Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метод Пенлеве и его приложения
.pdf
ЧАСТО ЗАДАВАЕМЫЕ ВОПРОСЫ 227
Ответ. Эти два свойства независимы, и возможны следующие четыре
ситуации.
1) ОДУ сводится к квадратурам, интегрируемо в смысле Пенлеве: эллиптическое уравнение.
2) ОДУ сводится к квадратурам, неинтегрируемо в смысле Пенлеве: u
3
.
= u
3) ОДУ не сводится к квадратурам, интегрируемо в смысле Пенлеве:
уравнение П1.
=
4) ОДУ не сводится к квадратурам, неинтегрируемо в смысле Пенлеве:
ОДУ Курамото–Сивашинского u
+(1/2)u2+ K =0.
Сведение интегрируемости ОДУ только к интегрируемости в квадратурах
устарело. Недостаточность понятия интегрирования в квадратурах показал
Якоби на примере колебания маятника.
Вопрос. Является ли интегрируемым уравнение Риккати?
под «интегрируемостью» понимать «сведение к квадратурам», то уравнение
Риккати не является интегрируемым, за исключением только известного
частного решения u
. Если под интегрируемостью понимать «обладание
0
свойством Пенлеве», то ответ будет утвердительным, поскольку уравнение
Риккати с помощью замены переменной может быть сведено к линейному
уравнению.
Отметим, что если известны три частные решения, то общее решение
может быть записано в замкнутой форме в виде ангармонического отношения (5.36).
Вопрос. Свойство Пенлеве для ОДУ определяется как отсутствие
у всех решений подвижных особенностей за исключением полюсов.
Ответ. Здесь неверны два слова: «все» и «полюсы». «Все» — потому
что из трех видов решений ОДУ (общее, частное, особое — подробности
можно найти в [76, с. 100]), в определении свойства Пенлеве идет речь
только об общем решении. Например, ОДУ третьего порядка второй степени [59, с. 360]
(u
− 2uu)2+4u
2(u
− u2− 1) = 0 (8.1)
допускает однозначное общее решение
c1x+c
2
e
u =
+
c
1
2
− 4
c
1
x + c3, (8.2)
4c
1
228 ГЛАВА 8
а также особое решение (огибающая кривая) с подвижной критической особенностью, полученное из условия обращения в нуль дискриминанта уравнения (8.1)
u
− u2− 1=0,u= C2− ln cos(x − C1). (8.3)
Для ОДУ первого и второго порядка, имеющих свойство Пенлеве, утверждение о том, что подвижными особенностями являются только полюса,
является верным. Однако для ОДУ с порядком выше второго, имеющих
свойство Пенлеве, могут быть некритические подвижные особенности различных типов и «une discussion qui´ecarterait d’avance certaines singularit´es
comme invraisemblables serait inexistante»
1
[352, с. 6]. Хорошо известным
примером является знаменитое уравнение Шэзи класса III
u
− 2uu+3u2=0. (8.4)
Его общее решение определено только внутри или снаружи круга, определяемого тремя начальными условиями (два характеризуют центр окружности, одно — радиус); это общее решение является голоморфным на области
определения и не может быть аналитически продолжено за нее. Следовательно, это уравнение имеет свойство Пенлеве, и единственной особенностью является подвижная аналитическая существенно особая линия, которая представляет собой естественную границу. Детально с аргументами
Пенлеве и Шэзи можно ознакомиться в [76, §2.6] и [76, § 5.1].
Вопрос. Если некоторое уравнение проходит тест Пенлеве, то, сле-
довательно, оно имеет свойство Пенлеве.
Ответ. Слово «следовательно» неверно, поскольку прохождение теста
является только необходимым, но не достаточным условием для выполнения свойства Пенлеве. Как алгоритм тест заканчивается после конечного
числа шагов, а Пикар [356] построил замечательный пример ОДУ, которое
имеет решение в виде u = ℘(λln(x − c
u
−
4u3− g2u − g
2
u
2
−
6u
3
)+c2,g2,g3), а именно
1
g
2
−
2
λ4u3− g2u − g
2
u
=0. (8.5)
3
Данное уравнение имеет свойство Пенлеве, если и только если 2πiλ является периодом эллиптической функции ℘. Это трансцендентное условие
на (λ, g
) не может быть обеспечено за конечное число алгебраических
2,g3
шагов, таких как тест Пенлеве.
