Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метод Пенлеве и его приложения
.pdf
3.1. ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СЛУЧАИ 47
где введены обозначения
K
= −4
2
p
6e
q
g
2
2
−
0
2
2
,K
1
= −
!
2
p
q
3
(4e
− g2e0− g3). (3.53)
0
Решение (3.52) зависит от четырех фиксированных констант p, q, c, ω (параметров ОДУ) и трех произвольных постоянных ξ
вольных постоянных постоянная (ξ
менной x,адведругие(g
2,g3
) определяет начальное значение пере-
0
) (или, что эквивалентно, (K1, K2)) представ-
, g2, g3. Из этих произ-
0
ляют для нас больший интерес. Введем a как корень уравнения ℘(a)=e
тогда решение (3.52) может быть записано в виде
⎧
⎪
M = −2
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
ϕ
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
℘(a)=(4ωp − c
p
(℘(ξ −ξ
q
j
c
+
=
2p
2
) − ℘(a)),
0
℘
(a)
℘(ξ − ξ0) − ℘(a)
2
)/(12p2).
2
,j
= −1,
(3.54)
√
Модуль |A| =
невыполнении этого условия модуль имеет характер поведения, подобный
1/2
(ξ ±a)
в окрестности ξ = ∓a. Далее, т. к. переменные e
ют одну и ту же ветвь, то, следовательно, обе функции A и
M является однозначной функцией, если ℘(a)=0,при
±i arg A
определя-
A будут одно-
значными. Проведя интегрирование ϕ в явном виде, получаем [9, § 18.7.3]
℘
(a)
dξ
℘(ξ) −℘(a)
=2ζ(a)ξ +lnσ(ξ −a) − ln σ(ξ + a). (3.55)
,
0
Здесь мероморфная функция ζ является первообразной для −℘,нечетная
целая функция σ(z) ведет себя в окрестности z =0как z, и выражения
iωt
e
A и e
−iωt
A являются глобально однозначными функциями переменной
ξ (но не эллиптическими) [82]:
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
e
e
iωt
−iωt
A =−
A =−
2p
℘(ξ) −℘(a)e
q
2p
q
℘(ξ) −℘(a)e
ijζ (a)ξ
−ijζ (a)ξ
σ(ξ −a)
σ(ξ + a)
σ(ξ −a)
σ(ξ + a)
ij/2
icξ/(2p)
e
−ij/2
,j2= −1,
−icξ/(2p)
e
.
(3.56)
48 ГЛАВА 3
ЗАМЕЧАНИЕ. Многозначность модуля√M имеет место и для стационарного линейного уравнения Шредингера (Штурма–Лиувилля) квантовой
механики
+ f (x)ψ =0, (3.57)
ψ
где ψ — комплексная, а f — действительная функции (подробнее см. в разделе 7.6.1).
Те из бегущих волн, которые экспоненциально затухают при ξ = ±∞,
получены при таких значениях параметров уравнения, когда эллиптические
функции (двоякопериодические) вырождаются в тригонометрические (однопериодические) согласно формулам (3.42). Можно также использовать
связь с функциями Якоби
x
℘
√
e1− e
,g2,g
2
e
− e
2
3
1
+(e1− e3)cs2(x, k),k2=
= e
e1− e
3
, (3.58)
3
которые при таких значениях параметров вырождаются в тригонометрические. Таким образом, найдены решения
1) светлый солитон [444], который существует при сфокусированном режиме pq > 0,
pq > 0: A =
p
k sech(k(x − ct)e
2
q
c
i
2p
x+ip
k2−
2p
2
c
t
;(3.59)
2) темный солитон [446], который существует при несфокусированном
режиме pq < 0,
pq < 0: A =
−2
p
q
k
2
× e
k
th
(x − ct)− iK −
2
2
iKx−2ip
k
4
K−
2p
c
×
2p
c
2
1
2
+
t
K
2
.
(3.60)
Причиной, по которой достаточно просто были проинтегрированы
в явном виде редукции уравнений Кортевега–де Фриза и нелинейного уравнения Шредингера, явилось то, что эти уравнения обладают свойством Пенлеве. Отметим, что первые интегралы (g
Фриза, K
, K2— для нелинейного уравнения Шредингера) могли быть по-
1
, g3— для уравнения Кортевега–де
2
строены с использованием других методов, включающих построение пар
Лакса [276, 148], однако здесь мы на них останавливаться не будем.
