Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метод Пенлеве и его приложения
.pdf
5.5. МЕТОД СИНГУЛЯРНОГО МНОГООБРАЗИЯ 127
В более ранних версиях этого метода требовалось применять метод ма-
тематической индукции, сначала предположив, что некоторое число коэффициентов u
последующие коэффициенты u
обращаются в нуль, если j>−p, затем доказывая, что и все
j
должны обращаться в нуль. Эта доволь-
j
но трудоемкая задача оказывается ненужной, если сделать так, как сделано
в данном разделе.
Необходимо ответить на первый вопрос, касающийся допустимого зна-
чения p
, что эквивалентно вопросу об условии на коэффициент u
−p
=0.
Ответ зависит от выбора переменной усечения Z. В разделе 4.4.1 был
представлен набор таких переменных, Z равна либо ϕ −ϕ
, χ или Y ,опре-
0
деленных соответственно в уравнениях (4.2), (4.26), (4.37),приэтомдолжно выполняться условие, что любые две из их инверсий являются линейно
зависимыми.
Преимущество в выборе в качестве переменной усечения χ или Y по
сравнению с выбором ϕ − ϕ
ственно Y ) является полиномом второй степени относительно χ (соответственно Y ), так что степень одночлена aZ
цирования, в то время как градиент ϕ − ϕ
степени относительно ϕ − ϕ
состоит в следующем. Градиент χ (соответ-
0
k
уменьшается после дифферен-
является полиномом нулевой
, так что дифференцирование приводит к уве-
0
0
личению степени. Следовательно, находим два и только два решения при
условии u
1) p
поскольку три множества уравнений E
суммаE
Z
2) только для χ и Yp
личаются, поскольку два множества уравнений E
=0[357]:
−p
= p, q= q, в этом случае все переменные усечения идентичны,
=0эквивалентны (конечная
j+q
Z
является одним и тем же полиномом относительно
−1
j
для каждой из трех переменных);
=2p, q=2q, в этом случае два усечения раз-
j
=0не являются
j
эквивалентными (они эквивалентны только при A =0).
=2p,
= p,
Для того чтобы применить первое усеченное разложение с p
q
= q, следует выбрать Z = χ,посколькуY не дает дополнительной ин-
формации, а выбор ϕ −ϕ
приведет к эквивалентным, но более громоздким
0
выражениям.
Для того чтобы применить второе усеченное разложение с Yp
=2q, следует выбрать Z = Y , поскольку выбор переменной χ несет
q
в себе ограничение A =0.
Второй вопрос, который следует решить, состоит в следующем. Пусть
дано некоторое УЧП с той или иной структурой особенностей, и предположим, что возможно применить оба вида усечения (это отдельный вопрос).
Какое же усечение следует выбрать?
128 ГЛАВА 5
Ответ основывается на двух элементарных равенствах [85]:
th z −
1
= −2i sech2z + i
th z
π
, th z +
2
1
=2th2z + i
th z
π
. (5.74)
2
Поясним это на примерах, уже представленных в разделе 1.1, на ОДУ, общие решения которых являются функциями th(x − x
E ≡ u
E ≡ v
+ u2− 1=0,u=th(x − x0), (5.75)
2
+ a−2v4− v2=0,v= a sech(x − x0), (5.76)
) и sech(x − x0),
0
(для удобства полагаем a отличным от единицы). Уравнение (5.75) имеет
единственное семейство
p = −1,q= −2,u
=1, индексы Фукса =(−1), (5.77)
0
и уравнение (5.76) имеет два противоположных семейства
p = −1,q= −4,v
где ia обозначает любой корень квадратный из −a
−p
u =
ujχ
j=0
= ia, индексы Фукса =(−1), (5.78)
0
2
. Первое усечение
−q
j+p
,E=
j=0
Ejχ
j+q
, ∀j : Ej=0 (5.79)
дает следующие результаты:
−1
u = χ
v = iaχ
,S= −2, (5.80)
−1
,E2≡ a2(1 − S)=0,E3≡ 0,E4≡−a2S2/4. (5.81)
При этом получаем (после интегрирования ОДУ Риккати (4.27))общеере-
шение уравнения (5.75), а для уравнения (5.76) никакого решения в виде (5.79) не существует.
Второй вид усеченного разложения
u =
−2p
j=0
ujY
j+p
,E=
−2q
j=0
EjY
j+q
, ∀j : Ej=0 (5.82)
дает следующие результаты:
−1Y−1
u = B
v = iaB
+(1/4)BY, A =0,S= −1/2,B=const, (5.83)
−1Y−1
− (1/4)iaBY, A =0,S= −1/2,B=const. (5.84)
5.6. ПРИЛОЖЕНИЕ К ИНТЕГРИРУЕМЫМ УРАВНЕНИЯМ 129
При этом получаем благодаря эквивалентности равенств (5.74) общее решение для обоих уравнений.