1
Дискуссия, которая могла бы возникнуть по поводу того, что некоторые особенности яв-
ляются маловероятными, на самом деле не возникала.
ЧАСТО ЗАДАВАЕМЫЕ ВОПРОСЫ 229
Вопрос. У решений уравнения, имеющего свойство Пенлеве, не может
быть существенных особенностей.
Ответ. Неверно. Существенные особенности могут быть критическими
и некритическими. Только подвижные критические существенные особенности отсутствуют при наличии свойства Пенлеве. ОДУ с общим решением
1/(x−c2)
c
e
1
имеет свойство Пенлеве, но ОДУ с общим решением [352, с. 5]
u =tgln(c
x + c2), (8.6)
1
имеющее вид
= u
2u − 1
2
u2+1
, (8.7)
яв-
2/c1
u
не обладает свойством Пенлеве, поскольку подвижная точка x = −c
ляется существенной и критической. Трудность, связанная с существенными особенностями, состоит в том, что они не могут быть выявлены с помощью алгебраических процедур, таких как тест Ковалевской–Гамбье. Более
подробно об этом можно узнать в трудах Пенлеве [352, §4 и 5].
Вопрос. Всегда ли совместим резонанс −1?
Ответ. (В нашей терминологии. Условие нелогарифмичности при ин-
дексе Фукса −1 всегда удовлетворяется.) Это неверно. Контрпример приведен в разделе 3.2.7. Другие примеры можно найти в [81].
Вопрос. Наличие отрицательных индексов Фукса указывает на по-
движную существенную особенность.
Ответ. Это неверно. Мероморфное выражение
u =
1
x − a
+
1
, (a, b)=const (8.8)
x − b
является общим решением уравнения
u
+3uu+ u3=0. (8.9)
Это уравнение класса Пенлеве и Гамбье имеет два семейства
(F1) p = −1, u
(F2) p = −1, u
=1, индексы (−1, 1),
0
=2, индексы (−2, −1).
0
См. [81] для связанных с ними рядов Лорана.
Вопрос. ВметодеВТК(раздел 5.5.2), поскольку «постоянный степен-
ной коэффициент» u
является еще одним решением УЧП, то, следова-
−p
тельно, получено преобразование Беклунда.
230 ГЛАВА 8
Ответ. Неверно по двум основаниям. Во-первых, это свойство коэффициента u
имеет место для любых УЧП, интегрируемых и неинтегрируе-
−p
мых. Во-вторых, для УЧП, допускающих преобразование Беклунда, после
завершения применения метода сингулярного многообразия коэффициент
никогда не является вторым решением, входящим в преобразование
u
−p
Беклунда. Подробности см. [84, 77].
ПРИЛОЖЕНИЕ A
Классические результаты Пенлеве и его
последователей
ным уравнением, (см. раздел 1.2) необходимо ввести класс ОДУ, например,
в наиболее общем виде n-го порядка m-й степени
(n),u(n−1)
P (u
где P есть полином относительно всех своих аргументов, за исключением последнего, степени m производной наивысшего порядка, с аналитической зависимостью от x. Поскольку такая постановка слишком трудна, то
часто вместо этих общих классов рассматриваются более простые, такие
как (6.37) (n =4, m =1и коэффициент при u
единице), но сложность задачи не является достаточным основанием для
рассмотрения более простой постановки. Действительно (см. главу 8), линейные ОДУ исключаются из рассмотрения, поскольку они имеют свойство
Пенлеве по определению.
