Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метод Пенлеве и его приложения
.pdf
7.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 197
2) Трехточечное отображение [184]
u
+ un+ u
n+1
В обоих примерах точки x
представляют собой арифметическую по-
n
n−1
−
αn + β
u
n
=0. (7.2)
следовательность (расположены на равном расстоянии на числовой прямой). Эти уравнения называются конечно-разностными уравнениями.
Для удобства введем обозначения
u = u
, u = u
n
n+1
,u= u
, u = u
n−1
, ... . (7.3)
n+2
Логистическое отображение (7.1) было введено в 1845 г. Ферхюльстом
для описания развития популяции в замкнутой области. Оно описывает хаотическое поведение [408, 140], но при h → 0 уравнение (7.1) имеет непре-
рывный предел, который представляет собой линеаризуемое ОДУ первого
порядка. Для нахождения этого предела необходимо представить u
ввиде
k
ряда Тейлора первого порядка по переменной h (действительно, для двух
дискретных точек невозможно ввести производные второго порядка, так
что непрерывный предел, если он существует, с необходимостью представляет собой ОДУ первого порядка):
u
= u(x),u
n
= u(x − h)=u(x) − hu+ O (h2). (7.4)
n−1
Эта замена приводит к
a(u − hu
)(1 − u + hu) − u + h.o.t. =0. (7.5)
И решение u(x) и коэффициент a должны зависеть от h для того, чтобы
в пределе было бы получено ОДУ первого порядка. Введем масштабное
преобразование
u(x)=h
b
U(x). (7.6)
При этом уравнение (7.5) принимает вид
b−1U2
+ h
U
− 2hbUU+ h
b+1U2
+
1 − a
U + h.o.t. =0. (7.7)
ah
Потребуем существование предела (это потребует также и масштабное преобразование коэффициента a) и нелинейность предельного ОДУ (это определяет значение показателя степени коэффициента при U
временное масштабное преобразование поля u
и параметра a называется
n
2
). Такое одно-
198 ГЛАВА 7
двойным масштабным преобразованием. Окончательный результат имеет
вид
b =1,a=1+hA, U
+ U2− AU =0. (7.8)
Следовательно, хаотическое логистическое отображение допускает непрерывный предел, представляющий собой линеаризуемое нелинейное уравнение первого порядка, а именно уравнение Риккати, которое обладает
(непрерывным) свойством Пенлеве.
Второй пример (7.2), очевидно, не обладает непрерывным пределом,
но это уравнение не описывает хаотическое движение и имеет некоторые
регулярные свойства, о которых будет сказано в разделе 7.3.1.
Если теперь рассмотреть преобразование в обратном порядке (от
непрерывного к дискретному), то естественным образом придем к заключению, что логистическое отображение является неудовлетворительной дис-
кретизацией уравнения Риккати в том смысле, что линеаризуемость не сохраняется. Следовательно, возникают вопросы:
1) Как определить «хорошее» дискретное уравнение?
2) Как отличить «хорошее» дискретное уравнение от «плохого» дискрет-
ного уравнения?
З
АМЕЧАНИЕ. Слово «дискретизация» имеет два значения, которые
не следует путать. В численном анализе вопрос нахождения решения для
непрерывного дифференциального уравнения N-го порядка при заданных
начальных условиях и точности состоит в выполнении локального интегрирования. Метод выполнения этого локального интегрирования определяется выбором схемы дискретизации (разностной схемы), которая даст
возможность достичь требуемой точности. Порядок разностной схемы (например схема Рунге–Кутта четвертого порядка) не связан с порядком N
дифференциального уравнения. А вопрос о сформулированной выше дискретизации является глобальным в том смысле, что дискретизация должна
сохранять некоторые глобальные свойства уравнения, такие как однозначность или многозначность общего решения, дифференциальный порядок
(т.е. число произвольных постоянных в общем решении), интегрируемость
(в общем смысле) или неинтегрируемость.
Ответ на первый из сформулированных вопросов эквивалентен введению определения дискретного свойства Пенлеве, которое в случае дискретного уравнения, допускающего непрерывный предел, является экстраполяцией (непрерывного) свойства Пенлеве, но которое необходимо определить для дискретного уравнения независимо от непрерывного предела.
