Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метод Пенлеве и его приложения
.pdf
A.3. КЛАССИФИКАЦИИ 237
где 2ω1, 2ω2являются периодами эллиптической функции Вейерштрасса ℘
(c
)=(0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1). Эта компактная форма (A.13) была
j,dj
впервые получена в 1906 г. Пенлеве [351] при обобщении представления
Пикара [355] на общий случай (θ
∞,θ0,θ1,θx
) =(0, 0, 0, 0),ивновьбыла
позднее найдена с использованием геометрического похода в [298, 19].
Следует также упомянуть, что Гарнье [169] провел классификацию систем с двумя неизвестными вида
u
= F(u, v),v= G(u, v), (A.15)
где F и G — однородные многочлены.
A.3.3. ОДУ второго порядка высших степеней
Общие необходимые условия были установлены Пенлеве [351, с. 252;
352, с. 67] для ОДУ первой степени произвольного порядка.
Для уравнений второго порядка и степени выше первой на настоящее
время полная классификация не проведена. Для ОДУ второй степени предварительные исследования были проведены Бюро [47]. Для подмножества
биномиальных уравнений произвольной степени
n
u
= F(x, u, u),n 2(A.16)
с функцией F, рациональной по u
и u, классификация была проведена для
случая n =2в [108, 104], а для n 2 в [102].
A.3.4. ОДУ первой степени третьего порядка
Классификация ОДУ первой степени третьего порядка
2
u
=
Aj(u,u,x)u
j=0
была закончена Шэзи [59]. Подмножество A
j
=0содержит 13 классов
2
(A.17)
эквивалентности относительно группы дробно-рациональных преобразований, их классификация была продолжена Бюро [46], Экстоном [135] и завершена Косгроувом [105].
A.3.5. ОДУ первой степени четвертого порядка
Только один класс таких ОДУ
u
= F(u
,u,u
,u; x)(A.18)
238 ПРИЛОЖЕНИЕ A
с функцией F , полиномиальной по u
, u, u, рациональной по u,аналитической по x, был исследован. Некоторые примеры были рассмотрены
в тексте, раздел 6.2.3. После некоторых предварительных результатов, полученных Шэзи [59], Бюро [46], Экстоном [135] и Мартыновым [301], при
дополнительном ограничении на функцию F — F полиномиальна относительно u
1
, Косгроув завершил классификацию, в которую вошли 12 классов
эквивалентности относительно группы дробно-рациональных преобразований, где u имеет простые полюса [106] и 5 классов, где u имеет полюса
второго порядка [104].
Четыре из 17 выделенных ОДУ не могут быть проинтегрированы (решение не представимо в виде решений линейных уравнений, эллиптических функций, трансцендент Пенлеве). Они имеют трансцендентную зависимость от четырех констант интегрирования [263], но свойство их неприводимости не доказано, следовательно, пока еще нельзя утверждать, что
они определяют новые функции. Это уравнения (здесь добавлено уравнение Fif-IV пятого порядка [104], поскольку оно имеет такие же свойства):
F-V u
F-VI u
F-XVII u
F-XVIII u
Fif-IV u
З
АМЕЧАНИЕ. То же свойство (трансцендентную зависимость и недо-
=20uu+10u2− 40u3+ αu + κx + β, (A.19)
2
2
2
x
α
u + κx + β, (A.20)
9
(2xu
+ u). (A.23)
=18uu+9u2− 24u3+ αu2+
=10u2u+10uu2− 6u5−
− 10δ(u
= −5uu+5u2u+5uu2− u5+(λx + α)u + γ, (A.22)
=18uu
+
+
− 2u3)+(λx + μ)u + γ, (A.21)
+36uu− 72u2u+3λu+
1
{u
− 18uu− 9u2+24u3− 3λu+ κ}+
x
λx
2
(5u
− 36uu) −
λ
казанную несводимость) имеют системы Гарнье [167], вырожденным случаем для которых является П6.
Эти пять уравнений представляют собой редукции различных солитонных уравнений: F-V — уравнения Кортевега–де Фриза 5 [7, 263], F-VI —
систем двух уравнений Кортевега–де Фриза [126], F-XVII — модифицированного уравнения Кортевега–де Фриза 5 [142], F-XVIII — УЧП пятого порядка [148].
1
За исключением уравнения (6.74).
