Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метод Пенлеве и его приложения
.pdf
Случаи, когда можно проинтегрировать дифференциальное уравнение, чрезвычайно редки, и скорее,
являются исключением. Но можно рассматривать
дифференциальное уравнение как определение некоторой функции и заняться изучением свойств этой
функции по ее уравнению.
Шарль Брио и Жан-Клод Буке, 1859
Предисловие
Нелинейные дифференциальные уравнения встречаются не только
в математике, но и во многих областях физики (эволюционные уравнения,
уравнения, описывающие распространение сигнала в оптоволокне), химии
(реакционно-диффузионные системы), биологии (борьба за существование
среди видов) и др.
Цель книги — познакомить читателя с аналитическими методами, позволяющими решать эти уравнения в явном виде. Задача в первую очередь
состоит в том, чтобы показать возможность построения решения в явном
виде, когда нет никаких априорных представлений о решении. Для этого используется метод, называемый тестом Пенлеве, — мощный алгоритм,
подробно рассматриваемый в нашей книге. Если нелинейное дифференциальное уравнение проходит тест Пенлеве, то оно считается в определенном
смысле интегрируемым. Затем необходимо попытаться найти явные доказательства этой интегрируемости, а именно:
• для обыкновенного дифференциального уравнения требуется найти
общее решение в замкнутой форме;
• для дифференциального уравнения в частных производных найти
нелинейную формулу суперпозиции, с помощью которой строятся солитонные решения.
В дискретных случаях доказательства аналогичны. Если уравнение не проходит тест Пенлеве, то система является неинтегрируемой или даже хаотической. Однако и в этом случае остается возможность найти решение.
Действительно, методы, разработанные для интегрируемого случая, могут
быть применимы и в этом случае и могут иногда привести к получению
некоторых частных решений, как то: уединенные волны (солитоны) эволюционных уравнений, решения, описывающие столкновение уединенных
волн, первые интегралы динамических систем и т.д.
Описанные методы иллюстрируются главным образом примерами из
физики. В качестве интегрируемых примеров рассматриваются: нелинейное уравнение Шредингера (непрерывное и дискретное), уравнение Кортевега–де Фриза, уравнение Буссинеска, гамильтонианы Хенона–Хейлеса.
ПРЕДИСЛОВИЕ xiii
Все они являются интегрируемыми. К неинтегрируемым же примерам
относятся: комплексное уравнение Гинзбурга–Ландау (оно используется в теории оптических волокон, а также при расчете турбулентности),
уравнение Курамото–Сивашинского (при расчетах фазовой турбулентности), реакционно-диффузионная модель Колмогорова–Петровского–Пискунова (КПП), модель атмосферной циркуляции Лоренца, космологическая
модель IX Бьянки (обе модели описывают хаотические процессы) и т.д.
Книга написана на уровне выпускника высшего учебного заведения
и включает в себя как теоретический материал, так и подробные примеры.
Она базируется на результатах самых современных исследований.
Брюссель,
февраль 2008
Робер Конт
Мишлен Мюзетт
Краткий обзор книги
Основная мысль, которая обсуждается в главе 1, заключается в том, что
нелинейное уравнение не следует рассматривать как возмущение линейного уравнения. На двух простых примерах демонстрируется необходимость
учета структуры особых точек на комплексной плоскости при нахождении
общего решения нелинейных уравнений. Далее будет представлен метод
Пенлеве и его школы определения новых функций на основе решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), обладающих
общим решением, которое может быть сделано однозначным в некоторой
области (свойство Пенлеве,СП).
В главе 2 описывается локальный анализ, называемый тестом Пенле-
ве, для исследования структуры подвижных особых точек (положение которых зависит от начальных условий) общего решения нелинейного дифференциального уравнения. Наиболее простой из методов, входящих в этот
тест, исторически был впервые разработан Софьей Ковалевской [258],
а позднее представлен в виде алгоритма Бертраном Гамбье [163]. Если
уравнения обладают свойством Пенлеве, то они по определению проходят
тест, поэтому большее внимание будет уделено уравнениям, которые, как
правило, тест не проходят, но полезны для исследования случаев частичной
интегрируемости. Сначала рассматриваются четыре уравнения, описывающие физические явления, для которых с помощью теста можно определить
случаи существования частных решений
интегралов.
