Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метод Пенлеве и его приложения
.pdf
3.2. ЧАСТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ УРАВНЕНИЯ 87
Система, содержащая четыре соотношения (без дополнительного ограничения (3.193)), определяет четыре параметра эллиптического решения,
вполне вероятно, однозначного, но явный вид которого еще не найден
(см. [80]).
Таким образом, с помощью проведенного анализа найдены все результаты, которые можно было получить в предположении о геометрической
автодуальности [171], и даже немного больше.
Аналогичный анализ, примененный к динамической системе с истинным временем t [397], также не приводит к новым решениям в замкнутой
форме.
3.2.8. Результаты применения теории Неванлинны к КС и КГЛ3
При изучении поведения решений u(x) в окрестности бесконечно удаленной комплексной точки x = ∞ можно в некоторых случаях получить
важные общие свойства решения, такие, например, как рациональная зависимость u от x. Эта теория, известная как теория Неванлинны, коротко
описана в приложении D. В теории имеются два основных отличия от метода Пенлеве:
1) решение u(x) предполагается мероморфным в отличие от предположения об отсутствии подвижных критических особенностей;
2) решение u(x) является частным решением рассматриваемого ОДУ
в отличие от предположения, что решение является общим.
При использовании только двух неравенств (D.15) и (D.16) приложения
применение этой теории, например, к редукции уравнения КС (2.27) дает
такие совершенно замечательные результаты [132]. Если предположить, что
решение u(x) мероморфно и имеет конечное число полюсов, то оно может
иметь только вид u = 120v(x − x
)−3,гдеb = μ = A =0. Если предполо-
0
жить, что решение u(x) мероморфно и имеет бесконечное число полюсов,
то тогда оно может быть только либо эллиптическим (3.82), либо одним
из тригонометрических решений, перечисленных в таблице 3.2. Напомним,
что теория Неванлинны не дает никаких результатов, если решение не является мероморфным. Аналогичные результаты могут быть получены для
редукции уравнения КГЛ3 в переменных бегущей волны.
Это доказывает, что неизвестное общее решение уравнения (2.27) не
может быть мероморфным. Для того чтобы получить некоторое представление о возможном аналитическом виде общего аналитического решения,
можно исследовать экспериментально особенности решения на комплексной плоскости, рассчитав аппроксимант Паде [42] ряда Лорана (2.36).
88 ГЛАВА 3
Паде-аппроксимация является мощным инструментом для изучения функции, заданной рядом Тейлора, или в более общем случае для суммирования
расходящихся рядов.
Пусть даны первые N +1члены ряда Тейлора в окрестности точки
x =0,
N
S
=
N
cjxj, (3.197)
j=0
Паде-аппроксимантом [L, M] этого ряда называется дробно-рациональная
функция
L
l
alx
[L, M]=
l=0
M
m=0
,b0=1, (3.198)
m
bmx
удовлетворяющая условию
− [L, M]=O(x
S
N
N+1
),L+ M = N. (3.199)
Обобщение для ряда Лорана не представляет никакой трудности. В частности, при достаточно больших L и M Паде-аппроксимант является в точности рациональной функцией.
Преимущество Паде-аппроксиманта [L, M ] перед S
(которая не име-
N
ет полюсов) состоит в том, что он выявляет глобальную структуру особенностей ряда.
На основании тщательного исследования [441] особенностей суммы
ряда Лорана (2.36) можно сделать вывод (но это не является доказательством): для характерных значений параметров (v, b, μ, A) не обнаружено
многозначности, разрезов, а особые точки образуют двоякопериодические
структуры. Элементарные ячейки этих структур образуются одним полюсом третьего порядка и тремя простыми нулями (рис. 3.4). Это дает возможность предположить, что неизвестное общее аналитическое решение,
которое, вполне вероятно, однозначно, не является мероморфным и его
аналитическая запись могла бы быть представлена в виде некоторой модификации эллиптической функции, например, так
∀v, b, μ, A : u = f
где σ была бы модификацией целой функции Вейерштрасса, G
(ξ −ξ0)+D ln σ(ξ −ξ0,G2(ξ −ξ0),G3(ξ −ξ0)), (3.200)
0
, G3—
2
модификации обычных постоянных аргументов σ-функции. Как показано
3.2. ЧАСТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ УРАВНЕНИЯ 89
непосредственными вычислениями, это предположение, однако, недостаточно для того, чтобы получить какой-либо новый результат. Другие пути
поиска решения приведены в [448].
