Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метод Пенлеве и его приложения
.pdf
7.3. ДИСКРЕТНЫЙ ТЕСТ ПЕНЛЕВЕ 207
эквивалентное однородному полиномиальному отображению
⎛
⎞
⎜
⎝
y
z
t
n+1
n+1
n+1
⎟
⎠
⎛
3
2
y
− y
zn+ at
n
⎜
=
⎝
n
3
y
n
2
y
t
n
n
⎞
3
n
⎟
. (7.42)
⎠
Пусть дано произвольное начальное условие
⎛
⎞
y
0
⎜
⎟
, (7.43)
z
⎝
⎠
0
t
0
степени последовательных итераций равны 1, 3, 9, 27, . . . , однако при n =
=5возникает проблема. Действительно, три однородные полиномиальные
переменные y
кращение происходит в рациональных функциях p
, z5, t5имеют наибольший общий делитель y
5
n
, qn.
8
,такчтосо-
0
На языке сингулярного локализационного метода начальная особен-
ность
⎛
⎜
⎝
⎞
⎛
⎞
y
0
⎟
z
⎠
0
t
0
ε
⎜
⎟
=
,ε→ 0(7.44)
b
⎝
⎠
1
сказывается вплоть до пятой итерации
⎛
⎜
⎝
⎞
⎛
y
5
⎟
z
⎠
5
t
5
bε
⎜
=
−ε
⎝
8
ε
8
+ ...
9
+ ...
+ ...
⎞
⎟
, (7.45)
⎠
которая может быть представлена в эквивалентном виде
⎞
⎛
⎜
⎝
y
z
t
⎛
=
b + ...
⎜
−ε + ...
⎝
1+...
5
⎟
⎠
5
5
⎞
⎟
⎠
(7.46)
и содержит ту же информацию, что и начальное условие при ε → 0,так
что отображение проходит тест по методу локализации сингулярности.
Для этого отображения достаточно просто просчитать степени d
n
[206]:
√
d
=1, 3, 9, 27, 73, 195, 513,..., lim
n
n→+∞
ln d
n
n
=ln
3+
5
2
. (7.47)
208 ГЛАВА 7
Рост является экспоненциальным, и действительно, численное изучение обнаруживает хаотическое поведение [207, Fig. 1].
Следовательно, несмотря на то, что тест по методу локализации син-
гулярности пройден, об отображении (7.41) не следует утверждать, что оно
проходит дискретный тест Пенлеве, и критерий полиномиального роста
должен быть составной частью дискретного теста Пенлеве.
Следует отметить, что непрерывный предел для отображения (7.41) не
известен.
7.3.3. Метод возмущения при переходе к непрерывному пределу
Рассмотрим дискретное уравнение (7.9) или (7.10) ипредположим,
что оно допускает переход к непрерывному случаю.
Возмущение, определенное разложением u в ряд Тейлора по длине
шага сетки [87],
+∞
x фиксируем,h= ε, q = e
ε
,u=
n=0
εnu
(n)
,
(7.48)
a = аналитичная функция переменных (A, ε),
дает бесконечную последовательность дифференциальных уравнений
(n)
=0
E
+∞
E =
n=0
(n)
E
≡ E
(0)
εnE
(x, u
(n)
(x, u
(0))u(n)
(0)
, ..., u
+ R
(n)
), (7.49)
(n)
(x, u
(0)
, ..., u
(n−1)
)=0,n 1. (7.50)
Первое из этих уравнений, соответствующее n =0, является «непрерыв-
ным пределом». Следующие уравнения n 1 являются линейными неод-
нородными, имеют одну и ту же однородную часть E
висящую от n, которая определяется производной уравнения непрерывного
предела. А их неоднородная часть R
(n)
(правая часть уравнения) определя-
(0)
(n)
u
=0,неза-
ется нелинейностью и дискретизацией.
Это возмущение непрерывного предела полностью аналогично методу
возмущений в непрерывном случае в версии Фукса (раздел 2.2) [81] или
в нефуксовой версии (раздел 2.3) [319] и зависит от фуксова или нефуксова характера линеаризованного уравнения E
решения u
(0)
.
