Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метод Пенлеве и его приложения
.pdf
3.2. ЧАСТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ УРАВНЕНИЯ 77
и «требовании, чтобы один (не два) ряд Лорана (3.143) удовлетворял
уравнению F (u, u
)=0», приходим к ограничению c =0в уравне-
нии E(u).
Прежде чем переходить к примерам, рассмотрим, как соотносятся ре-
зультаты рассматриваемого метода с результатами применения методов усечений, дающих одно или два семейства решений. Классами функций, в которых ищется решение u в методах усечений, являются, как правило [85],
полиномы по степеням th(k/2)(x − x
) степени −p для одного семейства
0
и полиномы по степеням th и sech (в более общем случае по степеням τ
и σ, уравнение (3.125)) суммарной степени −p для двух семейств. При исключении x
из выражений для u и uоба эти полинома удовлетворяют
0
алгебраическому дифференциальному уравнению первого порядка (3.142)
и легко проверить, что его степень m равна соответственно −p для полинома по th,и−2p для полинома по th и sech. Действительно, например,
для полинома второй степени по th исключим th из двух полиномиальных
уравнений
получим в результате
*
*
0 −2 −2a 22a − u
*
*
−2 −2a 22a − u
*
*
*
00 1 2ab−u
*
*
01 2ab− u 0
*
*
12ab−u 00
=(u
− 4a(u − b + a2))2− 4(u − b +2a2− 1)2(u − b + a2)=0, (3.151)
2
th
+2a th +b − u =0,
2(th +a)(1 − th
5
2
) − u=0,
*
*
*
*
0
*
*
=(3.150)
*
*
*
*
*
(3.149)
уравнение степени m =2=−p, род которого равен нулю.
Следовательно, при выборе m = − p находим во всяком случае все
решения, которые могли быть получены методом усечений, дающих одно
семейство особых точек. При выборе m = −2p — все решения могли быть
получены методом усечений, дающих два семейства особых точек. Более
того, поскольку уравнение (3.142) инвариантно относительно дробно-рационального преобразования относительно u, то, несомненно, можно най-
5
Используем формулу, впервые введенную Сильвестром, являющуюся результатом двух
полиномов степени m и n (определителем порядка m + n).
78 ГЛАВА 3
ти также все рациональные функции от th(k/2)(x − x0) степени −p (по-
добно (3.140)) и рациональные функции от th и sech суммарной степени −p.
Прежде чем применить этот метод к двум уже изученным уравнени-
ям, имеющим решения с хаотическим поведением, рассмотрим некоторый
поучительный пример.
3.2.5.4. Приложение к уравнению КдФ
Рассмотрим автономное ОДУ третьего порядка (3.34), которое пред-
ставляет собой редукцию уравнения КдФ в переменных бегущей волны, и
найдем для него вспомогательное эллиптическое уравнение первого порядка (3.36).
ОДУ (3.34) имеет решение с подвижным полюсом второго порядка
−2
U ∼ 2aχ
, следовательно, порядок эллиптических функций U и Uравен
2 и 3 соответственно. Рассчитаем, используя алгоритм, данный в приложении F, несколько коэффициентов ряда Лорана (как будет доказано, достаточно рассчитать девять коэффициентов, четыре из которых равноы нулю
в силу четности):
2
U
U =2aχ
−2
+ U4χ2+ U6χ4+
4
6
χ
+ ..., (3.152)
6a
здесь U
и U6— произвольные постоянные. В соответствии с шагом 3 ал-
4
горитма получаем
2
+ a
F ≡ U
0, 1
U+ a
UU+ a
1, 1
0, 0
+ a
1, 0
U + a
2, 0
U2+ a
U3. (3.153)
3, 0
Подставляем (3.152) в (3.153) и получаем линейную систему (3.145) ввиде
⎧
F
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
≡ 16a2a
0
≡−8a2a
F
1
F
≡ 4a2a
2
≡−4aa
F
3
F
≡ 2aa
4
≡ 0,
F
5
≡ a
F
6
... .
