Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метод Пенлеве и его приложения
.pdf
5.7. ПРИЛОЖЕНИЕ К ЧАСТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫМ УРАВНЕНИЯМ 157
условия Q6=0:
c =0,c
4
(a
1
=
− a2)
β4δ
2
. (5.244)
2
ВэтомслучаеОДУдляU (ξ) принадлежит к классу эквивалентности урав-
нений Вейерштрасса (1.42) (уравнение под номером 3 в классификации
Гамбье [163]). Его общее решение выражается при c =0через функцию
Вейерштрасса
s
c =0:u =
1
+ δ℘(x − x
2
0,g2,g3
),g2=3
где двумя произвольными константами являются x
(a
1
, g3,приc =0одно-
0
2
δ
, (5.245)
2
− a2)
значное решение имеет вид
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
(a
4
=
c
ξ = x − ct, k = −βc,
− a2)
1
β4δ
2
2
: u =
s
1
+ δe
2
2kξ
kξ
e
− 1
℘
− x
k
0
, 0,g
3
2
δk
,
−
2
(5.246)
где двумя произвольными константами являются x
0
, g3.
При применении метода сингулярного многообразия в данном случае
нельзя получить пару Лакса, поскольку УЧП не проходит тест, однако возможно получить частные решения, которые и будем исследовать. Если принять сингулярное частное преобразование (5.86), выбор скалярной пары
Лакса второго порядка (4.34)–(4.35) для ψ,связь(5.63) между переменными τ и ψ, то усеченное разложение решения определяется полностью
аналогично разложению, приведенному в разделе 5.6.1.1,
u = δ(β∂
−2
= δχ
2
− ∂
)lnψ + U =
t
x
− βδCχ−1+
δ
2
S +
δβ
2
C
+ U, χ =
x
ψ
.
ψ
x
(5.247)
Установив соответствие с рядом Лорана (5.242), получаем значение U
2
U =
δβ
s
1
−
2
12
2
C
−
δ
6
S +
δβ
C
, (5.248)
x
2
и два определяющих уравнения
E
≡ β3C3+ β2(−5Ct− 7CCx)+β(2SC +6Cxx)+Sx=0, (5.249)
3
158 ГЛАВА 5
2
E4≡−
+
+
3(a
1
2
β
(−17SC
6
β
(16S
6
− a2)
2
2δ
+3CSx+30SCx)+
t
+
2
+37C
β
24
4
C
3
β
4
(5CC
−
6
2
+30Cxt− 14CCxx)+
x
+6C2Cx)+
t
2
S
1
−
6
3
S
xx
(5.250)
=0,
к которым следует добавить условие совместности (4.32). Условие нелогарифмичности (5.243) является следствием этих трех пар УЧП (это легко
может быть доказано исключением переменной S), но их общее решение
до сих пор неизвестно.
Частные решения (S, C)=const, всегда допускаемые такими системами, приводят к стационарной волне (случай c =0)илибегущейволне
(случай c =0) [8, ур. (20)], которые представляют собой тригонометриче-
ские вырождения 4g
s
1
u =
+ δ(β∂
2
t
− ∂
3
−27g
2
2
)lnch
x
2
=0эллиптических решений (5.245) и (5.246):
3
2c2
k
(x − ct)=
2
s
1
2
+ δχ
−2
− βcχ−1−
β
4
,
k = −βc, χ
(a
k
k
th
=
(x − ct),c
2
2
=0или
1
− a2)
β4δ
2
.
2
(5.251)
Эти гетероклинические решения связывают две фиксированные точки a
и a2.
