Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метод Пенлеве и его приложения
.pdf
6.3. ГАМИЛЬТОНИАНЫ ХЕНОНА–ХЕЙЛЕСА ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА 187
6.3.2.2. Случаи 1:6:1и 1:6:8
Существует каноническое преобразование [21] между двумя гамильтонианами 1:6:1и 1:6:8, следовательно, достаточно получить решение
для одного из этих случаев.
Нам потребуется различное обозначение координат для этих двух случаев:
1:6:1
⎧
⎪
H =
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
K =P
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
1
2
−
− P
(P
1
2
2
1
1P2
2
2
+ P
2
κ
1
2
Q
1
+ Q1Q
2
κ
1
2
Q
1
2
2
+
− P
)+
κ
Q
1
ω
1
2
(Q
+ Q
1
2
2
2
= E,
2
2
2
Q
+ Q
1
−
2
2
κ
2
2
2
Q
2
8
1
2
(κ
+
1
4
1
2
) −
2
2
2
+ ω
2
Q
+ κ
2
32
2
2
1
Q
(Q
2
1
4
+6Q
1
2
)+
2
2
2
+ Q
4
)−
2
Q
1
−
2
2
κ
κ
1
2
2
2
Q
Q
1
2
(6.54)
и
1:6:8
⎧
⎪
⎪
H =
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
K =p
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
1
2
(p
+ p
1
2
− γq
+
1
2
−
2
1
2
−
q
(q2p1− 2q1p2)2+
2
4
+ γ−4q
2
−2γq
− 4ω2q1q
2
q
16
2
2
2
)+
2
β
2
2q
2
(2q
2p1p2
ω
2
2
= E,
2
+4q
2
+
2
2
(4q
1
2
+4q
2
+ q
1
2
+ ω2)+
1
4
q
q
1
2
β
1
q
2
2
+ q
2
2
) −
3
1
.
1
16
β
2
q
2
2
q
2
4
(8q
1
2
−
+4q1p
+6q
2
−
2
2
2
4
q
+ q
1
)−
2
2
(6.55)
188 ГЛАВА 6
Это преобразование сохраняет два инварианта E и K и имеет вид
q1= −
=
p
1
=√Ω−
p
2
P
Ω=2
Q1Q
ω
= ω1,γ=
2
P
Q
P
Q
1
1
1
1
1P2
P
κ
1
+
2
Q
1
2
2
2
P
2
+
Q
2
2
2
4
2
,β= −(κ
2
κ
2
,q2=2√Ω,
2
Q
2
2
Q
− Q
1
+
4
κ
1
−
2
Q
1
κ
2
+2
2
Q
2
2
2
κ
2
2
Q
2
P
1
Q
1
− 2κ
+
− 2
− κ2)2,
1
κ
Q
1
κ
1
1
2
1
P
1
Q
− κ
2√Ω
P
Q
3
1
2
2
− 2κ
2
,
− 2
2
Q
κ
1
2
Q
1
2
κ
P
2
+
3
Q
2
2
κ
1
2
−
,
4
4
Q
1
2
(6.56)
κ
2
+2ω1,
2
Q
2
2
+
+
Q
2
2
P
−
Q
P
1
−
Q
1
2
Q
+ Q
1
−
2
κ
+ κ
1
иобратноеему
Q1=Δ−,Q2=Δ+,
P
=Δ
1
P
=Δ
2
= ∓2p1− q
Δ
±
В настоящее время разделяющие переменные найдены только для
частного случая γ =0при 1:6:8, который соответствует случаю κ
2
= κ
при 1:6:1. Разделение переменных достигнуто [413] способом,
2
+8(κ
−
+
1
−
−
2
1
− κ2)
p
2
−
q
2
p
2
+
2
2
q
2
−
2
p
2
3
q
2
q
κ
− κ
1
1
−
2
q
1
2
+4
2
q
2
− κ
κ
1
−
q
2
2
p
2
± q
1
2
q
2
± 4(κ1− κ2)
2
2
p
q
κ
1
+
−
2
+
2
q
1
+4
2
q
2
,
√
Δ
−
κ
2
,
√
Δ
+
− κ2)
1
q
2
+4ω2.
4
2
(κ
(6.57)
2
1
аналогичным совместному рассмотрению случаев СК и КК кубического
гамильтониана ХХ3, проведенному в разделе 6.2.2.2.