0, 0
0, 2
1, 1
2, 0
0, 1
1, 0
+4aa
+8a3a
=0,
=0,
=0,
− 16aa
2, 0U4
3, 0
0, 2U4
− 32aa
=0,
+12a2a
0, 2U6
3, 0U4
+12a2a
=0,
3, 0U6
(3.154)
=0,
3.2. ЧАСТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ УРАВНЕНИЯ 79
Решаем эту систему и получаем (3.153) ввиде
2
− (2/a)U3+20U4U +56aU6=0, (3.155)
U
в котором U
и U6— произвольные постоянные, соответствующие индексам
4
Фукса 4 и 6. Уравнение (3.155) с точностью до обозначений коэффициентов
совпадает с (3.36), но данный способ получения этого уравнения более
алгоритмичен и не требует нахождения первых интегралов.
На пятом шаге записываем команды в пакете Maple
with(algcurves); загружаем блок
eq:=v**2-(2/1)*u**3+20*u4*u+56*a*u6;
genus(eq,u,uprime); ответом будет «1»
Weierstrassform(eq,u,uprime,wp,wpprime);
Результатом выполнения последней команды будут четыре бирациональные
соотношения между (U, U
) и (℘, ℘), одно из которых совпадает с (3.38).
3.2.5.5. Приложение к уравнению КС
Ряд Лорана для решения уравнения (2.27) имеет вид (2.36).
Первый шаг. Имеется единственное семейство подвижных полюсов
третьего порядка, значит, функции u и u
и 4 соответственно. При нормировании уравнения, так что a
имеют эллиптические порядки 3
=1,вспо-
0, 3
могательное уравнение содержит десять коэффициентов, которые определяются из системы Крамера десяти уравнений F
=0, j =0: 6, 8, 9, 12.
j
Оставшаяся бесконечная переопределенная система нелинейных уравнений
относительно неизвестных (v, b, μ, A) имеет наибольший общий делитель
(НОД) b
2
− 16μv (см. уравнение (3.70)), который определяет первое реше-
ние,
2
b
=16,u
μv
+
u
2v
= u +
s
2
b
u
u
s
3
3b
,
2
32v
b
u
−
s
4v
9
2
u
+
40v
+
s
15b
1024v
6
+
4
10A
3
2
=0.
(3.156)
После деления на этот множитель система относительно неизвестных
(v, b, μ, A) с b
2
− 16μv =0имеет точно четыре решения (представление
усеченного ряда Лорана в виде суммы 16 слагаемых (j = 16) достаточно для получения результата), совпадающие с указанными в табл. 3.2 раздела 3.2.3.2, каждое решение для (v, b, μ, A) определяет вспомогательное
80 ГЛАВА 3
дифференциальное уравнение первого порядка третьей степени:
b =0,
180μ
192v
2
2
−
u
+
u
360μ
192v
2
9
+
40v
30μ
2
u
+
19
u
−
30
192v
2μ3
2
=0,
(3.157)
b
μv
b
μv
2
2
=
u
b =0,u
144
=
,u
47
256
,u
73
2
b
u
+
s
8v
3
= u −
s
= u −
s
u
2
u
3
2
3
+
s
30μ
+
19
,u+
,
2
9
40v
u
+
b
4v
2
u
+
s
9
+
40v
5b
144v
45b
2048v
b
u
+
2v
2μ3
30
193v
u
s
5b
1024v
2
=0, (3.158)
3
9
4
u
+
3
us+
2
40v
s
5b
128v
=0, (3.159)
2
2
u
=0.
(3.160)
Для того чтобы проинтегрировать два множества вспомогательных
уравнений (3.156), (3.157)–(3.160), следует определить род уравнения
6
,который равен единице для (3.156) инулюдля(3.157)–(3.160).Следовательно, (3.156) имеет общее решение, выраженное через эллиптические функции:
Первоначально оно было найдено в [154, 262] в предположении, что оно является полиномом относительно ℘ и ℘
⎧
⎪
⎪
u = −60v℘
⎨
⎪
⎪
2
⎩
b
=16μv, g2=
− 15b℘ −
bμ
,
4v
2
μ
,g3=
2
12v
. Это решение является обобщением
13μ
1080v
3
+ vA
.
3
(3.161)
решения уединенной волны Курамото и Цузуки, записанного через тригонометрические функции. Его удобно записать через сингулярный частный
дифференциальный оператор D (2.44) ввиде
u = D ln σ −
6
Например, его можно вычислить с помощью пакета Maple, используя команду genus блока
algcurves [222].
bμ
, (3.162)
4v
3.2. ЧАСТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ УРАВНЕНИЯ 81
где σ есть целая функция. σ — функция Вейерштрасса
(ln σ)
= ζ, ζ= −℘. (3.163)
Этот результат эквивалентен обобщению целой функции ch до целой
σ-функции Вейерштрасса (см. (С.21) приложения).