Для нахождения решения переопределенной системы (5.249), (5.250),
(4.32) существует алгоритм, известный как построение дифференциального базиса Грёбнера [300, 37], подробное описание которого можно найти
в [77]. Сначала исключается ∂
но C
и E4=0относительно St;затемусловие(4.32) разрешается от-
t
носительно S
уравнений, в которых C
S, C, C
x
, и исходная система преобразуется в новую систему трех
xx
, Cxx, C
xxx
, St, Sxxявляются полиномами относительно Sx,
t
. После исключения Sxи S получается ОДУ шесто-
го порядка относительно C (не содержащее ∂
решением уравнения E3=0относитель-
t
), которое не может быть
t
проинтегрировано. Эта трудность отражает неинтегрируемость уравнения
Фишера. Существует частное масштабирующее решение
√
3 ±
a
= a2: S = −
1
3
,C= −
2
2x
6
, (5.252)
βx
1
5.7. ПРИЛОЖЕНИЕ К ЧАСТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫМ УРАВНЕНИЯМ 159
которое, однако, не представляет интереса, т. к. получено для случая совпадающих двух фиксированных точек. Соответствующее решение для u
имеет вид
√
= a2: u =
a
1
2(4 ±
s
1
+ δ
2
6)x2+4(2±√6)β−1t
(x2+2(3±√6)β−1t)
. (5.253)
2
В предположении сингулярного частного преобразования в случае одного семейства особых точек (5.86),связимеждуτ и ψ (5.63) и линейной
системы третьего порядка (5.48)–(5.49) относительно ψ находится единственное решение
√
= a2: U =
a
1
s
1
,ψ
2
=0,ψt=
xxx
3 ±
6
, (5.254)
ψ
xx
β
которое снова является рациональным решением (5.253)
a
= a2: u =
1
1
+ δ(β∂
2
2
− ∂
)lnψ, ψ = x2+2(3±√6)β−1t. (5.255)
t
x
s
Что касается решений в виде sech, то таких решений не существует,
т. к. уравнение Фишера имеет только одно семейство особых точек.
5.7.2. Случай двух семейств особых точек: уравнение
Колмогорова–Петровского–Пискунова (КПП)
Рассмотрим здесь собственное уравнение КПП, т. е. уравнение без конвекционного члена γuu
E(u) ≡ bu
t
, введенное в [385],
x
− uxx+2d−2(u − e1)(u − e2)(u − e3)=0. (5.256)
Как показано в разделе 4.4.3, уравнение КПП тест Пенлеве не проходит, но
тем не менее можно сделать конструктивные выводы:
1) существуют два семейства особых точек с противоположными сингулярными частными дифференциальными операторами
p = −1,u
= ±d, индексы (−1, 4), D = ±d∂x;(5.257)
0
2) для каждого семейства получено для индекса 4 необходимое условие отсутствия подвижных логарифмических особых точек (уравнение (4.63)).
160 ГЛАВА 5
Используем эту информацию для построения точного решения, при-
влекая мощные ресурсы метода сингулярного многообразия. Предположим
apriori, что искомые решения имеют вид:
1) u = c
+ c2th(k/2)(x − ct),гдеk, c, c1,c2=const,посколькуУЧП
1
является автономным и порядок полюса решения равен p = −1,
2) u = c
+ c2sech k(x − ct), поскольку решение УЧП к тому же име-
1
ет два семейства особых точек с тем же порядком полюса p = −1
и противоположными сингулярными частными дифференциальными
операторами,
3) u = эллиптическая функция от x,еслиu не зависит от t.
Покажем, что с помощью метода сингулярного многообразия можно
также найти другие решения, среди которых имеется вырожденное двухсолитонное решение.
Для удобства введем симметричное обозначение
⎧
s
= e1+ e2+ e3,
1
⎪
⎨
=(2e1− e2− e3)(2e2− e3− e1)(2e3− e1− e2)/(27d3),
a
1
⎪
⎩
=((e2− e3)2+(e3− e1)2+(e1− e2)2)/(18d2).
a
2
(5.258)
Для того чтобы найти однозначные точные решения, можно применить
различные методы:
1) требование выполнения одного из двух условий нелогарифмичности (4.63),
2) требование выполнения двух условий нелогарифмичности,
3) применение метода усечения для одного семейства особых точек с па-
рой Лакса второго порядка,
4) применение метода усечения для одного семейства особых точек с парой Лакса третьего порядка,
5) применение метода усечения для случая двух семейств особых точек
с парой Лакса второго порядка,
6) применение метода усечения для случая двух семейств особых точек
с парой Лакса третьего порядка.
