Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метод Пенлеве и его приложения
.pdf
3.2. ЧАСТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ УРАВНЕНИЯ 57
следовательно, необходимые условия (3.70) являются также и достаточными.
Рассмотрим теперь систему КГЛ3 (3.62) с необходимыми условия-
ми (3.76). В случае d
=0оба ряда Лорана для M идляϕимеют конечное
i
число членов,
± 3Δ
9d
d
=0,csi= gr= gi=0,M=
i
=const(x − x0)−1,
ϕ
2d
2
i
r
(x − x0)
,
2
(3.83)
следовательно, КГЛ3 не имеет эллиптических решений [224]. В действительном случае Гинзбурга–Ландау d
=0,g
=0(3.76) при введенных обозначениях (2.52) система (3.62) сов-
r
=0с необходимыми условиями csi=
i
падает со случаем НШ, следовательно, решение является эллиптическим
и имеет выражение (3.52). Эта эллиптическая бегущая волна была получена как экстраполяция [54, ур. (2.11), (3.7), (3.8ab)] решения, представляющего столкновение двух фронтов, зависящего как от x,такиотt,ввиде
⎧
⎪
⎪
d
=0,si=0:|A|2= −
⎪
i
⎪
⎨
3
Φ=
j=1
Cje
kjx+ωjt
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
, (kj,ωj)=const.
℘(Φ(x, t))
2
d
r
,
2
Φ
x
(3.84)
3.2.3. Тригонометрические бегущие волны КС
Найдем частное решение в виде бегущей волны ОДУ КС (2.27),кото-
рое является рациональной функцией от экспоненты e
kx
(в данном разделе
переменную ξ переобозначим как x для согласования обозначений с другими разделами).
3.2.3.1. Калибровочное преобразование
Хорошо известен тривиальный случай, когда существует общее анали-
тическое решение
b =0,μ=0,A=0,U= 120v(x − x
)−3. (3.85)
0
Само по себе это решение малоинтересно, однако, возможно, существует какое-либо преобразование, сводящее его к нетривиальному случаю. То
58 ГЛАВА 3
есть вопрос состоит в том, чтобы подобрать калибровочное преобразование
T (α, β; g),
(U, x) → (V, X): U(x)=α(x)V (X)+β(x),X= g(x), (3.86)
зависящее от трех неопределенных функций (α, β, g), соответствующим
подбором которых можно свести ОДУ (2.27) к уравнению вида
Обозначим
d
v
dX
3
V
Λ=
2
V
=0. (3.87)
+
3
2
b
α
+
α
. (3.88)
3v
Подставив (3.86) в (2.27),получим
μ −
β +
−1
b
3v
2
2b
27v
Λ+
+3vΛ
3
2
v
+(g
+(g
d
dX
3
V
+3v(g)
3
)−2
)−3
Для приведения уравнения (3.89) квиду(3.87) требуется выполнение пяти
условий (коэффициент при V
при V
Первое условие приводит к соотношению g
= b/(12v),третьекb
к A = −1800/47
, V, V и при членах, не зависящих от V
2
3
. Калибровочные функции α и g после интегрирования
2
g
d
V
+
2
dX
+Λ2
+μ −
A + vβ
2
постоянен и отличен от нуля, коэффициенты
g
+Λ
g
2
b
3v
+ bβ+ μβ+
g
+
3g
Λ+vΛ
= α
dV
dX
+ α(g
)−3
2
V
2
+3vΛΛ+ vΛ
2
β
2
, V, V, V , равны нулю).