Что касается общего решения остальных уравнений (3.157)–(3.160),
то оно является полиномом третьей степени (3.104) по th k(ξ −ξ
)/2 иуже
0
было найдено методом усечений для нахождения одного семейства решений.
Эти найденные четыре решения составляют множество всех аналити-
ческих решений уравнения (2.27), известных на сегодняшний день.
3.2.5.6. Приложение к уравнению КГЛ3
Определим вспомогательное уравнение первого порядка для (3.106)
так:
F ≡
[3(m−k)/2]
m
k=0
j=0
a
MjMk=0, (3.164)
j, k
представление решения в виде двух рядов Лорана имеет вид (3.71).
Для того чтобы избежать неудобных квадратных корней, возьмем численные значения параметров (3.109), и в этом случае ряды Лорана можно
записать так:
M
M
−2
= χ
−
−2+
4 −
2c
5
−2
= χ
+
c
χ +
5
χ +
g
g
r
i
−
3
16g
39
6
4g
r
+
39
Отсюда следует, что эллиптический порядок функций (M, M
2
c
−
200
i
+
2
χ
+ O (χ3), (3.165)
2
19c
1300
2
χ
+ O (χ3). (3.166)
) равен
(4, 6). Однако согласно замечанию 3 в разделе 3.2.5 можно потребовать,
чтобы только один из рядов удовлетворял вспомогательному уравнению,
правда, в этом случае, возможно, будут получены не все желаемые результаты. Тем не менее выкладки значительно упростятся, и достаточно быстро
с помощью алгоритма можно будет получить результаты. Так что примем
это предположение.
Предполагая эллиптический порядок функций (M, M
) равным (2, 3),
получаем вспомогательное уравнение
F
≡ M2+ M(a
2
1, 1
M + a
0, 1
)+a
M3+ a
3, 0
M2+ a
2, 0
1, 0
M + a
0, 0
(3.167)
=0.
82 ГЛАВА 3
Выберем ряд Лорана (3.165). Шесть коэффициентов a
j, k
уравнения (3.167) представляют собой единственное решение системы шести линейных уравнений F
нений F
=0, j =5, 7: J относительно неизвестных параметров (gr,gi,c),
j
имеет наибольший общий делитель (НОД) 3g
=0, j =0, 1, 2, 3, 4, 6. Оставшийся J +1−6 урав-
j
+2gr+3c2/50,иэтотмно-
i
житель дает нам первое решение
2
3c
+2gr+
3g
i
c
+
M
5
После деления на НОД система трех уравнений F
50
M +
=0,
c
250
3
2
+2M +
c
50
2
M −
2
c
−
50
=0, j =5, 7, 8 дает два
j
2
2
g
r
3
(3.168)
=0.
и только два других решения
2
M
+2(M −gr)M2=0,c=0,gi=0, (3.169)
+
M
а оставшиеся уравнения F
2c
2
M
5
+2M3=0,gr=0,gi−
=0, j 9 удовлетворяются тождественно.
j
2
c
=0, (3.170)
50
Для другого ряда Лорана (3.166) результаты аналогичны
2
+
M
3c
80
c
M −
5
2
− MM −
M
+
c
5
=0,
2
3
c
−M −
500
2
g
r
3
2
− M3=0,gr=0,gi−
M
2
c
100
2
=0,c=0,gi=
M +
c
100
2
−
c
50
2
2
=0,
g
r
3
1
g
, (3.172)
r
3
2
=0. (3.173)
(3.171)
3g
− gr+
i
M
Наконец, для каждого из двух множеств, состоящих из трех уравнений, на четвертом шаге определяется, что род уравнений равен нулю. Следовательно, каждое общее решение вспомогательных уравнений является
рациональной функцией от e
ских формул эти рациональные функции от e
в полиномы второй степени относительно (k/2) thk(ξ −ξ
a(ξ−ξ0)
. С использованием тригонометриче-
a(ξ−ξ0)
преобразовываются
)/2, вид которых
0
совпадает с (3.113)–(3.115) и (3.116)–(3.118). Следовательно, полученные
решения совпадают с (3.120), (3.121) и (3.122).