=
1) Инвариантность при 1:6:1при обмене двух частиц приводит к ка-
ноническому преобразованию
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
1
-
Q
-
P
(Q
=
1
=
1
2
P
1
1
2
Q1+ Q
+ Q2)2,
1
+ P
2
,
2
-
Q2=
-
P2=
1
(Q
1
2
P
1
1
2
Q1− Q
− Q2)2,
− P
2
2
(6.58)
,
6.3. ГАМИЛЬТОНИАНЫ ХЕНОНА–ХЕЙЛЕСА ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА 189
которое преобразует гамильтониан H
= f(-Q1,-P1)+f(-Q2,-P2)−
H
1:6:1
2
κ
−
f(q, p)=2qp
в частном случае κ
2
1
1
-
Q
1
−
16
-
Q
+
1
2
ω
1
2
q
q, (6.60)
+
2
= κ2=0уравнение Гамильтона–Якоби H
квиду
1:6:1
2
κ
−
2
2
-
Q
−
1
2
-
Q
2
, (6.59)
1:6:1
− E =0легко разделяется:
κ
= κ2=0:f(-Qj,-Pj) −
1
E
2
+(−1)
j
K =0,j=1, 2, (6.61)
при этом в качестве разделяющей переменной удобно выбрать второй
интеграл движения (6.54).
2) Запишем два инварианта H , K для случая 1:6:8в новых переменных-Q
,-Q2,-P1,-P2. Для этого используем каноническое преобразова-
1
ние (6.56) и некоторую уловку для применения этого преобразования —
положим в нем κ
преобразование между переменными q
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
-
Q
-
Q
-
P
1
-
P
2
64z
1
2
=4
=4
=
=
2
=(2q
2q
2q
2
p
2
2
p
2
3
q
1
3
q
1
= κ2=0. Более точно определим каноническое
1
, pjи-Q1,-Q2,-P1,-P2как [416]
j
+ z
q
− z
q
2
2
2
2
2
2
− q
− q
+ q1(q
2
q
2
2
−
1
2
1
+4ω
2
2
q
2
+4ω
−
2
4
+8z) − 8ω1q1q
2
,
1
,
1
2
− 8q2p1p2+8q1p
2
16q2(q2p1− 2q1p2)
2
2
+ q1(q
4
− 8z) −8ω1q1q
2
2
− 8q2p1p2+8q1p
2
16q2(q2p1− 2q1p2)
2
2
4
q
+ q
1
− 8ω1q
2
2
2
2
− 8p
2
)2− 64q
2
2
(q2p1− 2q1p2)2.
2
2
2
2
2
(6.62)
,
,
−
190 ГЛАВА 6
В новых переменных уравнение Гамильтона–Якоби H
1:6:1
− E =0
принимает вид
g(-Q
,-P1) − g(-Q2,-P2)−
1
− 4γ
g(q, p)=(2f(q, p) − E)
-
P
−-P
1
-
-
Q
Q
1
2
Q
2
-
1
(f(-Q1,-P1) − f (-Q2,-P2)) = 0,
−-Q
2
δ
2
q
+
8
(6.63)
и может быть разделено в частном случае γ =0, а значение раз-
деляющей переменной выбирается равной второму интегралу движения (6.54):
γ =0,g(-Q
,-Pj) − K =0,j=1, 2. (6.64)
j
Общее решение в этом частном случае имеет вид
1:6:8
γ =0
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
:
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
q
1
2
q
2
P (s)=(s
2
− C)s
(s
2
=
(s1+ s2)s
E
=
s1+ s
2
2
+(s
1
1
2
− Cs
1
,
2
− C)s
2
2
2
− C
,C=
4κ
K
,
2
1
− C)[(s2− C)2+4c(s2− C)+2(κ1s + E)].
(6.65)
Соотношения (6.65) не могут быть записаны в виде рациональных
функций от s
1
, s2, s
, s
, но тем не менее они являются мероморфными
1
2
функциями [139, 311]. Соответствующее решение для случая 1:6:1имеет
вид
⎧
2
1
2
1
+ Q
4
− Q
4
2
2
2
1
(s
2
+ s
2
2
− C)(s
1
+ s1s2− (s
2
2
= s
2
2
=
+ s
1
− C) − (s
2
s
− Cs
1
) − C,
2
2
− C)s
2
2
2
− C
1
− (s
2
− C)s
1
2
.