3.2. ЧАСТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ УРАВНЕНИЯ 49
Для ОДУ, не обладающих свойством Пенлеве, нахождение всех воз-
можных частных решений является вовсе не простой задачей. Перейдем
к рассмотрению этого вопроса.
3.2. Частично интегрируемые уравнения
Рассмотрим основные методы нахождения однозначных решений для
ОДУ, которые не проходят тест Пенлеве. К ним относятся методы усечения, метод разложения решения исходного уравнения по решениям некоторого другого уравнения. Результатом применения этих методов является
получение решений в виде эллиптических или вырожденных эллиптических функций, т. е. рациональных функций от e
3.2.1. Редукция уравнений Курамото–Сивашинского и комплексного
уравнения Гинзбурга–Ландау третьей степени в переменных
бегущей волны
Уравнения, рассматриваемые ниже, не прошли тест Пенлеве, однако
они не прошли его не настолько плохо, чтобы не оставалась возможность
нахождения однозначных частных решений в замкнутой форме. Наша цель
состоит в нахождении всех таких решений.
В качестве основных уравнений для исследования выберем редукцию
в переменных бегущей волны уравнения Курамото–Сивашинского (2.25),
определенную в (2.27)
2
vU
+ bU+ μU+
U
2
и редукцию уравнения Гинзбурга–Ландау третьей степени (2.45) в переменных бегущей волны (3.47), которое в комплексной форме имеет вид
M
2M
2
M
−
+ iϕ− ϕ2+ iϕ
2
4M
i
M
M
cM
−
p
2M
Приравниваем к нулю действительную и мнимую части и получаем систему третьего порядка относительно переменных (M, ϕ
cM
2M
cM
i
2M
+ γ− s
+ γ+ s
(cϕ+ ω)+diM =0,
i
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
M
2M
ϕ
+ ϕ
2
M
4M
M
M
− ϕ2− s
2
− s
r
−
kx
или от x.
+ A =0,v=0, (3.61)
1
(cϕ
+
(cϕ+ ω)+drM =0,
r
+ ω)+
p
q
p
)
M −
iγ
p
=0.
(3.62)
используемые здесь обозначения приведены в (2.52).
50 ГЛАВА 3
Два этих примера рассматриваются как независимые, хотя существует
представление решения в виде возмущения в смысле раздела B.1, которое
приводит УЧП Гинзбурга–Ландау третьей степени к УЧП Курамото–Сивашинского [365, 278].
3.2.1.1. Отсутствие первого интеграла
В отличие от уравнения КдФ (3.35) ОДУ (2.27), исследованное в разделе 2.1.2, не имеет интегрирующего множителя. Докажем это.
При поиске семейства решений U ∼ 2aχ
−2
редукции уравнения КдФ
(3.34) последовательно находятся первые интегралы (3.35), (3.36).Локальный анализ особенностей дает такую последовательность неиспользованных индексов Фукса
(−1, 4, 6) →(−1, 6) → (−1). (3.63)
Аналогичная последовательность индексов Фукса для уравнения Курамото–Сивашинского имеет вид
−1,
13 + i
√
71
13 − i
,
2
→
√
71
2
−1,
13 − i
√
71
2
→ (−1). (3.64)
Для построения такой последовательности следовало бы отделить один
комплексный корень от его комплексно сопряженного, что невозможно, следовательно, ОДУ (2.27) не допускает первый интеграл.
3.2.1.2. Подсчет произвольных постоянных
Для неинтегрируемых уравнений вида (2.1),подобных(2.27) или системе (3.62), число произвольных постоянных в выражении, представляющем решение в замкнутой форме, строго меньше порядка ОДУ. Разность
между ними характеризует степень интегрируемости ОДУ и может быть
точно определена на основании проведенного локального анализа.
Для уравнения (2.1) возможны два способа представления общего решения. Один из них хорошо известен, но для нашего исследования бесполезен — это представление решения в виде ряда Тейлора в окрестности регулярной точки. Существование, единственность, сходимость, голоморфность
и т. д. такого решения вытекают из теоремы существования Коши, например (2.43) для уравнения Курамото–Сивашинского (2.27).Бесполезность
объясняется тем, что в этом случае невозможно различить ОДУ, имеющие
хаотические решения, и интегрируемые ОДУ, такие как u
−12uu−1=0
(П1).
3.2. ЧАСТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ УРАВНЕНИЯ 51
Второй способ — это представление решения в виде ряда Лорана (или
в более общем случае в виде пси-ряда и/или ряда Пюизе) в окрестности
подвижной особой точки x
. Именно этот способ даст нам возможность
0
получить необходимую информацию.
