Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метод Пенлеве и его приложения
.pdf
B.3. ИНВАРИАНТНОСТЬ 247
и (здесь опущены знаки, которые легко могут быть восстановлены)
+
2
0
+ CU +2Cx, (B.22)
U
Θ
− 1
0
U
Θ
+
U
Θ
Θ
0
+
U
U − 1
Dx
+
2
2U
Θ
0
1
−
1
+
U − 1
− 1
+
(U − 1)
C
, (B.23)
2
− 1
Θ
x
+
U − x
Dx
, (B.21)
2
, (B.20)
x
2
П6:
П5:
П4:
П3:
П2:
N
u − U
N
u − U
N
u − U
N
u − U
N
u − U
x(x − 1)U
=
U(U − 1)(U − x)
xU
=
U(U − 1)
4Θ
U
=
+
U
xU
=
= U
+
2
U
+ DU2+ D
с
П6: N =1−Θ
П5: N =1−Θ
П4: N = − 2(1 −2Θ
П3: N =1−Θ
П2: N =
1
2
− Θ0− Θ1− Θx=(1/2)(θj− Θj), (B.25)
∞
− Θ0− Θ1=(1/2)(θj− Θj), (B.26)
∞
− 2Θ0)=2(θj− Θj), (B.27)
∞
− Θ0=(1/2)(θj− Θj), (B.28)
∞
− Θ
=(1/2)(θ∞− Θ∞). (B.29)
∞
3
(B.24)
Для знаков s
=1все смещения положительны, в случае sj= S
j
линейная часть имеет детерминант, равный −1. Сумма смещений остается равной двум (за исключением уравнений П2, П4, т.к. в этих случаях
изменяется масштаб (см. таблицу B.1)).
Поскольку аффинные представления (B.15)–(B.19) находятся в инволюции, когда знаки удовлетворяют условию s
= Sj, можно записать толь-
j
ко половину бирациональных преобразований, поскольку вторая половина
получается перестановкой (u, θ, c, d) и (U, Θ,C,D).
Эти преобразования были найдены соответственно для П5 Окамото
[343], для П4 Муратой [312], для П3 Громаком [186, ур. (14) – (15)], для П2
Лукашевичем [290].
3
Вторая ненаписанная часть каждого бирационального преобразования выводится из первой части заменой местами векторов с координатами, записанными прописными и заглавными
буквами, как это сделано в тексте (см. уравнение (5.289)).Вэтомслучаекаждоепреобразование находится в инволюции.
j
248 ПРИЛОЖЕНИЕ B
B.3.2. Несимметричная последовательность
После применения преобразования T
перестановки H
6
dcba
(уравнение (B.10)) и подходящей перестановки знаков так, чтобы сохранить свойство инволюционности (S
меняют знак соответственно θ
приложение слияния к инволюции T
⎛
⎜
⎜
П6:
⎜
⎝
⎛
⎜
П5:
⎝
s
∞
П4:
П3:
s
∞
П2: (sθ
⎞
s
∞θ∞
⎟
s0θ
⎟
0
= −
⎟
⎠
s1θ
1
sxθ
x
⎞
s
∞θ∞
⎟
s0θ
s1θ
d = −S∞D, (B.32)
s
∞θ∞
s0θ
= −
⎠
0
1
= −
0
s
∞θ∞
s0θ
= −
0
c = −S∞C, s0d = −S0D, (B.34)
)=(SΘ∞),s∞d = −S∞D, (B.35)
∞
, Sb, Sc, Sdобозначают операторы, которые из-
a
, θ0, θ1, θx),
∞
= SaSdT6H
T
6,b
⎛
1 −1 −1 −1
⎜
−11−1 −1
⎜
1
⎜
2
⎝
−1 −11−1
−1 −1 − 11
⎛
1 −1 −1
⎜
1
−11−1
⎝
2
−2 −20
−1 −3
1
2
−11
0 −1
−10
6,b
S
S
∞Θ∞
S0Θ
дает
⎞
⎛
⎟
⎜
⎠
⎝
∞Θ∞
S0Θ
0
dcbaSdSa
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
S
S0Θ
S1Θ
0
, (B.30)
⎛
S
⎜
⎜
⎜
⎝
∞Θ∞
+
∞Θ∞
S0Θ
S1Θ
SxΘ
⎞
⎟
⎠
0
1
1
4
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
1
+
2
0
1
x
⎛
−1
⎜
1
+
1
⎝
2
0
−1
,s
1
,
⎞
⎛
−1
⎟
⎜
1
⎟
⎜
,
⎟
⎜
⎠
⎝
1
−1
⎞
⎟
,
⎠
c = −S∞C,
∞
(B.31)
(B.33)
и
П6:
− Nx(x −1)
(u − x)(U − x) − x(x − 1)
×
x(x − 1)U
U(U − 1)(U − x)
=(U − x)×
Θ
+
U
Θ
0
+
1
U − 1
+
Θ
∞
− Θ0− Θ
U − x
1
, (B.36)
B.3. ИНВАРИАНТНОСТЬ 249
П5:
− 2Dx
(u − 1)(U − 1)
=(U − 1)
П4: 2C (u + U)=
Dx
П3:
= −C, (B.39)
uU