Описанная процедура иллюстрируется несколькими примерами.
В первом примере исследуется модель атмосферной циркуляции Ло-
ренца [286]:
1
в замкнутой форме, т. е. первых
dx
= σ(y − x),
dt
dy
= rx − y − xz,
dt
dz
= xy − bz.
dt
Здесь с помощью теста Пенлеве определяются четыре набора значений параметров (b, σ, r).
1
По определению решение называется частным тогда, когда оно получается из общего
решения подстановкой числовых значений в константы интегрирования.
КРАТКИЙ ОБЗОР КНИГИ xv
Затем рассматривается уравнение Курамото–Сивашинского (КС)
u
+ νu
t
xxxx
+ bu
+ μuxx+ uux=0,ν=0,
xxx
которое описывает распространение пламени и течение тонкого слоя жидкости по вертикальной стене. Для простоты исследуется ОДУ для стационарного потока. Сначала с помощью теста выявляется наличие подвижной многозначности
2
в общем решении при любых значениях параметров
(ν, b, μ), а затем определяется возможность существования частных реше-
ний без подвижных точек ветвления.
Далее анализируется одномерное комплексное уравнение Гинзбурга–
Ландау третьей степени (КГЛ3), имеющее вид
+ pAxx+ q|A|2A − iγA =0,pqγ=0, (A, p, q) ∈ C,γ∈ R.
iA
t
Это общее уравнение, описывающее многие физические явления, такие как
распространение сигнала в оптоволокне [10] или пространственно-временную периодичность в протяженных диссипативных системах [298]. С помощью теста выявляется неинтегрируемость этого дифференциального уравнения в частных производных (УЧП) в общем случае, а затем определяются для параметров (p, q, γ) те значения (q/p ∈ R, γ =0)для нелинейного
уравнения Шредингера (НШ), при которых оно становится интегрируемым.
Наконец, показывается возможность существования частных однозначных
решений КГЛ3 для случая Im(q/p) =0.
В качестве следующего примера берется осциллятор Дуффинга–
ван-дер-Поля
E(u) ≡ u
+(au2+ b)u− cu + βu3=0.
На этом примере иллюстрируется применение теста в слабой форме (слабый тест Пенлеве). В этом случае допускается, что общее решение обладает более чем одной однозначной ветвью в окрестности подвижной особой
точки, но число их конечно (слабое свойство Пенлеве), как для квадратного
корня.
Последний пример — гамильтонова система с двумя степенями свобо-
ды:
1
2
1
+ p
2
2
(p
H =
2
2
Точка, в которой появляется многозначность, называют критической точкой,илиточкой
ветвления.
+ ω1q
2
+ ω2q
1
2
)+αq1q
2
1
2
βq
−
2
3
c
3
3
+
1
,α=0,
2
2q
2
xvi КРАТКИЙ ОБЗОР КНИГИ
где α, β, ω
q
+ ω1q1− βq
1
q
+ ω2q2+2αq1q2− c3q
2
, ω2, c3— константы. Для случая c3=0, β/α =1она была раз-
1
2
1
+ αq
2
2
=0,
−3
2
=0,
работана Хеноном и Хейлесом для описания хаотического движения звезды
в осесимметричном потенциале галактики [198]. Ее называют кубической
гамильтоновой системой Хенона–Хейлеса (ХХ3). Тест Пенлеве выдает для
нее лишь три значения β/α = −1; −6; −16.
В двух последних разделах 2.2 и 2.3 рассматриваются две стандартные ситуации, когда тест (а именно метод Софьи Ковалевской) не приводит к конечному результату из-за недостаточного количества произвольных
констант в локальном представлении общего решения.
