Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метод Пенлеве и его приложения
.pdf
КРАТКИЙ ОБЗОР КНИГИ xxi
первых интегралов, обладающих интегрируемостью данного типа, как
для гамильтониана ХХ3 (раздел 6.2.1), так и для гамильтониана ХХ4
(раздел 6.3.1);
• (интегрируемость по Арнольду–Лиувиллю) поиск переменных, разделяющих уравнение Гамильтона–Якоби, что позволяет выполнить глобальное интегрирование. Этот подход мы применим к гамильтониану
ХХ3 (раздел 6.2.2), тогда как к гамильтониану ХХ4 мы его доведем не
до конца (раздел 6.3.2);
• (свойство Пенлеве) поиск явного однозначного выражения в замкнутой форме, описывающего общее решение q
(t), Qj(t).Этотподход
j
мы применим во всех семи случаях (разделы 6.2.3 и 6.3.3), выполнив
бирациональные преобразования ОДУ четвертого порядка, выделенных и проинтегрированных Косгроувом.
В главе 7 исследуются дискретные нелинейные уравнения. После
некоторой общей информации рассматривается логистическое отображение
Ферхюльста
u
n
= au
n−1
(1 − u
n−1
),
которое представляет собой пример хаотического поведения [139,407] и допускает существование непрерывного предела в уравнении Риккати. С точки зрения интегрируемости логистическое отображение является «плохой»
дискретизацией уравнения Риккати, так как оно не может быть линеаризовано. Его следует заменить на «хорошее» дискретное уравнение, такое,
которое сохраняет свойство линеаризуемости. Или в более общем смысле — необходимо распространить понятие свойства Пенлеве на дискретные
уравнения
В разделе 7.2 поясняется, что дискретному свойству Пенлеве очень
трудно дать такое определение, которое не вызывало бы сомнений ни у кого.
В разделах 7.3.1, 7.3.2 и 7.3.3 описываются три основных метода
проведения дискретного теста Пенлеве: метод локализации сингулярно-
сти [184], критерий полиномиального роста [206] и метод возмущения
непрерывного предела [87].
Для выявления дискретного свойства Пенлеве можно либо линеаризо-
вать дискретное уравнение, либо явно проинтегрировать его, либо найти
для него дискретную пару Лакса, что является наиболее предпочтительным
с точки зрения большинства исследователей.
В разделе 7.4 снова рассматривается задача о «хорошей» дискре-
тизации уравнения Риккати. Результатом решения этой задачи является
xxii КРАТКИЙ ОБЗОР КНИГИ
дробно-рациональное отображение
a
=
u
n
a3u
1un−1
n−1
+ a
+ a
2
.
4
В разделе 7.5 вводится понятие дискретной пары Лакса.
Далее приводятся два примера точной дискретизации, т. е. такой дис-
кретизации, при которой общее решение непрерывного и дискретного уравнений описывается одним и тем же аналитическим выражением.
В разделе 7.6.1 дискретизации подвергается нелинейное ОДУ относи-
тельно модуля ν = |ψ|, комплексного поля, удовлетворяющего линейному
уравнению Шредингера
+ fν + c2ν−3=0
ν
[134, 308, 361]. Это нелинейное уравнение обычно называют уравнением
Ермакова–Пинни. Для него опять же должно сохраняться такое свойство,
как линеаризуемость, поскольку исходное уравнение является линейным.
В разделе 7.6.2 приводится замечание Бакстера и Поттса о том, что
формулу сложения для функции Вейерштрасса ℘ можно применять для точной дискретизации уравнения Вейерштрасса, что является основой для построения семейства специальных двухкомпонентных рациональных отображений [368,369]. Эти отображения, как и их непрерывный аналог, служат
отправным пунктом для выделения дискретных уравнений, которые могут
обладать дискретным свойством Пенлеве.
В разделе 7.7 кратко рассматриваются две взаимосвязанные задачи.
Первая из них, так пока и нерешенная, представляет огромный интерес
в теории оптических волокон и заключается в отыскании точных солитонов (темных и светлых) для неинтегрируемого дискретного нелинейного
уравнения Шредингера
iu
t
+ p
2
h
+ q|u|2u =0,i2= −1,pq=0.
u(x + h, t)+u(x −h, t) −2u(x)
В теории оптических волокон или задаче конденсации газа Бозе–Эйнштейна [10] это уравнение получается не дискретизацией нелинейного уравнения Шредингера, а путем непосредственного построения. Вторая задача
заключается в отыскании дискретных версий нелинейного уравнения Шредингера, которые бы обладали дискретным свойством Пенлеве. Одним из
таких уравнений служит дискретное уравнение Абловица и Ладика [4].
