Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метод Пенлеве и его приложения
.pdf
4.4. ТЕСТ ПЕНЛЕВЕ ДЛЯ УЧП 107
При решении диофантова условия относительно индексов i1, i2потребуем,
чтобы они были целыми при индексе Фукса 4+γu
. Запишем теорему
0
Виета для корней квадратного уравнения (4.53):
2d2
γ
− 4) + (i2− 4) =
(i
1
исключая отсюда безразмерный параметр γ
2
1
i1− 4
, (i
− 4)(i2− 4) = −γ2d2, (4.54)
1
2d2
, получаем
+
1
i2− 4
1
. (4.55)
= −
2
Это типичное диофантово уравнение, которое уже встречалось при исследовании ОДУ на свойство Пенлеве (см. (2.95) и приложение А). Это урав-
нение имеет конечное множество решений [45, ур. (9.2)]:
2d2
γ
=0, (i1,i2)=(4, 4),u
2d2
=2, (i1,i2)=(3, 6),γu
γ
2d2
= −16, (i1,i2)=(0, 0),γu
γ
2d2
γ
= −18, (i1,i2)=(−2, 1),γu0=(−6, −3). (4.59)
=(−d, d), (4.56)
0
=(−1, 2), (4.57)
0
=(−4, −4), (4.58)
0
Было бы неверным на этом шаге отбросить отрицательные целые индексы. Действительно, в линейных ОДУ, таких как (4.51), требование од-
нозначности решения при прохождении теста Пенлеве приводит к необходимости целых значений индексов Фукса при любом их знаке.
Рекуррентное соотношение для коэффициентов u
∀j 1: E
и зависит линейно от u
≡ P(j)uj+ Qj({ul|l<j})=0 (4.60)
j
и нелинейно от предыдущих коэффициентов ul.
j
имеет вид
j
Далее рассмотрим только первый случай γ =0(обычное уравнение КПП).
Третий и последний шаг состоит в проверке условий совместности для
каждого множества и каждого индекса Фукса, т.е. должны выполняться
условия нелогарифмичности
∀i ∈ Z,P(i)=0:Q
=0. (4.61)
i
Затем выписывается ряд Лорана:
s
−1
1
−
a
2
6
bC
2
C +a
S
x
−
24
+
3d
a
1
+
2
u
= χ
d
+
b
b
−
2
36
bC
xx
−
12
C
2
+ b
+
S + bC
7CCx+3C
2
x
72
χ+
t
3C3
b
−
54
2
χ
+ O (χ3).
6
(4.62)
108 ГЛАВА 4
Однако при индексе i =4оба условия для каждого знака d [68]
Q
≡ C[(bdC + s1− 3e1)(bdC + s1− 3e2)(bdC + s1− 3e3)−
4
2d3
− 3b
(Ct+ CCx)] = 0,s1= e1+ e2+ e3,
(4.63)
тождественно не удовлетворяются, так что рассматриваемое УЧП тест не
проходит. На этом тест заканчивается.
Из системы двух условий нелогарифмичности (4.63) вытекает соотношение
− e2− e3)(2e2− e3− e1)(2e3− e1− e1)C =0. (4.64)
(2e
1
Следовательно, необходимое условие для свойства Пенлеве состоит в выполнении либо условия равенства C =0, либо условия — что одна из трех
фиксированных точек равноудалена от двух других.
Если вместо УЧП (4.48) рассмотреть его редукцию u(x, t)=U (ξ),
ξ = x − ct кОДУ
2
d
−
dξ
U
+(γU −bc)
2
dU
dξ
−2
+2d
(U −e1)(U −e2)(U −e3)=0,γ=0, (4.65)
тогда C =const=c.ОбаусловияQ
2
=(s1−3ek)2(bd)−2, k =1, 2, 3. Для всех этих значений необходимые
и c
=0дают семь значений c =0
4
условия являются также и достаточными, поскольку общее решение U (ξ)
является однозначным (уравнение под номером 8 в списке Гамбье [163],
воспроизведенном в [232]).
Рассмотренное уравнение КПП является частично интегрируемым
в том смысле, что несмотря на то, что оно не проходит тест Пенлеве, оно
имеет частное решение без подвижных критических особых точек (это будет показано в разделе 5.7.2).