=
xU
U(U − 1)
U
U
4Θ
+
Θ
0
+
2
U
0
+ CU −2Cx, (B.38)
U
− Θ
Θ
∞
+
0
U − 1
+
(U − 1)
Dx
, (B.37)
2
П2: u + U =0. (B.40)
В (B.36) под константой N понимается любое из выражений
2
N =(θ
=1+S
= −1 − s
= −2(s
=2(s
1θ1
2
− Θ
k
∞θ∞
)= (B.41)
k
− S0Θ0− S1Θ1+ SxΘx=(B.42)
∞Θ∞
+ s0θ0+ s1θ1− sxθx=(B.43)
∞θ∞
− SxΘx)=2(s0θ0− S1Θ1)= (B.44)
− S0Θ0)=−2(sxθx− S∞Θ∞). (B.45)
Для уравнений П3 преобразование сводится к перестановке двух особых
точек (∞, 0), дробно-рациональное отношение относительно u оставляет
П3 инвариантным. А для уравнений П2 преобразование сводится к изменению четности.
Несимметричные аффинные преобразования (B.31)–(B.35) инормальные аффинные преобразования (B.15)–(B.19) имеют противоположные линейные части (это является результатом нашего соглашения об инволюции),
но сумма несимметричных смещений равна нулю.
Преобразование для уравнений П5 было получено Громаком [187, ур.
(10) – (11)], а для уравнений П4 Лукашевичем [288].
Если обозначить T
6,u
, T
5,u
ния, T
и T
, T
6,b
нормальные преобразования и H —однозначное
4,u
5,b
и T
несимметричные преобразова-
4,b
дробно-рациональное преобразование уравнения П5, которое сохраняет x:
П5: H(x, u, θ
∞,θ0,θ1
)=(x, u−1,θ0,θ∞,θ1), (B.46)
то соотношения
T
6,u
T
5,u
T
4,u
= SaSdT
= SaT
5,bSaScT5,bSa
= SaT
4,bSbT4,bSa
6,bHdcbaSdSa
, (B.47)
H, (B.48)
(B.49)
250 ПРИЛОЖЕНИЕ B
(соотношение (B.49) получено в [23]) показывают, что для уравнений П5
и П4 несимметричные бирациональные преобразования более просты по
сравнению с симметричными.
B.4. Инвариантность относительно аффинных групп
Вейля
Относительно бирациональной группы уравнения Пn разбиваются на
шесть классов эквивалентности, исторически обозначенные как П1,. . . , П6.
Это же разбиение на классы эквивалентности можно провести и относительно другой группы, группы аффинных преобразований, которая действует на показатели монодромии в бирациональных преобразованиях (см. раздел B.3, уравнения (B.31)–(B.35) и (B.15)–(B.19)). Действительно, эти аффинные преобразования порождают группы, известные как аффинные груп-
пы Вейля, порождающая функция которых определяет отражения и сдвиги
(см., например, в [437]).
Рассмотрим аффинную группу Вейля уравнения П6 [340]. Как следствие аффинных преобразований (B.15) существует группа отражений (синоним — группа Кокстера), оставляющая П6 инвариантным. Действительно, если обозначить
1 − θ
=
κ
0
эта группа порождается пятью отражениями σ
=0,
κ
i
σ
i(κj
Эта группа является определенным типом групп, называемым аффинной
группой Вейля типа D
Группа характеризуется матрицей Картана C =(c
Все аффинные преобразования (B.31)–(B.35) и (B.15)–(B.19) могут
быть аналогично представлены некоторой аффинной группой Вейля, и поскольку определение показателей монодромии (таблица B.1) предполагает
некоторые константы отличными от нуля, следует разделить уравнения П5
и П3 на два класса, представляемые различными аффинными группами
Вейля.