В случае ОДУ Курамото–Сивашинского (2.27) было обосновано с фи-
зической точки зрения [404], что два комплексно сопряженных индекса
с иррациональной мнимой частью (13 ± i
√
71)/2 отвечают за плотно рас-
полагающиеся подвижные ветви решения в комплексной плоскости и, как
следствие, за хаотическое поведение. Для того чтобы избежать такого поведения решения, необходимо потребовать выполнение условий εc
= εc−=
+
=0,т.е.ε =0, что сводит число произвольных постоянных к одной в ана-
литической части решения.
Аналогичные рассуждения можно провести для нелинейного уравне-
ния Гинзбурга–Ландау и его двух иррациональных индексов Фукса (7 ±
√
1 − 24α2)/2, уравнение (2.58).
Поставим задачу найти замкнутую форму представления однозначного решения, зависящего от максимально большего числа (здесь от одной)
произвольных постоянных.
Назовем недоступной любую константу интегрирования, которая не
может присутствовать в замкнутой форме какого-либо решения. ОДУ
КС (2.27) имеет две таких константы, третья — x
является несуществен-
0
ной, поскольку отражает инвариантность уравнения (2.27) относительно
сдвига x.
Назовем общим аналитическим решением замкнутую форму решения,
которое зависит от максимально большего числа доступных констант интегрирования. Наша задача состоит в том, чтобы найти замкнутую форму
выражения для такого общего аналитического решения, локальным представлением которого является ряд Лорана, аналогичный (2.36).
Введенные выше определения (недоступной, несущественной константы интегрирования) порождены прежде всего уравнением, а не решением.
Введем другое целое число, связанное с решением, которое является мерой
расстояния решения до общего аналитического решения.
Расстоянием замкнутой формы решения до общего аналитического
решения назовем число налагаемых соотношений между фиксированными
константами (параметрами уравнения или системы) и доступными, существенными произвольными постоянными.
Для ОДУ КС (2.27) фиксированными константами являются v, b, μ,
A, произвольные константы c
= εc+, c2= εc−являются недоступными,
1
так что расстояние d равно числу ограничений, накладываемых на фиксированные константы (параметры уравнения).
52 ГЛАВА 3
Для КГЛ3 системы (3.62) произвольные постоянные x0, ϕ0являются
несущественными, произвольные постоянные, соответствующие индексам
√
(7 ±
1 − 24α2)/2, являются недоступными, так что расстояние d также
равно числу ограничений, накладываемых на параметры уравнения. В работе [197] исследование КГЛ3 проводилось с другой точки зрения — на
основе возможных топологических структур (фронты, источники, стоки
и т. д.), и получены те же результаты.
В таблице 3.1 суммированы результаты подсчета произвольных постоянных для неинтегрируемых ОДУ, рассмотренных в данном разделе. Для
удобства, а также потому, что это представляет большой физический интерес, в таблице приведены результаты и для редукции следующих УЧП
с использованием переменной бегущей волны:
1) одномерное комплексное уравнение Гинзбурга–Ландау пятой степени
(КГЛ5),
+ pAxx+ q|A|2A + r|A|4A − iγA =0,pr=0, Im(p/r) =0,
iA
t
(A, p, q, r) ∈ C,γ∈ R ,
(3.65)
2) уравнение Свифта–Гогенберга [401, 279] (СГ)
iA
+ bA
t
+ pAxx+ q|A|2A + r|A|4A − iγA =0,br=0,
xxxx
(A, b, p, q, r) ∈ C,γ∈ R,
(3.66)
где b, p, q, r, γ — константы,
3) два связанных одномерных уравнения КГЛ3
E ≡
t
iB
− ivBx+ pBxx+ q(|B|2+ δ|A|2)B −iγB =0,
t
(3.67)
+ ivAx+ pAxx+ q(|A|2+ δ|B|2)A − iγA =0,
iA
где параметр, входящий в оба уравнения, δ — комплексная константа,
а v — групповая (действительная) скорость. Эта пара уравнений описывает, например, амплитуды двух лазеров [382], пространственно-временную перемежаемость [11, 203], гидротермические волны [48].