A.3. КЛАССИФИКАЦИИ 239
По крайней мере три солитонные системы двух уравнений, которые
являются редукциями иерархии КП, имеют в качестве редукции уравнение
F-VI. Одна система имеет порядок 6+6 [176], другая — 5+3 [121], а третья,
наиболее низкого порядка, — 3+3:
⎧
⎨
⎩
1
(u
−
u
t
v
+ v
t
+ au2+6v)x=0,
xx
2
+ auvx=0.
xxx
(A.24)
Последняя система, рассмотренная в [126], имеет редукцию
⎧
⎪
au = −6U +
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
U
−U
− 6U2−
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
α
,av= V −κt, ξ = x +
12
α
3
U − V
=0,V
− 6UV+
+18UU+9U2− 24U3+ αU2+
α
t,
4
2
α
9
α
V
3
U + κξ
− κ =0,
=0.
(A.25)
A.3.6. ОДУ высших порядков первой степени
Получены некоторые результаты для уравнений пятого порядка [136,
105, 107] (см., например, уравнение (A.23) в предыдущем разделе) и для
уравнений шестого порядка [135], имеющих вид
(n)
u
= P(u
(n−1)
, ..., u; x)(A.26)
с P аналитической по x и полиномиальной по остальным аргументам.
A.3.7. УЧП второго порядка первой степени
Основываясь на предварительных исследованиях Главати [221], была
проведена классификации полулинейных УЧП второго порядка — гиперболического и эллиптического типа [100] (в смысле обладания свойством
Пенлеве они не различаются) и уравнений параболического типа [101].
В классификацию вошли все уже известные УЧП (Бюргерса, Лиувилля,
синус-Гордона, Цицейки и др.), а новые УЧП обнаружены не были.
ПРИЛОЖЕНИЕ B
Еще о трансцендентах Пенлеве
Классические результаты по этому вопросу можно найти, например,
в [235]. За современным описанием свойств (в основном геометрических)
трансцендентов Пенлеве читатель может обратиться к прекрасному обзору [231].
Главное уравнение П6 впервые было написано Пикаром [355] в 1889
году в частном случае. Пусть ϕ — эллиптическая функция, определяемая
как
ϕ: y → ϕ(y, x),y=
ϕ
z(z −1)(z −x)
∞
dz
(B.1)
ипустьω
с (c
(x), ω2(x) ее полупериоды. Тогда функция
1
u: x → u(x)=ϕ(c
) произвольными постоянными не имеет подвижных критических
1,c2
(x)+c2ω2(x),x)(B.2)
1ω1
особенностей и удовлетворяет ОДУ второго порядка, которым является П6
при значениях параметров уравнения α = β = γ = δ − 1/2=0.Это
уравнение имеет вид [349, с. 506–508, 512–513]:
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
x +1
u =
x(x − 1)
x
g
=
2
+4℘(ω, g
3
2
d
ω
2
dx
2
− x +1
12
2,g3
+(2x − 1)
,g
3
),
dω
+
dx
3
2x
− 3x2− 3x +2
=
ω
4
=0,
432
,
(B.3)
следовательно, ω является линейной комбинацией двух линейно независимых полупериодов ω
(x), ω2(x).
1
B.1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ СЛИЯНИЙ 241
Несмотря на то, что интегрирование уравнения проведено в эллиптических функциях, этот «случай Пикара» не является классическим
в смысле, определенном в разделе А.2. Как отмечено Пенлеве [352, §19,
с. 26], оно принадлежит к дифференциальным уравнениям, описывающим зависимость эллиптических функций от их инвариант, установленным
Хальфеном [194, т. I, с. 252–253 и 291–331].
Полное уравнение П6 отсутствует в [350], т.к. оно не было получено
Пенлеве. Оно было впервые установлено Фуксом [156], который рассматривал линейные ОДУ второго порядка для функции ψ(t),имеющейчетыре
фуксовы особенности, входящие в ангармоническое отношение (расположенные, например, в точках t = ∞, 0, 1,x). Кроме того, как было описано
Пуанкаре [363, с. 217–220], в изомонодромной задаче появляется особенность t = u,
2
d
ψ
2
−
ψ
dt
A
=
2
2
t
+
B
(t − 1)
2
C
+
(t − x)
+
t(t − 1)(t −x)
2
+
t(t − 1)
a
D
3
+
4(t − u)
+
b
t(t − 1)(t − u)
2
+
, (B.4)
(A, B, C, D) являются константами, а (a, b) — параметры. Требование то-
го, чтобы матрица монодромии (которая задает преобразование двух независимых решений ψ
(t), ψ2(t) при обходе t вокруг особенности) была
1
независимой от неявной особенности x (условие изомонодромии) приводит к необходимости того, чтобы u как функция от x удовлетворяла уравнению П6.
