Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метод Пенлеве и его приложения
.pdf
ОСНОВЫ ТЕОРИИ НЕВАНЛИННЫ 267
Комбинируя утверждение леммы (D.11) исвойство(D.8), получаем
T (r, f
)=N(r, f)+m(r, f) 2N (r, f)+m(r, ff/f)
2N(r, f )+m(r, f )+m(r, f
/f) (2 + o(1))T(r, f ).
Таким образом,
∀n ∈ N : T (r, f
(n)
)=O(T (r, f )). (D.13)
Если f не имеет полюса, то получаем верхнюю границу
T (r, f
)=m(r, f)=m(r, f f/f) m(r, f )+m(r, f/f)
(1 + o(1))T (r, f ), (D.14)
отсюда
∀n ∈ N : T (r, f
(n)
) (1 + o(1))T(r, f ). (D.15)
Аналогично, если L(f) есть линейный дифференциальный полином относительно f с рациональными коэффициентами, и функция f имеет конечное число полюсов, то получаем верхнюю границу
T (r, L(f)) (1 + o(1))T(r, f). (D.16)
Неравенства (D.15) и (D.16) являются основными составляющими
для доказательства того, что для некоторых нелинейных ОДУ любое мероморфное решение, если оно существует, может быть только эллиптической функцией. Элегантное обоснование этого утверждения для ОДУ Курамото–Сивашинского (2.27) проведено Еременко [132], результаты представлены в разделе 3.2.8.
Другим приложением теории Неванлинны в контексте настоящей кни-
ги является вероятная связь с четким определением дискретного свойства
Пенлеве [2], см. раздел 7.2. Действительно, верхняя граница (D.14) также
существует и в дискретном случае [2]
rε 1: T(r, f (z ±1)) (1 + ε)T (r +1,f(z)) + κ, (D.17)
где κ равно некоторой константе.
ПРИЛОЖЕНИЕ E
Билинейный формализм
Для всех решений уравнений запись большинства выражений (самого
уравнения, его преобразования Беклунда и т.д.) может быть значительно
сокращена, т. е. выражения представлены в более компактном виде, если
использовать обозначения, введенные Хиротой [208]
тор D — это дифференциальный оператор, действующий на пару функ-
ций f и g, который равен
D
x
j
f · g =(∂
x
j
− d
)f(x1, ..., xl)f(x
x
j
Например,
⎧
D
f · g = fxg − fgx,
x
⎪
⎪
⎪
⎪
2
⎪
f · g = fxxg − 2fxgx+ fgxx,
D
⎪
x
⎨
3
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
f · g = f
D
x
n
D
f ·g = D
x
f · g = fxtg − fxgt− ftgx+ fgxt.
D
xDt
g − 3fxxgx+3fxgxx− fg
xxx
n−1
(fxg − fgx),
x
Любая сумма таких одночленов с коэффициентами, не зависящими от
обычных производных ∂
, называется по определению (Хирота) билиней-
x
j
ной формой (даже если она представляет собой квадратичную форму при
f = g). Этот формализм является полной аналогией [219] некоторого детерминанта, известного как пфаффиан.
, ..., x
1
1
. Билинейный опера-
)|
l
x
j
xxx
=x
j
,
. (E.1)
(E.2)
E.1. Билинейное представление УЧП
Пусть дано (1+1)-мерное солитонное УЧП, которое определяется диф-
ференциальным полиномиальным уравнением
P (∂
1
Это обозначение берет начало от Клебша, использовал его и Борель [36] под названием
«бинарная форма» для представления недавно открытых уравнений П1 и П2.