ГЛАВА 5
От теста к решениям УЧП в явном виде
В этой главе будем использовать информацию, полученную при прохождении теста Пенлеве, для того, чтобы получить, во-первых, преобразование Беклунда как доказательство свойства Пенлеве, во-вторых, решение в замкнутой форме. Хотя частично интегрируемые и неинтегрируемые
уравнения, т. е. большинство уравнений, описывающих физические процессы, не допускают преобразования Беклунда, тем не менее они имеют часть
свойств интегрируемых УЧП, вот почему методы, представленные в этой
главе, могут успешно применяться к ним. Примеры таких частично интегрируемых уравнений рассмотрены в разделе 5.7.
5.1. Глобальная информация от теста
Несмотря на локальный характер теста Пенлеве, при его прохождении
может быть получена важная информация о решении уравнения. К таким
важным сведениям относятся.
• Число семейств решений. Эта информация позволяет исключить некоторый тип решений. Например, если уравнение имеет только одно множество решений, подобно уравнению Фишера или КдФ, то у него не
может существовать решения в виде уединенных волн типа u =sech.
Необходимым условием существования решения в виде u =sechявля-
ется существование по крайней мере двух множеств решений (u
,p) с одинаковым порядком p особенности, подобно мКдФ или
и (u
0
КГЛ3.
0
,p)
• Сингулярный частный дифференциальный оператор для каждого семейства, введенный в разделе 2.1.2. Он бывает полезен при разработке
предположений при построении пары Лакса (случай интегрируемого
уравнения) или частного решения (случай интегрируемого или неинтегрируемого уравнения).
110 ГЛАВА 5
• Подмножество положительных целых индексов Фукса для каждого семейства разложений. Для ОДУ эти значения целых чисел указывают
возможный порядок полюсов первых интегралов (см. пример первых
интегралов для модели Лоренца, п. 3.1.1).
• Условие отсутствия логарифмических особых точек (условие нелогарифмичности).
5.2. Построение N -солитонных решений
Большинство решений, полученных в явной форме, в действительно-
сти являются не чем иным, как N -солитонными решениями (см. определение 4.8) или их частными случаями для частично интегрируемых уравнений.
При первом подходе к поиску решения будем использовать следующие
инструменты, их точное определение приведено в разделе 5.3:
• пара Лакса, совокупность двух линейных дифференциальных операто-
ров, условие коммутативности для которых эквивалентно нелинейному
УЧП E(u)=0. Существование пары Лакса является критерием инте-
грируемости, но не является достаточным для построения решения;
• преобразование Дарбу, калибровочное преобразование, которое сохра-
няет ковариацию пары Лакса. Это элементарный инструмент для построения нового решения при известном другом решении, даже если
это известное решение является тривиальным, такое как u =0;
• преобразование Крама, которое является, по существу, N -й итерацией
преобразования Дарбу. Начав с некоторого известного решения с помощью этого преобразования можно построить решение, зависящее от
более чем 2N произвольных параметров, и единственным вычислением при этом является вычисление определителя.
При втором подходе, более легком в реализации в рамках сингулярного
анализа, будем использовать такие инструменты:
• пара Лакса;
• сингулярное частное преобразование, при котором разность между
двумя решениями u − U представляется как логарифмическая производная с помощью сингулярного дифференциального оператора D .
В неинтегрируемом случае такое преобразование еще существует, но
5.3. ИНСТРУМЕНТЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 111
его применение дает возможность построить лишь частное решение
[83], и было бы ошибкой сделать вывод о существовании преобразования Беклунда;
• преобразование Беклунда [20] (ПБ) (см. определение 4.5). Исторически
ПБ появилось раньше преобразования Дарбу, оно было построено для
двух нелинейных УЧП и, как было позднее показано [60], не является
элементарным, т. к. выводится из пары Лакса и сингулярного частного
дифференциального оператора при исключении волнового вектора ψ;
• нелинейная формула суперпозиции (НЛФС), при которой на основании
трех данных решений, входящих в два выражения преобразования Беклунда, можно получить четвертое решение с помощью только алгебраических операций без интегрирования.