5.7. ПРИЛОЖЕНИЕ К ЧАСТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫМ УРАВНЕНИЯМ 161
Требование выполнения одного или двух условий нелогарифмичности
приводит к весьма сложным выражениям [53, 78], если не положить C равной постоянной c, для которой допустимыми значениями являются c =0,
и в случае требования выполнения одного условия нелогарифмичности
− s
3e
n
1
c =
,n=1, 2, 3, (5.259)
bd
в случае требования выполнения двух условий нелогарифмичности
3(e
− e3)
2
2bd
, 2e
− e2− e3=0. (5.260)
1
+ cϕx=0приводит к тому, что переменная разло-
Соотношение для ϕ
c = ±
t
жения решения u в ряд Лорана зависит от единственной переменной x −
− ct, а значит, и само решение u также зависит только от x − ct.Таким
образом определяется редукция в переменных бегущей волны u(x, t)=
= U(ξ), ξ = x − ct. Редуцированное ОДУ относительно U (ξ) принадлежит
к классу уравнений, исследованных Пенлеве и Гамбье. Из сказанного можно сделать следующий вывод. Для двух противоположных значений константы c (5.260), обусловленных требованием выполнения двух условий
нелогарифмичности, уравнение обладает свойством Пенлеве и его общее
решение является эллиптической функцией. Для трех значений константы c (5.259), обусловленных требованием выполнения только одного условия нелогарифмичности, редуцированное ОДУ также не проходит тест, и
все, что можно сказать об общем решении этого ОДУ, — это то, что оно
многозначно.
Метод усечения для одного семейства особых точек (5.86) с τ =ψ да-
ет одинаковый результат независимо от того, выбрана ли пара Лакса второго порядка (4.34)–(4.35) [53, 72] или третьего порядка (5.48)–(5.49) [53,
71, 86]. Для пары Лакса третьего порядка выкладки могут быть проведены непосредственно, а для пары Лакса второго порядка расчеты проводятся или с применением неинвариантного формализма ВТК (Вайсса–Табора–Карневейля) (метод усечения с переменной разложения ϕ − ϕ
), для
0
пары Лакса второго порядка инвариантного формализма с (S, C),выбранными в качестве неизвестных, детальное изложение можно найти
в [77]. Общим результатом этих трех методов усечения является решение,
изображенное на рис. 5.4, которое представляет собой столкновение двух
фронтов (каждый фронт соединяет две из имеющихся фиксированных точек u = e
) [248],
j
u =
s
1
3
+ d∂
ln Ψ3, (5.261)
x
162 ГЛАВА 5
где Ψ3— целая функция
3
Ψ
=
3
n=1
kn(x+(3/b)knt)
Cne
,kn=
3e
− s
n
1
,C
=const, (5.262)
3d
n
т. е. общее решение линейной системы третьего порядка с постоянными
коэффициентами [85]
ВслучаеC
u =
=0это решение
1
+ e
e
2
2
e
3
2
+
− e
2
− 3a2ψx− a1ψ =0,
ψ
xxx
bψ
− 3ψxx=0.
t
e
3
th
− e
2
2d
(5.263)
3(e
3
x +
2
2bd
+ e3)
t
(5.264)
представляет собой единственный фронт, который соединяет две фиксированные точки e
2
и e3.
Метод усечения для случая двух семейств особых точек в предполо-
жении второго порядка пары Лакса (5.137)–(5.140) [85, 86, 359] приводит
к пяти определяющим уравнениям, общее решение которых пока не найдено. При постоянных (S, C, A, B) легко найти частное решение, т. к. определяющие уравнения при этом становятся алгебраическими. Однако, как
уже известно, оно является полиномом относительно th и sech,чтовытекает из двух элементарных равенств (5.74). В результате получается стационарная пульсация (гомоклиническая орбита), которая существует только
1
u = e
=0,
+
j
− e
e
l
m
sech i
√
2
e
− e
l
d√2
m
(x − x
),a1=0, 2ej− el− em=0,
0
при a
(5.265)
и зависит от произвольной постоянной x
.
