Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метод Пенлеве и его приложения
.pdf
5.8. РЕДУКЦИЯ МЕТОДА СИНГУЛЯРНОГО МНОГООБРАЗИЯ ДЛЯ ОД У 167
5.8.2. От преобразования Беклунда к бирациональному
преобразованию
Для того чтобы редуцировать автопреобразование Беклунда (5.188)–
(5.189) уравнения мКдФ, обозначим редуцированное консервативное поле
через
r
= w = β + α(3t/b)
x
= W = β + α(3t/b)
R
x
Сучетомсвязи(5.270) между ∂
−1/3
u(ξ),u− 2u3− ξu − α =0,
−1/3
U(ξ),U− 2U3− ξU − A =0.
и ∂ξсингулярное частное преобразова-
x
(5.284)
ние (5.184) сводится к
u − U = ∂
ln z. (5.285)
ξ
Два УЧП, определяющие автопреобразование Беклунда (5.188)–(5.189),
сводятся к системе, не содержащей (v, μ),
(u
+ U)2− (u2− U2)2=0,
2
u
− U2− (u − U)(α + A +(u + U )(ξ + u2+ U2)) = 0,
(5.286)
и их решение имеет вид [290]
u
= ε u2+
ξ
+
2
α + A
2(u + U )
!
,U
= −ε U2+
ξ
+
2
α + A
2(u + U )
!
(5.287)
соотношений, которые определяют бирациональное преобразование между u и U
3
.Двапараметраα и A не ограничены непосредственно преобра-
зованием Беклунда, после преобразования получаем связь между α и A
A − α + ε =0,ε
2
=1. (5.288)
В силу частичной инвариантности (u, x, α) → (−u, x, −α) уравнения П2 его бирациональное преобразование зависит от двух знаков, а не от
одного, как это видно в (5.287). Окончательно получаем [92, ур. (67)]
⎧
N
⎪
⎪
⎪
⎪
u − U
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
= d2(2u3+ xu)+α, α = −dθ,
u
⎪
U
= D2(2U3+ xU )+A, A = −DΘ,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
sθ = −SΘ+1,s
⎪
⎪
⎩
N =(1/2) −SΘ=sθ −1/2=(1/2)(sθ −SΘ).
3
По удачному совпадению буквы БП являются общими начальными буквами и для преоб-
разования Беклунда, и для бирационального преобразования.
+ S∞DU2+
= U
d = S∞D, s2= S2= s
∞
x
2
+ s∞du2+
= u
2
∞
= S
x
,
2
(5.289)
2
=1,
∞
168 ГЛАВА 5
В то время как автопреобразование Беклунда для УЧП связывает два решения одного и того же УЧП, его редукция к бирациональному преобразованию связывает два решения одного и того же ОДУ.
Можно также получить редукцию преобразования Беклунда между
уравнениями КдФ и мКдФ (уравнения (5.98)–(5.99) и (5.104)). Действительно, уравнение КдФ допускает редукцию введением автомодельной переменной xt
удобства):
−1/3
[144, 346] (сдвиг −ξ/2 в U введен исключительно для
−2/3
u = a(3t/b)
U
− 6UU+2ξU+ U =0.
U(ξ) −
ξ
,ξ=(3t/b)
2
−1/3
x,
(5.290)
Как доказано Шэзи [59, class XIII], это ОДУ третьего порядка обладает
свойством Пенлеве. Редуцированное преобразование Беклунда имеет вид
W
+ W2− U +
− ξW− 2UW +(2U − ξ)W2− 2U −
U
редуцированное мКдФ: W
редуцированное КдФ: U
ξ
=0, (5.291)
2
− 2W3− ξW −A =0,A=const, (5.293)
− 6UU+2ξU+ U =0, (5.294)
2
ξ
=0, (5.292)
2
и его первая половина (5.291) дает общее решение уравнения (5.290) ввиде
алгебраического преобразования уравнения П2. С помощью непосредственной подстановки получаем соотношение между U, U
, Uи A, которое
определяет A как первый интеграл уравнения (5.290),
A +
2
1
2
ξ
.
2U
,
!
