Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метод Пенлеве и его приложения
.pdf
2.1. МЕТОД КОВАЛЕВСКОЙ–ГАМБЬЕ 17
При j =4аналогично получается, что x4будет произвольной постоянной,
при выполнении единственного условия
Q
≡−4i(b −σ − 1)(b −6σ +2)x2− (4/3)(b − 3σ +5)bσr+
4
2
+(−4+10b +30b
+(−38b − 56b
− 32σ/9+70bσ
− 20b3− 16b4)/27+
2
− (28/3)b3+88σ +86b2σ)σ/3−
2
− 64σ3− 58bσ3+36σ4=0,
(2.21)
что эквивалентно двум условиям, поскольку x
остается произвольной по-
2
стоянной. На этом третий шаг заканчивается, т. к. при j>4 (где j =4
наибольший индекс Фукса) коэффициенты находятся однозначно. Тест Пенлеве заканчивается.
Окончательный вывод можно сделать только получив общее решение
в явном виде.
Когда параметры системы (2.3) (b, σ, r) удовлетворяют трем сформу-
лированным условиям, то существует решение в виде ряда Лорана, в котором три коэффициента (t
0,x2,x4
) являются произвольными постоянными.
А значит, локально решение имеет однозначное представление. В этом случае говорят, что модель Лоренца прошла тест Пенлеве. Однако это еще не
означает, что она обладает свойством Пенлеве.
Три условия на (b, σ, r) коротко называются условиями нелогарифмич-
ности, т. к. при невыполнении хотя бы одного из них общее решение системы (2.3) представляется в виде двойного ряда по степеням переменной χ
и степеням ln χ (см. [281] для модели Лоренца), называемого пси-рядом.
Если коэффициенты (b, σ, r) не удовлетворяют хотя бы одному из этих
условий, то не существует решения системы, которое можно было бы представить в виде ряда Лорана со старшими коэффициентами (2.7).Итестне
пройден.
Три условия на (b, σ, r) дают следующие четыре набора
(b, σ, r)=(1, 1/2, 0), (2, 1, 1/9), (0, 1/3,r), (1, 0,r). (2.22)
Эти случаи будут подробно рассмотрены в разделе 3.1.1 с точки зрения
возможности интегрирования системы в явном виде.
Четвертый набор в (2.22) (σ =0)не следует отбрасывать только на том
основании, что при σ =0система становится линейной. Для того чтобы
избежать такой ситуации, можно записать систему относительно переменных (x, σy, σz). Более простой способ состоит в том, чтобы исключить
переменные y и z и рассматривать одно обыкновенное дифференциальное
18 ГЛАВА 2
уравнение третьего порядка относительно x(t) [393],
y = x + x
xx
/σ, z = r −1 −[(σ +1)x+ x]/(σx), (2.23)
− xx+ x3x+ σx4+(b + σ +1)xx+
+(σ +1)(bxx
− x2)+b(1 − r)σx2=0.
(2.24)
Это ОДУ имеет те же самые условия нелогарифмичности, что и динамическая система.
2.1.2. Уравнение Курамото–Сивашинского (КС)
Уравнение КС
u
+ vu
t
xxxx
+ bu
+ μuxx+ uux=0,v=0, (2.25)
xxx
инвариантно относительно преобразования Галилея (u, x, t) → (u + c, x −
− ct, t), в переменных бегущей волны получаем его редукцию
u(x, t)=c + U (ξ),ξ= x − ct,
vU
+ bU
+ μU+ UU=0, (v, b, μ) ∈ R,v=0.
(2.26)
Уравнение (2.26) может быть проинтегрировано (переобозначим U на u для
согласования в обозначениях с (2.2))
2
+ bu+ μu+
vu
u
+ A =0, (2.27)
2
где A — константа интегрирования. Это уравнение имеет решения с хаотическим поведением [298] и зависит от двух безразмерных параметров
2
b
/(μv) и vA/μ3.
Проведем исследование аналогично разделу 2.1.1. На первом шаге бу-
дем искать все особенности с доминантным поведением
χ → 0: u ∼ u
с p неположительным целым. Члены u
порядка, чем u
,членA является регулярным, так что основное поведение
χp,u0=0,χ=1, (2.28)
0
и uимеют особенность меньшего
решения определяется суммой ведущих членовE
E(u) ≡ vu
+ u2/2, (2.29)
которые дают вклад
vp(p − 1)(p − 2)u
2.1. МЕТОД КОВАЛЕВСКОЙ–ГАМБЬЕ 19
p−3
χ
+(1/2)(u0χp)2. (2.30)
0
Так как u
Отсюда следует решение p = −3, u
не равно нулю, то получаем два условия
0
p − 3=2p, vp(p − 1)(p − 2)u
+(1/2)u
0
= 120v, и решение для двух показате-
0
2
=0,u0=0. (2.31)
0
лей степени слагаемых имеет вид q = p − 3=2p = −6.
