Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метод Пенлеве и его приложения
.pdf
3.2. ЧАСТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ УРАВНЕНИЯ 67
⎧
⎪
⎪
M =4 τ ±
⎨
⎪
⎪
⎩
2
k
=
10
Для исходной переменной A эти решения легко могут быть записаны
в комплексной форме [85]. Обозначим через (A
!
2
k
,ϕ−
2
!
2
c
,gr=0,gi−
cs
r
= −2τ −
2
2
c
50
2
,α) один из действитель-
0
=0.
10
c
,
(3.118)
ных корней комплексного уравнения
(−1+iα)(−2+iα)p + A
2
q =0. (3.119)
0
Тогда шесть решений (3.113)–(3.118) в комплексной форме имеют вид:
1) гетероклинического источника или распространяющейся впадины (со-
литон с отрицательной амплитудой) [25] (см. рис. 3.3):
⎧
⎪
⎪
⎪
A = A
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
Φ=α ln ch
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
iγ − ω
⎪
⎪
⎩
iqp
k
k
th
0
=
p
ξ −
2
2
2(1 − iα)p|p|2d
q
2|p|2d
2
− (2 − 3iα)
i
k
ξ +
2
c
2p
i
cξ,
i
2
k
,
4
i
ce
i[−ωt+Φ]
,
(3.120)
здесь скорость c произвольна. Действительная и мнимая части послед-
него уравнения определяют ω и линейное соотношение между c
2
и k2,
см. [86, ур. (79)].
2) гомоклинического импульса или уединенной волны [333]:
⎧
⎨
⎩
A = A
iγ −ω
p
(−ik sech kx)e
0
=(1−iα)
i[α ln ch kx−ωt]
2k2
,c=0.
,
(3.121)
3) гетероклинического фронта или ударной волны [335]:
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
A = A
iγ −ω
p
+αp
3p
r
k
k
th
2
c
2p
ξ + εe
0
2
=
iα ln ch
2
2
k
,
+
4
k
ξ+
2
k
= ε
2
p
6|p|
6|p|
c
i
2
2
,ε2=1.
i
cξ−ωt
,
(3.122)
Ни одно из этих шести решений не накладывает ограничения на p, q, γ.
68 ГЛАВА 3
Рис. 3.3. КГЛ3, гетероклинический источник или распространяющаяся впадина (солитон с отрицательной амплитудой) (3.120). Приведенные кривые
x → ((k/2) th kξ/2+ac)
t =1отражают количественную зависимость решения от произвольной скорости c
2
+(bc)2при a =0,2, b =0,5, k2+ c2=1, ξ = x − ct,
3.2.4.2. Полиномы по th и sech
В работе [196] было предсказано существование четырех решений при
некоторых условиях, наложенных на параметры системы (3.62),представляющих интерес с физической точки зрения, таких как гомоклинические
впадины (солитоны с отрицательной амплитудой, антисолитоны), распространяющиеся с произвольной скоростью c. Это еще один повод для исследования системы методом, который ниже будет описан и который даст
возможность получить полную картину структуры особенностей (два семейства для переменной M).
Поскольку введенная в (3.92) переменная τ имеет только одно семейство, то следует ввести другую переменную, обозначим ее через σ, которая
должна обладать следующими свойствами: (i) иметь два семейства простых
подвижных полюсов, (ii) задаваться некоторым автономным ОДУ первого
порядка, обладающим свойством Пенлеве, (iii) не являться эллиптической
функцией. Как следует из классической теории нелинейных ОДУ первого
порядка, обладающих свойством Пенлеве, таким уравнением для σ должно
3.2. ЧАСТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ УРАВНЕНИЯ 69
быть уравнение, род которого равен нулю и степень не меньше второй. Такое уравнение уже встречалось нам в начале книги, см. (1.2). Для того чтобы соединить его особенности (два простых полюса с противоположными
по знаку вычетами) с особенностями уравнения (3.92) (один простой полюс), переменные (τ,σ) должны быть определены как общее решение следующей системы двух уравнений [237, 85] (обоснованность замены k → 2k
станет ясна позднее):
+ τ2− k2+ kμσ =0,
τ
+ στ =0.
σ
(3.123)
Эта система является частным случаем класса линеаризируемых систем,
называемых проективными системами Риккати [12]. Эта система имеет
первый интеграл, который для удобства обозначим через μ,посколькувсистеме зависимость от (μ, σ) представлена в виде зависимости от произведения μσ
2
k
− τ2− 2kμσ
(μσ)
=const=−μ−2, (3.124)
2
общее решение имеет вид:
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
τ =
σ =
k sh k(x − x
ch k(x − x0)+chka
k sh ka
ch k(x − x0)+chka
)
0
,μ=cthka,
,
(3.125)
здесь x
и a — константы интегрирования.