7.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 199
Ответ на второй вопрос эквивалентен разработке дискретного теста
Пенлеве для определения необходимых условий, при которых дискретное
уравнение обладает дискретным свойством Пенлеве.
Будем рассматривать главным образом следующие три типа алгебраических дискретных уравнений, в которых дискретные точки (число которых
N +1, N 1) расположены одна за другой на одномерной или двумерной
сетке.
1) Разностные уравнения, в которых точки x
= x0+ nh расположены на
n
равных расстояниях на прямой,
∀x∀h: E(x, h, {u(x + kh),k− k
=0, ..., N})=0, (7.9)
0
алгебраические относительно поля переменной, с коэффициентами
аналитическими относительно x ишагаh.
2) q-разностные уравнения, в которых точки x
= x0qnрасположены
n
равномерно на окружности,
∀x∀q : E(x, q, {u(xq
k
),k− k0=0, ..., N})=0, (7.10)
алгебраические относительно поля переменной, с коэффициентами
аналитическими относительно x ишагаq.
3) e-разностные уравнения [379], в которых зависимость от n коэффици-
ентов уравнения является эллиптической.
Для разностного дискретного УЧП дадим только один пример.
Определения порядка и степени уравнения, введенные для непрерыв-
ных ОДУ, естественным образом обобщаются на дискретные уравнения.
По определению порядок разностного уравнения на единицу меньше числа дискретных точек x
в дискретном уравнении, а степенью уравнения
n
называется наибольшая степень двух полиномов в левой части E уравнения в двух крайний дискретных точках (u(x) и u(x + Nh) для разностного
уравнения, u(x) и u(xq
N
) для q-разностного уравнения), где относитель-
но E предполагается, что она является полиномом.
Дискретные уравнения для некоторых частных случаев изучались Ла-
герром [267], главным образом для трехчленных (N =2) рекуррентных
соотношений между коэффициентами ортогональных многочленов. Долгое
время дискретные уравнения оставались темой исследования классической
математики [395, 156], а затем они стали предметом изучения и топологии
[30, 235]. В конце концов, с дискретным уравнением
E ≡−(
u − 2u + u)/h2+2(u + u + u)u + x =0, (7.11)
200 ГЛАВА 7
уже рассматривавшимся авторами, указанными в последних пяти ссылках,
вновь столкнулись статистические физики в области двумерной квантовой
теории гравитации [41, 124, 192] и идентифицировали его как дискретный
аналог первого уравнения Пенлеве П1
E ≡−u
+6u2+ x =0. (7.12)
То же самое произошло вскоре и с дискретным аналогом второго урав-
нения Пенлеве П2 [356, 329] (для частного случая α =0
E ≡−(
E ≡−u
u − 2u + u)/h2+(u + u)u2+ xu + α =0, (7.13)
+2u3+ xu + α =0. (7.14)
1
):
7.2. Дискретное свойство Пенлеве
В противоположность непрерывному случаю до сих пор отсутствует
единое определение дискретного свойства Пенлеве. На сегодняшний день
используются два определения.
1) [87] Существует некоторая окрестность точки h =0(соответственно
q =1) в которой общее решение x → u(x, h) (соответственно x →
u(x, q)) не имеет подвижных критических особых точек.
2
2) [2, с. 902] Неванлинновский порядок
сти является конечной величиной, и все ряды, представляющие общее
решение, не содержат дигамма-функций
Однако ни одно из этих определений не является удовлетворительным.
Действительно, первое определение не касается тех дискретных урав-
нений, которые не имеют непрерывного предела, например таких как (7.2),
а второе не приложимо к непрерывному уравнению П6, которое имеет бесконечный неванлинновский порядок роста.
Несмотря на отсутствие строгого определения дискретный тест Пе-
нлеве был разработан для получения необходимых условий существования
указанных выше свойств. Это является темой следующих трех разделов.
С этой точки зрения исключительно важным является сингулярный
локализационный метод [184], который весьма эффективно обнаруживает
1
Для того чтобы рассмотреть случай ненулевого α, в физических моделях необходимо
снять предположение о четности u, а это приведет к серьезным техническим трудностям.
2
Теория Неванлинны кратко изложена в приложении D.