На основе приведенных примеров можно сделать следующие обоб-
щенные выводы:
1) для УЧП с одним семейством второй вид усеченного разложения не
дает дополнительной информации по сравнению с первым видом усеченного разложения, и, следовательно, его применение является бесполезным;
2) для УЧП с двумя противоположными семействами (коэффициенты u
равны по величине и противоположны по знаку при одном и том же
значении p) первый вид усеченного разложения никогда не приводит
к общему решению, а может приводить только к частному решению,
в то время как второй вид усеченного разложения может давать общее
решение.
Это определяет общее направление, которому будем следовать в сле-
дующем разделе этой главы. К вопросу о значении коэффициента B,который в вышеприведенных примерах казался бесполезным, вернемся в разделе 5.6.2.
5.6. Приложение к интегрируемым уравнениям
В интегрируемом случае метод сингулярного многообразия должен
опираться на все элементы интегрируемости, включая формулу нелинейной
суперпозиции. Рассмотрим приложение метода к уравнению с одним семейством особых точек и парой Лакса второго порядка (КдФ, разд. 5.6.1.1),
к уравнению с одним семейством особых точек и парой Лакса третьего порядка (уравнение Буссинеска, разд. 5.6.1.2), двум уравнениям с двумя семействами особых точек и парой Лакса второго порядка (уравнение
синус-Гордона, модифицированное КдФ, разд. 5.6.2) и к двум уравнениям с одним семейством особых точек и парой Лакса третьего порядка
(разд. 5.6.3).
5.6.1. Случай одного семейства: уравнения КдФ и Буссинеска
0
В этом случае метод сингулярного многообразия (МСМ) может рас-
сматриваться как обобщение на случай УЧП усечения, определенного для
ОДУ в разделе 3.2.3.2.
130 ГЛАВА 5
5.6.1.1. Случай уравнения КдФ
Как показано в разделе 4.4.2, уравнение проходит тест Пенлеве, и во-
прос теперь состоит в доказательстве свойства Пенлеве. Польза сингулярного анализа, на основании применения которого получены выводы в данном разделе, основана главным образом на методе ВТК [433] и на его
дробно-рациональных инвариантных представлениях, которые можно найти в [315].
Из ряда Лорана (4.46) можно получить сингулярный частный диффе-
ренциальный оператор в виде
D = −2a∂
2
. (5.85)
x
Если принять сингулярное частное преобразование
u = U + D ln τ, E(u)=0, (5.86)
скалярную пару Лакса второго порядка (4.34)–(4.35) для ψ,связь(5.63)
между переменными τ и ψ, то решение (5.86) представляет собой ряд Лорана относительно переменной χ с конечным числом членов:
u =2aχ
−2
+ U + aS = −2a∂
2
ln ψ + U, χ =
x
ψ
, (5.87)
ψ
x
сравнение с (бесконечным) рядом Лорана (4.46) дает значение U
4aS −abC
U =
. (5.88)
6
Подставляя конечный ряд Лорана (5.87) в уравнение КдФ и исключая производные переменной χ из (4.27)–(4.28), получаем конечный ряд Лорана,
который должен быть тождественно равен нулю. Это дает только два определяющих уравнения
E
≡−2a(bC − S)x=0, (5.89)
3
a
(SS
≡
E
5
3
x
+2S
xxx
) −
ab
6
(4SC
x
+5C
xxx
) −
ab
2
(C
6
+ CCx)=0,
t
(5.90)
к ним нужно добавить условие равенства нулю смешанных производных (4.32). Действительно, E
ражения (5.85) для оператора D, E
, E1тождественно равны нулю в силу вы-
0
равно нулю в силу равенства (5.88)
2
5.6. ПРИЛОЖЕНИЕ К ИНТЕГРИРУЕМЫМ УРАВНЕНИЯМ 131
для U ,аE4равно нулю в силу того, что индекс Фукса равен 4. Исключение C
и Sxиз E3, E5и равенство нулю смешанных производных (4.32)
xxx
дает соотношение
(bC −S)
=0, (5.91)
t
которое совместно с уравнением E
=0интегрируется
3
bC −S − 6λ =0, (5.92)
где λ — произвольная комплексная постоянная интегрирования. Это уравнение (5.92), которое называется [433] уравнением сингулярного многооб-
разия (УСМ), является ограничением для ϕ, при котором усечение суще-
ствует. По определению оно обладает тем свойством, что все определяющие уравнения (здесь E
=0, E5=0) являются различными следствиями
3
уравнения сингулярного многообразия. Из решения системы (5.88), (5.92)
относительно (S, C )
S = −2λ − (2/a)U, bC =4λ − (2/a)U (5.93)
и из условия равенства смешанных производных (4.32) вытекает, что U
является другим решением уравнения КдФ. Следовательно, получаем сингулярное частное преобразование (5.86) и пару Лакса второго порядка:
ψ
− (U/a + λ)ψ =0,
xx
+(4λ − 2U/a)ψx+(Ux/a)ψ =0.
