
xx
β(v −V )
/α − (3/2)[(v −V )
t
+(5(v − V )(v + V )
+ (15(v − V )
+ 30(v − V )
2
(v − V )xx+ 30(v − V )(v + V )
3
(v + V )x/α4+6(v − V )5/α5]x=0.
+ 15(v + V )x(v − V )xx)/α2+
xxx
xxxx
/α+
2
)/α3+
x
(5.227)
Этот результат получен благодаря [389, 123].
Для уравнения КК автопреобразование Беклунда имеет вид
(v − V )
/α − (3/4)(v −V )
xx
+3(v − V )(v + V )
2
/(α(v − V ))+
x
/α2+(v − V )3/α3− λ =0,
x
(5.228)
5.6. ПРИЛОЖЕНИЕ К ИНТЕГРИРУЕМЫМ УРАВНЕНИЯМ 153
β(v −V )t/α − (3/2)[2(v − V )
+ 12(v − V )
+ 15(v − V )
+ 60(v − V )(v + V )
5/α5
+ (10(v − V )(v + V )
(v + V )xx)/α2+ (30(v −V )2(v − V )xx+
x
2
+ 15(v − V )(v −V )
x
/α + +60(v −V )3(v + V )x/α4+
xxxx
+ 30(v + V )x(v − V )xx+
xxx
2
)/α3]x=0.
x
(5.229)
Частная производная по x (5.228) была впервые получена при λ =0вработе [375], основанием для этого ограничения явилось рассмотрение (в неявном виде) задачи рассеяния второго порядка. Для произвольного значения λ
оказалось, что решение можно было получить лишь в предположении третьего порядка задачи рассеяния [320].
5.6.3.7. Нелинейная формула суперпозиции
Как для уравнения СК, так и для КК одна часть преобразований
Беклунда, которая позволяет понизить дифференциальный порядок, — это
часть, содержащая только частные производные по x (x-часть) (5.226)
и (5.228). В обозначении, введенном в определении 5.6 и уравнениях, подобных (5.106), линейная комбинация четырех уравнений (5.226) и (5.228),
записанных относительно четырех различных решений, понижающая дифференциальный порядок, определяется коэффициентами (1, −1, 1, −1) для
обоих уравнений. Это приводит к ОДУ первого порядка относительно v
n+1
Для СК такое ОДУ первого порядка имеет первую степень и является
уравнением Риккати
(v
n+1
+(v
− v
n+1
n−1)x
− v
+
n−1
α
)
(v
2
n+1
v
n, x
-vn− v
− v
− -v
2
n−1
n, x
n
)+
−
1
(v
n
α
(5.230)
+ -vn)!=0.
1
Для КК такое ОДУ первого порядка имеет вторую степень
(v
n+1,x
A =
B =
C = B +
2
α
α
(v
2
2
2
+
α
+vn)+
n
v
vn+
n
1
α
2
v
n+1
v
n−1,x
− Av
v
n,x
vn− v
v
n, xvn
α(vn− vn)
+
+ αB)2=
n+1
− v
− v
n, x
2
2
v
n−1
α
n, x
n
,
v
n
− Av
2C2
α
(vn− v
(vn− v
n−1
)(vn− v
n+1
)(vn− v
n−1
n+1
)
)
,
(5.231)
,
.
n−1
.
154 ГЛАВА 5
Дифференциальный порядок может быть еще понижен, если ввести
тау-функцию f:
СК: v = α∂
КК: v =
ln f, (5.232)
x
α
∂
ln f. (5.233)
x
2
Действительно, в случае СК линейное ОДУ второго порядка относительно f
может быть проинтегрировано в квадратурах, что приводит
n+1
к нелинейной формуле суперпозиции
x
Dx(fn·-fn)
2
f
n−1
dx, (5.234)
где D
f
= K1(t)f
n+1
— оператор Хироты [213], а K1(t) — произвольная ненулевая функ-
x
n−1
ция интегрирования. Эта формула была впервые получена [229] при применении билинейного формализма Хироты, кратко представленного в приложении E.
