Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метод Пенлеве и его приложения
.pdf
B.8. КЛАССИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 257
из следующих исходных решений:
⎧
П2: u =0,n=0,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
П3 D
П3 D
(1)
γδ =0:u = z, z2=
6
(1)
γ =0,αδ=0:u = z2,z3= α
7
d
x, n =0,
c
−1/2
dx, n =0,
П4: u = −2x, α =0,β= −2,m=0,n=0,
П4: u = −
2
x, α =0,β= −
3
2
,m=0,n=0,
9
П5,δ=0:u = −1,α+ β =0,γ=0.
(B.69)
Классические решения уравнения П6 отличаются от классических решений уравнения Риккати тем, что они являются необходимо алгебраическими. Наиболее простое из них
u =
√
x, θ
2
=(λ2,λ2,μ2,μ2)(B.70)
j
с произвольными λ, μ описывается алгебраической кривой P (u, x)=0второй степени рода нуль. При применении бирациональных преобразований
род кривой сохраняется, а степень изменяется. Следовательно, для представления алгебраических решений важной задачей является минимизация
степени с помощью бирациональных преобразований.
Для того чтобы перечислить все алгебраические решения уравнения
П6, одним из методов [284] является рассмотрение инвариант матрицы монодромии m
m
и mjmkсвязаны полиномиальным соотношением третьей степени [238,
j
, составленной из вычетов Mjв (B.62). Действительно, следы
j
ур. (1.6)] и ограничением, которое вытекает из того, что диофантово условие о конечном числе ветвей u(x) может быть разрешено. Результирующий
исчерпывающий список содержит решения, которые были найдены ранее
в [131, 221, 392, 132, 256, 34]. Некоторые из решений [131, 132] связаны
с пятью правильными многогранниками Платона (кубом, тетраэдром, октаэдром, додекаэдром, икосаэдром), для решений, связанных с кубом [131,
256, 189] (род равен нулю, степень равна трем),
2
x − 6xu +3u
+3xu2+ x2− 2u3=0,
θ =(2a, 1/3,a,a),a— произвольная (B.71)
с тетраэдром [131, 256] (род равен нулю, степень равна шести)
3
− u4− 6x2u2+2x2u +2x2u3+ xu4− x2u4− x3+2x3u =0,
2xu
θ =(1/2,a,a,a),a— произвольная.
(B.72)
258 ПРИЛОЖЕНИЕ B
Другой пример, решение [34]
2
(5s
x =
s(s − 2)(s + 1)(2s − 1)(4s2− 7s +7)
(7s
u =
s3(4s2− 7s +7)
− 8s + 5)(7s2− 7s +4)
2
− 7s +4)
2
,θ=
2
,
(B.73)
(2, 2, 2, 4)
7
с родом, равным нулю, и степенью, равной десяти, может быть связано
с группой Клейна.
ПРИЛОЖЕНИЕ C
Краткие сведения об эллиптических
функциях
Все тригонометрические функции u =sin, cos, tg, ctg, sh, ch, th, cth
удовлетворяют нелинейным ОДУ первого порядка вида
n
u
+ a + bu2=0,n=1или 2. (C.1)
Абелем и Якоби было доказано, что ОДУ первого порядка второй степени
2
+ A + Bu2+ Cu4=0, (C.2)
u
которое включает как частный случай все уравнения (C.1), имеет однозначное общее решение, а значит, определяет некоторую функцию. Эту
функцию, известную среди физиков как «кноидальная волна», а среди математиков как «эллиптическая функция Якоби», можно рассматривать как
обобщение вышеуказанных тригонометрических функций с б´ольшим числом параметров.
Существует несколько эквивалентных определений эллиптических
функций u(x), например,
1) двоякопериодическая функция с периодами T
, T2, отношение которых
1
не является действительным числом,
∃T
1,T2,T1/T2
/∈ Q, ∀n1,n2∈ Z: u(x + n1T1+ n2T2)=u(x), (C.3)
2) общее решение ОДУ первого порядка m-й степени с постоянными ко-
эффициентами
2m−2k
m
k=0
j=0
a
ujuk=0,a
j, k
=0, (C.4)
0,m
F (u, u
) ≡
когда оно не имеет критических подвижных особенностей, и род кри-
вой F (X, Y )=0равен нулю.