bψ
t
(5.94)
Эту пару Лакса можно записать, как легко может проверить читатель, так,
что во второе уравнение не входит λ:
− (U/a + λ)ψ =0,
ψ
bψ
xx
+4ψ
t
− 6(U/a)ψx− 3(Ux/a)ψ =0,
xxx
(5.95)
или в виде представления нулевой кривизны (5.13)
L =
01
U/a+ λ 0
, (5.96)
/a 2U/a − 4λ
−U
M = b
−1
−U
/a +2(U/a+ λ)(U/a − 2λ) Ux/a
xx
x
, (5.97)
132 ГЛАВА 5
или в виде представления Риккати для ω = χ−1(см. (4.27)–(4.28) и (4.32))
ω
ω
S
= −
x
t
− ω
2
=(−Cω + Cx/2)x= b−1((2U/a − 4λ)ω −Ux/a)x. (5.99)
U
2
=
+ λ− ω
a
2
, (5.98)
Для того чтобы вывести автопреобразование Беклунда для уравнения
КдФ, следует исключить τ и ψ: из сингулярного частного преобразования (5.86),связи(5.63) и пары Лакса, записанной в одной из наиболее подходящих форм. Если ввести так называемое потенциальное поле v для u,
определенное как u = v
, U = Vx, тогда можно проинтегрировать сингу-
x
лярное частное преобразование, что дает
ω =(v −V )/(−2a). (5.100)
Подстановка полученного значения ω всистемуРиккати(5.98)–(5.99),исключение λ, подстановка частной производной по x соответствующего порядка в соотношение, содержащее частную производную по t,приводит
к автопреобразованию Беклунда уравнения КдФ:
a(v + V )
ab(v + V )
= −2a2λ +(v −V )2/2, (5.101)
x
= −(v − V )(v −V )xx+2(V
t
2
+ vxVx+ v
x
2
). (5.102)
x
Отметим инвариантность этого преобразования относительно перестановки переменных v и V .
Разность двух решений u −U (или v −V ), входящая в преобразование
Беклунда, удовлетворяет некоторому УЧП, которое называется по определению модифицированным уравнением [60] рассматриваемого УЧП, в данном случае КдФ. Это модифицированное уравнение получается при исключении U из (5.98)–(5.99), в результате имеем модифицированное уравнение
КдФ (мКдФ)
мКдФ(w) ≡ bw
+(wxx− 2w3/α2+6vw)x=0, (5.103)
t
где
w = αω, v = λ. (5.104)
З
АМЕЧАНИЕ. Два различных названия, которые дают уравнению
мКдФ (5.103),объясняютсятем,чтоv может быть равным нулю (модифи-
цированное КдФ) или отличным от него (обобщенным модифицированным
КдФ), однако нет никакого основания различать их. Действительно, они
5.6. ПРИЛОЖЕНИЕ К ИНТЕГРИРУЕМЫМ УРАВНЕНИЯМ 133
становятся тождественными после простого переопределения переменной
времени: мКдФ(v =0,x,t,u(x, t)) = мКдФ(v =0,x,T,u(x, T )), t =
= T − x/(6v). Основанием того, что мы не полагаем v равной нулю является соотношение v = λ,гдеλ произвольная постоянная. Это соотношение
вытекает из данного выше определения модифицированного уравнения.
Это УЧП (5.103) также имеет свойство Пенлеве, а система (5.98)–(5.99)
является преобразованием Беклунда между КдФ и мКдФ [271, ур. (5.16);
427]. Первая половина преобразования Беклунда (5.98) между КдФ и мКдФ
является алгебраическим преобразованием
U = a
w
α
2
x
w
+
− v, (5.105)
2
α
которое называется преобразованием Миуры [308] от мКдФ к КдФ.