− θ0− θ1− θ
∞
2
x
, (κ
1,κ2,κ3,κ4
)=κj− κicij,C=(cij)=
(1)
, которая обозначается W (D
4
)=(θ∞,θ0,θ1,θx), (B.50)
относительно плоскостей
i
⎛
2 −1 −1 −1 −1
⎜
−12 0 0 0
⎜
⎜
⎜
−10 2 0 0
⎜
⎝
−10 0 2 0
−10 0 0 2
(1)
) или просто D
4
).
ij
⎞
⎟
⎟
⎟
. (B.51)
⎟
⎟
⎠
(1)
4
.
B.5. ИНВАРИАНТНОСТЬ 251
Для того чтобы классифицировать уравнения Пn по двум критериям
(неприводимость, аффинная группа Вейля) следует отбросить (i) сводимые
уравнения (это только одно уравнение из класса П3 при α = β = γ = δ =0,
которое имеет решение u = c
c
2
x
) и (ii) любое уравнение, эквивалентное
1
относительно бирационального преобразования другому уравнению, уже
имеющемуся в списке (это только одно уравнение из класса П5 при δ =
=0, бирационально эквивалентное уравнению П3-D
(1)
[185]). Результатом
6
такой классификации является список из восьми уравнений (вместо шести)
[379], перечисленных в таблице B.3.
Таблица B.3. Список восьми уравнений Пенлеве, которые являются несводимыми,
отличаются по аффинным группам Вейля. В последнем столбце указано количество
определяющих параметров уравнения
диаграмма
Дынкина
(1)
D
4
(1)
D
5
(1)
E
6
(1)
D
6
(1)
D
7
(1)
D
8
(1)
E
7
(1)
E
8
аффинная
группа Вейля
(1)
D
4
(1)
A
3
(1)
A
2
(2A1)
(1)
A
1
Σ
2
(1)
A
1
уравнение Пенлеве Параметр
П6 4
П5, δ =0 3
П4 2
(1)
П3, γδ =0 2
П3, (γ =0, δ =0)или (γ =0, δ =0) 1
П3, γ = δ =0, (α, β) =(0, 0) 0
П2 1
— П1 0
B.5. Инвариантность относительно небирациональных
преобразований
Для некоторых значений параметров α, β, γ, δ восемь уравнений Пенлеве (за исключением П1 с диаграммой Дынкина D
инвариантны относительно алгебраических небирациональных неканони-
4
ческих
преобразований [408]. Эти преобразования являются расширением
преобразования Гурса гипергеометрического уравнения:
Fa, b,
4
Под действием этого преобразования симплектическая группа dp ∧ dq − dH ∧ dx умно-
жается на небольшое целое число, 2 для случая уравнения (B.53).
a + b +1
2
; x= F
a
2
b
,
2
a + b +1
,
2
(1)
, см. таблицу B.3)
8
;4x(1 − x). (B.52)
252 ПРИЛОЖЕНИЕ B
Например, когда все показатели монодромии θjуравнения П6 (u, x, θj)
равны ±1, это уравнение инвариантно относительно преобразования
(u, x, θ
) → (U, X, Θj) с
j
1/2
X
1
x =
+
2
θ
=(ε1,ε1,ε2,ε2), Θj=(2ε1, 0, 0, 2ε2),ε
j
+ X
4
−1/2
,u=
1/2U−1
X
1
+
2
+ X
4
2
1
−1/2
= ε
2
2
U
=1.
,
(B.53)
Исчерпывающий список таких преобразований можно найти в [408].
B.6. Гамильтонова структура
Каждое уравнение Пn имеет гамильтонову структуру с H(q, p, x) по-
линомом относительно канонических переменных q и p,
∂p
2
p2−
2
2q
,
p2+
,
δ
c
dx
+
dp
=
dx
θ
0
+
q
2
,
θ
0
+
q
δ
q +4θ
c
2
q,
2
a
1
+
2
p +
2
(β −2d +2a
q
∂H
,u= q. (B.54)
∂q
θ
1
+
q −1
θ
+1
1
q −1
p+
0
a
2
+
2
q
d)x
0
3
β
2
− γ(2q3+ xq),
q
2
− 1
θ
x
q −x
dx
+
(q −1)
,δ= −d2,
p−
2
p−
(B.55)
dq
dx
= −
∂H
Эти гамильтонианы удовлетворяют слиянию, и их выражение имеет
вид [295]
П6: H =
П5,δ=0:H =
П4
П3: H =
П2
q(q −1)(q −x)
x(x − 1)
2
− (θ0+ θ1+ θx− 1)
θ
∞
−
4q(q −1)(q − x)
q(q −1)
x
2
θ
− (θ0+ θ1+1)
∞
−
4q(q −1)
: H = qp2+cq2+2cx +
+
c(2θ∞+2θ0+1)+
2
p2+
− α
+
a
0
+
q
2
− γ
a
1
+
16
3
d
+ xq + q) −αq −
(2q
2
+
: H =
2a
q
x
0a1
p
2
8q
2
B.7. ПАРЫ ЛАКСА 253
где ajв уравнении П3 произвольные постоянные, которые отражают три
разновидности уравнения П3 (см. таблицу B.3).