При так организованном поиске получаем два результата (это «двойной доход» от дифференциальных уравнений):
1) некоторые новые функции (определяемые как общее решение некото-
рого ОДУ, которое не сводится к уравнению низшего порядка или к линейному уравнению),
2) исчерпывающий список (называемый классификацией) обыкновенных
дифференциальных уравнений, общее решение которых является новой функцией, и уравнений, которые могут быть проинтегрированы
в явном виде с использованием решений ОДУ более низких порядков.
, ..., u,u; x)=0, (A.1)
(4)
принимается равным
Классификации имеют то достоинство, которое следует еще раз под-
черкнуть. Пусть имеется ОДУ из такого уже изученного класса (например,
ОДУ биномиального типа второго порядка второй степени [107] u
= F(u
ются основания предположить, что это ОДУ обладает свойством Пенлеве
,u,x) с F рациональной по uи u и аналитической по x)ииме-
2
=
232 ПРИЛОЖЕНИЕ A
(например, не удалось обнаружить подвижные критические особенности,
см. главу 2). Тогда возможны два подхода: либо существует преобразование (1.43), переводящее его в каноническое уравнение, имеющее свойство
Пенлеве, в таком случае данное ОДУ имеет свойство Пенлеве и может быть
проинтегрировано в явном виде, либо такого преобразования не существует, и данное ОДУ не обладает свойством Пенлеве.
Например, класс n =1, m =1уравнений первого порядка первой
степени
u
= F(u, x)(A.2)
с функцией F рациональной по u и x содержит только уравнение Риккати
= a2(x)u2+ a1(x)u + a0(x), (A.3)
u
и он не определяет новых функций, поскольку уравнение Риккати линеаризуемо
u = −
ϕ
a2ϕ
,ϕ
a
−
a
2
+ a
2
+ a0a2ϕ =0. (A.4)
ϕ
1
A.1. Группы инвариантности, сохраняющие свойство
Пенлеве
В таких группах достаточно взять одно уравнение — представитель
класса эквивалентности по свойству Пенлеве.
Первой группой инвариантности является группа дробно-рациональ-
ных преобразований, определенная в тексте (соотношение (1.43)). Она является группой инвариантности относительно уравнения Риккати. Поскольку
преобразование сохраняет ангармоническое отношение четырех точек, то
его основное практическое применение состоит в преобразовании некоторого ОДУ с тремя особенностями в виде полюсов U = p
кэквивалентномуОДУ,полюсыu которого располагаются в заданных точках, например в (∞, 0, 1) посредством дробно-рационального преобразования (U, p
(x),p2(x),p3(x)) = (u, ∞, 0, 1). Именно это преобразование
1
было проведено для выбора представителя П6 в классе эквивалентности,
см. раздел 1.2.
Второй группой [349, 164] является группа бирациональных преобра-
зований, более коротко — бирациональная группа (u, x) ↔ (U, X ):
u = r(x, U, dU/dX, ..., d
U = R(X, u, du/dx, ..., d
n−1
n−1
U/dX
u/dx
n−1
)=0,x=Ξ(X ),
n−1
)=0,X= ξ(x)
(x),p2(x),p3(x)
1
(A.5)
A.2. СВОЙСТВО НЕПРИВОДИМОСТИ.КЛАССИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 233
(n — порядок уравнения, функции r и R рациональны по U, u ианалитичны
по x и X ). Эта группа имеет в качестве подгруппы группу дробно-рациональных преобразований.
П
РИМЕР.ПустьданоОДУu
ная U = u
преобразование u = U
3
− 2U
+ u2. После несложных преобразований получаем обратное
=0.