Именно второму подходу будет уделено внимание в данной главе, но
прежде дадим более точные определения.
5.3. Инструменты интегрирования
Для иллюстрации определений, которые будут даны в этом разделе,
будем в основном рассматривать два уравнения — это уравнение КдФ (4.40)
6
КдФ(u) ≡ bu
t
+ u
xxx
uu
−
=0
x
a
и уравнение Буссинеска
Bq(u) ≡ ε
2
β
2
u
xx
3
+ u
2
+ utt=0,ε2,β2∈ R. (5.1)
xx
Оба этих уравнения являются редукциями одного и того же (2 + 1)-мерного
УЧП, уравнения Кадомцева–Петвиашвили (КП) [244],
2
β
2
KP(u) ≡ ε
(u
3
С точки зрения физики переменные x
координатами, x
— временем, а константы ε2и β2действительные.
3
x1x1x
1
+ u
)+(u2)
x
3
и x2являются пространственными
1
Поведение решений существенно зависит от знака ε
вводятся два различных названия для уравнения КП: КП-I для ε
+ u
x
1
x
1
=0. (5.2)
x2x
2
2β2
,ипоэтому
2β2
= −1,
112 ГЛАВА 5
КП-II для ε2β2=1. Редукция уравнения КП к уравнению КдФ проводится
с помощью соотношений
∂
u =0,x1= x, x3= t/b, β2= −a, (5.3)
x
2
а редукция КП к уравнению Буссинеска проводится с помощью соотношений
∂
u =0,x1= x, x2= t. (5.4)
x
3
5.3.1. Пара Лакса
Определение 5.1. Пусть дано нелинейное УЧП E(U )=0, парой Лак-
са называется совокупность двух линейных операторов L
, L2, зависящих
1
от решения U УЧП, условие коммутативности для которых эквивалентно
условию E(U )=0,
([L
]=0)⇐⇒ E(U)=0. (5.5)
1,L2
Если u зависит от двух независимых переменных, то пара Лакса должна
в дополнение зависеть от произвольного комплексного параметра, называемого спектральным параметром.
Эти два оператора могут быть скалярными или матричными. Скаляр-
ные операторы пар Лакса в наших примерах будут такими:
для уравнения КдФ (4.40) [275]
L
L
2
≡ ∂
1
x
≡ b∂t+4∂
2
− U/a − λ,
3
− 6(U/a)∂x− 3Ux/a, [L1,L2]=(1/a)E(U ),
x
(5.6)
для уравнения Буссинеска (5.1) [445]
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
L
L
[L
3
≡ ∂
1
2
+(3/(2β2))(U∂x+(1/2)Ux)+(3/(4εβ3))R − λ,
x
≡ ∂t− βε∂
]={Rt+ ε2(U2+(β2/3)Uxx)x)} +(Ut− Rx)∂x,
1,L2
2
− (ε/β)U,
x
(5.7)
и для уравнения КП (5.2) [130, 448]
⎧
L
≡−ε−1β−1∂
⎪
1
⎪
⎪
⎨
L
≡ ∂
2
⎪
⎪
⎪
⎩
[L
1,L2
3
+(3/(2β2))(U∂
x
1
]=+R
x
2
x
2
+ ε
+ ∂
2
2
x
1
2
β
3
+ β−2U,
+(1/2)U
x
1
(U
x1x1x
)+(3/(4εβ3))R − (1/4)∂
x
1
+ U
)+(U2)
x
1
3
x
1
!,
+(U
,
x
3
− R
x
2
)∂
x
x
1
(5.8)
.
1
5.3. ИНСТРУМЕНТЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 113
Для (5.7) или (5.8) можно проверить, что после исключения поля R,определенного как U
[L
] действительно эквивалентно уравнению Буссинеска или КП отно-
1,L2
t−Rx
=0или U
−R
x
2
=0, равенство нулю коммутатора
x
1
сительно U.
В (1 + 1)-мерном случае пара Лакса зависит от спектрального парамет-
ра λ, и оператор L
называется оператором рассеяния.В(2 + 1)-мерном
1
случае уравнения КП оба уравнения, определяющие пару Лакса, являются
дифференциальными уравнениями в частных производных, следовательно
понятие спектрального параметра здесь не имеет смысла.