2
1
2
=0, (5.295)
, A, которое
(5.296)
2
U
−U
+
2U
это уравнение имеет номер 34 в классификации Гамбье [163]. Далее исключение W
, Wиз уравнения (5.291), его производной и уравнения
+2U
2
− ξU −
(5.293) дает полиномиальное соотношение между W , U , U
имеет первую степень относительно W . Наконец, при введении переменной
редукции xt
к бирациональному преобразованию между П2 и G34 [164, с. 31]
−1/3
, преобразование Беклунда между КдФ и мКдФ сводится
⎧
⎪
⎪
U = W
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
W =
+ W2+
− A −
U
2U
5.8. РЕДУКЦИЯ МЕТОДА СИНГУЛЯРНОГО МНОГООБРАЗИЯ ДЛЯ ОД У 169
Как следствие этой эквивалентности между П2 и G34 под действием группы бирациональных преобразований уравнение G34 могло бы быть допустимым выбором для того, чтобы быть представителем класса эквивалентности вместо П2. Основанием для выбора все же П2 является тот факт, что
П2 имеет единственную особенность W = ∞, в то время как уравнение
G34 имеет две особенности U = ∞, 0
4
.
В качестве совершенно простого примера, который мы оставляем читателю, можно рассмотреть стационарную редукцию ∂
=0, ξ = x как для
t
уравнения КдФ, так и для мКдФ для получения редукции преобразования
Беклунда между этими УЧП и обнаружить хорошо известное дробно-рациональное преобразование (подгруппу группы бирациональных преобразований) между уравнением Вейерштрасса и другим эллиптическим уравнением.
5.8.3. От формулы нелинейной суперпозиции к контигуальному
соотношению
Формула нелинейной суперпозиции, которая включает четыре решения уравнения мКдФ, не может быть редуцирована при исходной форме (5.191). Действительно, эта формула является результатом последовательных исключений. Поэтому правильным способом построения редукции
будет сначала применение редукции к исходным компонентам, а именно:
к преобразованию Беклунда, а затем уже применение исключения. Результатом, как сейчас увидим, будет алгебраическое соотношение между тремя
решениями уравнения П2, а не между четырьмя, и причиной тому является
первый интеграл A, который был получен при применении редукции.
Начнем с редукции автопреобразования Беклунда, т.е. бирационального преобразования (5.289). В процесс понижения дифференциального порядка входит исключение производных u
и U. Это достигается следую-
щим образом [145].
1) Рассматривается бирациональное преобразование, такое как (5.289),
т. е. прямое бирациональное преобразование и обратное к нему:
u = f (U, U
U = F (u, u
4
Это в точности то же самое основание, как и среди эллиптических функций второго порядка выбор функции Вейерштрасса (одна функция с полюсом второго порядка) является
более предпочтительным по сравнению с функциями Якоби (три функции с двумя простыми
полюсами), см. обоснование Хальфена [194, гл. VIII, с. 253].
,x,θ,Θ),θ= g(Θ), (5.297)
,x,Θ,θ), Θ=G(θ). (5.298)
170 ГЛАВА 5
2) Переписывается прямое бирациональное преобразование для итерации
вперед v
рации назад v
= v и обратное бирациональное преобразование для ите-
n+1
= v для одной и той же дискретной переменной
n−1
v = u:
v
= v = f(v, v,x,g(θ),θ),v= vn,v= v
n+1
= v = F (v, v,x,G(θ),θ),v= vn,v= v
v
n−1
, (5.299)
n
. (5.300)
n
3) Из этих двух соотношений исключается единственная производная v
C(v, v,v,x,θ)=0. (5.301)
Такое соотношение без производных называется контигуальным со-
отношением. Как отмечается Гарнье [168], это является расширением для
нелинейных уравнений аналогичного обозначения, введенного Гауссом для
(линейного) гипергеометрического уравнения.
Вслучае(5.289) эти два уравнения для
v и v имеют вид
⎧
1
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
+ θ
2
v − v
1
− θ
2
v − v
n
+ S∞Dv2+
= v
n
+ s∞dv2+
= v
x
,
2
(5.302)
x
,
2
и их разность дает контигуальное соотношение
1
+ θ
2
v − v
1
− θ
n
+
2
v − v
n
+(s
d − S∞D)(2v2+ ξ)=0. (5.303)
∞
При сравнении с формулой нелинейной суперпозиции (5.191) видно, что
это соотношение связывает три решения v, v, v трех различных уравнений
П2 (в отличие от четырех различных решений u
, un, -un, u
n−1
n+1
одного
и того же УЧП), независимая переменная z = nh вводится при решении
рекуррентных соотношений для θ, а переменная ξ стала простым параметром, введенным при неавтономной редукции.
