Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метод Пенлеве и его приложения
.pdf
т. е.
5.3. ИНСТРУМЕНТЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 117
θ
= Ajch kj(x − 4k
j
2
t + δj),k
j
2
= λj,j=1, ..., N. (5.29)
j
Здесь A
и δj— произвольные константы интегрирования. Обозначим θ
j
решение системы (5.28), соответствующее значению λ0= λ.ТогдаN -я
итерация имеет вид [424]
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
u
N
ψ
N
= −2a∂
=
2
ln W (θ1, ..., θN),
x
, ..., θN,θ0)
W (θ
1
W (θ1, ..., θN)
,
(5.30)
где вронскианом является определитель
*
, ..., θN)=det(∂
W (θ
1
Волновые векторы ψ
*
*
*
θj)=
*
*
*
*
*
i−1
x
и θ0удовлетворяют паре Лакса (5.6) для одного
N
θ
θ
1
2
... θ
... θ
1
θ2θ
... ... ... ...
θ
N
... θ
θ
N
и того же спектрального параметра λ и потенциалов u
N
*
(N−1)
*
*
1
*
(N−1)
*
2
. (5.31)
*
*
*
(N−1)
*
N
и 0 соответственно.
Решение, которое зависит от 2N произвольных комплексных постоянных k
, δj, называется N-солитонным решением. Оно обладает рядом уди-
j
вительных свойств, подробно описанных в учебнике [125], среди которых
упругое столкновение (см. рис. 5.1).
5.3.4. Сингулярная часть преобразования
Ряд Лорана (4.25) представляет собой сумму сингулярной части (обычно называемой главной частью, образованной первыми −p членами, j =
=0,..., −p − 1) и регулярной части, образованной остальными членами
j = −p, ..., +∞. Сингулярная часть может быть представлена с помощью
линейного дифференциального оператора.
Определение 5.4. Пусть дано некоторое семейство подвижных особенностей, представленное в виде ряда Лорана (4.25), сингулярным част-
ным дифференциальным оператором этого семейства называется линейный дифференциальный оператор D, однозначно определенный равенством
0
u − D ln ψ = O (1),χ=
ψ
. (5.32)
ψ
x
118 ГЛАВА 5
Рис. 5.1. Уравнение КдФ. Двухсолитонное решение, описывающее упругое столкновение двух односолитонных решений (воспроизведен рис. 4.3, стр. 76 в [125])
Для различных ранее рассмотренных семейств ((4.41) для уравнения
КдФ, (4.50) для уравнения КПП, (2.31) для УЧП КС (2.25)) эти операторы равны соответственно D = −2a∂
2
, D = u0∂xи (2.44), в котором ∂
x
заменено на ∂x.
Что касается регулярной части ряда Лорана, то она не представляет
интереса, поскольку ряд Лорана не является замкнутой формой решения.
Поскольку это является единственной доступной информацией и поскольку требуется получить точное решение в виде конечного выражения (замкнутой формы), то представим, следуя идее Вайсса, Табора и Карневайля [433], неизвестное точное решение u в виде суммы сингулярной части,
записанной с помощью сингулярного частного дифференциального оператора, и регулярной части, обозначенной U .
ξ
Определение 5.5. Пусть дано УЧП, имеющее единственное семейство
подвижных особенностей, сингулярным частным преобразованием назовем
представление решения u в виде суммы
u = D ln τ + U, E(u)=0, (5.33)
где D является сингулярным частным дифференциальным оператором семейства, τ есть функция («тау-функция»
1
), связанная с волновым вектором
ψ парой Лакса, и подлежит определению, а U — некоторое поле.
1
Более точно отношение двух тау-функций в смысле Сато [242].
5.3. ИНСТРУМЕНТЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 119
Целью представления решения u ввиде(5.33) является подбор такой
связи между τ и ψ,чтобыполеU в (5.33) было бы другим решением того
же УЧП, подобно тому как это было при применении преобразования Дарбу
(второе уравнение в (5.22)).
В случае если УЧП имеет два семейства, то представление (5.33) за-
меняется на следующее [318]
ln τ1+ D2ln τ2+ U, (5.34)
1
и функция τfсвязаны со своим семейством f.