260 ПРИЛОЖЕНИЕ C
C.1. Обозначение Якоби и Вейерштрасса
Якоби определил двенадцать «функций Якоби» pq(z, k) как общее решение уравнения (C.2), в котором A, B, C зависят только от безразмерной
комплексной константы, называемой модулем k, а p, q обозначают любую
пару из четырех букв s, c, d, n. Перемещая в ∞ один из четырех нулей u
функции uв уравнении (C.2) с помощью дробно-рационального отображения u(z) → u
предложена очень удобная нормализованная форма, называемая эллиптиче-
ским уравнением Вейерштрасса,
d℘
dx
которое после дифференцирования по x принимает вид
+ b/(℘(x) −a) при x/z константе. Вейерштрассом была
j
2
=4℘3− g2℘ − g3=4(℘ − e1)(℘ − e2)(℘ − e3), (C.5)
j
d
dx
2
℘
=6℘2−
2
g
2
. (C.6)
2
Для эллиптических функций имеет место аддитивное соотношение
между значениями функции в трех точках (x
1,x2,x1
+ x2),гдеx1, x2—
произвольны:
℘(x
+ x2)+℘(x1)+℘(x2)=
1
(x1) − ℘(x2)
℘
1
4
℘(x1) − ℘(x2)
2
. (C.7)
Связь между модулем k и константой Вейерштрасса
− e
e
2
2
k
= m =
не сохраняется при перестановке корней e
3
e1− e
3
. Это вытекает из требования
j
(C.8)
Якоби, состоящего в том, что две из двенадцати (cn, sn) функций являются
экстраполяциями функций cos и sin. Вследствие чего расчеты, в которых
участвуют функции Якоби, являются достаточно сложными и практически
не используются, поскольку для функций Якоби имеется слишком много
формул [9, гл. 16; 292]. Для справки приведем основные формулы для sn,
cn, dn:
sn
(z)=cn(z) dn(z), cn(z)=− dn(z)sn(z), dn(z)=−m sn(z)cn(z),
(C.9)
C.2. СИММЕТРИЧНОЕ ОБОЗНАЧЕНИЕ ХАЛЬФЕНА 261
− dn2+1 − m = −m cn2= msn2−m, (C.10)
cs
(z)=− ds(z)ns(z), ds(z)=− ns(z)cs(z), ns(z)=− cs(z)ds(z),
(C.11)
2
cs
+1 − m =ds2=ns2−m. (C.12)
У
ПРАЖНЕНИЕ. Доказать эквивалентность двенадцати уравнений Яко-
би относительно класса преобразований
u(k, z) → U (Z, K),u= λU, Z = μz, (λ, μ)=const. (C.13)
Подсказка: поскольку в уравнении (C.2) AC/B
2
является инвариантом относительно преобразования, то достаточно проверить, что введенное соотношение между двумя модулями k и K действительно имеет решение
(конечно, комплексное). Например, для u =sn, U =cnимеются две воз-
можности
u =cn,U=sn,
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
μ
μ
2
2
= −
=
1
,λ
m
1
1 − m
m
2
=
2
,λ
,m(1 − M )=1,
m − 1
=1, (1 − m)(1 −M )=1.
(C.14)
Важным практическим следствием является возможность представления
решения (sn(z, k), например) некоторого нелинейного ОДУ в виде двенадцати эквивалентных комплексных выражений.