Для эталонного уравнения П6 элементарное бирациональное преобразование, впервые найденное Окамото [342], имеет более простой вид,
поскольку оно отражает эквивалентность четырех особых точек u =
= ∞, 0, 1,x[90]:
5.8. РЕДУКЦИЯ МЕТОДА СИНГУЛЯРНОГО МНОГООБРАЗИЯ ДЛЯ ОД У 171
x(x − 1)U
U(U − 1)(U − x)
x(x − 1)u
u(u − 1)(u − x)
=2
−
= −2
−
s
S
s
jθj
u − U
0Θ0
U
S
jΘj
0θ0
u
− SjΘ
+
U − 1
− sjθ
u − U
s
+
u − 1
S
1θ1
j
−
1Θ1
− 1
S
xΘx
+
U − x
j
−
s
− 1
xθx
+
u − x
, (5.304)
. (5.305)
Здесь j означает одну из особых точек (∞, 0, 1,x), монодромные экспо-
ненты θ
восемь знаков s
, Θjопределяются своими квадратами
j
2
θ
∞
2
Θ
∞
=2α, θ
=2A, Θ
2
= −2β, θ
0
2
= −2B, Θ
0
, Sjпроизвольны и независимы. И рекуррентное соотно-
j
2
=2γ, θ
1
2
=2Γ, Θ
1
2
=1−2δ, (5.306)
x
2
=1−2Δ, (5.307)
x
шение между монодромными экспонентами имеет вид
s
jθj
= SjΘj−
S
kΘk
!
1
+
,S
2
jΘj
= sjθj−
1
2
1
2
s
kθk
!
1
+
.
2
(5.308)
Соответствующее контигуальное соотношение [330, ур. (1.5); 91] является
суммой шести простых полюсов (включая v = ∞):
ϕ(n +1/2)
v − v
ϕ(n − 1/2)
+
v − v
ϕ(n)=
s
− S0Θ
0θ0
=
1
(s
∞θ∞
2
v
+ s0θ0+ s1θ1+ sxθx− 1),
s
1θ1
− S1Θ
v − 1
0
+
s
xθx
− SxΘ
v − x
x
1
+
(5.309)
где θ — центральная точка z = z
+ nh.
0
,
5.8.4. Переформулирование метода сингулярного многообразия:
дополнительное дробно-рациональное преобразование
В то время как не имеется особых трудностей, как показано выше,
для применения редукции к различным составляющим метода сингулярного многообразия, существует сложность для получения редукции самого метода, т. е. для редукции определяющих уравнений, подобных (5.66),
(5.67) или (5.140).
172 ГЛАВА 5
Рассмотрим ОДУ Пенлеве Пn, которое допускает бирациональное преобразование, n =2, 3, 4, 5, 6, и найдем это бирациональное преобразова-
ние методом, основанным на анализе его особых точек (методом сингулярного многообразия). Сингулярная часть преобразования по предположению
имеет вид [175]
Z
u = u
Z−1+ U, u0=0, (5.310)
0
=1+z1Z + z2Z2,z2=0, (5.311)
где u удовлетворяет уравнению Пn, и предположим для простоты, что U
также удовлетворяет тому же уравнению с другими параметрами (по сравнению с УЧП это является дополнительным предположением). Неизвестные (Z, z
(x, U, U
) должны быть определены как рациональные функции от
1,z2
). После того как это сделано, соотношение (5.310) представляет
собой половину бирационального преобразования.
Предположение (5.310)–(5.311) приводит к успеху [175] для уравнений Пn, n =2, 3, 4, 5, однако оно не срабатывает в случае n =6,покане
будут реализованы некоторые важные преобразования [90]. Для ОДУ второго порядка первой степени, таких как Пn, переменная Риккати Z и производная U
порядка первой степени, обладающее свойством Пенлеве, необходимо является [349, с. 396–409] уравнением Риккати для U
не являются независимыми. Действительно, любое ОДУ N-го
(N−1)
с коэффициентами,
зависящими от x и производных более низкого порядка, в нашем случае:
= A2(U, x)U2+ A1(U, x)U+ A0(U, x). (5.312)
U
Поскольку группа инвариантных преобразований уравнения Риккати представляет собой группу дробно-рациональных преобразований, то перемен-
ные U
и Z связаны между собой дробно-рациональным преобразованием.