1/3
, второе условие к Λ=
3
=0. (3.89)
V +
+
−
+ α
bμ
3v
g
−2
/(μv) = 144/47,четвертоекβ =5bμ/(47v),пятое
имеют вид
α
α
g
= −
= c1e
b
,α= c
4v
−bx/(12v)
3
−bx/(4v)
e
1
,g= c
,
12v
−bx/(12v)
e
−
1
b
− g
,
0
(3.90)
3.2. ЧАСТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ УРАВНЕНИЯ 59
здесь (c1,g0) произвольные константы интегрирования. Возвращаясь к исходной переменной U(x), получим решение, не зависящее от c
−3
U = e
−bx/(4v)
120v−
12v
b
−bx/(12v)
e
− g
0
5bμ
+
47v
,
1
. (3.91)
После элементарных тригонометрических преобразований это решение
можно представить в виде полинома по степеням th(k/2)(x − x
2
/μ =1/47 и x0— произвольная постоянная. Этот результат был по-
vk
),где
0
лучен ранее другим методом Кудряшовым [260].
Еще больше решений в виде полиномов третьей степени могут быть
найдены методом, рассмотренным в следующем разделе.
3.2.3.2. Полиномы по степеням th
Предположение о виде решения (3.77), сделанное в разделе 3.2.2.2,
вытекало из условия согласования наличия у решения ОДУ КС полюса
третьего порядка, а у эллиптической функции ℘ полюса второго порядка
Если предположить, что элементарная функция, через которую можно
выразить решение уравнения, имеет полюс не второго порядка, а простой
полюс, то можно получить и другие решения. Это одно из двух положений
метода, изложенного в данном разделе. Второе положение состоит в том,
что в качестве элементарной функции с простым полюсом, обозначим ее
через τ, выбирается общее решение нелинейного ОДУ первого порядка,
обладающего свойством Пенлеве, что обеспечивает однозначность общего
решения. Как прямое следствие критерия вычетов, о котором говорилось
в разделе 3.2.2.1, эта элементарная функция не может быть эллиптической.
Все нелинейные ОДУ первого порядка, обладающие свойством Пенлеве, были исследованы авторами (Брио, Буке, Лазарус Фукс, Пуанкаре,
Пенлеве), и среди этих уравнений только одно уравнение обладает дополнительными свойствами: (i) является автономным, (ii) имеет единственное
семейство подвижных простых полюсов. Этим уравнением является урав-
нение Риккати с коэффициентами, нормированными так, чтобы вычет был
равен единице:
2
τ
+ τ2+
S
=0,S= −
2
k
=const∈ C. (3.92)
2
В силу того, что функции th, cth, tg, ctg связаны простыми соотношениями, в данной работе эти четыре функции не рассматриваются как различающиеся между собой, поэтому общее решение ОДУ (3.92) запишем
60 ГЛАВА 3
ввиде
k
τ =
здесь k и x
комплексные. Предел 1/(x − x0) функции τ при k → 0 может
0
быть получен заменой th на cth переносом x
k
th
(x − x
2
2
), (3.93)
0
.
0
Высказанное aprioriпредположение относительно замкнутой фор-
мы решения, состоящее в согласовании структуры особенностей ОДУ
КС (2.27) (одно семейство подвижных полюсов порядка −p =3)сострук-
турой особенностей ОДУ Риккати (3.92) (одно семейство подвижных про-
стых полюсов), дает возможность записать решение u в виде полинома
относительно τ [69, 84]:
−p
j=0
cjτ
−j−p
,c0=0, (3.94)
u =
где константы c
подлежат определению. Подставляем (3.94) в левую часть
j
уравнения (2.27) и, исключая производные от переменной τ в соответствии
с (3.92), получаем (2.27) ввиде
−q
E(u)=
j=0
Ejτ
−j−q
=0. (3.95)
Так как этот полином должен быть равен нулю, то отсюда следуют уравнения
∀j ∈ [0, −q]: E
=0. (3.96)
j
Прежде чем выписать определяющие уравнения и приступить к реше-
нию, попробуем упростить их, воспользовавшись сингулярным частным
дифференциальным оператором D (2.44). Введем целую функцию ψ,которая является общим решением линейного ОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами,
S
ψ
положим
τ =
ψ =0, (3.97)
+
2
ψ
d
=
ψ
ln ψ, (3.98)
dξ
тогда D ln ψ является полиномом, аналогичным (3.94).Болеетого,поскольку разложение в ряд Лорана (2.36) в окрестности ξ
единственно,
0
3.2. ЧАСТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ УРАВНЕНИЯ 61
то разность между этими двумя многочленами относительно τ регулярна
в окрестности ξ
и, следовательно, равна константе.