3.2. ЧАСТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ УРАВНЕНИЯ 83
Таким образом, если решение представлять в виде единственного ряда
Лорана, то получаются вспомогательные уравнения первого порядка (относительно функций (M, M
m =4, который соответствует 18 неизвестным коэффициентам a
)), уже известные на сегодняшний день. В случае
ипо
j, k
крайней мере 24 слагаемым в ряде Лорана, имеются только те шесть решений, которые получены выше (по три решения, соответствующие каждому
выбранному ряду Лорана). Такая ситуация аналогична отсутствию решения
в классе (3.134), и это снова отражает трудность уравнения КГЛ3.
Для уравнения КГЛ5 (3.65) этим методом получено новое эллиптическое решение [419].
3.2.6. Первый интеграл осциллятора Дуффинга–ван дер Поля
Поскольку уравнение осциллятора Дуффинга–ван дер Поля (уравнение (2.63) при d =0) проходит слабый тест Пенлеве, то общее решение
может быть представлено в виде конечного числа алгебраических ветвей
[349, Le¸cons 5–10, 13, 19], однако нахождение этого решения остается до
сих пор открытой проблемой. Не известны первые интегралы этого уравнения, за исключением одного частного случая, рассмотренного методом
бесконечно малых симметрий [57],
3abβ + a
2
c −9β2=0:K =3a
du
+(3ab − 9β)u + a
dx
2u3
3βt/a
e
, (3.174)
и этот первый интеграл имеет степень особенности, соответствующую индексу Фукса 3/2. Уравнение первого порядка, которое все же имеет алгебраическую ветвь решения u ∼ u
(x − x0)
0
−1/2
, может быть преобразовано,
по крайней мере в двух случаях [57], к ОДУ, имеющему свойство Пенлеве.
Преобразование, которое может быть применено в каждом их этих случаев, является преобразованием годографа. Определение преобразования
годографа в общем случае для УЧП будет дано в разделе 4.12. В первом
случае K =0преобразование годографа (u, x) → (U, X)
3abβ + a
2
c − 9β2=0,K=0:dx = u−1dX, u = U (3.175)
преобразует уравнение Абеля (3.174) к уравнению Риккати
dU
dX
a
2
+
U
3
+ b −
3β
=0. (3.176)
a
Во втором случае K =0после предварительного преобразования, сохраняющего свойство Пенлеве,
u = e
−βx/a
U, X = k3e
−2βx/a
(3.177)
84 ГЛАВА 3
уравнение (3.174) принимает вид
2
a
dU
k
−
3
dX
6β
U
1
3
+
2
2
k
a
c
+
2
X
6β
3
U +
K
=0. (3.178)
6β
В частном случае, когда коэффициент при U обращается в нуль, это ОДУ
является уравнением Абеля, которое с помощью аналогичного преобразования годографа также сводится к уравнению Риккати,
⎧
⎪
⎪
⎪
b =4
⎨
⎪
⎪
⎪
U = V + K
⎩
β
,c= −3
a
,dX=
1
2
β
,K= −8a2K
a
V +3K
dY
2
2
1
a
6β
=0.
,
(3.179)
3
,k3= −
1
dV
,
dY
1
+ V
2
+3K
3.2.7. Однозначные решения для космологической модели Бьянки IX
Иногда условия нелогарифмичности, полученные при прохождении теста, дают дополнительную информацию, которую можно использовать для
интегрирования уравнения.
Вакуумная космологическая модель Бьянки IX может быть определена
с помощью метрики [271]
2
ds
= σ2dt2− γαβdxαdxβ, (3.180)
a
γ
= ηabe
αβ
a
где e
— координаты трех реперных векторов, а знак σ2= ±1 выбирается
α
b
e
,η= diag(A, B, C), (3.181)
α
β
в зависимости от того, является ли метрика метрикой Минковского или
евклидовой. Введя так называемое логарифмическое время τ спомощью
преобразования годографа
√
dt
, (3.182)
dτ =
ABC
получим систему из шести соотношений, содержащую три ОДУ второго
порядка,
2
σ
(ln A)= A2− (B −C)2, (3.183)
остальные соотношения получаются циклической перестановкой,
= d/dτ,
3.2. ЧАСТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ УРАВНЕНИЯ 85
или
2
(ln ω1)= ω
σ
2
2
+ ω
2
3
− ω
2
2
2
ω
/ω
2
, (3.184)
3
1
остальные соотношения получаются циклической перестановкой,
при замене переменных
2
,ω
A = ω
2ω3/ω1
= BC, (3.185)
1
остальные соотношения получаются циклической перестановкой.