Как для уравнения КС (2.25), так и для уравнения КГЛ3 (2.45) имеют-
ся некоторые экспериментальные данные, подтверждающие (но не доказывающие) существование общего аналитического решения. Действительно,
3.2. ЧАСТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ УРАВНЕНИЯ 53
компьютерное моделирование так же, как и реально проведенные эксперименты (см. [378]), иногда обнаруживает регулярные структуры в плоскости
(x, t), и некоторые из них описываются аналитически. Для других структур не ясно, существуют ли аналитические выражения, описывающие их.
Так, для уравнения КС (2.25) наблюдалась гомоклиническая
4
уединенная
волна [406, Fig. 7] u = f (ξ), ξ = x − ct, в то время как на сегодняшний
день все известные решения являются гетероклиническими. Для уравнения КГЛ3 (2.45) было предсказано [196] существование четырех решений,
интересных с физической точки зрения, которые представляют собой гомоклиническую впадину (солитон с отрицательной амплитудой), распространяющуюся с произвольной скоростью c.
Обратимся к методам, которые дадут возможность получить точные
решения, разумеется, в замкнутой форме.
Таблица 3.1. Целые числа, характеризующие аналитическое решение неинтегрируемого ОДУ. Терминология (несущественные, недоступные) введена в разд. 3.2.1.2.
Столбец «Подходящие» указывает число существенных, доступных констант интегрирования. Это число равно алгебраической сумме «Порядок» — «Несущественные» — «Недоступные»
Уравнение Порядок Несущественные Недоступные Подходящие
КГЛЗ 4 2=ξ0, ϕ
2КГЛЗ 8 3=ξ0, ϕ
КГЛ5 4 2=ξ0, ϕ
КС 3 1=ξ
0
СГ 8 2=ξ0, ϕ
0
A, 0
0
0
, ϕ
B, 0
2 0
5 0
2 0
2 0
6 0
3.2.2. Эллиптические решения в переменных бегущей волны
Построив общее решение в переменных бегущей волны, выраженное
через эллиптические функции, для уравнений КдФ и НШ, зададимся вопросом, а не существует ли общее аналитическое решение и для уравнений
КС или КГЛ3, также выраженное через эллиптические функции? Оказывается, что ответить на такой вопрос — (найти все эллиптические решения)
значительно проще [224], чем найти все тригонометрические решения.
Действительно, эллиптические функции (двоякопериодические функции на комплексной плоскости) имеют следующее хорошее свойство. В па-
4
Решение называется гомоклиническим, если при стремлении действительной переменной
ξ = x − ct к ±∞ оба предела решения равны, иначе решение называется гетероклиническим.
54 ГЛАВА 3
раллелограмме периодов любая эллиптическая функция обладает одинаковым количеством полюсов и нулей (с учетом кратности) и сумма вычетов в полюсах равна нулю. Например, функция ℘ имеет два простых нуля
и один полюс второго порядка, разложение в ряд Лорана в окрестности
полюса имеет вид
℘(x, g
и коэффициент при x
)=
2,g3
−1
равен нулю. Аналогично, любая из двенадцати
+
2
20
x
g
1
g
2
3
2
x
4
x
+
+ O (x6), (3.68)
28
функций Якоби pq имеет два простых нуля и два простых полюса, с разложением
pq(x, k)=±
c
x − x
+ O (x − x0),c=0, (3.69)
0
так что сумма двух вычетов снова равна нулю.
3.2.2.1. Необходимые условия для эллиптических решений
Предположим, что ОДУ КС (2.27) или система КГЛ3 (3.62) имеют
эллиптическое решение. Для ОДУ КС (2.27), которое допускает только
одно семейство подвижных полюсов третьего порядка, это означает, что
параллелограмм периодов содержит один полюс третьего порядка и три
простых нуля, и критерий равенства нулю вычетов, примененный к ряду
Лорана (2.36), является необходимым условием [224],
2
− 16μv =0. (3.70)
b
Для системы КГЛ3 (3.62), как следует из ОДУ НШ, рассмотренного в разделе 3.1.3, неизвестными переменными являются M или ϕ
. Эти переменные допускают два семейства подвижных особых точек. Ряды Лорана в их
окрестности имеют вид:
χ
2
χ
d
r
c
+ O (χ).