0
Таким образом, первоначальная система уравнений
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
−p
j=0
−j−p
cjτ
S
=0,S= −
2
−q
Ejτ
j=0
u =
τ
+ τ2+
E(u)=
∀j ∈ [0, −q]: E
,c0=0,
−j−q
=0,
=0
j
2
k
=const,
2
(3.99)
может быть заменена эквивалентной, но более простой
⎧
u = D ln ψ + U,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
S
ψ
+
E(u)=
ψ =0,S= −
2
−q
j=−p
∀j ∈ [−p, −q]: E
Ejχ
j+q
j
2
k
2
=0,χ=
=0,
=const,
ψ
ψ
= τ−1,
(3.100)
в которой D есть сингулярный частный дифференциальный оператор (2.44),
2
U и k
ключить ψ
— константы, подлежащие определению. При расчете Ejследует ис-
и производные от ψ более высокого порядка.
Преимущества системы (3.100) перед системой (3.99) следующие:
1) меньшее число неизвестных (U, k
2) меньшее число уравнений, поскольку первые уравнения E
2
вместо cj, k2),
=0, j =
j
=0, ..., −p − 1 тождественны нулю, что вытекает из определения
оператора D ,
3) и, наконец, наиболее важное — возможность заменить линейное ОДУ,
определяющее ψ, другим линейным ОДУ с той же структурой особенностей.
Система (3.100) представляет собой не что иное как редукцию к обык-
новенным дифференциальным уравнениям с помощью известного метода
62 ГЛАВА 3
усечения, разработанного Вейссом и др. для УЧП [433]. Решение (3.100)
эквивалентно нахождению решения вида
u = D ln ψ + U, (3.101)
где D — сингулярный частный дифференциальный оператор D , введенный
в (2.44), ψ — данная целая функция (т. е. не имеющая особых точек на
комплексной плоскости, такая как e
x
, ch x)иU — некоторая функция, не
имеющая особых точек в нулях функции ψ. Естественно, ψ определяется из
дифференциального уравнения, например линейного ОДУ с постоянными
коэффициентами. Предположение, что это будет линейное ОДУ первого порядка с постоянными коэффициентами, ничего нам не даст, т.к. D ln(c
ekx)
1
не имеет подвижных особых точек. Предположение о том, что функция ψ
является решением линейного ОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами, такого, как в (3.100), приводит к следующей системе [83]:
⎧
E
=0,j=0, 1, 2,
j
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
= 120vU − 300bvS +
E
3
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
E
=60−4v2S2−
⎪
4
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
E
5
E
6
615b
−
4 × 192v
S
=
E
3
2
= E(U) − 30
15
−
bUS +
2
−
2
μ
− 15bU +
15(b
20
19
2
− 16μv)
76v
2
μ
S +
19
2
μ
15b
152v
195b
76v
μvS +
1575
U =0,
20
19
S +
3
11
19
38
μvS
1575
76
210
−
2
2
b
2
b
bμ =0,
19
2
μ
+
S =0,
− 4v2S
2S2
=0.
2b4
15
32 × 192v
3
−
−
2
(3.102)
Эта система четырех уравнений относительно двух неизвестных (U, S) легко решается, т.к. является переопределенной. Первым решаем линейное
уравнение, соответствующее j = −p, относительно U:
U =
5
2
bS +
7bμ
4 × 19v
−
3
13b
32 × 19v
. (3.103)
2
3.2. ЧАСТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ УРАВНЕНИЯ 63
Далее система уравнений, соответствующих j =4, 5, 6, дает шесть реше-
ний, внесенных в таблицу 3.2 и представленных в виде
u = 120vτ
5
+
bk
2
3
− 15bτ2+
2
−
32 × 19v
13b
2
60
19
2
μ − 30vk
7μb
+
4 × 19v
2
−
4 × 19v
,τ=
15b
k
2
2
th
τ+
k
(ξ −ξ
2
(3.104)
).