1:6:1
2
= κ
κ
1
Q
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
:
2
⎪
Q
⎪
2
⎪
⎪
⎩
(6.66)
6.3. ГАМИЛЬТОНИАНЫ ХЕНОНА–ХЕЙЛЕСА ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА 191
6.3.2.3. Случай 1:12:16
2
2
q
1
2
+32q
2
, β = −4κ
1
2
4
+ q
2
2
1
)−
κ
q
2
2
2
2
Запишем инварианты следующим образом (α = −κ
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
1
H =
(p
2
1
−
2
K =8(q
32κ
−
2
2
+ p
)+
1
2
2
κ
4κ
1
+
2
q
q
1
− q1p2)p2− q1q
2p1
2
1
4
q
+10
2
5
ω
2
(4q
+ q
1
8
2
2
= E,
2
2
2
2
q
p
2
2
2
q
1
2
2
.
) −
4
2
− 2q
1
32
(16q
3
q
1
2
2
4
+12q
1
+2ωq1q
Разделяющие переменные найдены только в двух частных случаях
αβ =0и имеют вид [413]
⎧
2
q
1
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
2
⎪
q
⎪
2
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
G
1
⎨
G
2
⎪
⎪
⎪
⎪
G
3
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
G
⎪
4
⎪
⎪
⎪
⎪
G
⎪
5
⎪
⎩
здесь s
=(s1+ s2)2+ αG2/G1+4αG2G3/(G
√
−αs1s2G2G4/G
+
4Ks
= −
G
2
2
s
1
2
,
1
3
− α√−αG
1
= −40α(s1+ s2)+Ks1s2− 40√−α(s
=80s1s2(s1+ s2),
= −20α(s
3
+5s
s
1
3
+ s
)+K(s
1
2
3
(s1+ s2)(3s
2
2
2
+ s
)+40Es
1
2
1
2
− 2s1s2+3s
3
= K2s1s2(r1s2+ s1r2) − 80√−αr1r2(Ks1s2− 40(s1s2))(s1+ s2),
= 20(s1r1− s2r2)(Ks1s2− 20α(s1+ s2))+
+ s
1s2(r1s2
, s2удовлетворяют канонической гиперэллиптической систе-
1
− s1r2)(K + 20(2E + s
2
(s1− s2)2)+
1
2
G5/(G
2
2
r1+ s
2
2
2
s
1
2
2
),
2
2
2
s
)(s1+ s2)),
1
2
3
2
(s
− s
1
1
2
r2),
1
(s1+ s2)+
2
)),
2
ме (6.38) с
2
):
2
2
(6.67)
−
(6.68)
αβ =0:P(s)=s
Случай α =0легко может быть проинтегрирован, поскольку оба ин-
варианта H и
√
K имеют четвертую степень относительно моментов, и по-
6
− ωs3+2Es2+
K
s − α −
20
β
. (6.69)
4
192 ГЛАВА 6
этому может быть применен метод Штеккеля [399, 400] для построения
разделяющих переменных. Действительно, координаты, определенные каноническим преобразованием, являются параболическими:
⎧
⎪
q
= s1+ s2,q
1
⎨
s
⎪
⎩
1r1
p
=
1
s1− s
− s2r
2
2
= −4s1s2,
2
2
,p2= q
r1− r
2
2(s1− s2)
2
,
(6.70)
гамильтониан преобразуется
α =0:H =
f(s
) − f (s2,r2)
1,r1
2(s1− s2)
,f(s, r)=sr
2−s5
+ ωs3+
β
, (6.71)
4s
следовательно, уравнение Гамильтона–Якоби H − E =0допускает введение разделяющей переменной
α =0,f(s
) − 2sjE −K =0,j=1, 2, (6.72)
j,rj
где K совпадает со вторым интегралом движения. Уравнения Гамильтона
в разделяющих переменных
sjr
α =0:s
=(−1)
j
j+1
s1− s
j
,j=1, 2, (6.73)
2
сводятся к канонической гиперэллиптической системе (6.38).