Выведем теперь формулу нелинейной суперпозиции (ФНЛС). Из двух
уравнений (5.101)–(5.102) уравнение (5.101) является дифференциальным
уравнением более низкого порядка. Рассмотрим это уравнение, записанное
для четырех ветвей диаграммы Бьянки, представленной на рис. 5.2,
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
a(v
a(v
a(v
a(-v
+ vn)x− (v
n−1
+ -vn)x− (v
n−1
+ v
n
n+1)x
+ v
n
n+1)x
n−1
n−1
− (vn− v
− (-vn− v
− vn)2/2+2a2λn=0,
− -vn)2/2+2a2λ
)2/2+2a2λ
n+1
)2/2+2a2λn=0.
n+1
n+1
n+1
=0,
=0,
(5.106)
Существуют две линейные комбинации (1, −1, −1, 1) и (1, −1, 1, −1),
для которых v
(v
n−1,vn
, -vn). Эти два вида формулы нелинейной суперпозиции следую-
можно записать в явном алгебраическом виде через
n+1
щие:
v
v
n+1
n+1
= v
= −v
n−1
n−1
-vn− v
+(vn+ -vn) − 2a∂xln(vn− -vn). (5.108)
n+1
2
+4a
n
, (5.107)
n
λ
− λ
Первая из них [425] имеет более простой вид, но вторая [218] является
более общей, как это будет видно в конце раздела 5.6.1.2. С помощью обеих
этих формул выражение (5.30) приводится к N-солитонному решению.
5.6.1.2. Случай уравнения Буссинеска
Проведем кратко проверку уравнения (5.1) на свойство Пенлеве, по-
дробно шаги проверки были расписаны в разделе 4.4.2.
134 ГЛАВА 5
Поскольку уравнение Буссинеска является законом сохранения, то луч-
ше (в том смысле, что получается более короткое выражение) представить
его в однокомпонентной «потенциальной» форме
pBq(v) ≡ v
+ ε2((vx)2+(β2/3)v
tt
=0,u= vx, (5.109)
xxx)x
или даже как уравнение относительно «второго потенциала»
ppBq(w) ≡ w
+ ε2((wxx)2+(β2/3)w
tt
)=0,u= vx= wxx. (5.110)
xxxx
Для всех трех эквивалентных уравнений (5.1), (5.109), (5.110) существует
только одно семейство подвижных особых точек:
⎧
Bq: p = −2,q= −6, индексы (−1, 4, 5, 6), D =2β
⎪
⎨
pBq: p = −1,q= −5, индексы (−1, 1, 4, 6), D =2β
⎪
⎩
ppBq: p =0
(запись p =0
−
,q= −4, индексы (−1, 0, 1, 6), D =2β2,
−
означает логарифмическое поведение w ∼ 2β2ln χ). Сле-
2∂2
,
x
2
∂x,
(5.111)
дует рассчитать коэффициенты ряда Лорана до j =6для того, чтобы убедиться, что уравнение проходит тест Пенлеве [431].
Предположим, что возможное сингулярное частное преобразование
(для более простых выкладок возьмем уравнение (5.110)) имеет вид
w =2β
2
ln τ + W, ppBq(w)=0, (5.112)
и в качестве связи между τ и ψ выберем равенство (5.63).
Предположим, во-первых, что ψ удовлетворяет скалярной паре Лак-
са (4.34)–(4.35), что эквивалентно обычному ВТК усечению в инвариантном формализме [69], как это уже делалось в предыдущем разделе 5.6.1.1.