Выбор знака σ
2
не влияет на структуру особенности, поэтому, не нарушая
общности, можно принять σ =1.
Одно из семейств решений имеет вид [99, 275]
−1
A = χ
B = χ
C = χ
+ a2χ + O(χ3),χ= τ −τ2,
−1
+ b2χ + O(χ3),
−1
+ c2χ + O(χ3),
(3.186)
имеет индексы Фукса −1, −1, −1, 2, 2, 2 и тест Ковалевской–Гамбье дает,
что условия нелогарифмичности выполняются при индексах Фукса 2, 2, 2.
Применим метод возмущений Фукса (см. раздел 2.2):
N
2+N−n
A = χ
−1
n=0
n
ε
j=−n
(n)
a
χj,χ= τ −τ2, (3.187)
j
остальные соотношения получаются циклической перестановкой,
и найдем подвижные логарифмические особые точки при (n, j)=(3, −1)
и (5, −1) [274], а условия нелогарифмичности определяются шестью ко-
(0)
(0)
(0)
(1)
(1)
эффициентами a
, b
, c
, a
2
2
2
−1
, b
−1
(1)
, c
. Это прежде всего доказывает
−1
неинтегрируемость космологической модели Бьянки IX, вопрос, который
оставался открытым в течение долгого времени [119]. В дополнение добавим, что требование выполнения условий нелогарифмичности приводит
к следующим трем соотношениям:
(b
(0)
2
= c
(0)
2
и b
(1)
−1
(1)
= c
) или циклической перестановкой, (3.188)
−1
(0)
(0)
a
= b
2
(1)
= b
a
−1
(0)
= c
2
(1)
−1
=0, (3.189)
2
(1)
= c
. (3.190)
−1
86 ГЛАВА 3
Эти ограничения уменьшают числа произвольных коэффициентов соответственно до четырех, трех и четырех, что приводит к существованию частных решений, которые могут не иметь подвижных критических точек.
Первое ограничение (3.188) означает эквивалентность двух компонент
из (A, B, C) и, таким образом, приводит к системе, содержащей четыре
соотношения B = C [403], общее решение которой однозначно и имеет
вид
2
k
A =
k
1
sh k1(τ − τ1)
,B= C =
sh k1(τ − τ1)
2
k1sh2k2(τ − τ2)
. (3.191)
Второе ограничение (3.189) приводит к исключению трех индексов
Фукса, равных 2, и, следовательно, к подсистеме, содержащей три соотношения, соответствующие трем индексам Фукса, равным −1.Можноубедиться, что представление переменных в виде возмущенного ряда Лорана (3.187) эквивалентно системе Дарбу–Хальфена [110, 193]
= ω2ω3− ω1ω2− ω1ω3, и циклически, (3.192)
ω
1
решение которой однозначно
7
.
И, наконец, третье ограничение (3.190) приводит к исключению двух
из трех индексов Фукса, равных −1, и, следовательно, к подсистеме, содержащей четыре соотношения. Явный вид этой системы пока еще не найден.
Если ввести дополнительное ограничение
(0)
(0)
a
+ b
2
(0)
+ c
2
=0, (3.193)
2
то представление решений в виде рядов Лорана (3.186) эквивалентно системе Эйлера (1750) [26] трех уравнений, описывающей движение твердо-
го тела относительно его центра масс,
= ω2ω3, далее циклической перестановкой. (3.194)
ω
1
Общее решение этой системы записывается через эллиптические функции
ω
= −℘(τ − τ0,g2,g3) − ej,j=1, 2, 3, (τ0,g2,g3)=const,
j
(3.195)
2
℘
=4(℘ − e1)(℘ − e2)(℘ − e3)=4℘3− g2℘ − g3. (3.196)
7
Это частный случай класса систем, исследованных Хоером [227], который, однако, был
отброшен автором.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]