(1)
=0в сингулярной точке
7.3. ДИСКРЕТНЫЙ ТЕСТ ПЕНЛЕВЕ 209
Продемонстрируем метод возмущения непрерывного предела на про-
стом примере — схеме Эйлера для уравнения Бернулли [87]:
u(x + h) −u(x)
E ≡
h
+ u(x)
2
=0, (7.51)
т. е. на логистическом отображении Ферхюльста. Поскольку логистическое
отображение можно рассматривать как эталон хаотического поведения,
то, следовательно, (7.51) тест не пройдет. Разложим слагаемые уравнения
(7.51) в соответствии с (7.48) вплоть до членов, содержащих ε в такой сте-
пени, чтобы можно было получить первое уравнение E
от непрерывного предела E
u = u
2
u
u(x + h)=u(x)+u
u(x + h) −u(x)
h
= u
= u
(0)
(0)
(0)
(0)
=0:
(1)
+ u
ε + O (ε2), (7.52)
2
(0)u(1)
+2u
(x)h +(1/2)u(x)h2+ O (h3), (7.54)
+(u
ε + O (ε2), (7.53)
(1)
+(1/2)u
(0)
(1)
=0независимо
)ε + O (ε2). (7.55)
Уравнения для n =0и n =1
= u
= E
(0)
(0)
(0)
E
(1)
E
+ u
u
(1)
2
(0)
=0, (7.56)
+(1/2)u
(0)
=0,E
(0)
= ∂x+2u
(0)
(7.57)
имеют общее решение
(0)
= χ−1,χ= x − x0,x0произвольна, (7.58)
u
(1)
(1)
= u
u
χ−2− χ−2ln ψ, ψ = x − x0,u
−1
(1)
произволен. (7.59)
−1
Наличие подвижного логарифма свидетельствует о непрохождении теста,
как только n =1при индексе Фукса i = −1.
З
АМЕЧАНИЕ. Если в качестве решения ограничиться u
(0)
, то оно не
является тем, что называется особым решением (особое решение не может
быть получено из общего решения заменой произвольных постоянных численными значениями) т. е. оно может быть либо общим решением (как получено выше), либо частным, оно может быть также либо глобальным (как
получено выше), либо локальным (представленным в виде ряда Лорана).
210 ГЛАВА 7
В качестве другого примера рассмотрим непосредственную дискрети-
зацию уравнения П1
E ≡−(
гдеλ
u − 2u + u)h−2+3λ1(u + u)u +6λ2u2+6λ3uu + g =0, (7.60)
=1и g — произвольная функция от x. В результате исследования
k
[87] получено три набора весовλ при g = x.
При первом наборе весовλ =(2/3, 1/3, 0) (7.60) соответствует урав-
нению д-П1 (7.11), которое было получено в двумерной квантовой теории
гравитации, и является идентичным с точностью до преобразования переноса уравнению (7.29) при γ =0. При втором наборе весов λ =(1, 0, 0)
(случай a =0в [184]) уравнение (7.60) соответствует уравнению д-П1 с парой Лакса второго порядка [87]. Третий набор (1/2, 1/4, 1/4) определяет
уравнение, эквивалентное уравнению (7.60) для случая (1, 0, 0),сточностью до дискретного бирационального преобразования (7.15) [371].
7.4. Дискретное уравнение Риккати
Рассмотрим непрерывное уравнение Риккати
2
−du/dx + αu
где α, β, γ могут зависеть от x. К свойствам уравнения — порядку равному
единице, и степени, равной единице, которые должны быть сохранены при
дискретизации, — добавим свойство линеаризуемости. Дискретизацию производной du/dx проведем по классической форме с точностью до членов
второго порядка:
u(x + h/2) − u(x − h/2)
h
Существует единственная полиномиальная дискретизация члена u
которая сохраняет порядок, равный 1 (использование двух точек x + h/2
и x − h/2), и степень, равную 1 (в
uu с остаточным членом второго порядка. Отсюда получаем [214]
+2βu + γ =0, (7.61)
= u
(x)+
1
u
(x)h2+ O(h4). (7.62)
24
u = u(x + h/2) и u = u(x −h/2)), — это
2
,
−(
u − u)/h + αuu +(β1u + β2u)+γ =0, (7.63)
где (α, β
,γ) произвольная дискретизация (α, β, γ). Уравнение (7.62)
1,β2
инвариантно относительно замены (h, β
тельно, отображение u →
u является дробно-рациональным.