где каждый оператор D
u = D
f
5.3.5. Формула нелинейной суперпозиции
Ранее было определено преобразование Беклунда (определение 4.5
раздела 4.2). Перед введением формулы нелинейной суперпозиции нам понадобится следующая теорема.
Теорема 5.1 (теорема Бьянки о перестановочности [31]). Пусть
дано нелинейное УЧП E(u)=0и его автопреобразование Беклун-
да ПБ (u, U, λ)=0. Если применить это преобразование ПБ к данному решению u
ми ПБ (u
n−1,un,λn
четвертое решение u
(u
n,un+1,λn+1
с двумя различными спектральными параметра-
n−1
)=0,ПБ(u
, которое может быть получено либо из ПБ
n+1
)=0,либоизПБ(-un,u
n−1
, -un,λ
n+1,λn
)=0, то существует
n+1
)=0,т.е.спомощью
перестановки двух спектральных параметров.
Содержание этой теоремы схематически представлено на диаграмме
Бьянки (рис. 5.2).
Доказательство теоремы для общего случая на сегодняшний день неизвестно [376], и доказывать ее необходимо для каждого конкретного УЧП,
допускающего автопреобразование Беклунда.
Определение 5.6. Пусть дано нелинейное УЧП E(u)=0иегока-
кие-то четыре решения u
ки о перестановочности, формулой нелинейной суперпозиции (ФНЛС) [114,
31] называется соотношение, в котором четвертое решение u
, un, -un, u
n−1
, удовлетворяющие теореме Бьян-
n+1
2
n+1
выражено в явном виде (без операции интегрирования) через другие три решения.
Если такая формула нелинейной суперпозиции (ФНЛС) существует, то
это и доказывает теорему о перестановочности.
2
Или какая-нибудь ее первообразная.
120 ГЛАВА 5
Рис. 5.2. Диаграмма Бьянки. Четыре ветви описаны в теореме 5.1
ПРИМЕР. Наиболее простым уравнением, допускающим ФНЛС, явля-
ется уравнение Риккати
du
= a
(x)u2+ a1(x)u + a0(x), (5.35)
dx
2
которое уже встречалось неоднократно в данной работе, см. уравнения
(1.1), (3.92), (3.176), (4.27). При данных трех частных решениях u
u
еще одно решение можно найти из соотношения
3
, u2,
1
(u, u
1,u2,u3
)=c, (5.36)
где левая часть представляет ангармоническое отношение четырех решений
− x1)(x4− x2)
(x
(x
1,x2,x3,x4
3
)=
(x3− x2)(x4− x1)
, (5.37)
а c — произвольная комплексная константа. Более того, т.к. c — произвольная постоянная, то четвертое решение является общим решением уравнения (5.35).
Конец раздела посвящен выводу преобразования Беклунда и, следовательно, получению решения в явном виде методом, базирующимся на
сингулярном анализе, известном как метод сингулярного многообразия.Поскольку преобразование Беклунда выводится из пары Лакса и сингулярного
частного преобразования [60], сначала обратимся к этим наиболее простым
элементам.
Примеры будут приведены в разделах 5.6.1.1, 5.6.1.2, 5.6.2 и 5.6.3.
5.4. ВЫБОР ПОРЯДКА ПАР ЛАКСА 121
5.4. Выбор порядка пар Лакса
В алгоритме, который будет представлен в разделе 5.5.1, в качестве исходных соотношений должна быть записана пара Лакса в скалярной форме
определенного порядка (второго, третьего и т. д.) с неопределенными коэффициентами. Такие пары Лакса будут определены в настоящем разделе,
и указаны ограничения на их коэффициенты, вытекающие из условия коммутативности.
Иногда это соответствует представлению пары Лакса n-го порядка
ввиде2(n −1) уравнений, которым удовлетворяет (n −1)-компонентный
псевдопотенциал Y типа Риккати, первая компонента которого выбирается
ввиде
Y
= ψx/ψ, (5.38)
1
где ψ — скалярная компонента пары Лакса.