0
Решение, представляющее столкновение двух фронтов, может быть
продолжено дальше благодаря специальному свойству уравнения КПП (общему для всех УЧП, решение которых можно представить в виде ряда Лорана u = c
χ−1+ c1C + c2+ O (χ), cj=const,см.(4.62)). После того как
0
определено усечение по методу ВТК
u = d∂
E(u)=
ln(ϕ − ϕ0)+U, U =const,
x
3
Ej(ϕxx/ϕx,ϕt/ϕx)
j=0
ϕ − ϕ
ϕ
x
j−3
0
, ∀j : Ej=0,
(5.266)
5.7. ПРИЛОЖЕНИЕ К ЧАСТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫМ УРАВНЕНИЯМ 163
Рис. 5.4. КПП, столкновение двух фронтов. Функция u(x, t) изображена как функция от переменной x для равноотстоящих моментов времени t =0, 2, 4, 6, 8,зна-
чения параметров равны b =1, d =1, e
=(0, 2, −1), Cj=(1, 1, 1)
j
и найдено решение, как указано выше, U = s1/3, ϕ−ϕ0=Ψ3,определяется
замена функции u → f [54]
/3+(d∂xln Ψ3)f(Ψ3), (5.267)
u = s
1
в результате чего уравнение (4.48) преобразуется к виду
− 2U3+2a1Ψ
U
Это будет ОДУ, если и только если a
−3
=0,U(ψ)=f (ψ)/ψ. (5.268)
3,x
=0, его решение представляется
1
в виде однозначного выражения [54]
a
=0:u = s1/3+dψ
1
Это решение существует, когда один из корней e
двух других, и зависит от четырех произвольных постоянных C
. Его вырождение g2=0(т. е. ℘(ψ)=ψ−2) является вырождением a1=0
g
2
℘(ψ),ψ=Ψ3,g3=0,g2=const. (5.269)
x
является полусуммой
j
, C2, C3,
1
решения, представляющего собой столкновение двух фронтов (5.261).
164 ГЛАВА 5
5.8. Редукция метода сингулярного
многообразия для ОДУ
Поскольку свойство Пенлеве для УЧП по определению сохраняется
при редукции к ОДУ, то следовало бы задать вопрос, почему нигде в главе 3 не использовались такие инструменты интегрирования, как пара Лакса,
сингулярное частное преобразование, преобразование Беклунда, нелинейная формула суперпозиции.
Основанием для этого является то, что эти инструменты легче определяются и используются для УЧП, поэтому мы не вводили их ранее для
ОДУ. Действительно, все эти инструменты применимы к редукции, т.е. они
могут быть определены и для ОДУ. Нетрудно применить редукцию к вышеупомянутым методам, но, однако, существуют трудности при реализации
метода сингулярного многообразия для ОДУ. Прежде чем исследовать эти
трудности, сначала проведем редукции.
В качестве примера рассмотрим модифицированное уравнение Кортевега–де Фриза (5.103) и его пару Лакса в представлении Риккати (5.186),
сингулярное частное преобразование (5.184), автопреобразование Беклунда (5.188)–(5.189) и формулу нелинейной суперпозиции (5.191).ЭтоУЧП
допускает редукцию ко второму уравнению Пенлеве [7]
W = β + α(3t/b)
(U
− 2U3− ξU)=0.
−1/3
U(ξ),ξ=(3t/b)
−1/3
(x − 6vt/b),
(5.270)
5.8.1. От пары Лакса к изомонодромной деформации
Нетрудно применить эту редукцию. Для того чтобы осуществить редукцию пары Лакса уравнения мКдФ к паре Лакса второго уравнения Пенлеве [142], удобно представить пару Лакса в виде одного выражения
dy = y
dx + ytdt, (5.271)
x
в котором y является скаляром в паре Лакса в представлении Риккати (5.186). Если бы пара Лакса была бы определена в представлении нулевой кривизны (L, M)(5.13), то запись пары Лакса в виде одного выраже-
ния имела бы вид
dψ = L(W, x, t, λ)ψdx+ M(W, x, t, λ)ψdt, (5.272)
где ψ — двухкомпонентный вектор, соответствующий y = ψ
1/ψ2
. Нашей
целью является вывод пары Лакса для уравнения П2:
dz =(a
z2+ a1z + a0)dξ +(b2z2+ b1z + b0)dμ, (5.273)
2
5.8. РЕДУКЦИЯ МЕТОДА СИНГУЛЯРНОГО МНОГООБРАЗИЯ ДЛЯ ОД У 165
где шесть скаляров aj, bjзависят только от U, ξ искаляраμ, который
является спектральным параметром ОДУ. Для преобразования (5.271) ис-
ключаем W, x, dx из (5.270), подставляем U
из U=2U3+ ξU + A
и получаем (5.271) ввиде
dy =−2Udξ+ 2A +8λ(λ − vλ
− 2U
(λ − (λ −vλ−1)y2)
+(3t/b)
× (λ +(λ −vλ
1/3
dξ + 2U
−1)y2
).