На втором шаге для каждого типа доминантного поведения решения
решаем индексное уравнение, как было указано в разделе 2.1.1. Строим
линеаризованное уравнение в окрестности решения, поведение которого
определяется u
lim
ε→0
Потребуем, чтобы это линейное ОДУ относительно w имело нетривиальное
степенное решение w = Wχ
= v(j −3)(j − 4)(j − 5) + 120v = v(j +1)(j
= v(j +1)j −
На третьем шаге (он состоит в определении коэффициентов u
p
χ
0
E(u + εw) −E(u)
ε
j+p
−j−q
lim
χ
χ→0
13 + i
3
=(v∂
+(u0χp+ ...))w =0. (2.32)
x
в окрестности χ =0,
3
(v∂
+ u0χp)χ
x
√
71
2
j −
13 − i
j+p
=(2.33)
2
− 13j + 60) = (2.34)
√
71
2
=0. (2.35)
j
ряда
Лорана для u) без расчетов получаем, что существует ряд, в котором двух
из трех произвольных постоянных не оказалось.
В рассматриваемом примере тест Пенлеве, представленный в разделе 2.1.1, не пройден, поскольку полученный ряд Лорана не является общим
решением, а представляет собой лишь частное решение. Для того чтобы
проверить другое решение на многозначность необходимо использовать метод возмущений [81], изложенный ниже. Обозначим через u
(0)
найденное
выше частное решение,
(0)
u
= 120vχ−3− 15bχ−2+
15(16μv − b
4 × 19v
2
)
χ
−1
+
(56μν −13b
32 × 19v
2
2
)b
+ O(χ).
(2.36)
20 ГЛАВА 2
Другое решение u будем искать в виде ряда Тейлора
u = u
(0)
+ εu
(1)
+ ε2u
(2)
+ ..., (2.37)
в котором малый параметр ε не входит в ОДУ (2.27). Подстановка (2.37)
в нелинейное ОДУ (2.27) дает бесконечную систему уравнений
+∞
E(u)=
εnEn(u
n=0
∀n: E
которая дополняется требованием того, что каждый коэффициент ряда Тей-
(n)
лора u
однозначен в окрестности χ =0. Так как уравнением для E
(0)
, ..., u
=0, (2.39)
n
(n)
), (2.38)
является нелинейное уравнение (2.27), то, следовательно, необходимо начинать решение со значения n =1. Уравнение E
иным, как линеаризованным уравнением относительно u
+ u
(0)
3
d
v
3
dx
+ b
d
dx
2
2
+ μ
d
dx
=0является не чем
1
(1)
:
(1)
=0, (2.40)
u
следовательно, его индексное уравнение аналогично уже рассмотренному
выше, см. (2.35), и согласно классическим результатам по линейным ОДУ
типа Фукса [233, гл. XV] оно допускает три линейно независимые решения
(1)
u
= cjχ
j+p
Regular(χ), (2.41)
здесь j — индекс Фукса, а термином «Regular» обозначен сходящийся ряд
Тейлора относительно переменной χ.Такчтовблизиε =0и χ =0локальное представление (в окрестности ε =0и χ =0) решения u имеет
вид
0
u(x
,εc+,εc−) = 120vχ−3{Regular(χ)+
0
+ ε[c
+ c
+ c
Вклад c
не существенен в данном случае, т. к., согласно результатам Пу-
−1
анкаре, индекс Фукса −1 соответствует произвольной постоянной x
торая присутствует уже в невозмущенном решении u
χ−1Regular(χ)+
−1
(13+i√71)/2
χ
+
(13−i√71)/2
χ
−
Regular(χ)+
Regular(χ)] + O(ε2)}.
(0)
, и, таким образом,
(2.42)
,ко-
0
2.1. МЕТОД КОВАЛЕВСКОЙ–ГАМБЬЕ 21
при возмущении порядка n =1полученное решение содержит три произвольные постоянные (x
,εc+,εc−) и, значит, представляет локально общее
0
решение. На этом применение теста Пенлеве оканчивается, поскольку другие индексы Фукса иррациональны.