Рис. 3.4. Особенности Паде-аппроксиманта [L/M] неизвестного общего аналитического решения ОДУ КС (2.27) (расчеты любезно предоставлены Тони Йи Татлеун-
гом). Численные значения L =30, M =30, v =1, b =1, μ =1/4, A = −69133/64
ГЛАВА 4
Уравнения в частных производных:
тест Пенлеве
В данной главе понятия свойства Пенлеве, теста Пенлеве, введенные
для обыкновенных дифференциальных уравнений, обобщаются для уравнений в частных производных. После описания редукций будет введен весьма важный класс солитонных уравнений, отмечены их основные свойства,
а именно: существование N -солитонного решения и также весьма важные
преобразования, называемые преобразованиями Беклунда (ПБ). Затем будет обобщено на УЧП понятие интегрируемости и свойства Пенлеве. После введения пространственной переменной χ для упрощения представления частного решения в виде ряда Лорана будет рассмотрен вопрос прохождения теста Пенлеве уравнениями в частных производных на примере
уравнения Кортевега–де Фриза с целью получения необходимых условий
для обладания уравнением свойством Пенлеве. И, наконец, будет проведено исследование на прохождение теста Пенлеве уравнением Колмогорова–Петровского–Пискунова (КПП) для получения необходимых условий
существования частных решений в замкнутой форме.
Прежде всего напомним, что конечной целью данного раздела является
рассмотрение метода, основанного на анализе особенностей, с помощью
которого можно строить решения УЧП в явном виде.
Рассмотрим нелинейное УЧП нескольких переменных x, t, ...,
E(u, x, t, ...)=0. (4.1)
Его особые точки не изолированы в пространстве независимых переменных
(x, t, ...), т. е. они не локализованы в окрестности точки (x
на некотором многообразии
ϕ(x, t, ...) −ϕ
где сингулярная переменная ϕ есть произвольная функция независимых пе-
ременных и ϕ
произвольная константа.
0
=0, (4.2)
0
),нолежат
0,t0
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ: ТЕСТ ПЕНЛЕВЕ 91
Аналогичное многообразие, также представленное в виде (4.2), но яв-
ляющееся регулярным, упоминается в знаменитой теореме Коши–Ковалевской локального существования, единственности, аналитичности решения
в некоторой окрестности этого многообразия. Эта теорема, точную формулировку которой можно найти в классических учебниках [178], вводит понятие, которое является важным и при изучении особенностей решения.
Определение 4.1. Подвижное многообразие называется характери-
стическим, если на нем нарушаются условия теоремы Коши–Ковалевской.
Практически многообразие (4.2) является характеристическим, если
его ряд Коши не зависит от производных высших порядков УЧП (4.1).
Например, подвижное многообразие ϕ − ϕ
≡ t − t0=0является
0
характеристическим для уравнения КдФ (3.32),посколькувсилувыполнения соотношения ϕ
порядка u
xxx
.
=0ряд Коши не зависит от производной высшего
x
Даже в случае ОДУ подвижная особенность может быть определена
из соотношения ϕ(x)−ϕ
=0, поскольку на основании теоремы о неявной
0
функции это соотношение локально может быть (обращено, преобразовано)
разрешено относительно x−x
ство ϕ
(x0) =0. Произвольность выбора вида функции ϕ позволяет нахо-
=0при условии, что выполняется неравен-
0
дить такие решения, которые невозможно было бы найти при ограничении
ϕ(x)=x [429, 328].
Основная сложность при решении УЧП по сравнению с решением
ОДУ состоит в том, что нет точного определения общего решения УЧП
[179, т. III, гл. XXIV], так что на вопрос об интегрируемости УЧП можно
ответить по-разному. Основной метод решения УЧП состоит в установлении связи УЧП с некоторой линейной системой. По способу перехода
к некоторой линейной системе «интегрируемые» УЧП (в том смысле, о котором будет сказано ниже) можно разделить на два класса.
Для УЧП первого класса возможно их непосредственное преобразова-
ние в линейное УЧП. Так, например, уравнение Бюргерса
2
uu
u
+
t
+ uxx=0 (4.3)
x
a
с помощью преобразования Хопфа–Коула [153, часть IV, с. 101, 106] переходит в уравнение теплопроводности:
ψ
x
u = a
,ψ
ψ
+ ψt=0. (4.4)
xx
92 ГЛАВА 4
Во второй класс входят УЧП, которые допускают нелинейную мо-
дификацию преобразования Фурье, называемую обратным спектральным
преобразованием (метод обратной задачи). Это обратное спектральное преобразование (метод обратной задачи), впервые примененное к уравнению
КдФ Гарднером, Грином, Крускалом и Миурой [165], было затем независимо от них применено к другим уравнениям Захаровым и Шабатом [444]
и Абловицем, Каупом, Невелем и Сегуром [3]. В результате при некотором
классе начальных данных стало возможным решить задачу Коши. Изложение этого метода выходит за рамки данной книги, более подробная информация о нем содержится, например, в [272] или [1].