) → (−h, β2,β1).Следова-
1,β2
7.5. ДИСКРЕТНЫЕ ПАРЫ ЛАКСА 211
При любой дискретизации (α, β, γ) уравнение (7.61) может быть преобразовано либо в систему двух уравнений первого порядка
u = v/w:(
v − v)/h = β2v + γw, (w − w)/h = β1w − αv, (7.64)
либо после преобразования
u(x)=−
(1 − hβ
(x))(ξ(x + h/2) − ξ(x − h/2))
1
hα(x + h/2)ξ(x − h/2)
(7.65)
в уравнение второго порядка
[
α(ξ −ξ) − α(ξ −ξ)]/h2+ α(β1+ β2)(ξ −ξ)/h − ααγξ−
−
α(β1− β2)(ξ −ξ)/h − β2[αβ1(ξ −ξ)+αβ1(ξ −ξ)] = 0. (7.66)
И следовательно, оно обладает дискретным свойством Пенлеве.
З
АМЕЧАНИЕ.
1) Схема Эйлера
u − u)/h + αu2+2βu + γ =0 (7.67)
−(
идентична, по крайней мере при постоянных значениях α, β, γ,отобра-
жению Ферхюльста (логистическое отображение), чье поведение в об-
щем случае является хаотичным. Оно не обладает симметрией в проти-
воположность правильно дискретизированному уравнению (7.63), ин-
вариантному относительно замены (h, β
) → (−h, β2,β1).
1,β2
2) С точки зрения сингулярного анализа дробно-рациональное соответствие между
u и u в (7.63) устраняет основной недостаток уравнения
(7.67), который состоит в отсутствии у него полюса, зависящего от
начальных условий u(0) (подвижного полюса).
7.5. Дискретные пары Лакса
После того как дискретный тест Пенлеве дал некоторые необходимые
условия наличия дискретного свойства Пенлеве у исследуемого дискретного уравнения, дальнейшей задачей является доказательство наличия или
отсутствия свойства Пенлеве у уравнения.
212 ГЛАВА 7
В случае непрерывного ОДУ, описанном в разделе 5.8, на основании
построения (непрерывной) пары Лакса можно доказать наличие (непрерывного) свойства Пенлеве у уравнения.
Определим прежде всего дискретную пару Лакса. Рассмотрим пару
Лакса (непрерывную) ОДУ E(x, u)=0(5.13)
∂
ψ = Lψ, ∂μψ = Mψ,
x
(C ≡ ∂
L − ∂xM + LM − ML =0)Llra(E =0),
μ
(7.68)
где μ — спектральный параметр, и ограничимся здесь разностными уравнениями типа (7.9).
Потребуем сохранение дифференциального порядка в векторе-столб-
це ψ,тогдаψ должен быть дискретизирован в двух точках, которые обозначим как
ψ = ψ(x + h/2) и ψ = ψ(x − h/2). Что касается оператора L,
он должен быть дискретизирован в точках u, число которых определяется
дифференциальным порядком исследуемого уравнения. Для уравнения второго порядка эти точки обозначим
u = u(x + h), u = u(x), u = u(x − h).
Для сохранения линейного соответствия между непрерывными операторами (L, M ) и их дискретными аналогами удобно провести дискретизацию
ψ = Lψ асимметричным способом и ввести [32] линейный оператор A,
∂
x
связывающий ψ c
ψ. Таким образом, определяем дискретную пару Лакса
(A, B, z, ψ, h) как [233]
ψ = Aψ, ∂zψ = Bψ,
(K ≡ ∂
A + AB − BA =0)⇐⇒ (E =0)
z
(7.69)
(соотношение для K легко может быть получено).