,u)=0. (E.3)
x,∂t
E.1. БИЛИНЕЙНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ УЧП 269
Рассчитаем прежде всего сингулярный частный дифференциальный оператор D каждого семейства, введенного в разделе 2.1.2 (не путать с введенным оператором Хироты D!). В случае когда УЧП допускает более чем
одно семейство, существует преимущественное (предпочтительное) семей-
2
ство
, которое следует выбрать (необходимо выбрать одно решение). В зависимости от структуры особенности затем вводят одно или несколько полей f , g с помощью сингулярного частного преобразования. В наиболее
простом случае одного поля это преобразование имеет вид
u = D ln f. (E.4)
Тогда уравнение (E.3), которое теперь представлено в виде дифференциального полинома
P (∂
может быть переписано с использованием дифференциального полинома
Хироты (билинейной формы)
3
,f)=0, (E.5)
x,∂t
P (Dx,Dt)f · f =0, (E.6)
где P является полиномом, т.е. без каких-либо обычных производ-
, ∂t.
ных ∂
x
Например, уравнение Кортевега–де Фриза
6
bu
t
+ u
xxx
uu
−
=0, (a, b)=const, (E.7)
x
a
допускает единственное семейство подвижных полюсов второго порядка,
и преобразование
u = −2a∂
2
ln f (E.8)
x
отображает его в
4
)f · f
x
=0, (E.9)
x
−2a
(bD
xDt
+ D
2
f
которое после однократного интегрирования имеет вид билинейной формы
Хироты
(bD
xDt
2
Примерами являются (5.204) и (5.206) соответственно для уравнений Савада–Котера
и Каупа–Купершмидта. В большинстве случаев выбирается семейство, имеющее положительные индексы Фукса.
3
Такая форма только подразумевает существование двухсолитонного решения, существуют
также УЧП с трехсолитонным решением [204], но не с четырехсолитонным решением.
4
+ D
)f · f + F (t)f2=0. (E.10)
x
270 ПРИЛОЖЕНИЕ E
Последнее уравнение не зависит больше от параметра a,входящеговнелинейный член уравнения (E.7). И это является основным преимуществом
таких билинейных представлений.
Большее число примеров применения и детали этого мощного метода
могут быть найдены в различных отчетах о работе летних школ, например
в [206, 387].
E.2. Билинейное представление преобразований Беклунда
При известной билинейной форме (E.6) решения УЧП существует метод получения представления его преобразования Беклунда в виде двух билинейных уравнений. Подобно методу сингулярного многообразия, представленному в разделе 5.5, требуется ввести порядок для спектральной задачи.
В примере с уравнением Кортевега–де Фриза получим уравнения
(5.101)–(5.102) при известном (E.10). Рассмотрим два различные решения f и F билинейного УЧП (E.10). Введем две переменные — разность
и сумму логарифмов этих решений
ln f − ln F = V, ln f +lnF = W, (E.11)
и исключая производные W наивысшего порядка, получим
bV
+ V
xt
+6VxxWxx=0. (E.12)
xxxx
Нам надо получить два билинейных уравнения из этого одного небилинейного уравнения. Канонический базис V
mx, nt
, W
, использованный
mx, nt
в (E.12), для этой цели не подходит. Существует оптимальный базис, состоящий из двух дифференциальных полиномов относительно двух переменных, известных как бинарные полиномы Белла Y
(fF)
−1Dm
D
x
n
f · F = Y
t
(V, W),V=ln
m, n
f
F
[172],
m, n
,W=lnfF, (E.13)
первые элементы которого равны
⎧
Y
(V, W)=1,
⎪
0, 0
⎪
⎪
⎪
⎪
(V, W)=Vx,
Y
1, 0
⎪
⎨
Y
(V, W)=Wxx+ V
2, 0
⎪
⎪
⎪
(V, W)=Wxt+ VxVt,
Y
⎪
1, 1
⎪
⎪
⎩
(V, W)=V
Y
3, 0
xxx
2
,
x
+3VxWxx+ V
(E.14)
3
.