/(2U ) и преобразованное уравнение UU−U2/2 −
− 2u3=0и новая зависимая перемен-
Существуют другие группы преобразований нелинейных ОДУ, кото-
рые не сохраняют свойство Пенлеве. Одной такой из наиболее важных является группа точечных преобразований, которая рассматривает переменные u и x как равноправные геометрические координаты
u = f (X, U),x= g(X, U),U= F(x, u),X= G(x, u). (A.6)
Класс ОДУ второго порядка первой степени, инвариантных относительно
преобразования (A.6), имеет вид
3
+
u
Aj(u, x)uj=0 (A.7)
j=0
(по сравнению с классом (3.16) он содержит дополнительный коэффициент A
). Этот класс был подробно изучен Рожером Лиувиллем [283],
3
Трессом [406] и Картаном [55]. Подгруппа «преобразований, сохраняющих
слои»,
u = f (X, U),x= g(X),U= F (x, u),X= G(x), (A.8)
так же не сохраняет свойство Пенлеве, но она сохраняет интегрируемость
в смысле Пуанкаре, как определено в разделе 1.2, и классы эквивалентности
относительно этой подгруппы преобразований называются картановыми
классами эквивалентности [55].
Две последние группы преобразований дают дополнительное пони-
мание действия преобразований на сохранение свойства Пенлеве: нельзя
менять местами зависимые и независимые переменные, как это сделано,
например, в разделе 3.2.6.
A.2. Свойство неприводимости. Классические решения
Для того чтобы функция была бы заявлена как новая (общее решение
некоторого нелинейного ОДУ со свойством Пенлеве), необходимо показать,
234 ПРИЛОЖЕНИЕ A
что она не удовлетворяет нелинейному ОДУ более низкого порядка и не
удовлетворяет линейному ОДУ любого порядка. Для того чтобы была понятна сложность такого обоснования, достаточно рассмотреть ОДУ четвертого порядка относительно u(x), определяемого соотношениями
u = u
+ u2,u
1
1
=6u
2
+ x, u
1
Это ОДУ (его явный вид легко записать, исключив из соотношений u
2
2
=6u
+ x. (A.9)
2
, u2)
1
имеет общее решение, которое является трансцендентной функцией от четырех констант интегрирования, и сводится к уравнению П1, уравнению
второго порядка.
Первоначальное определение неприводимости как заданное «группой
рациональности» Жюлем Драшем [354, т. III, с. 14; 351, с. 246; 366] основывалось на бесконечномерной дифференциальной теории Галуа, в которую внесли свой вклад Пикар и Весио, и является настолько сложным,
что на сегодняшний день не завершено. Пенлеве был убежден, что эта теория вскоре будет разработана окончательно, и использовал недоказанные
результаты Драша в своих обоснованиях. Это было отмечено Рожером (не
Жозефом) Лиувиллем в его эмоциональной дискуссии с Пенлеве в Comptes
Rendus [354, т. III, с. 81–114]. Точное чисто алгебраическое определение
неприводимости было дано Умемурой [409]. Приведем это определение.
Пусть дан класс дифференциальных уравнений, например линейных
ОДУ или ОДУ первого порядка. Функция называется классической по от-
ношению к этому классу, если ее можно построить из решений уравнений
данного класса с помощью следующих операций:
сложения,
умножения, деления,
композиции функций,
дифференцирования,
интегрирования (единожды, т. е. нахождения первообразной),
применения алгебраических функций (т. е. корней алгебраических
уравнений, где коэффициенты являются функциями рассматриваемого
класса).
Два понятия «классическое решение» и «неприводимость», конечно,
эквивалентны. В вышеприведенном определении можно отбросить многие
свойства с помощью алгоритма Рича и Нормана в вычислительной алгебре
(который определяет, является ли первообразная некоторого класса выражений принадлежащей или не принадлежащей классу).
Примеры.
1) По отношению к линейным уравнениям решение уравнения Вейерштрасса не является классическим.
A.3. КЛАССИФИКАЦИИ 235
2) По отношению к множеству, составленному из линейных уравнений
и уравнения Вейерштрасса, решение Пикара (B.3) для П6 не является
классическим, поскольку g
и g3не константы.
2
3) По отношению к множеству, составленному из линейных уравнений
и уравнений первого порядка, имеющих свойство Пенлеве, общее решение любого из шести уравнений Пенлеве является неклассическим
(за исключением нескольких частных значений параметров α, β, γ, δ,
перечисленных в разделе B.8).