Глава 3 посвящена методам явного интегрирования нелинейных ОДУ,
основанным на анализе особых точек. В качестве примеров берутся в основном уравнения из предыдущей главы. Мы рассмотрим как интегрируемые (раздел 3.1), так и частично интегрируемые (раздел 3.2) случаи.
В разделе 3.1.1 для четырех случаев, когда модель Лоренца проходит
тест Пенлеве, приводится метод вычисления полиномиальных первых интегралов и выполняется интегрирование в терминах эллиптических функций
или функций Пенлеве.
В разделах 3.1.2 и 3.1.3 находятся общие решения в переменных бегу-
3
щей волны
для двух важных эволюционных уравнений: уравнения Корте-
вега–де Фриза (КдФ), которое описывает распространение волн на мелкой
воде [39, 257],
6
bu
t
+ u
xxx
uu
−
=0,a,b— константы,
x
a
и нелинейного уравнения Шредингера (НШ)
iA
+ pAxx+ q|A|2A =0,p,q=0,A∈ C, (p, q) ∈ R.
t
Сделать это достаточно просто, поскольку такие обыкновенные дифференциальные уравнения обладают свойством Пенлеве. На основе общего решения, записанного в переменных бегущей волны, которое является эллиптической функцией, строятся различные частные решения, имеющие
определенный физический смысл (импульсы, фронты).
В разделе 3.2 рассматривается случай частичной интегрируемости на
примере уравнений в переменных бегущей волны для уравнения КС и уравнения КГЛ3. Оба они тест Пенлеве не проходят.
3
Бегущей волной для данного УЧП E(u, x, t)=0называется любое решение редукции
ξ = x − ct, если таковое существует.
КРАТКИЙ ОБЗОР КНИГИ xvii
В разделе 3.2.1.2 читатель знакомится с понятием общего аналитиче-
ского решения неинтегрируемого ОДУ. Оно определяется как частное однозначное решение, имеющее замкнутую форму и зависящее от максимально
возможного числа констант интегрирования. Это число будет определено
точно. Затем будет рассмотрено два класса решений, которые достаточно
легко найти и к тому же представляющие огромный физический интерес:
двоякопериодические решения (эллиптические) и однопериодические решения (тригонометрические).
Частные решения, являющиеся двоякопериодическими (эллиптическими), легко находятся вследствие выполнения необходимых условий, вытекающих из свойства эллиптических функций. Эти условия и соответствующие решения описываются в разделе 3.2.2.
Некоторые из частных решений, являющихся однопериодическими
(тригонометрическими), также легко находятся путем представления возможного решения в виде многочлена, зависящего от одной элементарной
переменной τ или двух элементарных переменных (σ, τ ). Такое решение
удовлетворяет фундаментальным нелинейным ОДУ первого порядка. Эти
методы — методы усечения — описываются в разделах 3.2.3 (для уравнения КС) и 3.2.4 (для уравнения КГЛ3).
Для преодоления ограниченности методов усечения, основанных на
теореме Брио и Буке (1856), в разделе 3.2.5 вводится метод, позволяющий
найти все двоякопериодические или однопериодические решения заданного
ОДУ (в то время как любой из методов усечения позволяет найти лишь
некоторые из них). Вместо того чтобы искать решение исходного ОДУ,
строится промежуточное (эквивалентное) уравнение, а именно автономное
ОДУ первого порядка, которому удовлетворяет неизвестное решение. Для
уравнений КС и КГЛ3 такой метод не дает нового результата; этот факт
объясняется в разделе 3.2.8 с использованием теории Неванлинны.
В разделе 3.2.6 на наличие слабого теста Пенлеве проверяется осцилля-
тор Дуффинга–ван-дер-Поля. В частном случае, когда существует первый
интеграл, результирующее ОДУ можно преобразовать (с помощью преобразования годографа) в другое уравнение, обладающее свойством Пенлеве.
В разделе 3.2.7 рассматривается космологическая модель Бьянки IX
в вакууме. Здесь необходимые условия прохождения теста творчески используются несколько необычным образом для выделения всех возможных
однозначных решений. Применение метода возмущений, описанного в разделе 2.2, показывает, что возможно существование еще одного, дополнительного решения, кроме уже известных.