4
ppBq(w) ≡
j=0
Ejχ
j−4
=0. (5.113)
Отсюда получаем три определяющие уравнения:
≡ (4/3)β2ε2S −2C2− 4ε2Wxx=0, (5.114)
E
2
≡−2(Ct− CCx− (β2ε2/3)Sx)=0, (5.115)
E
3
E
≡ (SE2− E
4
3,x
Из последнего уравнения E
)/2+C
4
2
+ β2ppBq(W)=0. (5.116)
x
=0решение ppBq(W )=0не может быть
получено, поскольку выполнение этого равенства приводит с необходимостью к требованию C
=0, следовательно, предположение о втором поряд-
x
ке не дает возможности получить автопреобразование Беклунда. Однако
5.6. ПРИЛОЖЕНИЕ К ИНТЕГРИРУЕМЫМ УРАВНЕНИЯМ 135
некоторую другую информацию можно извлечь, а именно: преобразование
Беклунда между УЧП Буссинеска и некоторым другим УЧП. Действительно, при натуральном параметрическом представлении закона сохранения
=0(которое, кстати, было бы уравнением сингулярного многообразия,
E
3
если бы предположение о втором порядке пары Лакса было бы верным),
S =3z
− 3(βε)2z
t
2
/2,C=(βε)2zx, (5.117)
x
поле z при условии равенства смешанных производных (4.32) удовлетво-
ряет УЧП [217]:
z
+((βε)2/3)z
tt
+2(βε)2ztzxx− 2(βε)4z
xxxx
2
zxx=0. (5.118)
x
Переходим к третьему порядку пары Лакса. В этом случае в предположении (5.112) и (5.63),гдеψ является решением пары Лакса (5.48)–(5.49),
выражение (5.65) принимает вид
2
2
ppBq(w) ≡
k=0
l=0
Вытекающие отсюда шесть определяющих уравнений E
условия равенства смешанных производных X
k
E
k, l
l
Y
Y
,k+ l 2. (5.119)
1
2
=0,плюстри
k, l
=0, j =0, 1, 2, могут
j
быть решены, как и в случае уравнения Гельфанда–Дикого, при f =0[319,
322]:
E
≡ (βε)2− c2=0 ⇒ c = βε,
02
≡ d =0 ⇒ d =0,
E
11
E
≡ 3Vx+2β2a =0 ⇒ a = −3Vx/(2β2),
20
≡ εVxx− βex=0 ⇒ ex= β−1εVxx,
E
10
≡ 3Vxt+3βεV
X
1
X
≡ (3/(4εβ2))pBq(V )=0 ⇒ V удовлетворяет ур. (5.109),
0
≡ 2β2g(t)=0 ⇒ g(t)=λ,
E
00
+4β3εbx=0⇒ b = g(t) − 3(β−2Vxx+ β−3ε−1Vt)/4,
xxx
(5.120)
где λ есть произвольная постоянная. Возвращаясь к консервативному полю
U = V
, запишем коэффициенты a, b, c, d, e ввиде
x
a = −(3/2)β
c = βε, d =0,e= β
= Rt+ ε2(U2+(β2/3)Uxx)x,X1= Ut− Rx,X2=0,
X
0
−2
U, b = λ − (3/4)β−2Ux− (3/4)β−3ε−1R,
−1
εU,
(5.121)
136 ГЛАВА 5
и они определяют пару Лакса третьего порядка уравнения Буссинеска (5.1)
[446, 448, 310], имеющую вид (5.7).
После подстановки Y
=(v −V )/(2β2) в (5.69)–(5.70) преобразование
1
Беклунда принимает вид
(v − V )
(v + V )
+3β−1ε−1(v + V )t+3β−2(v − V )(v + V )x+
xx
−4
(v − V )3− 8β2λ =0,
+β
− β−1ε−1(v − V )t+ β−2(v − V )(v −V )x=0. (5.123)
xx
(5.122)
Модифицированное уравнение Буссинеска [217], которое по определению является УЧП относительно разности v − V , получено исключением
v +V и, как оказывается, после преобразования имеет вид (5.118),гдеY
= βεz
. Аналогично уравнению КдФ (разд. 5.6.1.1), после некоторых до-
x
=
1
статочно простых преобразований, которые оставляем читателю, получаем
преобразование Беклунда между уравнением Буссинеска и модифицированным уравнением Буссинеска, чья x-часть есть
U = −β
3
εzxx− β4εz
2
+ β2zt. (5.124)
x
Выведем теперь нелинейную формулу суперпозиции (НЛФС). Оба
уравнения (5.122)–(5.123) имеют одинаковый дифференциальный порядок,
но второе уравнение имеет то преимущество перед первым, что является
законом сохранения. Порядок второго уравнения можно понизить, если его
проинтегрировать после исключения производной по переменной t.Взамечании в разделе 5.6.1.1 отмечено, что только одна комбинация четырех
решений уравнения (5.123) приведет к тому что при (1, −1, 1, −1) резуль-
тат имеет вид
v
n+1
= −v
+(vn+ -vn)+2β2∂xln(vn− -vn). (5.125)
n−1
Этим заканчивается решение уравнения Буссинеска.
Сделаем некоторые замечания.
1) Нелинейные формулы суперпозиции (5.108) уравнения КдФ и (5.125)
уравнения Буссинеска совпадают, поскольку фактически они являются
НЛФС [61] порождающего их уравнения КП, которая не зависит от ∂
и ∂
. О Пенлеве-анализе уравнения КП см. [432].
x
3
x
2) Согласно определению 4.7 односолитонное решение как уравнения
КдФ, так и уравнения Буссинеска или КП определяется формулой (5.30) при N =1, в которой θ
есть частное решение линей-
1
ной системы уравнений с постоянными коэффициентами, определенной парой Лакса L
(U, λ)θ1=0, L2(U, λ)θ1=0, в которой полагалось
1
2
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]