КРАТКИЙ ОБЗОР КНИГИ xxiii
Наконец, после формулировки естественной появляющейся задачи
о нахождении дискретного аналога шести трансцендентов Пенлеве приводятся два метода ее решения (раздел 7.8) (аналитический и геометрический). При применении аналитического метода (раздел 7.8.1) процедура начинается с формулы сложения для эллиптической функции. Кое-что в этом
методе заимствовано из метода Пенлеве–Гамбье. В результате получается
довольно длинный перечень дискретных уравнений Пенлеве Pn,однаконе
существует доказательств того, что он является исчерпывающим. В рамках геометрического метода (раздел 7.8.2) сначала анализируется важность
двух свойств непрерывных уравнений Пенлеве Pn,азатемспомощьютео-
рии рациональных поверхностей строится объект, который учитывает наиболее общие их свойства. Этот объект интерпретируется как главное дискретное уравнение Пенлеве e − P 6, а его коэффициенты имеют эллиптическую зависимость от независимой переменной. В разделе 7.8.3 обобщаются
основные свойства всех уравнений Пенлеве d − Pn.
В конце книги есть раздел, в котором собраны часто задаваемые во-
просы, а также несколько приложений с чисто техническим материалом.
Список сокращений
АКНС Абловиц, Кауп, Ньюэлл и Сегур
ПБ преобразование Беклунда
КГЛ3 комплексное уравнение Гинзбурга–Ландау третьей степени
КГЛ5 комплексное уравнение Гинзбурга–Ландау четвертой степени
ПД преобразование Дарбу
Gn n-е уравнение Гамбье
ХХ3 гамильтониан Хенона–Хейлеса третьей степени
ХХ4 гамильтониан Хенона–Хейлеса четвертой степени
МОЗ метод обратной задачи
КдФ уравнение Кортевега–де Фриза
КК уравнение Каупа–Купершмидта
КП уравнение Кадомцева–Петвиашвили
КПП уравнение Колмогорова–Петровского–Пискунова
КС уравнение Курамото–Сивашинского
НШ нелинейное уравнение Шредингера
НФС нелинейная формула суперпозиции
ОДУ обыкновенное дифференциальное уравнение
УЧП дифференциальное уравнение в частных производных
Pn n-е уравнение Пенлеве
СП свойство Пенлеве
СГ уравнение синус-Гордона
СГ уравнение Свифта–Гогенберга
СК уравнение Савада–Котера
УСМ уравнение сингулярного многообразия
МСМ метод сингулярного многообразия
ВТК Вейсс, Табор и Карневайль
ГЛАВА 1
Введение
Нелинейное уравнение не следует рассматривать как возмущение ли-
нейного уравнения. На двух простых примерах демонстрируется необходимость учета структуры особых точек на комплексной плоскости при нахождении общего решения нелинейных уравнений. Далее будет представлен
метод Пенлеве и его школы нахождения новых функций на основе нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), обладающих
общим решением, которое может быть сделано однозначным в некоторой
области (свойство Пенлеве).
1.1. Особые точки на комплексной плоскости
Пусть задано нелинейное дифференциальное уравнение, решение ко-
торого следует найти. Первое, что приходит на ум, это представить уравнение в виде суммы линейной части и нелинейного возмущения.Насамом
деле такой подход не верен. Покажем это на двух примерах.
Рассмотрим следующие элементарные нелинейные уравнения:
u
= k(1 − u2),=
2
ν
= k2ν2(1 − ν2). (1.2)
d
, (1.1)
dx
Наша цель — найти для них общие решения, имеющие вид
u =thk(x − x
ν =
ch k(x − x0)
Произвольная комплексная константа x
)=ui, ν(xi)=νiсоотношением
u(x
i
u
=thk(xi− x0),νi=sechk(xi− x0). (1.5)
i
), (1.3)
0
1
=sechk(x − x
связана с начальным условием
0
). (1.4)
0
2ГЛАВА 1
На вещественной оси функции u и ν не имеют особых точек, однако на комплексной плоскости особые точки функций u и ν соответствуют счетному
числу простых полюсов, расположенных в точках x = x
+(2n +1)iπ/(2k),
0
n ∈ Z. Такие особые точки являются по определению подвижными (в от-
личие от неподвижных), так как их положение зависит от начальных условий, т.е. от постоянных интегрирования. Общее решение любого линейного дифференциального уравнения не имеет подвижных особенностей, поскольку зависит от постоянных интегрирования линейно.