Редукции (5.3) и (5.4), которые сводят уравнение КП к уравнению
КдФ и Буссинеска, действуют также и на пару Лакса для уравнения КП
и приводят к парам Лакса уравнений КдФ и Буссинеска (Бк):
ελx
L
j, КдФ
L
j, Бк
= P−1L
= P−1L
P, j =1, 2,P= e
j, КП
P, j =1, 2,P= e
3−j, КП
2
, (5.9)
−λx
3
, (5.10)
и в этих редукциях появляется спектральный параметр λ.
Эти пары Лакса могут быть получены только при применении сингу-
лярного анализа, что будет сделано в разделах 5.6.1.1, 5.6.1.2, 5.6.2 и 5.6.3.
Кроме скалярной формы пар Лакса, представленной выше, существу-
ют и другие формы их записи.
Лаксово представление [275] — это пара операторов (L, P) (скалярных
или матричных), определенных как
= L − λ, L2= ∂t− P, L1ψ =0,L2ψ =0,λt=0, (5.11)
L
1
откуда при исключении скаляра λ получаем
=[P, L], (5.12)
L
t
т. е. благодаря изоспектральному условию λ
=0временная эволюция ана-
t
логична эволюции в гамильтоновой динамике.
Представление нулевой кривизны —этопара(L, M) линейных опера-
торов, не зависящих от (∂
L
= ∂x− L, L2= ∂t− M, L1ψ =0,L2ψ =0,
1
− L, ∂t− M ]=Lt− Mx+ LM − ML =0.
[∂
x
x,∂t
),
Общий порядок N матриц называется порядком пары Лакса.
Проективное представление Риккати — это система первого порядка
2N −2 уравнений Риккати относительно неизвестных ψ
, j =2, ..., N
j/ψ1
эквивалентно представлению нулевой кривизны (5.13).
(5.13)
114 ГЛАВА 5
Цепочное представление или представление Сато [242]
[P, Q]=1. (5.14)
Это очень изящное представление, напоминающее гамильтоновый формализм, использует определение Сато микродифференциального оператора
(дифференциальный оператор с положительными и отрицательными показателями степени дифференциального оператора ∂)иегодифференци-
альной части, обозначенной ()
(относится к неотрицательным степеням),
+
например,
2
Q = ∂
L = Q
(L)
(L
(L
− u, (5.15)
x
1/2
= ∂x− (1/4){u, d
= ∂x, (5.17)
+
3
5
)+= ∂
)+= ∂
3
− (3/4){u, ∂x} = P, (5.18)
x
5
− (5/4){u, ∂
x
−1
}, (5.16)
x
3
} +(5/16){3u2+ uxx,∂x}, (5.19)
x
где {a, b} означает антикоммутатор ab + ba. В качестве вводного руковод-
ства можно посмотреть [120].
Примеры этих различных представлений будут встречаться позднее
в тексте.
5.3.2. Преобразование Дарбу
Определение 5.2. Пусть дано нелинейное УЧП E(u)=0иегопара
Лакса. Преобразованием Дарбу (ПД) [111, 304] называется калибровочное
преобразование, при котором одновременно сохраняется ковариантность
пары Лакса и увеличивается число произвольных постоянных в решении U,
входящем в пару Лакса.
Для того чтобы написать это преобразование в явной форме, необ-
ходимо ввести волновой вектор ψ и записать скалярную пару Лакса как
L
(U, λ)ψ =0, L2(U, λ)ψ =0, т.к. преобразование Дарбу относится
1
к тройке (ψ, U, λ).