r
−2
−2
1+
1+
cs
i
χ + O (χ
3
cs
i
χ + O (χ
3
2
2
),
(3.71)
),
(3.72)
⎧
⎪
⎪
M =
⎨
=0:
d
i
⎪
⎪
⎩
ϕ
=
в вырожденном случае d
⎧
⎪
⎪
⎨
d
=0:
i
⎪
⎪
⎩
± 3Δ
9d
r
2
2d
i
c
+ O (χ),
2p
r
=0имеется только одно семейство
i
M = −
ϕ
=
2p
3.2. ЧАСТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ УРАВНЕНИЯ 55
Если бы решение было эллиптическим, то параллелограмм периодов должен был бы содержать два полюса второго порядка и четыре простых нуля
при выполнении необходимого условия обращения в нуль суммы двух вычетов в (3.71),
=0:drcsi=0. (3.73)
d
i
В вырожденном случае d
=0для одного ряда Лорана (3.72),т.е.для
i
случая одного полюса второго порядка и двух простых нулей, необходимые
условия принимают вид
=0:csi=0, (3.74)
d
i
следовательно, в итоге необходимые условия будут
∀d
: drcsi=0. (3.75)
i
Можно получить бесконечно много необходимых условий, если рассматривать рациональные функции от M и ее производных, например M
n
или ϕn,
где n целое, и окончательно необходимые условия имеют вид [225, 419]
=0, ∀dr: csi=0,gr=0,gi=0,
d
i
d
=0:csi=0.
i
При выполнении условий g
3
− 27g
2
2
=0эллиптическая функция вы-
3
(3.76)
рождается в тригонометрическую, в этом случае критерий вычетов не имеет места, и требуются значительно более сложные методы для того, чтобы
получить все тригонометрические решения ОДУ. Это будет темой обсуждения в разделах 3.2.5 и 3.2.8.
3.2.2.2. Эллиптические решения
Зная необходимые условия (3.70) и (3.76), каким должны удовлетворять КС ОДУ (2.27) исистемаКГЛ3(3.62), для того, чтобы существовали
эллиптические решения, перейдем к их построению.
Существует два подхода к нахождению этих эллиптических решений.
Достоинство первого подхода [321] состоит в том, что этим методом возможно найти все эллиптические решения без введения дополнительных
предположений о виде решения. Однако он требует применения численных
методов. Это метод будет рассмотрен в разделе 3.2.5. Второй подход, который здесь будет представлен, более прост. В этом случае решение ищется
среди функций определенного класса, а это приводит к тому, что не все
возможные эллиптические решения могут быть найдены.
56 ГЛАВА 3
Подобно всем другим методам, рассмотренным в разделах 3.2.3.2
и 3.2.4, данный метод предполагает предварительное введение класса функций с учетом структуры особенностей. С учетом того, что КС ОДУ (2.27)
имеет полюс третьего порядка u ∼ 120vχ
−3
, а функция Вейерштрасса ℘
имеет полюс второго порядка, будем искать решение в полиномиальном
виде [154, 262]:
u = c
℘+ c1℘ + c2,c0=0. (3.77)
0
После подстановки в КС ОДУ (2.27) и исключения производной от ℘ сиспользованием соотношений
g
℘
=6℘2−
2
=4℘3− g2℘ − g
℘
левая часть уравнения (2.27) становится так же, как и выражение (3.77),
полиномиальным выражением относительно ℘, ℘
2
, (3.78)
2
3
,содержащим℘впервой
(3.79)
степени.
E(u)=E
3, 0
℘3+ E
℘℘+ E
1, 1
2, 0
℘2+ E
0, 1
℘+ E
1, 0
℘ + E
=0. (3.80)
0, 0
Следовательно, необходимо решить систему шести определяющих уравне-
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
=0:
j, k
E
≡ c
(120v +2c
≡ 12bc0+ c0c1+12vc1=0,
E
1, 1
≡ 6μc0+6bc1+
E
2, 0
≡ c0c2+ μc1=0,
E
0, 1
E
≡ c1c2−
1, 0
≡ A − 12vg3c0+
E
0, 0
1
g
2
2
)=0,
2
c
1
=0,
2
2
c
− 18vg2c0=0,
0
1
2
(c
− bg2c1− μg2c0− g3c
2
2
, c1, c2, g2, g3. В соответствии с общим
0
2
)=0,
0
(3.81)
ний E
относительно пяти неизвестных c
правилом эти определяющие уравнения решаются в порядке убывания степени особенности (так же, как и для рядов Лорана), здесь −6, −5, −4, −3,
−2, 0. Решение имеет вид [154, 262]
⎧
⎪
⎪
u = −60v℘
⎨
⎪
⎪
2
⎩
b
=16μv, g2=
− 15b℘ −
μ
12v
bμ
4v
2
,g3=
2
,
13μ
1080v
3
+ vA
,
3
(3.82)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]