6.3.3. Свойство Пенлеве
В случае кубического гамильтониана наиболее быстрым доказательством свойства Пенлеве является установление соответствия ОДУ четвертого порядка (2.81) в трех допустимых случаях с тремя типами ОДУ (см.
раздел 6.2.3).
Аналогичное исключение q
дит к ОДУ четвертого порядка первой степени относительно q
q
q
+2
1
q
− q
1
+4(B − 2C)q
A
+12
− 4ω2+1+12
ω
1
B
1
+1+6
1
2
q
1
1
+24C4
A
B
q
AC
B
A
B
и q
2
2
1
q
1
− Bq
− 2
μ
q
2
из уравнений (2.78)–(2.80) приво-
1
1
2
q
q
1
1
2
q
1
5
+
1
− 41+3
1
+86
AC
− B −Cq
B
A
α
+
q
1
4
B
q
1
[96]:
2
q
+
1
1
6.3. ГАМИЛЬТОНИАНЫ ХЕНОНА–ХЕЙЛЕСА ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА 193
α
− 2μ
3
q
1
+6
+6
A
B
+48
A
B
α
q
2
7
1
μ
AC
B
+20
2
α
2
q
1
5
q
1
+2Bα − 8
2
+412
μq
1
− 12
AC
μα
A
4
B
q
1
α
B
AC
− B −4Cω
B
+43
1
+6
q
1
A
ω
B
A
ω
B
− ω
1
2
− 4ω1ω2− 8BEq1+
1
3
q
1
1
2
=0.
μ −
Общий вид ОДУ четвертого порядка первой степени, обладающего
свойством Пенлеве [350],
2
q
1
+
2
q
1
(6.74)
u
= A2(u,u,u; x)u
где A
рациональна относительно uи u, аналитическая относительно x,
j
интересующий нас случай (A
симость функций A
зависимости A
не могут быть распространены на случай гамильтониана четвертого по-
2
рядка
.
и A0относительно (u,u), так что результаты раздела 6.2.3
1
2
+ A1(u,u,u,x)u
=0подразумевает полиномиальную зави-
и A0от u) был изучен только при полиномиальной
1
2
+ A0(u,u,u; x), (6.75)
Тем не менее, можно доказать [96], что все эти четыре случая имеют
свойство Пенлеве (общее решение однозначно на комплексном времени t).
Это включает построение бирациональных преобразований k, по крайней
мере, одному из ОДУ четвертого порядка, о которых говорилось в разделе 6.2.3 [46, 59, 105], соответственно: F-V для 1:2:1,автономноеF-VIдля
1:6:1и 1:6:8, F-III или F-IV для 1:12:16. Здесь не будут приведе-
ны доказательства этого, в силу довольно большой громоздкости выкладок
и их неоптимальности (некоторые открытые вопросы исследованы в [96]).
Только для одного случая можно довольно легко установить, это случай 1:2:1
1
2
(p
H =
2
Вслучае1:12:16с дополнительным предположением α =0это ОДУ (6.74) яв-
ляется автономным частным случаем уравнения, рассмотренного Китаевым [255, ур. (5.9)]
в иерархии второго уравнения Пенлеве и воспроизведенного Косгроувом [107, ур. (6.141)].
Следовательно, ОДУ [107, ур. (6.141)] включает дополнительные члены, которые отражают
вклад α в гамильтониан в случае 1:12:16.
+ p
1
2
α
1
+
2
q
1
2
)+
2
β
+
2
q
1
2
(ω
q
+ ω2q
1
1
2
= E.
2
2
2
2
)+
1
4
2
2
(q
+2q
1
2
1
4
q
+ q
)+
2
2
(6.76)
194 ГЛАВА 6
Проведем здесь выкладки. Симметрия системы дает возможность ввести
новые переменные
2
x = q
1
+ q
2
,y= q
2
2
2
− q
. (6.77)
1
2
Линейная комбинация четырех уравнений (2.79), (2.80), (6.76), (6.46) дает
два ОДУ:
⎧
− ω2)(y+8xy)+x2+2(ω
(ω
1
⎪
⎨
+2(ω
⎪
⎩
+2(ω1− ω2)y +6x2+2(ω1+ ω2)x − 4E =0,
x
+ ω2)x2+2(ω1− ω2)x − 8Ex +4(α + β + K)=0,
1
2
1
− ω
2
)y +4x3+
2
(6.78)
а исключение из этих двух уравнений переменной y дает ОДУ четвертого
порядка полиномиального класса (6.37):
+(20x +4ω1+4ω2)x+10x2+40x3+
x
(6.79)
+8(ω
+ ω2)(3x2− E)+(16ω1ω2− E)x − 8(α + β + K)=0.