0
Таблица 3.2. Шесть тригонометрических решений уравнения КС (2.27), здесь обозначено k
ветствует вырожденному эллиптическому решению (3.82)
и Цузуки [264], а при других значениях b
2
= −2S. Все эти решения имеют вид (3.104). Последняя строчка соот-
b2/(μv) vA/μ
0 −4950/193, 450/19311/19, −1/19
144/47 −1800/47
256/73 −4050/73
16 −18, −8 1, −1
Уединенные волны при b =0(рис. 3.2) были найдены Курамото
3
3
3
2
/(μv) — Кудряшовым [260].
vk2/μ
1/47
1/73
Расстояние (понятие расстояния было введено в разд. 3.2.1.2) каждого
из шести тригонометрических решений до общего аналитического решения
равно двум, в то время как расстояние эллиптического решения (3.82) равно одному. Таким образом, проблема нахождения общего аналитического
решения остается открытой, и это вопрос будет рассмотрен в разделе 3.2.5.
3.2.4. Тригонометрические решения в переменных бегущей волны
уравнения КГЛ3
Локальный анализ особых точек был проведен в разделе 2.1.3, наличие
двух иррациональных индексов Фукса указало на невозможность построения общего решения с тремя произвольными постоянными для системы
третьего порядка (3.62), и оказалось, что возможно построить решение,
зависящее только от одной произвольной постоянной (см. раздел 3.2.1.2).
Задача состоит в построении точного решения в замкнутой форме для любых значений параметров (p, q, γ, c, ω).
Для применения метода усечения, описанного в разделе 3.2.3.2, следует определить переменную, поведение которой будет однозначным. В нашем случае это будет ни (A,
A),ни(|A|, arg A), а в предельном случае
64 ГЛАВА 3
Рис. 3.2. Гетероклиническая бегущая волна Курамото и Цузуки, ур. (3.104) при
v =1, μ =1, b =0, k
нелинейного уравнения Шредингера предлагается рассматривать в качестве
такой переменной либо M = |A|
2
=11/19
2
,либоϕ. Эти переменные удовлетворяют
системе (3.62) двух действительных уравнений.
Если сделать два независимых предположения — одно относительно M, а второе относительно ϕ
, то это может привести к дополнительным
и нежелательным ограничениям на решение КГЛ3 и в результате к потере некоторых решений. Поэтому прежде всего исключим переменную ϕ из
системы (3.62), что даст в результате:
cs
ϕ
=
2
1
G =
2
Займемся далее единственным уравнением третьего порядка (3.106) относительно переменной M = |A|
G
r
+
(G
MM
− 2csiG
2M2(gr− diM)
− 2csiG)2− 4GM2(diM − gr)2=0, (3.106)
1
M
−
4
cs
i
2
−
2
2
.
,ϕ
MM
−
+ drM3+ giM2. (3.107)
cs
2
r
2
G
=
, (3.105)
2
M
Переменная M допускает два семейства подвижных полюсов второ-
го порядка аналогично особенностям (3.71) с сингулярными частными
3.2. ЧАСТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ УРАВНЕНИЯ 65
дифференциальными операторами
9d
± 3Δ
D
±
r
=
2d
2
i
ОДУ (3.106) имеет пять параметров d
ко три являются определяющими (g
тельно, как и для НШ, p и q (т. е. d
2
d
−
+
2
dξ
, di, gr, gi, csi, из которых толь-
r
, gi, c эквивалентны γ, ω, c). Действи-
r
+ idiи sr− isi) могут быть заменены
r
cs
!
i
d
. (3.108)
3
dξ
более подходящими числовыми значениями, при которых коэффициенты
ряда Лорана будут действительными, такими как
p = −1 − 3i, q =4− 3i,
1
,d
=
d
r
2
3
,s
=
i
2
r
= −
1
,s
10
i
= −
3
, Δ=
10
9
.