5.4.1. Пары Лакса второго порядка и их преимущество
В общем случае пара Лакса второго порядка для двух независимых
переменных (x, t) имеет вид
L
ψ ≡ ψxx− dψx− aψ =0, (5.39)
1
L
ψ ≡ ψt− bψx− cψ =0, (5.40)
2
[L
Коэффициент d можно было бы обратить в нуль, сделав линейную замену
ψ → exp
ddx/2ψ, но это изменило бы X
исследуемого нелинейного УЧП при этом не стал бы равен нулю.
Пара Лакса (5.39)–(5.40) идентична линеаризованной версии системы
Риккати относительно более общей переменной разложения Y , определенной в (4.37), с точностью до обозначений
] ≡X0+ X1∂x, (5.41)
1,L2
X
≡−at+ axb +2abx+ cxx− cxd =0, (5.42)
0
≡−dt+(bx+2c − bd)x=0. (5.43)
X
1
,иX1и коммутатор для
0
ψ
−1
Y
= B
x
+ A,B=0, (5.44)
ψ
d =2A, a = A
− A2− S/2,b= −C, c = Cx/2+AC +Atdx,
x
и коммутатор пары Лакса равен (4.32).
(5.45)
122 ГЛАВА 5
В частности, когда коэффициент d равен нулю, пара Лакса имеет
вид (4.34)–(4.35) с учетом новых обозначений коэффициентов [316]:
ψ
χ =
a = −S/2,b= −C, c = C
,B=1,A=0, (5.46)
ψ
x
/2,d=0. (5.47)
x
Следовательно, пары Лакса второго порядка имеют преимущество при
сингулярном методе в том смысле, что их коэффициенты могут быть выражены через элементарные дробно-рациональные инварианты S, C инвариантного Пенлеве-анализа и, если необходимо (if appropriate), через A, B.
С другой стороны, когда пара Лакса имеет порядок выше второго, то эти
дробно-рациональные инварианты S, C бесполезны, и их не следует принимать во внимание; в прошлом это явилось источником некоторых ошибок,
описанных, например, в [78, sect. 8].
5.4.2. Пары Лакса третьего порядка
Пара Лакса третьего порядка определяется как (для упрощения коэффициент при ψ
в L1примем равным нулю)
xx
ψ ≡ ψ
L
1
L
ψ ≡ ψt− cψxx− dψx− eψ =0, (5.49)
2
[L
] ≡ X0+ X1∂x+ X2∂
1,L2
X
≡−bt− aex+ e
0
X
≡−at+3exx+2bxc + axxc + d
1
X
≡ (2ac + cxx+3dx+3e)x=0. (5.53)
2
− aψx− bψ =0, (5.48)
xxx
2
, (5.50)
x
+ bxxc+
xxx
+3bc
+2ad
+3bxcx+3bdx+ bxd =0, (5.51)
xx
+3acxx+
xxx
+3axcx+3bcx+ axd =0, (5.52)
x
Эквивалентным двухкомпонентным псевдопотенциалом является проективный псевдопотенциал Риккати Y =(Y
ψ
x
Y
1
Y
1,x
Y
2,x
,Y
=
ψ
= −Y
2
2
+ Y2, (5.55)
1
= −Y1Y2+ aY1+ b, (5.56)
) [12, 318, 319]:
1,Y2
ψ
xx
, (5.54)
=
ψ
5.5. МЕТОД СИНГУЛЯРНОГО МНОГООБРАЗИЯ 123
Y
= −(dY1+ cY2+ ac + dx)Y1+(cx+ d)Y2+ ex+ bc =
1,t
(5.57)
Y
Y
1,tx
2,tx
− Y
− Y
=(cY
Y
= −(dY1+ cY2)Y2+(2acx+ axc + bc + dxx+ ad +2ex)Y1+
2,t
= X1+ X2Y1, (5.60)
1,xt
= −X0+ X2Y2. (5.61)
2,xt
+ dY1+ e)x, (5.58)
2
+2dx+ ac)Y2+2bcx+ bxc + bd + exx, (5.59)
+(c
xx
5.5. Метод сингулярного многообразия
Теперь у нас есть все необходимое для того, чтобы дать общее описание метода в форме алгоритма. Настоящее изложение метода в значительной степени следует изложению в [320], усовершенствованному [77].