В действительности применение теста можно было бы прекратить сразу же, как только было выявлено (см. (2.35)), что все индексы Фукса, за
исключением −1, являются иррациональными.
Важным результатом, который будет использоваться в разделе 3.2.5.5,
является то, что установлено существование сходящегося ряда Лорана (2.36), зависящего от произвольной постоянной x
ОДУ (2.27) допускает решение в виде другого ряда Лорана по степеням переменной (u −
√
−2A)−1, однако оно не дает дополнительной ин-
.
0
формации.
З
АМЕЧАНИЕ. Если решение искать в виде ряда Тейлора (существова-
ние этого решения следует из теоремы существования Коши),
U = U
+ χU
0
1
2U
χ
+
0
2
1
3
χ
+
0
6
−bU
0
− μU
2
U
0
0
− A+ ..., (2.43)
−
2
то в этом случае не представляется возможным различить случаи интегрируемости и хаоса («методы, основанные на теореме существования Коши,
не способны ответить на такой вопрос» [352, с. 6]).
Далее, хотя это и не относится к тесту Пенлеве, введем здесь довольно
полезное понятие сингулярного частного оператора D , который является
обобщением логарифмического оператора, введенного в разделе 1.1. С помощью этого оператора ряд Лорана (2.36) может быть записан в виде
u − D ln(ξ −ξ
D =60v∂
3
+15b∂
ξ
)=O(1),
0
2
+
ξ
15(16μv − b
76v
2
)
∂
.
ξ
(2.44)
2.1.3. Кубическое комплексное уравнение Гинзбурга–Ландау (КГЛ3)
Из комплексного уравнения
3
iAt+pAxx+q|A|2A−iγA =0,pqγ=0, (A, p, q) ∈ C,γ∈ R, (2.45)
3
Мнимая часть γ может быть включена в переменную A, поэтому полагаем γ действительным. Что касается члена, учитывающего групповую скорость −ivA
включен в переменную x,посколькуv является действительной величиной.
,тоонможетбыть
x
22 ГЛАВА 2
можно [365, 277] получить уравнение относительно переменной u =
=argA, которое является уравнением Курамото–Сивашинского (2.25).По-
этому уравнение Курамото–Сивашинского часто называют фазовым урав-
нением. Рассмотрим систему двух уравнений в частных производных [63]
iA
+ pAxx+ qA2B −iγA =0,
t
−iB
+ pBxx+ qB2A + iγB =0.
t
(2.46)
Здесь A и B не являются комплексно сопряженными. При γ =0и p, q
действительных система становится системой Абловица, Каупа, Ньюэлла
и Сегура (АКНС) [3], интегрируемой методом обратной задачи рассеяния
при любых (A, B).ЕслиA и B являются комплексно сопряженными, то
система сводится к нелинейному уравнению Шредингера (НУШ)
iA
+ pAxx+ q|A|2A =0,pq=0,A∈ C, (p, q) ∈ R. (2.47)
t
Поскольку тест Пенлеве для уравнений в частных производных будет рассмотрен только в главе 4, то с использованием переменной бегущей
волны получим редукцию системы (2.46)
A(x, t) → e
iωt
A(ξ),B(x, t) → e
−iωt
B(ξ),ξ= x −ct. (2.48)
Переобозначим переменную ξ через x и получим систему ОДУ относительно A(x), B(x).
Представим поведение решения в окрестности χ =0ввиде
p
1
χ
,B∼ B0χ
0
) — комплексные константы, которые необходимо
Здесь (A
A ∼ A
0,B0,p1,p2
определить. Поскольку члены iA
p
2
,χ=1,=
, −iγA, −iBt, iγB дают особенность
t
меньшего порядка, то сумма ведущих членов, равна
E(A, B) ≡ (pA
+ qA2B, pBxx+ qB2A). (2.50)
xx
Каждое слагаемое дает следующие показатели степени
pA
qA2B pB
xx
xx
qB2A
p1− 2 2p1+ p2p2− 2 p1+2p
Отсюда следуют уравнения для показателей степени
p
− 2=2p1+ p2,pp1(p1− 1) + qA0B0=0,
1
− 2=p1+2p2, pp2(p2− 1) + qA0B0=0.
p
2
d
. (2.49)
dx
.