2
(3.109)
Поскольку поле M допускает два семейства подвижных полюсов второго порядка, метод усечения, введенный в разделе 3.2.3.2, дает только одно
семейство, то его применение в том виде, как он был введен в 3.2.3.2, не
даст возможность построить общее аналитическое решение, поэтому его
надо расширить. В разделе 3.2.4.1 этот метод (полиномиальный относительно τ ) будет преобразован и будут найдены все решения, известные на
сегодняшний день, за исключением одного.
В разделе 3.2.4.2 будет представлен метод усечений, дающий возможность получить решение с двумя семействами особых точек, однако этот
метод не даст возможности получить какое-либо решение КГЛ3.
3.2.4.1. Полиномы по th
Решение, в котором M представлено в виде полинома по τ,былополучено при применении метода усечения, дающего возможность получить
одно семейство особых точек (3.99) или эквивалентно (3.100). В данном
разделе будем искать решение M в виде соотношений
где D
определен в (3.108). С использованием (3.110) уравнение (3.106)
±
⎧
M = D
⎨
⎩
ψ
±
S
ψ =0,S= −
+
2
ln ψ + m,
2
k
2
=const,
(3.110)
принимает вид конечного ряда Лорана
14
j=2
отсюда получаем 13 определяющих уравнений E
вестных (S, m) и, что особенно важно, трех параметров (g
Ejχ
j−14
=0,E0≡ 0,E1≡ 0, (3.111)
=0для двух неиз-
j
r,gi
,c).Для
66 ГЛАВА 3
нескольких первых определяющих уравнений, записанных с численными
значениями (3.109), имеем:
(D
случай):
+
⎧
⎪
⎪
M =4 −
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
E
2
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
E
3
≡
≡
2
d
2
dξ
57
2
c
− 156m +13k2+4gi+16gr=0,
100
39
2
+ 432m − 28k2− 16gi− 48g
c
25
d
c
10
+ m!ln ψ,
dξ
−
!
r
c =0.
(3.112)
Решение этих уравнений не представляет труда, и в случае КГЛ3 при d
i
=0
для каждого знака получаем три решения (с физической точки зрения допустимы только три) с расстояниями до общего аналитического решения,
равными соответственно одному, двум, двум. Эти решения имеют вид:
⎧
⎪
⎪
M = −2( τ −
⎨
⎪
⎪
2
⎩
k
= −7
!
2
c
20
!
2
c
10
4
g
−
3
!
)
2
c
10
,ϕ
+
, 3gi+2gr+
r
cs
r
= τ +
−
2
2
3c
=0,
50
c
20
c
5M
τ
+
!
2
k
2
−
4
(3.113)
⎧
⎨
M = −2 τ
⎩
2
k
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
=2gr,c=0,gi=0,
M = −2 τ ±
2
=
k
!
2
c
,gr=0,gi−
10
2
−
k
2
2
k
4
!
2
,ϕ−
!
,ϕ
cs
r
cs
−
2
2
r
= τ −
c
50
2
= τ,
=0,
20
(3.114)
c
,
(3.115)
и
⎧
⎪
⎪
M =4( τ −
⎨
⎪
⎪
2
⎩
= −
k
c
20
!
2
c
10
!
2
+
2
g
+
r
3
)
!
2
c
,ϕ
20
, 3gi− gr+
cs
r
−
3c
80
2
2
=0,
= −2τ +
c
20
c
+
5M
τ
!
2
k
2
−
4
(3.116)
⎧
⎪
M =4τ
⎨
⎪
⎩
k
2
,ϕ−
2
2
g
=
,c=0, 3gi− gr=0,
r
3
cs
2
r
= −2τ,
(3.117)
,
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]