В случае уравнения КдФ для скалярной пары Лакса (5.6) для тройки
(Ψ,U,Λ) (прописными буквами обозначены исходные переменные, строч-
ными буквами обозначены переменные при итерации) записываем
L
(U, Λ)Ψ = 0,L2(U, Λ)Ψ = 0, (5.20)
1
5.3. ИНСТРУМЕНТЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 115
следуя Дарбу [110], во-первых, введем промежуточную тройку (θ, U, μ),
также удовлетворяющую паре Лакса,
L
(U, μ)θ =0,L2(U, μ)θ =0, (5.21)
1
где U то же самое, что и в (5.20), μ отличается от Λ,волновойвекторθ
отличен от нуля. Затем после применения преобразования
⎧
(Ψ,U,Λ) → (ψ, u, λ):
ψ = GΨ=θ∂
⎪
⎨
u = U +2a∂
⎪
⎩
λ =Λ
(θ−1Ψ),
x
2
ln θ,
x
(5.22)
получаем следующую новую тройку (ψ, u, λ),такую,что
G(θ)L
(U, Λ) = Lj(u, λ)G(θ),j=1, 2, (5.23)
j
следовательно, условие коммутативности преобразованных операторов
L
(u, λ) эквивалентно E(u)=0. Полученное в результате применения пре-
j
образования поле u в (5.22) имеет число произвольных постоянных на две
больше, чем первоначальное поле U в (5.20).
З
АМЕЧАНИЕ 1. Более простое ковариантное преобразование
(Ψ,U,Λ) → (ψ, u, λ):
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
−1
ψ =Ψ
,
u = U +2a∂
λ =Λ
2
x
ln Ψ,
(5.24)
не приводит к увеличению числа произвольных постоянных и, следовательно, не является преобразованием Дарбу. Эту инволюцию, которая используется совместно с преобразованием Дарбу для поля U,можнолегковывести,
зная сингулярный дифференциальный частный оператор D =2a∂
2
уравне-
x
ния КдФ.
З
АМЕЧАНИЕ 2. Формула (5.22) преобразования Дарбу не содержит
частной производной по t. В оригинальной работе Дарбу [110] рассматривалось только обыкновенное дифференциальное уравнение Штурма–Лиувилля
ψ
+(−U/a− λ)ψ =0. (5.25)
xx
АМЕЧАНИЕ 3. Если рассматривать уравнение КП с точки зрения раз-
З
личных знаков ε
2β2
, то пара Лакса [129] является самосопряженной в случае КП-II и не является самосопряженной в случае КП-I. Значит, промежуточный волновой вектор θ в общем случае является комплексным для
116 ГЛАВА 5
КП-I так же, как и полученное в результате применения преобразования
поле u.Длятогочтобыполеu было действительным, что может вытекать
из физической постановки задачи, следует также рассмотреть сопряженную пару Лакса и ввести [280, 332] два калибровочных оператора, таких
как G в (5.22). Полученное результирующее преобразование, которое здесь
рассматриваться не будет, называется бинарным преобразованием Дарбу.
З
АМЕЧАНИЕ 4. Если скалярную задачу рассеяния (5.25) записать
в матричной форме
ψ
∂
x
ψ
=
x
λ − u 0
01
ψ
, (5.26)
ψ
x
то удобно записать и преобразование Дарбу также в матричной форме
[223]:
ψ
ψ
x
=(μ − Λ)
здесь (μ − Λ)
−1/2
−1/2
необязательный нормирующий множитель, введенный
−y 1
2
+Λ− μ −y
y
Ψ
Ψ
,y=
x
θ
x
, (5.27)
θ
для того, чтобы определитель матрицы стал равным единице. Это будет
использовано в разделе 7.6.1.
5.3.3. Преобразование Крама
Определение 5.3. Пусть дано нелинейное УЧП E(u)=0иегопреоб-
разование Дарбу, тогда преобразованием Крама [109, 304] называется N-я
итерация преобразования Дарбу.
После применения преобразования Дарбу можно подобрать итерации
для (ψ, u, λ) [170] для построения решений, зависящих от множества последовательных значений λ
, ..., λn,... В результате получаем, что необ-
1
ходимо проинтегрировать только одну линейную систему, поскольку потенциал, обозначенный через U в (5.21), не изменяется при итерациях.
Затем N -я итерация (ψ, u, λ)
включая N различных значений начальных точек (ψ, u, λ)
соответствующих различным значениям λ
В случае уравнения КдФ при начальном тривиальном решении u
N волновых функций θ
, j =1, ..., N выбраны как частные решения
j
может быть записана в замкнутой форме,
N
.
k
=(θ0,U,λ),
0
0
=0
линейной системы (5.6) с нулевым потенциалом
− λjθ =0,
θ
θ
xx
t
+4θ
xxx
=0,
(5.28)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]