2
(2.51)
2.1. МЕТОД КОВАЛЕВСКОЙ–ГАМБЬЕ 23
Введем для удобства шесть действительных параметров dr, di, sr, si, gr, gi,
+idi=
d
r
При d
q
,s
−isi=
r
p
=0уравнения (2.51) допускают два решения для (p1,p2,A0B0)
i
1
,g
p
+igi=
r
γ + iω
p
1
2
+
c
2
srsi+
i
4
c
2s2
. (2.52)
r
[53]:
= −1+iα, p2= −1 − iα,
p
1
+ ε1Δ)
A
0B0
3(3d
=
r
2d
,α=
2
i
3d
+ ε1Δ
r
2d
, Δ=9d
i
2
r
+8d
2
,ε
i
2
1
=1.
(2.53)
Вслучаеd
которое можно получить также из (2.53) при переходе к пределу при d
и α → 0 и введении ε
Таким образом, уравнение КГЛ3 имеет два решения для AB (и четыре
√
для
=0(2.51) имеет единственное решение
i
p
= −1,p2= −1,A0B0= −2
p
1
= −sign(dr).
1
, (2.54)
q
i
→ 0
AB), а комплексные значения показателей степени p1и p2означают
то, что тест Пенлеве не пройден. Однако если уравнение КГЛ3 записать
относительно переменных AB и grad ln(A/B), то уравнение останется алгебраическим, а показатели степени уже будут целыми (−2, −1 соответственно для введенных переменных). Уравнение не пройдет тест Пенлеве,
если не удастся получить целые индексы Фукса.
Перейдем ко второму шагу. Индексное уравнение получается прирав-
ниванием определителя матрицы второго порядка к нулю
2qA
qB
0B0
2
0
2qA0B
=
P
j
+ diag(p(j −1+iα)(j − 2+iα),
qA
2
0
+
0
(2.55)
p(j −1 −iα)(j − 2 − iα)).
Если в определителе заменить значения A
из (2.53), то получится уравнение относительно j, d
и α их выражениями
0B0
, di, εi, реше-
r
ние которого затруднительно. Вместо этого, следуя [53, 86, 90], решим
систему (2.51) как линейную систему на C относительно неизвестных
, p, q),
(A
0B0
⎧
⎨
A
0B0
⎩
p = Kp(1 − iα)(2 − iα), q = Kq(1 + iα)(2 + iα).
p
(1 − iα)(2 −iα),
= −
q
(2.56)
24 ГЛАВА 2
Здесь K — произвольная отличная от нуля комплексная константа. При
подстановке найденных в (2.56) выражений в определитель получим уравнение
−2
det Pj=(j +1)j(j2− 7j +6α2+ 12) = 0, (2.57)
|p|
решения которого имеют вид [53]
j = −1, 0,
7+
√
1 − 24α
2
2
√
1 − 24α
7 −
,
2
2
. (2.58)
Для каждого из двух семейств решений для AB и при произвольных
(p, q) два из четырех индексов Фукса иррациональны, и этот факт уже
не может быть устранен введением других переменных наподобие AB
и grad ln(A/B). Отсюда следует вывод, что на том же основании, как
для уравнения КС, стационарная редукция кубического уравнения Гинзбурга–Ландау в частных производных (УЧП КГЛ3) тест Пенлеве не прошла.
Если потребовать, чтобы четыре иррациональные индекса Фукса стали целыми (такое условие называется диофантовым условием), то для p, q
получим Im(p/q)=0,т.е.d
=0, α =0. Рассмотрим, при каких значениях
i
параметров уравнения выполняется условие нелогарифмичности решения
при индексах Фукса 0, 3, 4. Не нарушая общности можно считать p и q действительными. При j =0произвольной постоянной является отношение
A
.Приj =3можно получить аналогично произвольную постоянную
0/B0
= −B3.Приj =4имеют место рекуррентные соотношения [250]
A
3
A
− B4=0,p−2γ2=0, (2.59)
4
и только при обращении γ в нуль можно получить общее решение в виде
локально однозначного выражения
p
iϕ
e
A =
−2
q
p
B =
−2
−iϕ
e
q
где четыре произвольные константы x
−1
0
1+c
χ
−1
0
χ
χ3+ c4χ4+ O(χ5),χ= x − x0, (2.60)
3
1 − c
χ3+ c4χ4+ O(χ5), (2.61)
3
, ϕ0, c3, c4связаны с соответствую-
0
щими индексами Фукса −1, 0, 3, 4.
Итак, стационарная редукция A
=0, Bt=0уравнения КГЛ3 про-
t
ходит тест Пенлеве тогда и только тогда, когда p/q действительные, а γ
обращается в нуль. Как будет показано в главе 4, этот вывод изменится при
применении теста Пенлеве непосредственно к КГЛ3 УЧП при условии, что
его можно свести к нелинейному уравнению Шредингера.