−1
)(3t/b)
dt
+
3t
2
+ ξ −4λ(λ − vλ−1)(3t/b)
Отсюда получаем μ как слагаемое 2A либо 2U
μ = k(3t/b)
1/3
,k2= λλ −
2
v
λ
2/3
+ ξ
,
dt
3t
y−
2/3
!
dt
×
3t
U
(5.274)
dμ
dt
=
μ
3t
(5.275)
!
и затем исключаем t и dt. Наконец, остающуюся зависимость от λ/k убираем заменой
y =(λ/k)z, (5.276)
или в представлении нулевой кривизны
ψ = P Ψ,P=diag((λ/k)
1/2
, (λ/k)
−1/2
). (5.277)
Окончательно получаем пару Лакса уравнения П2, определенную в виде
одного выражения
dz
=−2 Udξ +
z
+(z
−1
2A
+8μUdμ− 2(z
μ
−1
− z)(μdξ+(2U2+ ξ −4μ2)dμ),
+ z)Udμ+
(5.278)
т. е. в представлении Риккати
z
z
ξ
z
μ
z
= μ
=
2A
μ
1
− z− 2U, (5.279)
z
+8μU −2(z
−1
+ z)U+(z−1− z)(2U2+ ξ −4μ2)(5.280)
166 ГЛАВА 5
и в представлении нулевой кривизны [3, 143]
L =
M =
−Uμ
2U2+ ξ −4μ2+2U
μU
−1
Aμ
,
+4μU 2U2+ ξ −4μ2− 2U
−(Aμ−1+4μU)
(5.281)
,
здесь следы матриц равны нулю. В работе [241] была получена другая пара
Лакса для уравнения П2:
,z= U
2
+2z + ξ 2t − 2U
2t
− U2−
ξ
,
2
2
− 2z −ξ
(5.282)
.
L =
M =
t +2U 1
1
2
−2z −t
1
2
−4tz −2(1 − 2A +2Uz) −2t
Эквивалентность этих двух пар Лакса до сих пор остается открытым вопросом [339].
Обратно, пусть дано линейное дифференциальное уравнение
d
dμ
a
μ−1+ a2μa3− μ2− a
ψ =
1
a3− μ2+ a4−(a1μ−1+ a2μ)
4
ψ, ψ =
ψ
1
ψ
2
, (5.283)
в котором зависимость от μ аналогична (5.281), только с неопределенными
коэффициентами a
. Можно задать коэффициенты ajтакими, что уравне-
j
ние (5.283) становится нелинейным уравнением П2. Такой метод задания
коэффициентов называется методом изомонодромной деформации,апара-
метры a
называются параметрами деформации. Это вскрывает глубинную
j
связь между линейными ОДУ и специальным классом нелинейных ОДУ, состоящим из тех и только тех уравнений, которые имеют свойство Пенлеве.
Пара Лакса для ОДУ весьма важна сама по себе, поскольку свойство
Пенлеве может быть доказано с использованием одной только пары Лакса,
в то время как для доказательства свойства Пенлеве для УЧП необходимо
знание не только пары Лакса, но и сингулярного частного преобразования. Например, для случая уравнения П6 в дополнение к аналитическому доказательству свойства Пенлеве [353, § 2], свойство было доказано на
основании знания пары Лакса различными авторами, такими как Ричард
Фукс [157], Мальмкист [296, § 30, с. 89], Мальгранж [294].
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]