B.7. Пары Лакса
Все уравнения Пn допускают пары Лакса второго порядка.
В скалярной форме из пары Лакса второго порядка уравнения П6 [156]
слиянием легко определяются пары Лакса уравнений Пенлеве n<6 [167].
Эти скалярные пары Лакса линейны относительно α, β, γ, δ и характеризуются двумя инвариантами дробно-линейного преобразования (S, C )
с условием равенства нулю выражения, содержащего смешанные производные Z =0,
2
∂
ψ +(S/2)ψ =0, (B.56)
t
∂
ψ + C∂tψ −(1/2)Ctψ =0, (B.57)
x
Z ≡ S
Значение S определяется выражением
=
3/4
(t − u)
S
−
2
где функция f
β
+
2
(t − u)e
и различные скалярные величины определены в табли-
G
це B.4. Однако пары Лакса в скалярной форме не раскрывают инвариантность относительно групп Вейля (приложение B.4).
Что касается матричной формы пары Лакса уравнения П6 [241], то она
имеет два основных преимущества перед скалярной формой: (i) возможность удалить явную особенность t = u, неизбежную в случае скалярной
формы; (ii) сделать явной инвариантность относительно аффинных групп
Вейля. Однако матричная форма имеет и некоторые недостатки [282], среди которых: (i) мероморфная зависимость от одного из четырех показателей
монодромии θ
, (ii) сложное слияние, что, по всей видимости, трудно ис-
j
править [79]. Исходная пара Лакса [241] может быть сделана с нулевым
следом и элементами L
менных u
, u, x. После введения матриц Паули σ
=
01
00
01
10
,σ−=
σ
σ1=
+
+ C
x
u+ β
1
, Mij, которые рациональны относительно пере-
ij
,σ2=
+ CSt+2CtS =0. (B.58)
ttt
,σ3=
2
]e0+ fG(t)
0
e
2
k
10
0 −1
+ fG(t), (B.59)
,
jklσl
0
1
+
00
10
[(β
u)2− β
1
0 −i
i 0
,σjσk= δjk+ iε
(B.60)
254 ПРИЛОЖЕНИЕ B
)
2
+
П3 П2
2
+ xz)+
+ xz
3
2αz + βz
bx
δ(z+2x)
a
bx
a
4
+δ(z
+2γ(2z
d
z
+
3
+
z
2
4
z
cx
a −
+
−
2
4
16
γ(z+2x)
−
2
z
−b −
−
2
d
+
3
(z−1)
+
(z−1)
4
2
−
cx
2
z
(z−1)
−1
x
2u
1/4 −
x
2(u−1)
−
+
1
1/2
t−u
2
tu
(t−u)x
t
t t
t−u
2
2
1/u 1/u 1 1
(t−u)x
t(t−1)(u−1)
Таблица B.4. Слияние скалярных пар уравнений Пенлеве
П6 П5 П4
d
+
2
z(z−1)
b
+
(z−1)
x(x−1)
2(u−x)
−
−u +1/2 −u +1/2 1/2 −1/2 0
2
+
c
2
a
z
(z−x)
+
1
0
β
(z)
β
G
f
β −2(a +1/4) −2(a +1/4) −8a − 2 8b
α 2(a + b + c + d +1) 2(a + d +1) −4b 8d
u−x
u(u−1)
t(t − 1) t(t − 1) −t t 1
t(t−1)(u−x)
(t−u)x(x−1)
t(t − 1)(t −x) t(t − 1)
0
1
δ −2c −2c −16c
γ 2(b +1/4) 2b 16a
e
2
e
e
−C
B.8. КЛАССИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 255
эта пара Лакса принимает вид [294, 283]
∂
ψ = Lψ, ∂tψ = Mψ, (B.61)
x
где
M
x
+ L
L = −
t − x
(Θ
L
= −
∞
2M
=Θ∞σ3, (B.64)
∞
2M
= z0σ3−
0
2M
= z1σ3+
1
=(θ
2M
x
=
z
0
z
=
1
∞
2x(x − 1)
2
− z
0
− (Θ
∞
2Θ∞x(u − 1)(u − x)
2
− (Θ
∞
2
−θ
x(x − 1)u(u −1)',
x
2Θ∞(x − 1)u(u −x)
2
+(Θ
∞
2
−θ
x(x − 1)u(u −1)',
x
,M=
∞
− 1)(u − x)
u
+
σ
+(z
x
u − 1
+
σ
x − 1
x
2
− (θ
)
0
u
+ z0+ z1)σ3, (B.67)
1
2
+ θ
)x(u − 1)(u − x)+θ
0
− 1
2
+ θ
)(x − 1)u(u −x) −θ
1
M
, (B.63)
σ
3
2
2
− θ
)
0
0
2
− (z
− θ
1
2
2
− z
1
1
&
(x(x − 1)u
&
(x(x − 1)u
(2α, −2β, 2γ, 1 − 2δ) = ((Θ
M
= −M0− M1− Mx.