2.1. МЕТОД КОВАЛЕВСКОЙ–ГАМБЬЕ 25
2.1.4. Осциллятор Дуффинга–ван дер Поля
Уравнение осциллятора ван дер Поля
+(au2+ b)u− cu =0 (2.62)
u
было выведено ван дер Полем в 1922 году при изучении автоколебательного
контура с триодом. При a>0, b<0, c<0 это уравнение имеет однозначную, устойчивую замкнутую траекторию специального вида, называемую
предельным циклом Пуанкаре [28].
Добавим нелинейные члены
E(u) ≡ u
+(au2+ b)u− cu + du2+ βu3=0. (2.63)
Аналогично уравнению (2.62) это уравнение допускает решение [38]
u ∼ u
−1/2
χ
,u
0
3
2
, индексы Фукса = −1,
=
0
2a
3
. (2.64)
2
Индекс Фукса 3/2 не является целым, но и не является комплексным как
это было в уравнениях Курамото–Сивашинского (КС) и кубическом комплексном уравнении Гинзбурга–Ландау (КГЛ3). В таком случае (индекс
Фукса — рациональное число) общее решения представляется не в виде
ряда Лорана, а в виде его обобщения — ряда Пюизе [372, 208], содержащего целые степени χ
+∞
u =
2j=0
здесь требуется установить, является ли коэффициент u
постоянной. Алгебраические уравнения для коэффициентов u
⎧
⎪
E
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
E
⎪
⎪
⎪
E
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
E
ujχ
0
1/2
1
3/2
j−1/2
u
≡
≡−au
≡−
≡ 3βu
1/2
,
= u0χ
E(u)=
0
(3 − 2au
4
1+2au
−1/2
+ u
1/2
+∞
2j=0
2
0
2
u
1/2
0
2
0
u
4
2
u
+ du
1/2
0
Ejχ
)=0,
=0,
−
1
a
2
2
0
j−5/2
u
u
0
=0,
2
1/2
1/2
+ u1χ
+ u
χ1+ ..., (2.65)
3/2
, ∀j : Ej=0, (2.66)
произвольной
3/2
имеют вид
j
(2.67)
b
u
−
2
+ βu
0
3
0
=0,
26 ГЛАВА 2
их решение аналогично случаю разложения общего решения в ряд Лорана.
Для индекса Фукса j =3/2 коэффициент d должен быть положен равным
нулю для исключения появления логарифмической особенности. В результате имеем ряд
u = χ
−1/2
u
+
0
3β −ab
2a
u
0
χ + u
3/2
3/2
χ
+ ..., (2.68)
в котором коэффициент u
является произвольной постоянной. ОДУ (2.63)
3/2
при d =0называется уравнением Дуффинга. Уравнение проходит тест Пенлеве в слабой форме: это означает, что общее решение может быть конечнозначной функцией. Эта слабая форма теста была подробно изучена
Пенлеве [349, Le¸сons 5–10, 13, 19].
З
АМЕЧАНИЕ. Несмотря на то, что уравнение Дуффинга–ван дер Поля
инвариантно относительно замены u →−u, ОДУ относительно u
ки имеет решение в виде ряда Пюизе, а не ряда Лорана. Это объясняется
ивариантностью индексов Фукса (−1, 3/2) относительно замены u → u
2
все-та-
2
.
Интегрирование уравнения Дуффинга–ван дер Поля проведено в разделе 3.2.6.
2.1.5. Система Хенона–Хейлеса
Кубическая гамильтонова система определяется как
H =
2
1
2
−
2
+ αq
1
βq
3
2
2
c
3
3
q
2
1
2
1
+ p
2
2
(p
2
+ ω1q
2
1
q
q
2
2
+ ω2q
)+αq1q
2
+ ω1q1− βq
1
+ ω2q2+2αq1q2−
c
3
3
+
1
,α=0, (2.69)
2
2q
2
=0, (2.70)
=0. (2.71)
Прежде чем анализировать систему (2.70)–(2.71), сделаем несколько
предварительных замечаний. Рассмотрим наиболее общий случай классического гамильтониана с двумя степенями свободы, который не зависит от
времени и представляет собой сумму кинетической и потенциальной энергии
1
2
H =
Определим потенциал V (q
2
1,q2
(p
2
+ p
)+V (q1,q2). (2.72)
1
2
) так, что некоторая целая степень q
n
j
(t)
j
в общем решении является однозначной функцией комплексного времени t.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]