3
Дигамма-функции, согласно этому автору, в дискретном случае являются аналогом по-
движных логарифмических особенностей в непрерывном случае.
роста решения на бесконечно-
3
.
7.3. ДИСКРЕТНЫЙ ТЕСТ ПЕНЛЕВЕ 201
свойство, пока еще строго не определенное, но которое несомненно будет
важной составной частью точного определения дискретного свойства Пенлеве.
Дискретное свойство Пенлеве инвариантно относительно дискретного
аналога (А.5), который является группой нелокальных дискретных бирациональных преобразований
u = r(x, h или q, U,
U = R(X, H или Q, u,
U, U, ...),
u, u, ...),
(7.15)
X = ξ(x, h или q),H= η(h),Q= κ(q),
(r и R рациональны относительно U,
U, U, ..., u, u, u, ..., аналитичны
по x ишагу;ξ, η, κ аналитичны). Существует два дискретных аналога подгруппы дробно-рациональных преобразований (1.43), и оба аналога могут
быть полезны для построения классификации, аналогичной классификации
Гамбье. Первый их этих аналогов является группой преобразований (7.15),
которые в непрерывном пределе сводятся к дробно-рациональным преобразованиям (1.43), где (a, b, c, d, ξ) — произвольные аналитические функции
от x и шага. Второй аналог является группой локальных дробно-рациональных преобразований (r и R дробно-рациональны относительно U и u
не зависят от
U, U, ..., u, u, ..., аналитичны по x ишагу;ξ, η, κ анали-
тичны).
7.3. Дискретный тест Пенлеве
Ниже будут рассмотрены три метода, каждый из которых дает возмож-
ность получить необходимые условия свойства Пенлеве.
7.3.1. Метод локализации сингулярности
Разработанный Грамматикосом и др. [184], этот тест основывается на
том принципе, что если сингулярность представляет собой полюс, то на
достаточно большом расстоянии от полюса его влияние уже не сказывается. Более точно, если поле u имеет полюс в точке x
плоскости x
на комплексной
0
u(x) ∼ u
χp,χ= x − x0→ 0,u0=0, −p ∈ N, (7.16)
0
то оно является регулярным в некоторой точке x
∀x
|0: u(x0+ x1) = ∞. (7.17)
1|x1
+ x1,гдеx1конечно,
0
202 ГЛАВА 7
Когда u удовлетворяет дискретному уравнению порядка N , то реализация
этого «условия локализации» состоит в требовании выполнения условия
(7.17) для N последовательных итераций, т.е. условия, которое гарантирует
в общем выполнение того же свойства для следующих итераций. Влияние
полюса сказывается только на конечном числе итераций.
Более конкретно сначала проверяется (локализация в прошлом) суще-
ствование некоторого исходного условия, для которого N регулярных значений u(x − Nh), ..., u(x − h) обеспечивают сингулярное значение для
u(x) ∼ u
/ε,гдеε означает бесконечно малую величину, а u0конечна при
0
ε → 0. Затем рассчитываются следующие итерации, которые могут быть
сингулярными или регулярными, и требуется существование N регулярных
последовательных итераций для того, чтобы была возможна локализация
вбудущем.
Рассмотрим в качестве примера рациональное отображение второго
порядка первой степени [184]
b
u
n+1
+ un+ u
n−1
− an−
n
=0,bn=0, (7.18)
u
n
для которого (7.2) является частным случаем.
Единственной особенностью, которую следует тестировать на предмет
локализации, является полюс u
u
= произвольное отличное от нуля
n
конечное значение,u
=0. Полагаем исходное условие
n
= ε.