В разделе 3.2.8 кратко излагаются дополнительные результаты, касающиеся уравнения КС, получаемые с помощью неванлинновской теории.
xviii КРАТКИЙ ОБЗОР КНИГИ
Эта теория, не основанная на анализе особых точек решения, дает дополнительную информацию об аналитической структуре решений.
В главе 4 свойство Пенлеве и тест Пенлеве, ранее используемые для
решения ОДУ, распространяются на случай нелинейных дифференциаль-
ных уравнений в частных производных (УЧП). В разделе 4.1 рассматриваются такие решения УЧП, которые одновременно являются решениями
некоторых ОДУ, т.е. так называемая редукция. В разделе 4.2 вводится важ-
ный класс солитонных уравнений с их основными свойствами: существо-
ванием N -солитонного решения и преобразованием Беклунда (ПБ). В разделе 4.3 понятие интегрируемости и определение свойства Пенлеве переносятся на дифференциальные уравнения в частных производных. После
определения в разделе 4.4.1 переменной разложения χ, позволяющей минимизировать расчет ряда Лорана (ряд Лорана задает локальное решение), по
шагам выполняется тест Пенлеве на примере уравнения КдФ (раздел 4.4.2).
Для КдФ выводятся необходимые условия, при которых оно обладает свойством Пенлеве. Наконец, в разделе 4.4.3 тесту подвергается уравнение Кол-
могорова–Петровского–Пискунова (КПП) [256, 385], и в результате выводятся необходимые условия существования частных решений в замкнутой
форме.
Глава 5 посвящена «интегрированию» нелинейных УЧП. Необходимо разработать эффективные алгоритмы, которые бы позволяли выявить
у этих уравнений свойство Пенлеве и в конечном итоге давали бы точные
решения. Эти алгоритмы, составляющие метод сингулярного многообразия
(МСМ), представляют собой естественное обобщение методов усечения,
о которых шла речь в главе 3.
На основании многочисленных результатов применения теста Пенлеве
формируется некая общая информация, касающаяся аналитического свойства решений (раздел 5.1). В разделе 5.2 упоминаются два основных подхода к построению так называемого N -солитонного решения и кратко описываются основные инструменты интегрируемости солитонных уравнений:
пара Лакса, преобразование Дарбу, преобразование Беклунда, нелинейная
формула суперпозиции, преобразование Крама. Точные определения даются в разделе 5.3. Здесь же описывается применение двух уравнений,
имеющих в физике большое значение: уравнения КдФ и уравнения Буссинеска [39]. Оба они являются интегрируемыми, если применить метод
обратной задачи рассеяния (МОЗР) [1].
Для того чтобы установить наличие свойства Пенлеве у дифференциальных уравнений в частных производных, необходимо выявить признаки
интегрируемости с помощью методов, основанных исключительно на анализе структуры особенностей этих уравнений.
КРАТКИЙ ОБЗОР КНИГИ xix
В разделе 5.5.1 раскрываются основные идеи метода сингулярного
многообразия. Они заключаются главным образом в преобразовании локальной информации, которую дает тест Пенлеве, в упомянутые выше глобальные элементы интегрируемости. Следующие два раздела посвящены
методу сингулярного многообразия применительно к уравнениям, обладающим свойством Пенлеве (раздел 5.6), и применительно к частично интегрируемым уравнениям, которые тест Пенлеве не проходят, но допускают
тем не менее существование частных однозначных решений (раздел 5.7).
В разделе 5.6.1 исследуются уравнения Кортевега–де Фриза и Буссинеска, которые обладают лишь одним семейством подвижных особых точек. Нелинейные формулы суперпозиции имеют для них одинаковый вид,
поскольку уравнения КдФ и Буссинеска являются двумя разными редукциями 2+1-мерного уравнения, интегрируемого по методу ОЗР, — уравнения
Кадомцева–Петвиашвили (КП) [244]. Две редукции, однако, порождают два
разных солитонных поведения: если уравнение КдФ лишь описывает такое
взаимодействие уединенных волн, когда одна волна догоняет другую, то
уравнение Буссинеска может также описывать взаимопроникновение солитонов при их встречном движении.