x
E.2. БИЛИНЕЙНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ БЕКЛУНДА 271
В этом базисе единственное уравнение (E.12) принимает вид
(bY
+ Y
∂
x
0, 1
3, 0
) − 3(Y
1, 0∂xY2, 0
− Y
2, 0∂xY1, 0
)=0, (E.15)
и предположение, которое в методе сингулярного многообразия соответствует паре Лакса второго порядка, сводится к линейной зависимости Y
, Y
0, 0
:
Y
2, 0
+ a1Y
1, 0
+ a0Y
=0. (E.16)
0, 0
Y
1, 0
2, 0
Тогда уравнение (E.15) может быть проинтегрировано
bY
0, 1
+ Y
3, 0
− 3a0Y
1, 0
+ KY
=0, (E.17)
0, 0
где K произвольная функция от t. Поскольку два уравнения (E.16)–(E.17)
являются линейными относительно бинарных полиномов Белла, то, следовательно, их можно записать в билинейной форме
2
(D
+ a1Dx+ a0)f · F =0,
(bD
x
t
3
+ D
− 3a0Dx+ K)f ·F =0,
x
(E.18)
,
что и представляет собой желаемый результат. Замена V → V + c
позволяет исключить коэффициенты a
и K, остается только параметр a0,
1
который идентифицируется как спектральный параметр λ.
Для справки представим здесь билинейную форму основных УЧП,
встречавшихся в тексте (представление не является единственным):
КдФ:(bD
Бк:(D
КП:
мКдФ:(D
СГ:
НУШ:
СК:(D
КК:
4
+ D
xDt
2
+(ε2β2/3)D
t
2β2
ε
D
3
3
− bDt)g ·f =0,D
x
(D
xDt
)f · f =0,u= −2a∂
x
4
)f · f =0,u=2β2∂
x
4
x
1
+ ε2D
D
x
1
2
+ D
x
3
x
2
2
g · f =0,u= α∂xln(f/g), (E.22)
x
− μ)f · f + g2=0, (DxDt− μ)g ·g + f2=0,
u =(2/a)ln(g/f),
2
(p
D
+ iDt)f · g =0, (prD
r
x
2
g · g − fh =0,A= f/g, A = h/g,
D
x
(βDt+ D
x
6
(D
x
u =(α/2)∂
5
))f · f =0,u= α∂
x
+16βDxDt)f · f +15D
2
ln f.
x
2
ln f, (E.19)
x
2
ln f, (E.20)
x
!
f ·f =0,u=2β
2
− iDt)h · g =0,
x
2
ln f, (E.25)
x
2
f · g =0,D
x
2∂2
ln f, (E.21)
x
4
f · f = fg,
x
x + c2t
1
(E.23)
(E.24)
(E.26)
272 ПРИЛОЖЕНИЕ E
Эти формы получены для уравнения КдФ [208], Буссинеска [218, 219], КП
[384], мКдФ [209], СГ [210], НШ [211], СК [36, 59, 389], КК [242].
Наиболее полный список солитонных уравнений приведен в [242].
Соответствующие билинейные представления их преобразований Беклунда (штрихом обозначено второе решение) имеют вид
КдФ:(D
Бк:(βεD
КП:
мКдФ:
СГ:
НУШ:
СК:(D
КК:
2
+ λ)f · f=0, (bDt+ D
x
3
+3DxDt− 4βελ)f · f=0, (βεD
x
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
2
(βεD
(3εD
D
D
D
D
D
D
iD
− iD
(iD
(−iD
3
x
(D
(18D
D
+ D
)f · f=0,
x
x
x
3
f· g = λgf, (D
x
g· f = λfg, (D
x
g· g = λff, Dtf· g = λ−1gf,
x
f· f = λgg, Dtg· g = λ−1fg,
x
(g· f + f· g) −μ(fg − fg)=0 (p =1,q=1),
x
(g· h + h· g) −μ(hg − hg)=0,
x
(g· f + f· g) −(D
t
t
+ D
t
t
2
1
+ β2εD
3
− 3βD
x
1
(g· h + h· g) −(D
2
+2μDx+2μ2− λ)g· g −f· h =0,
x
2
+ D
+2μDx+2μ2− λ)g· g −h· f =0,
x
− λ)f · f=0, (D
4
− 8λDx)f · f− (fg + fg)/2=0,
x
5
− 32βDt)f ·g −15(Dxf· g −Dxf ·g)=0,
x
4
f ·f − fg =0,D
x
3
− 3λDx)f · f=0, (E.27)
x
D
)f · f=0,
x
x
1
2
3
+3λDx+ bDt)g· g =0,
x
3
+3λDx+ bDt)f· f =0,
x
2
+ λ)(fg − fg)=0,
x
2
+ λ)(hg − hg)=0,
x
5
x
4
x
2
+5λD
− (2/3)βDt)f · f=0, (E.33)
x
f· f− gg=0.