Непрерывный предел имеет вид
⎧
A − 1
⎨
⎩
→ L, (dz/dμ)B → M,
h
(dz/dμ)(∂
A + AB − BA)/h → ∂μL − ∂xM + LM − ML
z
(7.70)
с некоторой зависимостью F(μ, z, h)=0между спектральным параметром μ и z.
Для уравнения второго порядка E(
должны зависеть от u — A(
АМЕЧАНИЕ. Определение инвариантно относительно движения в об-
З
u, u, u), B(u, u).
u, u, u,x,h)=0операторы A и B
ратном направлении (замены шага h на −h)
(E, A, B, x, h,
u, u, u) → (E, A−1,B,x,−h, u,u,u). (7.71)
7.6. ТОЧНЫЕ ДИСКРЕТИЗАЦИИ 213
Для метода сингулярного многообразия дискретный аналог не известен, т.е. неизвестно, как воспользоваться структурой особенности дискретного уравнения для построения дискретной пары Лакса и других дискретных аналогов инструментов, перечисленных в разделе 5.2. По этой причине для дискретного уравнения, которое проходит дискретный тест, пара
Лакса часто строится на основании знания непрерывной пары Лакса.
Для уравнения (7.29), предварительно выделенного с помощью теста
локализации сингулярности, такая дискретная пара Лакса имеет вид [183,
с. 494]
⎛
(β −αn/2 −γ(−1)
⎜
A =
⎝
n
)/u 10
001
⎞
⎟
, (7.72)
⎠
z 00
⎛
B =
λ
1
⎜
zαn/2+γ(−1)
⎝
u 1
n
a − u −u
zu z 1+α(n − 1)/2 −γ(−1)
где λ
является константой. Эта пара Лакса имеет место и при a =0,когда
1
⎞
⎟
, (7.73)
⎠
n
неизвестен непрерывный предел.
7.6. Точные дискретизации
Приведем теперь два примера дискретных уравнений, в которых дискретное поле удовлетворяет и непрерывному ОДУ, которое является непрерывным пределом рассматриваемого дискретного уравнения.
7.6.1. Уравнение Ермакова–Пинни
Если предположить, что поле ψ(x), удовлетворяющее линейному уравнению Шредингера (Штурма–Лиувилля)
ψ
+ f (x)ψ =0, (7.74)
iS
является комплексным полем ψ = ve
, а потенциал f остается действительным, как в квантовой механике, то его модуль удовлетворяет нелинейному ОДУ второго порядка
+ fv + c2v−3=0,c=const,
v
214 ГЛАВА 7
впервые введенному Ермаковым [133] и позднее рассмотренному Пинни [359], поэтому его часто называют уравнением Ермакова–Пинни.Его
подвижную ветвь v ∼ v
(x −x0)
0
ствие четности рассматриваемого ОДУ относительно переменной w = v
−
ww
1/2
2
, v
=2c можно не учитывать вслед-
0
1
2
w
+2f(x)w2+2c2=0. (7.75)
2
2
В непрерывном случае уравнение Штурма–Лиувилля обладает многими хорошими свойствами, среди которых его эквивалентность [349, с. 230]
(подробности см. в [74]) уравнению Риккати и уравнению Шварца. Поэтому, естественно, встает вопрос, остаются ли эти свойства после дискретизации уравнения. В данном разделе суммируются все основные достижения
на сегодняшний день в разрешении этого вопроса.
Перечислим основные свойства непрерывного ОДУ (7.75).
1) Общее решение является нелинейной суперпозицией двух решений линейного уравнения. Действительно пусть даны два линейно независимых решения ψ
, ψ−уравнения Шредингера
+
ψ
+ fψ =0 (7.76)
с вронскианом, равным 2c. Общее решение уравнения (7.75) имеет вид
:
w = ψ
+ψ−
=
(ln(ψ+/ψ−))
2c
,ψ
ψ−− ψ
+
ψ+=2c. (7.77)
−
Отсюда следует, что уравнение (7.75) обладает свойством Пенлеве.