C.2. Симметричное обозначение Хальфена
Поскольку ℘однозначна, то три функции
h
(x)=℘(x) − eα,α=1, 2, 3(C.15)
α
являются однозначными, и Хальфен [194, гл. VIII, с. 253] использовал их
многочисленные преимущества по сравнению с обозначениями pq Якоби. Корень квадратный в (C.15) выбирается таким, чтобы каждая функция
(x) имела вычет, равный единице, в простом полюсе x =0. Эта трой-
h
α
ка функций связана с тройкой функций (cs, ds, ns) Якоби [194, гл. II, (16),
с. 46] соотношениями
cs(z)
h1(x)
=
ds(z)
h2(x)
=
ns(z)
h3(x)
e
− e
2
e1− e
3
, (C.16)
3
x
=
z
1
=
√
e1− e
,k2= m =
3
262 ПРИЛОЖЕНИЕ C
Рис. C.1. Три функции Якоби (sn, cn, dn) на одном действительном периоде при
k =1/3. Графики функций sn, cn близки к графикам sin, cos, функция dn нигде
в нуль не обращается
и преимущество этой тройки состоит в инвариантности относительно перестановки (1, 2, 3) всех формул, содержащих h
, включая решения физи-
α
ческих нелинейных ОДУ [62].
При исследовании ОДУ и дискретных уравнений, как правило, необходимы следующие формулы:
формула дифференцирования
h
(x)=−hβ(x)hγ(x), (C.17)
α
алгебраическая связь между функциями
2
h
(x)+eβ= h
β
2
(x)+eγ, (C.18)
γ
аддитивная формула
2
2
(x)h
h
(x + y)=
α
h
α
hα(x)hβ(y)hγ(y)+hα(y)hβ(x)hγ(x)
(y) − (eα− eβ)(eα− eγ)
α
, (C.19)
ряд Лорана в окрестности нуля [194, гл. VII, с. 237; гл. IX, с. 304]
h
α
(x)=
x
1
−e
+(g
α
x
2
−5e
2
3
x
2
+(5g
)
α
40
−7eαg2)
3
5
x
26· 5 · 7
+ O(x
7
), (C.20)
C.2. СИММЕТРИЧНОЕ ОБОЗНАЧЕНИЕ ХАЛЬФЕНА 263
вырождение в тригонометрические функции [194, гл. VIII (75), с. 289]
⎧
⎪
⎪
⎪
g
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
σ
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
σ(x)=
4
π
4
=
2
3
(x)=σγ(x)=exp
β
2ω
,g3=
2ω
σ
(x)sin
β
π
πx
2ω
8
27
1
πx
6
2ω
,h
α
π
2ω
2
(x)=
6
, −
,σ
π
2ω
e
α
= e
= eγ= −
β
2
(x)=σβ(x)cos
α
πx
ctg
.
2ω
πx
2ω
3g
2g
3
,
2
,
Из (C.17) и (C.18) можно вывести дифференциальное уравнение
(C.21)
(h
(x))2=(h
α
аиз(C.19) три эллиптические функции h
нальных функций от ℘ и ℘
h
(2u)=−
α
(℘(u, g
2
(x)+eβ− eα)(h
α
:
) − eα)2− (eα− eβ)(eα− eγ)
2,g3
℘(u, g2,g3)
2
(x)+eγ− eα), (C.22)
α
можно выразить в виде рацио-
α
. (C.23)
ПРИЛОЖЕНИЕ D
Основы теории Неванлинны
Существуют две теории, одна из них развита братьями Неванлинна
[326, 327], а другая — Уименом и Валироном [411, § 207], которые дают
возможность взглянуть на решения нелинейных дифференциальных уравнений с другой точки зрения.
Однако в то время как основной задачей исследования в теории Пенлеве является однозначность (вблизи особых точек) общего решения нелинейных дифференциальных уравнений, в теории Неванлинны исследуется мероморфность функции комплексного переменного, а в теории Уимена и Валирона изучаются целые функции комплексного переменного (для
включения мероморфных функций — с конечным числом полюсов, см., например, [29]), т. е. два подкласса класса однозначных функций. Более того,
когда эти функции удовлетворяют некоторому нелинейному дифференциальному уравнению, они, как правило, являются только частными решениями. Этот факт необходимо всегда иметь в виду. Дадим краткое изложение
теории Неванлинны. Полное изложение теории можно найти, например,
в [435, 208, 269] и дополнительные результаты по трансцендентам Пенлеве
можно посмотреть в [190, 196].
Уточним прежде всего понятие мероморфности, поскольку его иногда
используют в двух значениях.
Функция f(x) называется локально мероморфной вблизи x = a,если
и только если ряд Лорана в окрестности точки x = a имеет конечное число
членов с отрицательными степенями.