Для уравнения КК ОДУ второго порядка относительно f
имеет вто-
n+1
рую степень и принадлежит к уравнениям, которые также могут быть проинтегрированы в квадратурах, что было проведено Аппеллем [16]. Действительно, f
удовлетворяет линейному ОДУ третьего порядка (уравнению
n+1
Аппелля), и его общее решение имеет вид [413, 324]
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
f
f
(∂
n+1
n−1
R)2=
x
2
= K
+ K1K2R + K
1
f
f
n
n−1
,x
f
-
f
n
n−1
-
f
f
n
2
2
n
2
f
n−1
− R
2
,
(5.235)
,
,x
в котором K
=0, а функция K
(t) и K2(t) — функции интегрирования со значениями K1=
1
(t) — произвольная. Следовательно, нелинейная формула
2
суперпозиции будет такой:
f
n+1
= f
n−1
-
f
f
n
n
2
f
n−1
− R
2
, (∂
R)2=
x
f
f
n−1
n
,x
f
-
f
n
n−1
. (5.236)
,x
Эта нелинейная формула суперпозиции является альтернативой схеме
возмущений [201] в построении N-солитонного решения, которое для слу-
5.7. ПРИЛОЖЕНИЕ К ЧАСТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫМ УРАВНЕНИЯМ 155
чая КК имеет вид
⎧
⎪
α
2
⎪
u =
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
, Ai, Bi— произвольные постоянные. Вид этого N-солитонного ре-
где λ
i
∀i: ψ
3
p
= r
i
2
i
(N)
∂
ln τ
x
pix+9p
= Aie
3
= λi,p
i
(N)
,τ
5
t
i
+ Bie
2
+ piri+ r
i
=det
rix+9r
2
=0,pi= ri,
i
5
t
i
x
ψiψjdx
,
1i, jN
,
(5.237)
шения согласуется с результатом [287], полученным редукцией иерархии
(С-КР) Кадомцева–Петвиашвили.
Например, односолитонные решения для СК имеют вид
)
, (5.238)
u = α∂
2
ln(1+e
x
kx−k5t+δ
адляКК
α
u =
2
∂
x
2
ln(1+4e
kx−k5t+δ
2(kx−k5t+δ)
+ e
Для случая двухсолитонных решений тау-функция τ
)
. (5.239)
(2)
является суммой
четырех слагаемых для уравнения СК и девяти слагаемых для уравнения
КК [202, 324].
На этом заканчивается серия примеров интегрируемых уравнений. От-
метим, что если порядок оператора рассеяния L
выше трех, нелинейная
1
формула суперпозиции может быть применена так же успешно [150]. Может случиться так, что порядок оператора L
оператора L
иеслиоператорL
. Такой пример разобран в [414]. Если порядок L2равен трем
1
факторизуем, то так называемая t-часть преобразования
2
много ниже, чем порядок
2
Беклунда может быть более простой, а x-часть более сложной по сравнению, например, со случаями уравнений СК и КК. Это объясняется тем,
что (1 + 1)-размерные интегрируемые УЧП являются в действительности
редукциями [242] (2 + 1)-мерных интегрируемых УЧП, для которых ни
оператор L
,ниоператорL2не являются функциями единственной пере-
1
менной.
5.7. Приложение к частично интегрируемым уравнениям
Рассматриваемые в этом разделе уравнения тест Пенлеве не проходят.
Поэтому введенные здесь методы дают возможность получить вместо пары
Лакса только частные решения в явном виде.
156 ГЛАВА 5
5.7.1. Случай одного семейства особых точек: уравнение Фишера
Уравнение Фишера [141, 257]
6
5βu
− uxx+
t
(u − a
δ
)(u − a2)=0,s1= a1+ a2,s2= a1a2(5.240)
1
первоначально было выведено при моделировании эволюции мутантных
генов [140], оно также описывает популяцию нейтронов в ядерном реакторе [51] и распространение пламени (см. обзор [378]). Две фиксированные
точки a
, a2характеризуют стационарные состояния двух различных попу-
1
ляций.
Уравнение имеет единственное семейство подвижных особенностей
u ∼ δχ
−2
, индексы Фукса =(−1, 6), D = δ(β∂t− ∂
2
), (5.241)
x
что приводит к ряду Лорана
u
= χ
δ
+ O (χ
−2
− βCχ−1+ βCx+
2
β
(5C
+
12
2
).
+7CCx) −
t
β
S
−
3
12
β
(CS +3C
6
s
1
2
+
xx
2δ
) −
+
β
12
3
3
C
−
1
12
S
χ+
x
C
2
(5.242)
При индексе 6 прохождение теста Пенлеве нарушается, т. е. коэффициент
u
является произвольной постоянной в том и только том случае, когда
6
удовлетворяется следующее условие нелогарифмичности:
Q
≡−3β2δ−2(a1− a2)2C2+3β6C6− 18β5C3(Ct+ CCx)+
6
4
β
2
(3C
+
3
+8CCtt+14CCtCx+11C2C
t
2
+16C2Cxt+8C3Cxx)=0.
x
(5.243)
Это условие не зависит от S и является УЧП относительно переменной
C(x, t), решение которого на сегодняшний день не получено. В частном
случае a
= a2его редукция Cx=0является ОДУ, сводящимся к квадра-
1
турам [380]. Даже в более частном случае, когда C является константой c,
соотношения ϕ
+ Cϕx=0и St+ CSx=0определяют ряд Лорана для ре-
t
дукции в переменных бегущей волны u(x, t)=U(ξ), ξ = x − ct уравнения
Фишера, и редуцированное ОДУ проходит тест Пенлеве [8], если и только если константа c принимает одно из пяти значений, определяемых из
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]