Этот метод известен как метод сингулярного многообразия или метод
конечных разложений (метод усечения), поскольку при построении решения в виде ряда Лорана отбирается несколько первых членов ряда, а бесконечное число остальных членов отбрасывается («отсекается»). С момента
введения этого метода Вейссом, Табором, Карневейлем (метод ВТК) [433]
он был усовершенствован по многим направлениям [318, 135, 165, 320, 87,
360, 322], и далее метод представлен в современном виде.
5.5.1. Алгоритм
Рассмотрим уравнение в частных производных (4.1) с одним либо двумя семействами подвижных особых точек с одной и той же степенью p и
различными значениями u
дифференциальных оператора.
Первый шаг. Применяем сингулярное частное преобразования в виде (5.33) (для одного семейства) или (5.34) (для двух семейств) к u —решению рассматриваемого УЧП, где U некоторое поле, а τ
функции.
Второй шаг. Выбираем порядок, сначала равный двум, затем трем
и т. д., для неизвестной пары Лакса и определяем один или два (столько,
сколько имеется семейств подвижных особых точек) скаляра ψ
нент (одной компоненты) ее волнового вектора (например, волновой вектор
будет скаляром в случае, когда УЧП имеет одно семейство особых точек,
и пара будет записана в скалярной форме).
Третий шаг. Выбираем в явном виде связь F,
,обозначимD1, D2два сингулярных частных
0
одна или две
f
из компо-
f
∀f : D
ln τf= F(ψf), (5.62)
f
124 ГЛАВА 5
одинаковую для каждого семейства f между функцией τfискалярамиψf,
определяемую из пары Лакса. Как будет показано в разделе 5.6.3.1, при
каждом порядке рассеяния существует только конечное число зависимостей
вида (5.62), среди которых наиболее часто выбирают зависимость вида
∀f : D
ln τf= Dfln ψf, т. е. τf= ψf. (5.63)
f
Четвертый шаг. Записывается «усечение» — конечное разложение решения, и находится решение в предположении (5.33) или (5.34) для сингулярного частного преобразования, (5.62) для формы связи между τ
f
и ψf,
(5.39)–(5.40) или какой-то другой лаксовой пары относительно ψ,выбо-
ра выражения E(u) как полинома относительно производных ψ
, который
f
является неприводимым модулем пары Лакса. Для только что упомянутой
пары Лакса и УЧП с одним семейством особых точек это означает исключение любой производной ψ по переменным (x, t) порядка не ниже (2, 0)
или (0, 1) (для пары второго порядка) или не ниже (3, 0) или (0, 1) (для
пары третьего порядка), в результате чего получается полином относительно одной переменной ψ
двух переменных ψ
/ψ (для пары второго порядка) или относительно
x
/ψ, ψxx/ψ (для пары третьего порядка).
x
Таким образом, левая часть уравнения E(u) для пары Лакса второго
порядка (5.39)–(5.40) в частном случае «Гельфанда–Дикого» d =0принимает вид
E(u)=
−q
Ej(S, C, U)(ψ/ψx)
j=0
j+q
, (5.64)
а для пары третьего порядка (5.48)–(5.49):
E(u)=
k0l0
E
(a, b, c, d, e, U)(ψx/ψ)k(ψxx/ψ)l. (5.65)
k, l
Поскольку относительно полинома E(u) нет никакой информации, за исключением того, что он равен нулю, то выдвигается требование тождественного равенства нулю полинома, что дает ряд определяющих уравне-
ний:
∀jE
∀k∀lE
(S, C, U)=0, (5.66)
j
(a, b, c, d, e, U)=0. (5.67)
k, l
Эти уравнения решаются относительно неизвестных коэффициентов (S, C)
или (a, b, c, d, e), которые являются функциями от U ,изатемполучаются
соотношения для U после исключения (S, C) или (a, b, c, d, e).Этастратегия решения основывается на некоторых основных принципах (никогда не
5.5. МЕТОД СИНГУЛЯРНОГО МНОГООБРАЗИЯ 125
повышать порядок дифференцирования, накладывать ограничения на смешанные производные и т. д.), которые с точки зрения математики связаны
с построением дифференциального базиса Грёбнера [300, 37]. Пример решения (УЧП Курамото–Сивашинского) обстоятельно разобран в [77].