B.1. Последовательность слияний
Большинство результатов, касающихся уравнений Пn, может быть выведено при рассмотрении уравнения П6 с точки зрения процесса слияния [351]. Этот процесс состоит в приложении слияния (или соединения, или вырождения — все это синонимы) к линейным ОДУ второго
порядка. Процесс слияния при исходном гипергеометрическом уравнении Гаусса приводит к уравнениям Уитеккера, Вебера–Эрмита, Бесселя,
Эйри.
Уравнение П6, определенное в разделе 1.2, зависит от четырех параметров α, β, γ, δ, коэффициент при u
имеющих один и тот же вычет, равный 1/2. Схема слияния этих четырех
2
имеет четыре полюса (∞, 0, 1,x),
242 ПРИЛОЖЕНИЕ B
полюсов
(1/2, 3/2)
(1/2, 1/2, 1/2, 1/2) →(1/2, 1, 1/2) (2)
(1, 1)
(B.5)
из исходного уравнения П6 (u, x, α, β, γ, δ) дает четыре уравнения с четырьмя параметрами, выбранными, следуя Гарнье [167]
1
2
u
+
−
x
x − 1
П6: u
1
=
2
1
1
+
u
u − 1
+
1
u − x
u(u − 1)(u − x)
+
x2(x − 1)
1
П5: u
П4
П3: u
П2
=
: u=
=
: u= δ(2u3+ xu)+γ(6u2+ x)+βu + α,
J: u
=2δu3+6γu2+ βu + α.
u
2u
u
2u
u
+
u − 1
2
+ γ
2
u
−
x
Добавленное уравнение J (от «Якоби» («Jacobi»)) является автономным пределом уравнения П2
2
1
2
−
u
3
3
+4xu2+2x2u+4δ(u2+ xu) −2αu +
u
2
2
+
+ γu
αu
2
4x
. По сравнению с обычным списком, представленным
α + β
u
+
x
3
+
x
2
u
(u − 1)
β
4x
+ γ
x
+
2
δ
4u
x − 1
(u − 1)
2
αu +
,
1
,
1
+
1
u − x
+
u
x(x − 1)
+ δ
2
(u − x)
β
+ γ
u
u
x
2
+ δ
,
u(u +1)
u − 1
β
,
u
в разделе 1.2, дополнительные коэффициенты γ в уравнении П4 и δ в уравнении П2 добавлены для учета знака двух противоположных вычетов ±u
каждого семейства подвижных простых полюсов. Коэффициент δ в уравнении П4 может быть положен равным нулю при γ =0.
Таблица B.1 содержит некоторые характеристики вышеприведенных
уравнений, такие как поведение главного члена в ряде Лорана, индексы
Фукса, показатели монодромии.
1
Этот выбор неединственный. Так, в работе [339] было предложено другое уравнение вме-
сто П4
, обладающее такими же свойствами.
,
0
B.1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ СЛИЯНИЙ 243
Таблица B.1. [Воспроизведена из [91]]. Некоторые полезные данные, касающиеся
уравнений Пn. Здесь используется обозначение Окамото [341] в большей степени,
чем обозначение Жимбо и Мива [241]. Каждый показатель монодромии θ
чая θ
, входит во второй степени в параметры α, β, γ, δ. В строчках таблицы
∞
,вклю-
j
указаны: порядок особенности q уравнения Пn, значения положительных индексов
Фукса i, значения первого коэффициента u
ния корня квадратного из u
, определение показателей монодромии θ, координаты
0