∞
M
0
+
t
t − 1
x
−
σ
, (B.65)
u
x − 1
2
)
1
u − 1
x − 1
)
u − 1
− 1)2,θ
∞
M
1
σ
2
(x − 1)u(u −x)−
1
2
x(u − 1)(u − x)−
0
x
+
−
σ
−
−
, (B.62)
t − x
, (B.66)
u − x
x(x − 1)
+
−
σ
− (u − 1)(u − Θ∞(u − x)))2−
− u(u − 1 − Θ∞(u − x)))2+
2
2
2
,θ
,θ
0
),
1
x
Мероморфная зависимость (знаменатель Θ
=(Θ∞/2)σ3.
M
∞
) возникает из предположения
∞
B.8. Классические решения
Все классические решения (определенные в приложении А.2), которые
имеют восемь неприводимых уравнений Пенлеве Пn (таблица B.3), найде-
256 ПРИЛОЖЕНИЕ B
ны. У П1 таких решений нет. Классические решения не могут зависеть от
двух констант интегрирования, причем зависимость не может быть трансцендентной одновременно от обеих констант.
Первое множество решений зависит рационально от одной произвольной постоянной, их источником является уравнение Риккати, которое определяется приравниванием к нулю левой части N и правой части бирациональных преобразований (B.20)–(B.24). Все элементы множества порождены из одного повторением в любом порядке (i) бирационального преобразования, (ii) дробно-линейного преобразования, оставляющего инвариантным уравнение Пn, см. подробности [190]. Для соответствующих уравнений Пенлеве Пn n =6, 5, 4, 3, 2 они зависят от 3, 2, 1, 1, 0 произволь-
ных комплексных постоянных θ
и4,3,2,2,1констант.Действительно,
j
эта последовательность может быть получена из уравнения Риккати, которое входит в П6 [157] при слиянии. Все эти решения удовлетворяют ОДУ
первого порядка любой степени рода 0, которое может быть линеаризуемо соответственно в уравнения гипергеометрическое Гаусса, Уитеккера,
Вебера–Эрмита, Бесселя, Эйри.
Второе множество от констант не зависит. Если исключить частное
решение вышеупомянутого уравнения Риккати, то эти решения являются
рациональными функциями для уравнений П2–П5 (более точно, рациональными относительно x для П2 [440, 422], П4 [288], П5 [289], рациональными
относительно x
(1)
для D
-П3 [187]) и алгебраическими функциями для П6. Их список не
7
1/2
для D
(1)
-П3 [313], рациональными относительно x
6
1/3
может быть порожден слиянием. Рациональные решения существуют только при следующих ограничениях на показатели монодромии
⎧
П2: θ
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
П3 D
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
П3 D
⎪
⎪
⎪
П4: 2θ
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
П4: 2θ
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
П5,δ=0:(θ
⎪
⎪
⎩
или (θ
= n,
∞
θ
(1)
γδ =0:
6
(1)
γ =0,αδ=0:
7
= m, 2θ0=2n −m +1,
∞
= m, 2θ0=2n −m +1/3,
∞
= n, θ∞+ θ1= m),m+ n нечетно,
0
− θ
∞
0
= n,
2
β
2√−δ
= n, θ0+ θ1= m)
∞
= n,
(B.68)
где m и n обозначают произвольные целые числа. Все эти решения порождены бирациональными и дробно-рациональными преобразованиями
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]