Соотношения относительно U отражают степень интегрируемости
УЧП. Если соотношение единственно и удовлетворяет некоторому УЧП,
тогда, если это УЧП совпадает с УЧП, которому удовлетворяет и u,можно
говорить об автопреобразовании Беклунда, иначе, о преобразовании Беклунда между двумя УЧП.
В интегрируемом случае второй, третий, четвертый шаги могут быть
повторены несколько раз до получения положительного результата. Процесс имеет положительный результат, если и только если выполняются все
следующие условия:
1) на U накладывается только одно обязательное условие, а именно: быть
решением некоторого УЧП;
2) (если требуется автопреобразование Беклунда) УЧП, которому удовлетворяет U , должно являться уравнением (4.1);
3) обращение в нуль коммутатора [L
] эквивалентно обращению
1,L2
в нуль УЧП, которому удовлетворяет U;
4) в (1 + 1)-мерном случае УЧП, которому удовлетворяет U,является
уравнением (4.1), коэффициенты зависят от некоторой произвольной
постоянной λ, называемой спектральным параметром или параметром
Беклунда.
В неинтегрируемом случае хорошо, если получено хотя бы ка-
кое-нибудь решение. Например, решения u, которые являются полиномами по th k(x − ct) или полиномами относительно двух переменных th k(x − ct), sech k(x − ct), определяются постоянными значениями
(S, C, A, B) в (5.39)–(5.40) и определяющими уравнениями, которые являются уже не дифференциальными, а алгебраическими.
На этой стадии следует получить сингулярное частное преобразование
и пару Лакса.
Пятый шаг. Получаются два уравнения для преобразования Беклунда
исключением τ
и ψf[60] из сингулярного частного преобразования и пары
f
Лакса. Эту довольно сложную операцию, особенно при высоких порядках
пары Лакса, можно упростить за счет введения эквивалентного представления Риккати пары Лакса и исключения соответствующих компонент Y
126 ГЛАВА 5
вместо ψ. Предположим, например, что τ = ψ, D = ∂xи УЧП имеет одно
семейство особых точек. Тогда уравнение (5.33) можно представить как
Y
= u − U, (5.68)
1
где Y
определена в (5.38). Преобразование Беклунда определяется следу-
1
ющим образом: исключаются все компоненты Y,кромеY
, из уравнений
1
для градиента Y, затем в результирующие уравнения подставляется Y
определенная в (5.68).
Если расчет преобразования Беклунда требует исключения Y
из соот-
2
ношений (5.55)–(5.59), то в этом случае ПБ имеют вид
Y
+3Y1Y
1,xx
− (cY
Y
1,t
1,xx)t
− (Y
(Y
где Y
заменяется выражением, зависящим от u −U,например(5.68).
1
1,x
1,t)xx
1,x
+ cY
3
+ Y
− aY1− b =0, (5.69)
1
2
+ dY1+ e)x=0, (5.70)
1
= X0+ X1Y1+ X2Y
2
=0, (5.71)
1
5.5.2. Степень усечения и выбор переменной
Этот раздел автономен и в основном адресован читателям, которые
в своих исследованиях используют метод усечения ВТК. Хотя некоторые
абзацы дублируют материал раздела 5.5.1, здесь они приведены для целостности картины.
Предположим в этом разделе, что неизвестная пара Лакса имеет второй
порядок. Тогда усечение, определенное на четвертом шаге раздела 5.5.1, выполнено в стиле Вейсса и др. [433], т.е. с одной переменной. Это усечение
ВТК состоит в усечении рядов (4.25).Обозначимp и q степени особенности в представлении в виде рядов u и E(u) соответственно, −p
ло слагаемых в усеченном ряде u, −q
для E:
u =
−p
j=0
ujZ
j+p
,u0u
число слагаемых в усеченном ряде
−q
=0,E=
−p
j=0
EjZ
j+q
, (5.72)
чис-
где переменная усечения Z выбирается в методе ВТК как Z = ϕ − ϕ
Поскольку относительно переменной усечения нет никакой информации, то
в методе ВТК требуется обращение в нуль отдельно каждого коэффициента
разложения, в результате получаются уравнения усечения:
,
1
.
0
∀j =0, ..., −q
: Ej=0. (5.73)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]