ряда Лорана по степеням u,обозначе-
0
вектора-столбца θ
П2
П3 П4
П5 П6
q, i −3, 4 −4, 2 −4, 3 −5, 1 −6, 1
u
0
√
α −dθ
−1
d
2c−1x c
d2= δ c2= γ c2= γ θ
∞
2cθ
β −2dθ
γ c
δ d
θ (θ∞)
2
−d
θ
θ
∞
0
2
2
∞
0
−1
2cθ
−8θ
c
θ
θ
−1
θ
x θ
∞
2
=2α θ
∞
2
θ
∞
2
0
2
/2 θ
∞
2
−θ
/2 −θ
0
−dθ
1
−d2/2 (1 − θ
θ
∞
θ
θ
1
∞
0
−1
x(1 − x)
∞
2
∞
2
∞
2
θ
1
θ
θ
θ
θ
=2α
/2
2
/2
0
/2
2
)/2
x
∞
0
1
x
При изучении пар Лакса, бирациональных преобразований и т.д. вышеприведенный набор уравнений более удобен, чем обычный набор уравнений, представленный в разделе 1.2. Действительно, последний набор подчеркивает связь неприводимости и сохранения числа параметров, в то время как первый набор позволяет извлечь максимальную пользу из наличия
четырех параметров α, β, γ, δ. Последовательные преобразования (за счет
слияния)
П4
П6 → П5 П2
→ J
(B.6)
П3
уравнения E(x, u, α, β, γ, δ)=0к другому уравнению E(X, U,A,B, C,D)=
=0описываются аффинными преобразованиями (x, u, α, β, γ, δ) →
244 ПРИЛОЖЕНИЕ B
→ (X, U, A, B, C, D, ε)
6 → 5: (x, u, α, β, γ, δ)=(1+εX,U,A,B,ε
:(x, u, α, β, γ, δ)=(1+εX, εU/2, 2Cε−4+28Dε−3,B/4,
5 → 4
−4
− 4Cε
− 60Dε−3, 2Aε−2− 2Cε−4− 32Dε−3),
5 → 3: (x, u, α, β, γ, δ)=(X, 1+εU, ε
−2
C/8,εB/4,ε2D/8),
− ε
→ 2:(x, u, α, β, γ, δ)=(ε2X/4, 1+εU, −4Bε−4+96Cε−5− 24Dε−6,
4
−3
16Aε
− 32Cε
3 → 2
:(x, u, α, β, γ, δ)=(1+ε2X/2, 1+εU,16Bε−4−64Cε−5−32Dε−6,
32Dε
16Aε
2
→ J:(x, u, α, β, γ, δ)=(εX, ε−1U, ε−3A, ε−2B,ε−1C, D),
− 8Bε−4+48Cε−5− 8Dε−6,
−5
+16Dε−6, 48Cε−5− 16Dε−6),
−6
, −8Bε−4+48Cε−5+16Dε−6,
−3
− 8Bε−4+16Cε−5− 16Dε−6),
−1
C −ε−2D, ε−2D),
−1
A/4+ε−2C/8,
где ε стремится к нулю. Классическое преобразование (за счет слияния) для
уравнений Пn, приведенных в разделе 1.2, можно найти в [353, 164]. Слияние для показателей монодромии θ, установленное в работе [341], приведено в таблице B.2. Все эти преобразования являются аффинными, вот
почему в 1906 году Пенлеве изменил первоначальное уравнение П3
Таблица B.2. [Воспроизведена из [91]]. Слияние показателей монодромии. Параметры c, d (которые, по существу, означают знаки) также участвуют в слиянии. Квадратные корни выбираются так, что они имеют только + знаки в последовательности
значений θ
6 → 5 1+εX U θ
5 → 4 1+εX εU/2 −2cε
5 → 3 X 1+εU θ∞+ ε−1c/2 − ε−1c/2 θ
4 → 2 εX/4 − ε−1ε−1+ U −ε−3d θ∞+ ε−3d 4ε−1d
3 → 2 1+ε2X/2 1+εU 4dε
+ θ0+ θ1+ θx, θ∞+ θ0+ θ1, 2θ∞+2θ0, θ∞+ θ0, 2θ
∞
x u θ
∞
∞
−2
−3
θ
0
θ
0
2θ
0
2θ∞− 4dε
θ
1
θ1− ε−1d ε−1d + ε
2θ∞+2cε
−3
−2
0
θ
x
−4dε−32θ∞+4dε
2
∞
c d
2cε−2− 2θ
εd/2
.
∞
−3
2
Вероятно за счет выбора старого варианта уравнения П3 в работе Мальмквиста [295]
отсутствует гамильтониан уравнения П3.