n+1
(7.19)
Последовательными итерациями являются:
b
=
= −
= a
+
=
(a
n+1
ε
b
n+3
(a
a
n+3
n+1
ε
n+1
n+3
+ a
+ a
− a
− a
− a
− un− ε, (7.20)
n+1
n+2
−
n+2
− un)(b
n+2
)ε + O (ε2)
n+2
− a
b
+ O (ε)
n+3
n+2
+ un+
n+1
2
b
n+1
+ b
+ b
n+2
b
n+1
n+3
− b
) − a
, (7.23)
u
u
u
u
n+2
n+3
n+4
n+5
b
n+2
ε + O (ε2), (7.21)
b
n+1
n+1
ε+
n+2bn+3
ε2+ O (ε3), (7.22)
7.3. ДИСКРЕТНЫЙ ТЕСТ ПЕНЛЕВЕ 203
так что u
n+2
и u
сингулярны, u
n+3
регулярна, и потребуем, чтобы u
n+4
n+5
была регулярной при ε =0. Отсюда вытекает первое необходимое условие
∀n: a
Тогда с учетом (7.24) значение u
− b
b
u
n+5
n+4
=
(−b
n+3
n+3
n+5
n+3
− b
− a
имеет вид
− b
n+2
=0. (7.24)
n+2
n+2
+ b
+ b
n+1
+ O (ε)
n+1
)ε + O (ε2)
, (7.25)
требование регулярности дает второе необходимое условие
n+4
− b
∀n: b
и при выполнении (7.26) значение u
u
=
n+5
ab
n+3
− b
n+3
b
n+5
n+4
n+2
имеет вид
+ O (ε)
+(un− a)b
+ b
n+1
=0, (7.26)
n+1
+ O (ε)
, (7.27)
которое в общем является регулярным. Более того, зависимость пятой итерации u
от начальных условий (un,ε) не утеряна, так что отображение
n+5
сохраняет зависимость от особенности. На этом заканчивается применение
метода локализации особенности.
Два необходимых условия (7.24) и (7.26) могут быть проинтегрирова-
ны [184]
a
= a, bn= αn + β + γ(−1)n, (7.28)
n
где (a, α, β, γ) произвольные постоянные, следовательно, уравнение, отобранное тестом, имеет общую форму
n
=0. (7.29)
u
n+1
+ un+ u
n−1
αn + β + γ(−1)
− a −
u
n
Как будет показано в разделе 7.5, уравнение (7.29) имеет дискретное
свойство Пенлеве. Исследуем здесь его непрерывный предел.
Из-за наличия множителя (−1)
как избежать предположения о γ =0без достаточного обоснования, т. е.
как получить значение непрерывного предела для множителя (−1)
в более общем случае для множителя j
n
в уравнении (7.29) возникает вопрос:
n
n
,гдеj корень степени p из еди-
(или
ницы). Решением этого вопроса [183, с. 461] является представление поля
u
в виде пары полей, соответствующих четному и нечетному значению n.
n
204 ГЛАВА 7
Таким образом, при γ, отличном от нуля, одно уравнение (7.29) представляется в виде системы
⎧
u
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
= v
2m
≡ wm+ vm+ w
E
1
E
≡ v
2
m+1
,u
m−1/4
2m+1
m−1
+ wm+ vm− a −
= w
− a −
,
m−1/4
2αm − α/2+β + γ
2αm + α/2+β − γ
v
m
w
m
=0,
=0.
(7.30)
Важно заметить, что порядок (в данном случае он равен двум) не изменился в случае отображения членов (v
представления зависимости u
n+1
от (un,u
m+1,wm+1
n−1
) через (vm,wm) вместо
).
Для γ =0, a =0переход к непрерывному пределу в уравнении (7.29),
приводящий к ОДУ относительно U (x), может быть проведен в предполо-
жении
x − b
0
nh =
где константы a
, c0могут быть выбраны произвольно. Записываем члены
0
,u(x)=c0(1 + c1U(x)),c0c1=0, (7.31)
a
0
вплоть до второй производной
x − b
0
α(a0h)−3+
2
c
c
1
0
+(1/c
)(−3+c
1
−2
0
β + c
−1
a +(ac
0
−1
− 6)c1U − 3c
0
− (1 + c
1
2
U2)(a0h)−2−
1
U)U+ h.o.t. =0, (7.32)
и затем требуем, чтобы предельное уравнение имело второй порядок и было нелинейным. Результат предельного перехода представляет собой уравнение П1 (коэффициенты при U
, U2, x, которые представляют собой чис-
ленные константы, принимаются равными их обычным значениям −1, 6, 1),
Здесь (a
− U
+6U2+ x =0,c1= −2a
5
2
c
α = −2a
0,c0
h5+ -αh6,β= −3c
0
0
) могут быть принимать любые численные значения, а кон-
2
h2,a=6c0+ Ah3,
0
2
− c0Ah3+-βh4.