Даже если ОДУ неприводимо, то для некоторых значений его парамет-
ров оно может иметь частные решения, которые являются также решениями
либо нелинейного ОДУ более низкого порядка, либо линейного ОДУ. Например, уравнение П6 (определенное в разделе 1.2) имеет решение u =
не зависящее от параметров, при значениях параметров 2α = −2β = λ
2γ =1−2δ = μ
2
.
√
x,
A.3. Классификации
Каждое уравнение может быть охарактеризовано одним представи-
телем из его класса эквивалентности. Например, относительно группы
дробно-рациональных преобразований ОДУ (3.20) относительно неизвестной x(t) вслучаеb =0, σ =1/3 (модель Лоренца) не отличается от урав-
нения П3 при α = β =0, γ = δ =1. Новейшая классификация уравнений
приведена в работах Косгроува [105, 107].
2
,
A.3.1. ОДУ первого порядка высших степеней
Алгебраические ОДУ первого порядка вида
F (u
,u,x)=0, (A.10)
где функция F полиномиальна по u, u
,аналитичнапоx, определяет только
одну функцию — эллиптическую функцию Вейерштрасса ℘, новую в том
смысле, что уравнение, которому она удовлетворяет,
2
u
− 4u3+ g2u + g3=0,
) произвольные комплексные константы, (A.11)
(g
2,g3
не сводится к линейному ОДУ. Особенностями этой функции являются полюса второго порядка.
236 ПРИЛОЖЕНИЕ A
При классификации уравнений необходимо отличать [364, т. III, с. 26]
автономные (функция F не зависит от x) от неавтономных. Пусть g —род
кривой (u, u
) → F (u, u,x)=0для произвольного значения x.
В автономном случае род кривой необходимо равен 1 или 0. При g =1
имеется только один класс эквивалентности относительно бирациональной
группы, и подходящим представителем является уравнение Вейерштрасса
(A.11).Приg =0общее решение является рациональной функцией отно-
сительно либо (e
такое ОДУ линеаризуемо, оно сводится к уравнению u
a(x−x0)
− 1)/a, либо его предела x − x0, следовательно,
−au −1=0,азна-
чит, не может быть отнесено к какому-либо классу.
В неавтономном случае род кривой может быть любым, подробности
см. в работах Пуанкаре [364, т. III, с. 26], Валирона [411, т. II, § 141, с. 286]
и [311].
A.3.2. ОДУ первой степени второго порядка
Класс уравнений
с функцией F , рациональной по u
u
= F(u,u,x)(A.12)
,алгебраическойпоu,аналитической
по x, был досконально исследован Пенлеве [349] и Гамбье [163].
Классификация содержит 53 класса эквивалентности относительно
группы дробно-рациональных преобразований (50 с рациональной зависимостью F от u и три с алгебраической зависимостью) и 24 класса эквивалентности относительно бирациональной группы. Полный список этих
классов можно найти в работах [116,163,232,449]. Среди 24 классов шесть
являются неприводимыми (к уравнению первого порядка или линейному уравнению) и определяют шесть трансцендент Пенлеве, перечисленных в разделе 1.2. Метод определения, к какому из 53 классов принадлежит ОДУ из класса (A.12), имеющее свойство Пенлеве, подробно изложен
в [449, стр. 168–182], кроме того, его можно найти в разделе 3.1.1.2.
Редукция этих 53 классов под действием группы точечных преобразований, сохраняющих слои, (A.8) проведена в [228], под действием группы
точечных преобразований (A.6) в [19]. Замечательным результатом является то, что все шесть уравнений Пn эквивалентны [19]
2
U
d
+ f (U, X)=0, (A.13)
2
dX
т. е. уравнению, в которое не входит в явном виде первая производная, например, для уравнения П6 (A.13) имеет вид
d
dX
2
U
2
+
j=∞, 0,1,x
θ
2
j
dU
d
℘(U + c
+ djω2)=0, (A.14)
jω1
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]