1.1.1. Метод возмущений
В рамках метода возмущений [199] сначала определяем стационарные
точки, для которых u
= ±1 и ν0=0, ±1, а затем возмущаем решение
0
в окрестности стационарной точки путем его разложения в ряд по степеням
малого параметра ε. Если искать решение в виде
∞
u =
εnun,u0=1, (1.6)
n=0
то уравнение (1.1) раскладывается следующим образом:
∞
εnEn=0,E0≡ 0, (1.7)
Если положить u
= c1e
1
n=0
E
E
1
2
≡−u
≡−u
− 2ku0u1=0, (1.8)
1
− 2ku0u2− ku
2
−2kx
,гдеc1произвольно, то бесконечной систе-
2
=0, ... (1.9)
1
ме линейных уравнений с общей однородной частью будет удовлетворять
частное решение
−n+1cn
=2
u
n
e
1
−2knx
,n 1, (1.10)
которое является членом геометрической прогрессии, а их сумма дает общее решение уравнения (1.1):
u =1+
−2kx
εc
e
1
1 − (εc1/2)e
=thk(x − x0),x0=
−2kx
2k
1
ln−
εc
2
1
. (1.11)
Уравнение (1.2) следует решать несколько иначе, так как оно нелиней-
но относительно своей производной. Сначала надо найти его производную
ν
= k2ν(1 −2ν2), (1.12)
1.1. ОСОБЫЕ ТОЧКИ НА КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ 3
чтобы сделать первое возмущенное уравнение E1=0линейным относительно старшей производной. Дальнейший расчет во многом похож на
вышеописанный: разложение ν =
генерирует бесконечную систему линейных уравнений с одинаковой одно-
родной частью. Полагая ν
= c1e
1
∞
εnνnврядвокрестностиν0=0
n=0
−kx
, где значение c1произвольно, прихо-
дим к следующим частным решениям:
ν
2n+1
=(−4)
−n
2n+1
−kx
e
c
1
,ν2n=0,n=1, 2, ... (1.13)
Таким образом, ν раскладывается в геометрический ряд, сумма которого
ν =
1+(εc1/2)2e
εc
−kx
e
1
≡ sechk(x − x0),x0=
−2kx
εc
1
1
ln
, (1.14)
2
k
представляет собой общее решение уравнения (1.2).
Почему описанный метод возмущений не является столь же эффектив-
ным при решении уравнений более сложных, чем (1.1) или (1.2)? Причин
несколько:
1) Чтобы получить общий член u
, необходимо разрешить рекуррентное
n
соотношение, а сделать это не так просто даже в случае линейного
рекуррентного соотношения.
2) Повторное суммирование необходимо выполнять в замкнутой форме
а это в общем случае невозможно; действительно, любое решение
в незамкнутой форме Пенлеве называет «иллюзорным» (позже мы поясним, что он имеет в виду под этим термином).
3) По завершении повторного суммирования необходимо проверить, везде ли, кроме нескольких точек, называемых особыми,справедливовыражение в замкнутой форме. Положение особых точек не ограничивается вещественной осью; точки могут лежать на комплексной плоскости. В рассмотренном выше примере радиус сходимости ряда был
конечным, так как на мнимой оси в точке x = x
± iπ/(2k) имелся
0
простой полюс.
Подведем итог. Основная причина, по которой метод возмущений оказывается, как правило, неприменимым, заключается в том, что в нем не учитывается структура особых точек решения: подвижная особая точка, характерная для точного решения, отсутствует для любых порядков возмущения.
1
Позже мы это продемонстрируем, а пока достаточно запомнить, что примером такой за-
мкнутой формы служит выражение u = ψ
/ψ,гдеψ — решение любого линейного уравнения.
1
,
4ГЛАВА 1
1.1.2. Метод, не использующий возмущения
Теперь рассмотрим аналитический метод, приводящий за конечное
число шагов к аналогичному результату. С самого начала в рамках этого
метода мы учитываем структуру особых точек решения.
В общем случае нелинейные ОДУ обладают подвижными особенно-
стями. В связи с этим проанализируем сначала поведение общего решения
уравнения (1.1) в окрестности такой подвижной особой точки x = x
.До-
0
пустим, что поведение носит алгебраический характер. Тогда достаточно
вычислить возможные значения главной степени p и главного коэффициен-
, определяемые как
та u
0
u ∼
u0χp,u0=0,χ= x − x0, (1.15)
χ→0
где p — отрицательное целое. Тогда
∼ pu0χ
u
p−1
+ u
0
χp∼ pu0χ
p−1
, (1.16)
откуда приходим к выводу, что, исследуя поведение главного члена в решении уравнения, коэффициент u
мы можем считать постоянным. Тогда
0
разные члены уравнения (1.1) будут давать следующие вклады:
член
−u
+k −ku2;
главная степень p − 1 0 2p;
коэффициент −pu
k −ku
0
2
.