0
(7.33)
станты (A, -α,-β) являются регулярными при h,идущемкнулю.Эти
три последние константы отражают произвольность исходных параметров
(a, α, β), которые должны быть представлены в уравнении, и их не следует
полагать равными нулю.
7.3. ДИСКРЕТНЫЙ ТЕСТ ПЕНЛЕВЕ 205
ла определяется требованием инвариантности системы (7.30) [183, с. 461]
при замене (v
,h,α,γ) → (wm,vm, −h, −α, −γ):
m,wm
+ w
mh =
x − b
a
v
0
m
,
0
v
− w
m
2
m
= c
2
m
= c
0c1
(1 + c2h2W (x)),
0
hV (x).
(7.34)
Это является достаточным для представления v
m+1
и w
с точностью
m−1
до h в первой степени, и в результате имеем систему первого порядка
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
a =2c
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
γ = -γh
lim
h→0
lim
h→0
E1+ E
E1− E
2
= V−
2
h
2
= W−
3
h
+ Ah2,α= -αh3,β= c
0
3
,b0=
a
0
2-α
-
β
+ Bh,
c
1
V2+4
a
0
2
c
1
c
2
VV−
c
2
W −
a0c
1
2c
1
VW +
a
0
2
+(-β −c0A)h2,
0
2-α
2
a
0
a0c0c
x =0,
2
c
c
1
0
2
V +
2-γ − -α
2
2a0c
0
=0,
c
2
c
A
1
(7.35)
где (a
0,c0,c1
) произвольные числовые константы, а (A, -α,-β, -γ) являются
регулярными при h =0.
Эта система относительно (V, W, x) в действительности эквивалентна
при бирациональном преобразовании (5.296) между уравнением П2 относительно V (x) и уравнением G34 относительно W +((4c
2
)(V2+ x/2))/(4c2) c c
+ a
0
2
2
= a
. Следовательно, непрерывный предел од-
1
0
2+a0c1
)V+(4c2+
ного уравнения (7.29) при γa =0является вторым уравнением Пенлеве,
втовремякаксистема(7.30) содержит больше информации, поскольку она
является бирациональным преобразованием между G34 и П2.
И наконец, при a =0, видимо, никакого непрерывного предела ни
у (7.30),ниу(7.29) не существует [183, с. 464].
7.3.2. Метод полиномиального роста
Прежде всего определим степень рационального отображения N -го
порядка
u
= R(un,u
n+1
n−1
, ..., u
)(7.36)
n−N+1
206 ГЛАВА 7
как степень полинома эквивалентного N-мерного отображения первого порядка, записанного в однородных координатах.
Например, пусть дано отображение второго порядка (7.18), которое
n,qn
p
n
q
n
),такиекак
=
u
n−1
, (7.37)
u
n
определяет две координаты (p
или три однородные координаты (y
p
n
=
z
n
n,zn,tn
q
y
)
n
1
=
n
, (7.38)
t
n
что позволяет свести исходное преобразование к однородному полиномиальному преобразованию
⎞
⎛
⎜
⎝
y
z
t
n+1
n+1
n+1
⎟
⎠
⎛
2
− ynzn+ anyntn+ bnt
−y
n
⎜
=
⎝
Очевидно, что любой множитель у (y
Степень d
переменных y
(здесь d
отображения определяется как степень полинома относительно
n
, zn, tn, n 0 при общих начальных условиях (y0,z0,t0)
n
=1, d1=2).
0
2
y
n
ynt
n
n+1,zn+1,tn+1
⎞
2
n
⎟
. (7.39)
⎠
) следует сократить.
В работах [138, 421] предполагается, что любое рациональное пре-
образование, которое не является хаотичным, должно иметь степень d
n
причем рост степени имеет полиномиальный порядок, не превышающий n.
И следовательно, степень удовлетворяет необходимому условию
ln d
lim
n→+∞
n
=0. (7.40)
n
сти рационального отображения, основанный на этом предположении, для
проверки является ли рост по крайней мере полиномиальным.
Проверка отображения (7.18) дает, что рост является полиномиаль-
ным.
Более интересным отображением является отображение [206]
,
u
n+1
+ u
n−1
− un−
a
=0,a=0, (7.41)
2
u
n
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]