2
x
− Dt)f · f=0,
(E.28)
(E.29)
(E.30)
(E.31)
(E.32)
(E.34)
Эти представления получены для уравнения КдФ [212], Буссинеска [219,
333], КП [218], мКдФ [209], СГ [210], НШ [329], СК [388], КК [320].
ПРИЛОЖЕНИЕ F
Алгоритм расчета рядов Лорана
Расчет рядов Лорана необходим во многих методах, представленных
в данной книге, поэтому здесь приводится алгоритм расчета рядов Лорана. Наиболее простой способ состоит в следующем. Решение u заменяется
конечной суммой
Левая часть E(u) уравнения представляется в виде аналогичной суммы
E(u)=
u =
J
j=0
J
j=0
ujχ
Ejχ
j+p
. (F.1)
j+q
. (F.2)
Коэффициенты E
нение E
=0относительно J +1неизвестного uj. Этот алгоритм занимает
j
при J<j Jотбрасываются, и решается J +1урав-
j
достаточно много памяти и времени, поэтому его применение нецелесообразно.
Для того чтобы избежать появления членов, которые в дальнейшем
необходимо отбросить, применяется процедура с использованием метода
возмущений, которая практически совпадает с α-методом Пенлеве [349]
и представляет собой [76, ур. (5.26)]
+εX, u =(εX)
x = x
0
p
+∞
n=0
(εX)nu
(n)
(x),E=(εX)
q
+∞
n=0
(εX)nE
(n)
(x).
(F.3)
Для применения этой процедуры имеется следующий оптимальный алго-
1
ритм
(для простоты предполагается, что порядок u ∼ u0χp, E(u) ∼ E0χ
1
Использованный в программе язык называется системой алгебраических аналитических
вычислений [128], имеет синтаксис, очень близкий к системе аналитических вычислений
Reduce.
q
274 ПРИЛОЖЕНИЕ F
уже определен, уравнение является автономным ОДУ. В данном алгоритме
не рассчитываются индексы Фукса и условия нелогарифмичности).
Input:
E некоторое выражение, полином относительно u(x), u
p порядок особенности решения u
q порядок особенности Е
u_0 leading coefficient of u
t[0:J] пустой массив
Output:
t[0:J] коэффициенты ряда Лорана
zero оставшаяся часть, которая должна быть равной нулю.
Program:
Laurent(u,x,E,p,q,u_0,t) {symbolic zero,j,J;
declare fr function,t array;
zero=x**(-q)*let u=(function(x) x**p*(u_0+x*fr(x))) in E;
t[0]=u_0;J=highbound(t,1);let x**(J+1)=0 active;
for j=1 to J do {
t[j]=Solve(fr(x),coeff(zero,x,j));
zero=let once fr=(function(x) uj+x*fr(x)) in zero;
zero=let uj=t[j] in poly(zero,uj);};
let x**(J+1)=0 inactive;write 0==zero; /* Must print "true"*/
};
(x) и т.д.