1
Последнее ОДУ является автономным F-V ОДУ при обозначениях:
⎧
⎪
⎪
u = x +
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
α
V
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
β
V
ω
+ ω
1
2
,κ
=0,
5
V
=16E +4(ω1− ω2)2+
8
(ω
=
+ ω2)(2(ω1+ ω2)2− 10ω1ω2− 15E) − 8(α + β + K).
1
25
4
5
(ω
+ ω2)2,
1
(6.80)
2
2
+q
Следовательно, q
является мероморфной функцией времени и с учетом
1
2
бирационального преобразования между x и y
q
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
2
и q
1
1
x =
Y
8
Y
−
4Y
y = Y −
2
являются также мероморфными (но q
2
1
2
+
ω
−
ω
− ω
1
2
− ω2)2(ω1+ ω2)+
(ω
1
16
+ ω
1
2
,
4
2
=
ω1− ω
α + β
2
1
1
x
− 3x2− (ω1+ ω2)x +2E,
−
2
2
2
2
и q
1
2
K
1
−
2
−
2
Y
многозначны).
(6.81)
6.4. ОКОНЧАТЕЛЬНАЯ КАРТИНА ДЛЯ ХХ3 И ХХ4 195
6.4. Окончательная картина для ХХ3 и ХХ4
Среди классических потенциалов V (q1,q2), рациональных относительно q
дят тест Пенлеве. Эти гамильтонианы Хенона–Хейлеса имеют следующие
свойства [97].
1) В семи указанных случаях общее решение является однозначной функ-
2) Поскольку каждый из семи случаев может быть представлен в виде
в трех общих случаях гамильтонианов четвертого порядка.
, q2, только семь (три третьей степени, четыре четвертой) прохо-
1
цией комплексного времени t, имеет особые точки — подвижные по-
люсы второго порядка. Явный вид решения определяется гиперэллип-
тической системой второго рода.
ОДУ четвертого порядка, которое в смысле Пенлеве является совер-
шенным — добавление любого члена в гамильтониане не приводит
к нарушению свойства Пенлеве. Семь гамильтонианов Хенона–Хей-
леса являются совершенными.
Основная проблема состоит в построении разделяющих переменных
ГЛАВА 7
Дискретные нелинейные уравнения
Прежде всего исследуем, почему логистическое отображение, при
непрерывном пределе приводящее к уравнению Риккати, является плохой
дискретизацией последнего. Затем обоснуем сложность получения не вызывающего сомнения определения свойства Пенлеве для дискретных уравнений. Введем три основных метода проведения дискретного теста Пенлеве: сингулярный локализационный метод [184], критерий полиномиального роста [206] и метод возмущения непрерывного предела [87]. Далее
напомним замечание Бакстера и Поттса о том, что формула сложения для
функции Вейерштрасса ℘ является дискретизацией уравнения Вейерштрасса. В конце введем два основных метода построения дискретных уравнений
Пенлеве: (i) аналитический метод, который начинается от формулы сложения эллиптических функций, основывается на методе Пенлеве и Гамбье
и в результате дает длинный, но неполный список дискретных уравнений
Пенлеве; (ii) геометрический метод, основанный на теории рациональных
поверхностей, который неожиданно дает возможность построить эталонное
дискретное уравнение Пенлеве э-П6, коэффициенты которого имеют эллиптическую зависимость от независимой переменной. В заключение будут обсуждены основные свойства всех таких д-Пn уравнений. В эту главу также
включены дискретные уравнения Ермакова–Пинни, дискретное уравнение
Шредингера.
7.1. Общие положения
Когда уравнение относительно u(x) не является дифференциальным,
и в него входит только конечное число значений x, то говорят о дискретном
уравнении. Начнем с двух примеров.
1) Логистическое отображение
где через u
= au
u
n
обозначено значение функции u(x) вточкеx−x0, x = nh.
n
n−1
(1 − u
), (7.1)
n−1
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]