0
Таким образом, левая часть ОДУ, которая должна равняться нулю, имеет
вид
=(−pu
χq+ O(χ
= E
0
+ k(1 −u2)=
p−1
χ
+ O(χp)) + kχ0− k(u
0
q+1
)=0. (1.18)
2
χ2p+ O(χ
0
2p+1
)) = (1.17)
E(u) ≡−u
Из условия u
=0следует, что по крайней мере две из трех главных сте-
0
пеней равны между собой, причем две равные степени не больше третьей.
Что касается условия E
=0, то оно предполагает равенство нулю суммы
0
двух соответствующих главных коэффициентов. Из трех возможностей
(q = p −1=0 2p) и (−pu
(q =0=2p p − 1) и (k −ku
(q = p −1=2p 0) и (−pu
+ k =0), (1.19)
0
2
=0), (1.20)
0
2
− ku
0
=0) (1.21)
0
1.1. ОСОБЫЕ ТОЧКИ НА КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ 5
лишь третье задает решение
p = −1,q= −2,u
=1/k. (1.22)
0
Итак, локальное поведение функции u аналогично поведению простого полюса
u ∼
k−1χ−1,χ= x − x0. (1.23)
χ→0
Чтобы из локальной информации получить глобальную, необходимо
провести параллель с известным генератором простых полюсов — оператором логарифмической производной. Если для некоторой функции ψ(x)
свойственно алгебраическое поведение ψ ∼ ψ
(x − x0)pв окрестности x
0
(где ψ0и p — любые комплексные числа), то под действием оператора логарифмической производной
d
D =
ln (1.24)
dx
это поведение (каким бы оно ни было: регулярным или сингулярным, многозначным или однозначным) начинает соответствовать поведению простогополюсасвычетомp:
d
dx
ln ψ ∼
p
. (1.25)
x − x
0
Далее важным моментом является сопоставление (1.23) с (1.25) с по-
мощью преобразования от переменной u к ψ. Это преобразование задается
следующим соотношением:
d
−1
u = k
ln ψ. (1.26)
dx
0
Это есть сингулярное частное преобразование, которое отображает ОДУ
Риккати (уравнение (1.1)) в ОДУ второго порядка,
ψ
− k2ψ =0, (1.27)
не имеющее подвижных особых точек вследствие своей линейности. Таким
образом, общее решение этого уравнения известно и имеет вид
ψ = c ch k(x −x
), (c, x1) произвольно. (1.28)
1
Оно дает однозначное выражение (1.3) в замкнутой форме для общего решения ОДУ Риккати (1.1).
6ГЛАВА 1
Во втором примере (с уравнением (1.2)) аналогичным образом мы по-
лучаем два локальных поведения
ν ∼
±ik−1χ−1,χ= x − x0. (1.29)
χ→0
Не следует удивляться комплексному значению ±ik
−1
вычета, поскольку
оно является корнем алгебраического уравнения с вещественными коэффициентами. Отображение ν в ψ должно содержать две функции ψ
, ψ2.
1
В самом деле, если задать сингулярное частное преобразование как
−1
где ψ
ν = ik
и ψ2— два разных решения одного и того же линейного уравнения
1
(ln ψ1)− ik−1(ln ψ2), (1.30)
второго порядка
ψ
ψ =0, (1.31)
−
4
2
k
равные, например,
ψ
1
= c1ch
k
(x − x
2
),ψ2= c2ch
1
k
(x − x
2
), (1.32)
2
то выражение (1.30) будет удовлетворять ОДУ (1.2) при условии, что x
, k удовлетворяют соотношению
x
2
− x2)=iπ +2miπ, m ∈ Z (1.33)
k(x
1
при соответствующем обозначении x
=(x1+ x2)/2.
0
Итак, если при решении нелинейного ОДУ принимать во внимание
структуру особых точек (одно семейство простых полюсов, два семейства
простых полюсов с противоположными вычетами и т. д.), то можно получить в замкнутой форме связь между исходным уравнением и некоторым
другим ОДУ (в рассмотренных примерах оно было линейным), у которого
нет подвижных особых точек, и тем самым фактически выполнить явное
интегрирование нелинейного ОДУ.
Цель книги — объяснить, как строятся аналитические решения нелинейных дифференциальных уравнений (будь то обыкновенные дифференциальные уравнения или дифференциальные уравнения в частных производных) в явном виде с помощью аналитических методов анализа, простейший из которых мы рассмотрели выше.
В связи с тем, что все точные решения, получаемые тем или иным методом, имеют особые точки на комплексной плоскости, структура которых
,
1
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]