Функция f (x) называется глобально мероморфной, если и только если
ее особенностями в конечных точках являются полюсы.
Примеры.
1) Функция x → 1/x +ln(x −1) локально мероморфная вблизи x =0,но
не является глобально мероморфной.
2) Функции x → e
глобально мероморфными.
1/x
, x → ℘(ex,g2,g3) однозначны, но не являются
ОСНОВЫ ТЕОРИИ НЕВАНЛИННЫ 265
Далее будем считать функцию f глобально мероморфной (и будем на-
зывать ее просто мероморфной), и ее значение в точке x =0отлично от 0
иот∞. Рациональные функции являются частным случаем мероморфных
функций, рост которых на бесконечности определяется их степенью (определяемая как максимальное значение из степеней числителя и знаменателя).
Определим аналогичные понятия для мероморфных функций.
1) Функция (иногда называемая неинтегральной функцией счета) n(r, f )
представляет собой число полюсов функции f (включая порядок) в области |z| <r.
2) Функция счета (также называемая интегральной функцией счета)
N(r, f )
r
N(r, f )=
n(t, f) − n(0,f)
t
0
dt + n(0,f)lnr. (D.1)
3) Функция приближения m(r, f ) определяет меру приближения функ-
ции f к ∞. Она определяется
2π
m(r, f )=
где для любого положительного числа α можно обозначить ln
1
ln+|f(reiθ)|dθ, (D.2)
2π
θ=0
+
α =
=max{0, ln α}.
4) Характеристика Неванлинны T (r, f) определяется равенством
T (r, f)=m(r, f)+N(r, f ). (D.3)
Такая характеристика T (r, f ) мероморфной функции является анало-
гом понятия степени для рациональных функций. Она имеет следующие
свойства. Для любых мероморфных функций f и g и любого положительного целого n выполняется:
T (r, fg) T (r, f)+T (r, g), (D.4)
n
T (r, f
)=nT (r, f), (D.5)
T (r, f + g) T (r, f )+T (r, g)+O(1), (D.6)
T (r, 1/f)=T (r, f)+O(1). (D.7)
266 ПРИЛОЖЕНИЕ D
Эти свойства вытекают из аналогичных свойств функций N(r, f ) и
m(r, f ), например,
m(r, f g) m(r, f)+m(r, g ). (D.8)
Порядок роста мероморфной функции определяется как
σ(f ) = lim sup
r→+∞
ln T (r, f )
ln r
. (D.9)
Если f целая, то определение (D.9) совпадает с обычным определением
порядка роста целой функции,
σ(f ) = lim sup
r→+∞
Например, целые функции z
ln ln M (r, f)
ln r
,M(r, f)=max
n
, ez, sin πz, exp(zn), exp(exp z) имеют
|f(z)|. (D.10)
|z|=r
порядок соответственно 0, 1, 1, n, ∞. Рациональные функции характери-
зуются свойством T (r, f )=O(ln r), следовательно, их порядок роста равен нулю. Мероморфные функции, определяемые уравнениями П1, П2, П4,
имеют порядок соответственно 5/2, 3, 4. Функция, определяемая уравнением П6, не является мероморфной, ее порядок не определен, и теория
Неванлинны к ней не приложима. На этом заканчиваются основные определения.
В приложениях к дифференциальным уравнениям наиболее важное
свойство отражено в следующей лемме.
Лемма о логарифмической производной (Неванлинна). Пусть
функция f мероморфна, тогда
m(r, f
/f)=O(ln T (r, f)+lnr),r→∞,r/∈ E, (D.11)
где E — некоторый промежуток (или объединение промежутков) конечной
длины.
Если мероморфная функция f не имеет на бесконечности существен-
но особой точки, то членом ln r можно пренебречь. Множество E хотя и
существует, но в этом случае его наличие не доставляет неприятностей
в большинстве приложений.
Если мероморфная функция f имеет полюс порядка k, то ее производ-
ная f
имеет полюс порядка k +1. Так как наибольшее значение |(k +1)/k|
равно двум, то справедливо неравенство
N(r, f
) 2N (r, f). (D.12)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]