2) Поскольку уравнение входит под номером 22 в классификацию Гамбье
[162], то оно может быть сведено к линейному уравнению третьего
порядка при помощи исключения c:
w
+4fw+2fw =0. (7.78)
3) Уравнение относительно переменной u = w
−1
преобразуется в урав-
нение Шварца при сингулярном частном преобразовании [73]
u = w
−1
=
2c
(ln ϕ)
, (7.79)
1
{ϕ; x}−2f =0. (7.80)
7.6. ТОЧНЫЕ ДИСКРЕТИЗАЦИИ 215
Два соотношения (7.77) и (7.79) идентичны при соответствии
ψ
+
ϕ =
. (7.81)
ψ
−
Рассмотрим теперь вопрос о такой дискретизации уравнения (7.75),
при которой сохраняется максимальное число перечисленных выше свойств.
Из преобразования Дарбу, записанного в матричной форме
Ψ
Ψ
= κ
−1
y
−y 1
2
− κ2−y
ψ
ψ
,y=
θ
, (7.82)
θ
где κ — произвольная ненулевая постоянная, Хоун [223] нашел бирациональное преобразование, которое приводит уравнение (7.75) к новому уравнению, имеющему такую же форму,
WW
2
W
−
+2FW2+2C2=0. (7.83)
2
1
Это преобразование имеет вид
(yW −(1/2)W
w =
2
= κ2−
y
2
C
− c2=0, (f+ F)2+2(f −F )2(f + F − 2κ2)=0. (7.86)
f + F
2
)2
κ2W
, (7.85)
− C
2
,W=
(yw +(1/2)w
κ2w
)2
2
− c
, (7.84)
Определим дискретные переменные
Ψ=
ψ, W = w, F = f. (7.87)
Затем в соответствии с разделом 5.8 строим [223] контигуальное соот-
ношение
c2+ κ2ww +c2+ κ2ww + wΩ=0,
Ω=−
κ2− (f + f )/2 −κ2− (f + f )/2
(7.88)
— дискретное уравнение второго порядка относительно w, которое имеет
вторую степень после исключения квадратного корня из выражения, содержащего w.
216 ГЛАВА 7
При введении непрерывной переменной
w
Z =
− yw (7.89)
2
степень контигуального соотношения становится равной единице [223],
2
κ
(Z + Z)(Z + Z) − ΩΩ(Z2− c2)=0. (7.90)
Оба дискретных уравнения (7.88) и (7.90) допускают непрерывный
предел при h → 0. В результате перехода к непрерывному пределу в обоих
уравнениях получается уравнение Ермакова–Пинни, проведение этих выкладок предоставляется читателю. Поскольку дискретное поле w в (7.88)
также удовлетворяет непрерывному уравнению Ермакова–Пинни (7.75),
то говорят, что дискретизация (7.88) уравнения Ермакова–Пинни является точной.
З
АМЕЧАНИЕ. Два дискретных уравнения (7.88) и (7.90) были впервые
исследованы в [67] для частного случая
κ =
1
, Ω=−
h
2
+ hf. (7.91)
h
Уравнения (7.88) и (7.90) имеют дискретное свойство Пенлеве. Действительно, две функции ψ
, ψ−в соотношении (7.77), удовлетворяющие
+
непрерывному уравнению Шредингера (7.76), удовлетворяют также, как
следует из преобразования Дарбу, и его инверсии, и дискретному линейному уравнению второго порядка
ψ +Ωψ + κψ =0 (7.92)
κ
с дискретным определителем Вронского
2c
ψ
ψ+− ψ+ψ−=
−
Использование определения (7.89) переменной Z и преобразования
Дарбу (7.82) и исключение производных ψ
. (7.93)
κ
, ψ
приводит к зависимости Z
+
−
от двух решений того же линейного уравнения
κ
Z =
(
ψ+ψ−+ ψ−ψ+), (7.94)
2
которая совпадает с соотношением, полученным в [67].
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]