Определим это преобразование следующим образом:
(U
+ g2)(Z−1− g1) − g0=0,g0=0. (5.313)
Это позволяет нам получить два коэффициента z
псевдопотен-
j
циального уравнения Риккати (5.311) в виде явных зависимостей от
(g
j,∂Ugj,∂xgj,A2,A1,A0
,U). Действительно, исключение Uиз урав-
нений (5.312) и (5.313) приводит к ОДУ первого порядка относительно Z.
Далее, сравнивая коэффициенты в (5.311) и в полученном ОДУ, учитывая (5.313), получим три соотношения:
2
= g
g
z
z
A2− g2A1+ A0+ ∂xg2− g2∂Ug2, (5.314)
0
2
= A1− 2g1+ ∂Ug2− ∂xln g0+(2A2− ∂Uln g0)U, (5.315)
1
= −g1z1− g
2
2
− g0A2− ∂xg1− (∂Ug1)U. (5.316)
1
5.8. РЕДУКЦИЯ МЕТОДА СИНГУЛЯРНОГО МНОГООБРАЗИЯ ДЛЯ ОД У 173
Следовательно, на самом деле неизвестными в нашем случае являются
две функции g
переменных (U
и g2двух переменных (U, x), а не две функции z1и z2трех
1
,U,x).
Теперь уже применение усечения не представляет трудности, и оно
приводит непосредственно [90] к бирациональному преобразованию для
всех Пn, которые его допускают, включая бирациональное преобразование
и для уравнения П6 (5.305).
Таблица 5.1 содержит качественную итоговую характеристику различных свойств УЧП, которые обладают свойством Пенлеве, когда УЧП редуцируется к некоторому ОДУ.
Таблица 5.1. Соответствие методов интегрирования УЧП, имеющих свойство Пенлеве, и их нехарактеристических редукций к ОДУ
Инструмент УЧП ОДУ
Линейное представление Пара Лакса Изомонодромная деформация
Различие двух решений Сингулярное частное
преобразование
Инвариантность Преобразование Бек-
лунда
Связь решений Нелинейная формула
суперпозиции
Общее решение Неавтономное Отсутствие подвижных кри-
Преобразование Дарбу
Бирациональное преобразование
Контигуальное соотношение
тических особенностей
ГЛАВА 6
Интегрирование гамильтоновых систем
В этой главе будут проиллюстрированы различные подходы к интегрированию гамильтоновых систем на двух примерах с двумя степенями
свободы: кубический (ХХ3) и четвертого порядка (ХХ4) гамильтонианы
Хенона–Хейлеса. Различные подходы к интегрированию представляют собой следующее:
• (интегрируемость по Лиувиллю) нахождение второго инварианта в инволюции с гамильтонианом, чего, однако, недостаточно для глобальной
интегрируемости;
• (интегрируемость по Арнольду–Лиувиллю) нахождение переменных,
которые разделяют уравнение Гамильтона–Якоби, что приводит к глобальной интегрируемости;
• (свойство Пенлеве) нахождение в явной замкнутой форме однозначного выражения для общего решения q
во всех семи случаях (разделы 6.2.3 и 6.3.3) путем применения бирациональных преобразований к ОДУ четвертого порядка, выделенных
и проинтегрированных Косгроувом.
(t), Qj(t); это будет сделано
j
6.1. Различные определения интегрируемости
Когда система нелинейных ОДУ может быть представлена в виде га-
мильтоновой системы относительно переменных q
чае возможны три типа интегрируемости и эти три типа интегрируемости
будут по возможности применены.
Первый тип является интегрируемостью по Лиувиллю, т. е. у гамильто-
новой системы существуют первые интегралы движения в инволюции, при
этом решения уравнения Гамильтона могут быть выражены в квадратурах.
Однако этого не достаточно для доказательства глобальной однозначности,
как было показано на примере движения маятника, разобранном в разделе 1.2.
(t), pj(t),товэтомслу-
j
6.1. РАЗЛИЧНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ 175
Второй тип интегрируемости — это интегрируемость по Арнольду–Ли-
увиллю, более сильная версия интегрируемости по Лиувиллю, введенная
Арнольдом [18, гл. 9], которая состоит в нахождении канонического преобразования в явной форме, приводящего исходную гамильтонову систему
к новой гамильтоновой системе, в которой уравнение Гамильтона–Якоби
(см. ниже уравнение (6.5)) разделено, т. е. левая часть представляется в виде суммы F(Q
)+G(Q2,P2). Эти новые координаты называются ко-
1,P1
ординатами Дарбу или разделяющими переменными.