B.2. ИНВАРИАНТНОСТЬ 245
B.2. Инвариантность относительно дробно-рациональных
преобразований
Перестановки четырех особых точек ∞,0,1,x уравнения П6, которые
оставляют это уравнение инвариантным, действуют как дробно-рациональное преобразование между x и u. Эти 24 перестановки генерируются тремя
элементами (θ, x, u) → (Θ,X,U):
H
:Θ=(θ0,θ∞,θ1,θx),xX=1,uU=1, (B.7)
bacd
H
:Θ=(θ0,θ1,θ∞,θx),x(1 − X)=1, (u − 1)U =1, (B.8)
bcad
H
:Θ=(θ0,θ∞,θx,θ1),x= X, uU = x. (B.9)
badc
Четыре из этих двадцати четырех также сохраняют x, равенство
H
:Θ=(θx,θ1,θ0,θ∞), (u − x)(U − x)=x(x − 1), (B.10)
dcba
H
:Θ=(θ0,θ∞,θx,θ1),uU= x, (B.11)
badc
H
:Θ=(θ1,θx,θ∞,θ0), (u − 1)(U − 1) = 1 −x. (B.12)
cdab
Для общих значений параметров α, β, γ, δ слияние определяет следующие дробно-рациональные преобразования:
П6(u, x, α, β, γ, δ) → (1/u, 1/x, −β, −α, γ, δ),
→ (1 − 1/u, 1 − 1/x, −β, −γ, α, δ),
→ (x/u, x, −β, −α, −δ +1/2, −γ +1/2),
П5(u, x, α, β, γ, δ) → (u, −x, α, β, −γ, δ),
→ (1/u, x, −β, −α, −γ, δ),
(u, x, α, β, γ, δ) → (ku, kx, k2α, β, k4γ, k3δ),
П4
2
П4(u, x, α, β) → (ku, kx, k
П3(u, x, α, β, γ, δ) → (λu, μx, λ
−1
→ (u
(u, x, α, β, γ, δ) → (ku, k2x, k−3α, k−4β, k−5γ, k−6δ),
П2
П2(u, x, α) → (ku, k
П1(u, x) → (ku, k
α, β),k4=1,
−1μ−1
α, λμ−1β, λ−2μ−2γ, λ2μ−2δ),
,x,−β, −α, −δ, −γ), (B.13)
2
x, k−3α),k6=1,
2
x),k5=1, (B.14)
в которых k, λ, μ — произвольные ненулевые константы.
246 ПРИЛОЖЕНИЕ B
B.3. Инвариантность относительно бирациональных
преобразований
Существует другая группа инвариантных преобразований, которые переводят уравнение Пn само в себя, в то время как его параметры изменяются (следовательно, они не применимы к П1). Как уже отмечалось в тексте
для уравнений П2 (5.289) иП6(5.305), эта группа действует на уравнение относительно u как бирациональное преобразование и на показатели
монодромии как аффинное преобразование (соотношение (5.308) вслучае
уравнения П6).
Прежде чем применить слияние к элементарному бирациональному
преобразованию T
мутативности перестановки четырех особенностей уравнения П6 с одной
стороны, соглашение, принятое для определения младшего из уравнений
Пn с другой стороны (например, для уравнений П5 две эквивалентные особенности плюс другая выбираются раз и навсегда как (∞, 0) и 1). Это
отражено в двух различных последовательностях [91].
B.3.1. Нормальная последовательность
Выбор (1,x) как пары слияния (таблица B.2) приводит к
⎛
⎜
⎜
П6:
⎜
⎝
⎛
⎜
П5:
⎝
П4:
П3:
П2: (sθ
⎞
s
∞θ∞
⎟
s0θ
⎟
0
⎟
⎠
s1θ
1
sxθ
x
⎞
s
∞θ∞
⎟
s0θ
⎠
0
s1θ
1
s
∞θ∞
s0θ
0
=
s
∞θ∞
s0θ
0
)=−(SΘ∞)+(1),s∞d = S∞D, (B.19)
∞
уравнения П6, следует отдавать себе отчет о неком-
6
∞Θ∞
S0Θ
S1Θ
SxΘ
⎞
⎟
⎠
0
1
1
4
1
1
⎞
⎛
⎞
⎛
⎜
⎝
+
1
2
⎞
1
⎟
1
⎠
1
⎜
⎟
1
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
1
1
,s
⎟
⎟
0
⎟
⎠
1
x
1
+
2
2
3
,s
c = S∞C,
1
,s
∞
c = S∞C, s0d = S0D,
∞
1
=
2
1
=
2
1
=
2
⎛
1 −1 −1 −1
⎜
−11−1 −1
⎜
⎜
⎝
−1 −11−1
−1 −1 − 11
⎛
1 −1 −1
⎜
−11−1
⎝
−2 −20
−1 −3
S
−11
0 −1
−10
S
∞Θ∞
S0Θ
⎞
⎛
⎟
⎜
⎠
⎝
∞Θ∞
S0Θ
0
⎞
⎛
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎠
⎝
S
∞Θ∞
S0Θ
S1Θ
+
0
+
S
, (B.15)
d = S∞D,
∞
(B.16)
(B.17)
(B.18)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]