В разделе 5.6.2 метод сингулярного многообразия применяется к двум
уравнениям, интегрируемым по методу ОЗР и обладающим двумя семействами подвижных особых точек, это уравнение синус-Гордона и модифицированное уравнение КдФ. Для обоих уравнений снова получается одна
и та же нелинейная формула суперпозиции.
В разделе 5.6.3 метод сингулярного многообразия применяется к двум
другим интегрируемым дифференциальным уравнениям в частных производных, имеющим пару Лакса третьего порядка: уравнению Савада–Котера (СК) [389] и уравнению Каупа–Купершмидта (КК) [148,247]. В списке
Гамбье [163], содержащем нелинейные ОДУ первой степени второго порядка, которые обладают свойством Пенлеве, лишь несколько уравнений
являются линеаризуемыми в ОДУ третьего порядка. Для этих нескольких
уравнений может быть построено преобразование Дарбу и x-составляющая
пары Лакса. Помимо того, что метод сингулярного многообразия автоматически обеспечивает возможность преобразования Беклунда и построение
нелинейной формулы суперпозиции, он к тому же позволяет осуществлять
преобразование Беклунда между уравнениями Савада–Котера и Каупа–Купершмидта.
Далее МСМ применяется к частично интегрируемым УЧП. В разделе 5.7.1 рассматривается уравнение Фишера [140], которое моделирует эволюцию мутирующих генов или распространение пламени. Это уравнение
характеризуется единственным семейством подвижных особых точек. В ре-
xx КРАТКИЙ ОБЗОР КНИГИ
зультате поиска частного решения при выполнении необходимых условий
теста Пенлеве, находятся два эллиптических решения [8].
В разделе 5.7.2 исследуется уравнение Колмогорова–Петровского–Пискунова без конвекционных членов, обладающее двумя противоположными
семействам, и получаются два односолитонных решения (гиперболический
тангенс и гиперболический секанс) и вырожденное двухсолитонное решение с нулевым коэффициентом связи.
В последнем разделе 5.8 рассматривается видоизменение элементов
интегрируемости при сведении интегрируемых УЧП к ОДУ:
• пара Лакса → изомонодромная деформация;
• преобразование Беклунда → бирациональное преобразование;
• нелинейная формула суперпозиции → контигуальное отношение.
В главе 6 приводится несколько разных способов «интегрирования» гамильтоновой системы. В качестве примера рассматриваются две гамильтоновы системы с двумя степенями свободы: гамильтониан Хенона–Хейлеса
третьей степени, упоминаемый в разделе 2.1.5 (в трех случаях он проходит
тест Пенлеве), и гамильтониан Хенона–Хейлеса четвертой степени (ХХ4),
имеющий вид
1
2
H =
(P
2
1
+
2
+Ω1Q1+4CQ
Q
1
+Ω2Q2+4AQ
Q
2
1
Q
α
+ P
2
1
2
2
β
+
Q
+Ω1Q
+ γQ
2
2
3
1
3
2
2
+Ω2Q
1
,B=0,
1
+2BQ1Q
+2BQ2Q
2
)+CQ
2
2
− αQ
2
2
− βQ
1
4
+ BQ
1
−3
+ γ =0,
1
−3
=0,
2
2
2
Q
1
2
+ AQ
4
+
2
где A, B, C , α, β, γ, Ω
, Ω2— константы. Тест Пенлеве выдает четыре
1
набора значений этих констант: A : B : C =1:2:1, 1:6:1, 1:6:8,
1:12:16(запись A : B : C = p : q : r означает, что A/p = B/q = C/r =
= произвольное число).
Под разными способами интегрирования понимаются следующие подходы:
• (интегрируемость по Лиувиллю) поиск второго инварианта в инволюции с гамильтонианом, что, однако, не является достаточным условием для выполнения глобального интегрирования. Мы назовем семь
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]