Третий тип интегрируемости, описанный в главе 3, состоит в нахож-
дении в явной замкнутой форме однозначного выражения для общего решения q
(t). Все эти три типа интегрируемости будут рассмотрены для
j
кубической системы Хенона–Хейлеса, которая отбирается как прошедшая
тест Пенлеве, в разделе 6.2.3.
Следует иметь в виду, что первый и третий типы интегрируемости
независимы, см. раздел «Часто задаваемые вопросы».
В случае интегрируемости по Арнольду–Лиувиллю, когда второй ин-
вариант имеет степень самое большее равную двум относительно момен-
, существует классический метод [398] (главным образом основанный
тов p
j
на разложении квадратичной формы) получения разделяющих переменных
в явной форме. Два случая из семи (β/α = −6 для ХХ3 и A : B : C =
=1:2:1для ХХ4) принадлежат к системам Штеккеля (разделы 6.2.2.1
и 6.3.2.1). Исследование пяти оставшихся случаев (да и даже всех семи)
может быть сведено к исследованию солитонных уравнений:
• каждый из семи случаев является редукцией солитонного уравнения
(уравнение Савада–Котеро, уравнение КдФ более высокого порядка
[275] и уравнение Каупа–Купершмидта для β/α = −1, −6, −16,система двух нелинейных уравнений Шредингера [296] для 1:2:1
и различные системы двух уравнений типа КдФ [21] для трех других
случаев ХХ4);
• среди этих различных солитонных уравнений существуют три преобразования Беклунда, результатом которых является эквивалентность
(бирациональное преобразование) между парами (−1, −16) ХХ3, (1 :
6:1, 1:6:8)и (1 : 12 : 16, 5:9:4)ХХ4, где случай 5:9:4приво-
дит к тому, что сопутствующий гамильтониан не принадлежит классу
Хенона–Хейлеса [21]; это ограничивает число случаев до трех пар;
• в каждой из этих трех пар один из двух элементов (−1, 1:6:1, 1:12:
16) имеет второй инвариант второй степени относительно параметров,
которые появляются в гамильтониане; разумное использование бира-
176 ГЛАВА 6
ционального преобразования позволяет разделить переменные во всех
случаях, за исключением двух.
6.2. Кубические гамильтонианы Хенона–Хейлеса
Эти случаи (2.99)–(2.101) были отобраны как прошедшие тест Пен-
леве.
6.2.1. Вторые инварианты
Первое, что будет установлено, — это интегрируемость в смысле Ли-
увилля, поскольку в этих трех случаях существует вторая константа движения [125, 204, 181] в инволюции с гамильтонианом:
2
(СК): K = K
K
0
(КдФ5): K =4αp
(КК): K =(3p
АМЕЧАНИЕ. Последний первый интеграл (6.3) может быть расши-
З
+3c3(3p
0
=3p1p2+ αq2(3q
2(q2p1
2q2
+ α
(4q
2
2
+3ω2q
2
2q4
− 2α
2
рен [204] введением дополнительного слагаемого +c
=0уравнение не имеет свойства Пенлеве, но оно допускает пару Лак-
c
4
са [225] и, следовательно, имеет слабое свойство Пенлеве. Первый интеграл (6.2) также допускает расширение [225] введением дополнительного
слагаемого +q
4
/q
в (2.69),см.(6.16) ниже.
1
2
−2
2
q
+4αq1+2ω2),
1
2
2
2
+ q
)+3ω2q1q2, (6.1)
1
2
− q1p2)+(4ω2− ω1)(p
2
2
+ q
)+4αq1(ω2q
1
2
−2
+3c3q
)2+12αp2q
2
2
)+12αq1(−ω2q
2
(6q
2
2
2
+ q
1
2
− c3q
2
2
2
4
2
2
+ ω2q
2
(3q1p2− q2p1)−
2
+ c3q
2
−2
), (6.2)
2
+ c3) − 12ω2c3. (6.3)
6
/(6q
) в (2.69).При
4
2
−2
2
)+
6.2.2. Разделение переменных
Важным соотношением для нахождения разделяющих переменных яв-
ляется уравнение Гамильтона–Якоби [18, гл. 9] относительно действия
S(q
,t)
j
∂S
∂t
+ H(q
1,q2,p1,p2
,t)=0,p1=
∂S
∂q
1
,p2=
∂S
. (6.4)
∂q
2
В частном случае автономного гамильтониана, подобно ХХ3, это нелинейное УЧП относительно S сводится к
H(q
1,q2,p1,p2
) − E =0. (6.5)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]