4.1. О редукциях УЧП
Существует некоторый класс решений УЧП, которые также являются
решениями некоторого ОДУ, полученного редукцией исходного уравнения
в частных производных. В предыдущей главе уже была рассмотрена редукция различных УЧП при использовании переменной — бегущей волны.
А для уравнений КдФ и КС было использовано другое преобразование переменных u(x, t) → U(X) [5, 402] и получены редукции
2
u =2a(U − t/b),X= x −6(t/b)
2
u = U − 2at, X = x + at
,vU
,U− 6U2− X + K =0, (4.5)
2
+ bU+ μU+
U
− 2aX + K =0,
2
(4.6)
где K — константа интегрирования. Для уравнения КдФ функция U (X)
является решением первого уравнения Пенлеве, в то время как в случае
уравнения КС на сегодняшний день не известно никакого аналитического
решения U (X) для ОДУ (4.6). Таким образом, вопрос нахождения решения УЧП при использовании редукций сводится к нахождению редукций и
дальнейшему поиску решений этих ОДУ.
Нахождение редукций является слишком обширной темой для того,
чтобы она была полностью освещена в этой книге, за более подробными
сведениями можно обратиться к учебникам [348, 346], а также по вопросам,
более близко связанным с излагаемым материалом, к [66]. Что касается
поиска решений этих ОДУ, то вопрос интегрирования ОДУ рассматривался
вглаве3.
С точки зрения свойства Пенлеве следует различать два типа редук-
ций — характеристический и нехарактеристический.
4.1. О РЕДУКЦИЯХ УЧП 93
Определение 4.2. Редукция УЧП N независимых переменных к УЧП
N − 1 независимых переменных называется нехарактеристической,если
порядок уравнения сохраняется.
Абловицем, Рамани и Сегуром [6] было высказано предположение, что
для УЧП, интегрируемого методом обратной задачи (методом обратного
спектрального преобразования), любая его нехарактеристическая редукция
к ОДУ обладает свойством Пенлеве. Эта гипотеза подтверждается многими
примерами, приведем здесь некоторые из них.
1) Автодуальные уравнения Янга–Миллса допускают редукции — все
шесть уравнений Пенлеве [302].
2) Уравнение КдФ (3.32) допускает редукцию [143]
u = a(3t/b)
− 6UU+2ξU+ U =0.
U
−2/3
U(ξ) −
ξ
,ξ=(3t/b)
2
−1/3
x,
(4.7)
Это ОДУ обладает свойством Пенлеве [59, с. 339, 343] и его общее
решение является с точностью до алгебраического преобразования решением уравнения П2,
U = W
+W2+
ξ
=0,W
2
−2W3−ξW −A =0,A=const. (4.8)
Другой метод интегрирования уравнения (4.7) будет рассмотрен в разделе 5.8.
3) Нелинейное уравнение Шредингера (НШ) (2.47) допускает редукцию [35]
A = t
ia
Y(ξ)e
i(ξ2+(Y/Y)dξ)
,ξ= xt
−1/2
,a∈ R. (4.9)
ОДУ относительно неизвестной Y (ξ) с точностью до алгебраического
преобразования является четвертым уравнением Пенлеве.
4) Система, описывающая резонансное взаимодействие трех волн [443],
u
+ cju
j, t
u
+ cju
j, t
− iukul=0,
j, x
+ iukul=0,i2= −1,
j, x
(4.10)
94 ГЛАВА 4
где (j, k, l) означает перестановки (1, 2, 3), cj— постоянные значения
групповых скоростей, при (c
− c3)(c3− c1)(c1− c2) =0допускает
2
редукцию при введении переменной ξ = x/t [253]. Общее решение
полученной редукции [301, 83] является решением с точностью до алгебраического преобразования шестого уравнения Пенлеве.
К этой гипотезе вернемся в конце раздела 4.3.
4.2. Солитонные уравнения
Существует весьма важный класс УЧП, описывающих физически ин-
тересные задачи. Это так называемые УЧП, имеющие решения в виде уединенных волн — солитонов, солитонные уравнения. Некоторые из них уже
были перечислены в предыдущих главах: уравнение Кортевега–де Фриза,
нелинейное уравнение Шредингера,триУЧП(2.82), связанные с гамильто-
нианом Хенона– Хейлеса третьего порядка.
Описание этих уравнений можно найти, например, в [273; 49; 1, с. 19]
или [126, с. 15]. Если говорить коротко, то они имеют класс решений, описывающих нелинейное взаимодействие произвольного числа N элементарных волн (часто называемых физиками «солитонами») с таким удивительным свойством, как сохранение своей формы неизменной после нелинейного взаимодействия.
Существование такого класса решений с N произвольными постоян-
ными является одним из критериев интегрируемости [442]. Действительно,
в отличие от случая обыкновенных дифференциальных уравнений нет единого определения понятия интегрируемости нелинейного УЧП.
Для того чтобы осветить этот вопрос достаточно полно, необходимо
дать несколько определений.