Предметный указатель
α-метод, 12, 32, 34, 220, 273
d-П1 дискретное, 200, 210
d-П2 дискретное, 200
d-П6 дискретное, 222, 224
d-Пn дискретное, 221–223
e-П6 дискретное, 224
e-Пn дискретное, 222
N-солитонное решение, 96, 116, 144,
154
q-П6 дискретное, 221, 224
q-Пn дискретное, 221, 222
QRT-отображение, 221
Автопреобразование Беклунда, 95, 143
Анализ (инвариант) Пенлеве, 101
Аппроксимация Паде, 87
Базис Грёбнера дифференциальный,
124, 157
Вакуум, 95, 110
Вектор волновой, 114
Взаимодействие резонансное трех волн,
94
Возмущение непрерывного предела, xiv,
207
Волна
— бегущая, xi, 94
— уединенная, 45, 53, 62, 66, 80, 94, 96,
109, 220, 226
— — светлая, 49, 135
—— темная,49
Волны кноидальные, 259
Вронскиан, 116
Вырождение, 241
Гамбье, 12
Гамильтониан
— Хенона–Хейлеса
— — кубический, x, 26, 27, 175
— — четвертого порядка, 27, 184
Группа
— Вейля аффинная, 249, 250
— Кокстера, 250
— дробно-рациональных
преобразований, xiv, 8, 9, 101, 146,
171, 201, 232, 235–238, 245
— отражений, 250
Деформация изомонодромная, 166
Диаграмма Бьянки, 119, 153
Дискретизация, 197
— точная, 216
Задача обратная, xii, 21, 91, 92, 100
Закон сохранения, 96, 100, 133–137
Иерархия, 96, 144, 148, 154, 192, 238
Инвариант дробно-рациональных
преобразований, 101, 122, 129, 150,
252
Индексы Фукса, 15, 20
Интеграл эллиптический, 7, 8
Интегрируемость, 7, 20, 51, 94, 97, 98,
110, 124, 171, 198, 206, 226, 233
— методом обратной задачи, 21, 91, 92,
100
276 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
— по Арнольду–Лиувиллю, xiv, 174,
176, 185
— по Лиувиллю, xiv, 174, 175, 184
— частичная, 49, 51, 96, 106, 107, 109,
110, 155
КГЛ3, x, xi, 21, 53, 63, 73, 81, 96
КГЛ5, 82
Классификация, 43, 100, 146, 182, 201,
220, 231, 235
Классы эквивалентности Картана, 233
Ковалевская, 12, 32
Ковариация, 110
Константа некоторая, 44, 94
Координаты
— Дарбу, 174
— эллиптические, 185
Кривая гиперэллиптическая, 177
Критерий
— полиномиального роста, xiv
— равенства нулю вычетов, 54
Матрица Картана, 250
Мероморфность
— глобальная, 264
— локальная, 264
Метод
—возмущений
— — Фукса, 32, 84
—— нефуксов,36
— локальный сингулярный, xiv, 201
— сингулярного многообразия, xii, 123,
126
— усечения, xi, 61, 123, 126
Многообразие характеристическое, 91,
98, 100
Модель
— Бьянки IX космологическая, xii
— Лоренца, ix, 13, 38
Неприводимость, 221, 231, 233, 243
Оператор
— Хироты, 153
— микродифференциальный, 114
— рассеяния, 113, 137
— сингулярный дифференциальный
частный, 20, 60, 61, 117, 123, 269
Особенность
— неподвижная, 2
—подвижная,ix,2
Осциллятор
— Дуффинга–ван дер Поля, x, 23, 82
—вандерПоля,23
Отношение ангармоническое, 120, 232
Отображение логистическое, xiv, 196,
197, 208, 211
П1 уравнения, 51, 205, 227, 233, 265,
268
П2 уравнения, 41, 92, 164–169, 205, 226,
265, 268
П3 уравнения, 41, 43, 235
П4 уравнения, 265
П6 уравнения, 166, 170, 171, 200, 221,
222, 224, 232, 235, 236, 238, 240, 241,
245, 249, 251, 252, 256, 265
— случай Пикара, 10, 240
Пn уравнение, 9, 222, 226, 236, 240–246,
249–252, 255
Пара Лакса, 112, 252
— дискретная, 212
— лаксова представления, 113
—представления
—— Риккати,114
—— нулевойкривизны,113
— скалярного представления, 112
— цепочного представления, 114
Параметр
— Беклунда, 97, 124
— спектральный, 112, 124
Параметры деформации, 166
Переменная
— разложения, 12, 100, 104, 121
— сингулярного многообразия, 90
— усечения, 126
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]