Определение 4.3. [Уже было дано на стр. xi] Бегущей волной данного
УЧП E(u, x, t)=0называется любое решение редукции УЧП в перемен-
ных бегущей волны ξ = x − ct, если оно существует.
Определение 4.4. Уединенной волной данного УЧП E(u, x, t)=0
называется бегущая волна, такая, что само решение или его производная
убывают по определенному закону, при стремлении действительной переменной ξ = x − ct к ±∞.
ненной волной, тем не менее она может быть сведена к виду (3.45). Решение (3.45) экспоненциально убывает и стремится к некоторой константе B.
4.2. СОЛИТОННЫЕ УРАВНЕНИЯ 95
Другими примерами уединенных волн являются бегущие волны, рас-
смотренные в предыдущих главах, такие как
1
(1.11), (1.14), (3.45), (3.59),
(3.60), (3.104), (3.120), (3.121), (3.122).
Прежде введения корректного определения упомянутого выше реше-
ния, описывающего нелинейное взаимодействие N элементарных волн,
требуется ввести весьма важное определение.
Определение 4.5. [20; 115, т. III, гл. XII; 377] Преобразованием Бек-
лунда (ПБ) между двумя данными УЧП
E
(u, x, t)=0,E2(U, X, T )=0 (4.11)
1
называется пара соотношений
F
(u, x, t, U, X, T)=0,j=1, 2(4.12)
j
с некоторым преобразованием между переменными (x, t) и (X, T),при
котором F
образом, что исключение u (соответственно U )из(F
(U, X, T )=0(соответственно к E1(u, x, t)=0). В случае, когда
к E
2
зависит от производных функций u(x, t) и U (X, T) таким
j
1,F2
) приводит
два УЧП совпадают, ПБ называется автопреобразованием Беклунда.
П
РИМЕР 4.1. Уравнение Лиувилля
Лиувилль: E(u) ≡u
+ αeu=0 (4.13)
xt
допускает два преобразования Беклунда, одно из них не так интересно —
это автопреобразование ПБ, а другое имеет вид
(u − v)
(u + v)
= αλe
x
= −2λ−1e
t
, (4.14)
(u−v)/2
(4.15)
(u+v)/2
к линейному уравнению, называемому уравнением Д’Аламбера
Д’Аламбер: E(v) ≡ v
=0. (4.16)
xt
Поскольку общее решение последнего уравнения имеет вид: v = f (x)+
+ g(t),гдеf и g — произвольные функции, то введенное преобразование
1
Все эти волны убывают экспоненциально на бесконечности, но это не является обязательным условием. В качестве примера приведем алгебраическую уединенную волну УЧП
Бенжамина–Оно [27, 347, 1], которая имеет алгебраическую степень убывания на бесконечности.
96 ГЛАВА 4
Беклунда дает возможность легко получить общее решение уравнения
Лиувилля
(x)G(t)
F
2
u
e
= −
α
(F (x)+G(t))
. (4.17)
2
Надо отметить, что такая ситуация не является характерной.
Практическое использование авто-ПБ состоит в том, чтобы на основании известного решения построить новое решение данного уравнения,
даже если это известное решение является тривиальным.
Определение 4.6. Назовем любое постоянное решение данного УЧП
тривиальным решением.
Такими тривиальными решениями являются u =constдля уравнения
Кортевега–де Фриза (КдФ), модифицированного уравнения Кортевега–де
Фриза (мКдФ), нелинейного уравнения Шредингера (НШ) и т. д. В результате итерационного применения к тривиальному решению авто-БТ можно
получить интересные с физической точки зрения решения (это будет сделано в разделе 5.6).
З
АМЕЧАНИЕ. Решение в виде плоской волны в общем случае не су-
ществует для нелинейных УЧП, за несколькими редкими исключениями —
уравнениями, инвариантными относительно фазы, такими как НШ (2.47),
КГЛ3 (2.45),КГЛ5(3.65), следовательно, его наличие еще не означает, что
УЧП относится к солитонным уравнениям.
Определение 4.7. Односолитонным решением назовем первую итера-
цию тривиального решения посредством преобразования Беклунда.
Многие авторы также выдвигают требование, чтобы односолитонное решение было уединенной волной. Термин солитон, который обычно
используется вместо либо «односолитонного решения» (светлое односо-
литонное решение или темное односолитонное решение, рассмотренные
в разделе 3.1.3), либо «уединенной волны», не используется в данной книге
для того, чтобы избежать такой путаницы.
Определение 4.8. N -солитонным решением с N произвольными по-
стоянными назовем N-ю итерацию тривиального решения посредством
преобразования Беклунда.
Определение 4.9. Солитонным уравнением назовем уравнение в част-
ных производных, допускающее N-солитонное решение с N произвольными постоянными.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]