0
Вместо (3.99), предположение о представлении решения в виде поли-
нома по (τ, σ) дает (с учетом первого интеграла)
⎧
⎪
⎪
⎪
u =
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
τ
⎪
⎨
k
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
E(u)=
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
∀j ∈ [0, −q], ∀l : E
−p−l
1
c
σlτj, (c
j, l
j=0
l=0
+ τ2− k2+ kμσ =0,σ+ στ =0,
2
− τ2− 2μkσ + σ2=0,
−q−l
1
E
j, l
j=0
l=0
j, l
σlτj,
=0.
−p, 0,c−p−1, 1
) =(0, 0),
(3.126)
70 ГЛАВА 3
Практические выкладки [84] достаточно просты. Отметим, что необходимо
исключить случаи линейной зависимости между τ и σ,т.е.исключитьдва
значения μ = ±1.Приμ =0имеем частный случай
μ =0:τ = k th k(x − x
),σ= ik sech k(x − x0). (3.127)
0
Запись решения в виде усеченного разложения (3.126) не симметрична
относительно переменных τ и σ, т.к. степень должна быть равной единице у одной из двух этих переменных, если принимать во внимание первый интеграл. Более элегантная запись может быть получена, если заменить (3.126) эквивалентной ей (3.100). При использовании преобразования
переменных τ и σ, представляющего их через новые переменные ψ
1
, ψ
2
в симметричном виде [85],
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
τ =
σ =
d
dx
d
dx
ln ψ
ln ψ
d
ln ψ
+
1
dx
d
−
1
dx
ln ψ
,
2
(3.128)
,
2
проективная система Риккати (3.123) в новых переменных становится линейной системой
ψ
1
=
x
2shka
ψ
2
k
ch ka −1
1 −ch ka
ψ
1
. (3.129)
ψ
2
Общее решение этой системы имеет вид
здесь ψ
=ch
1
k
(x − x
2
+ a),ψ2=ch
0
2
k
ψ
−
ψ
j
j
4
=0,j=1, 2. (3.131)
ψ
и ψ2являются двумя различными решениями линейного ОДУ
1
k
(x − x
2
− a), (3.130)
0
При заданных двух сингулярных частных дифференциальных операторах D
(3.131) принимает вид полинома относительно двух переменных (ln ψ
(3.108) сумма M = D+ln ψ1+D−ln ψ2после нахождения модуля из
±
),
j
j =1, 2, которые связаны между собой через первый интеграл μ.Пред-
ставление первого интеграла через отношения решений уравнения (3.131)
к их производным имеет вид
ψ
ψ
1,x
2,x
ψ
ψ
1
2
2
k
− μ
=
4
ψ
1,x
k
2
−
ψ
1
ψ
2,x
, (3.132)
ψ
2
3.2. ЧАСТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ УРАВНЕНИЯ 71
что позволяет записать полином относительно двух переменных в виде суммы двух слагаемых, каждое из которых является полиномом относительно
только одной переменной.
В заключение запишем симметричные соотношения для решения, вместо асимметричной формы (3.100) [86, App. A],
⎧
u = D
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
ψ
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
ψ
⎨
ψ
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
E =
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
∀j ∈ [q, −q]: E
ln ψ1+ D−ln ψ2+ U,
+
S
ψ
+
1
ψ
1
ψ
1
2
2
⎛
⎝
2
=
−q
j=1
=0,ψ
1
2
k
− μ
4
E
−j
j
k
2
ψ
ψ
=0.
E
k
j
2
=const,
2
ψ
2
ψ
2
(3.133)
⎞
j
⎠
,
S
ψ
+
2
ψ
ψ
1
1
=0,S= −
2
2
1
1
ψ
2
−
,
ψ
2
⎞
j
⎠
+ E
⎛
−q
⎝
+
0
j=1
В частном случае при μ =0решение представлено в [357].
Если соотношения (3.133) записать для u = M (для уравнения КГЛ3)
=0, то окажется, что определяющие уравнения Ej=0относитель-
при d
i
но параметров k
2
, μ, m не имеют решения, и это снова отражает сложность
КГЛ3. Если бы решение для M существовало, то оно имело бы вид
M =
9d
3
2d
2
r
+8d
2
i
2
i
τ + c
9d
r
σ +
1
τ2+ c3τ + c4. (3.134)
2
2d
i
При ограничении c
=0это решение представляло бы гомоклиническую
3
впадину (солитон с отрицательной амплитудой, опрокинутый солитон), наподобие волны (аналитическая форма которой еще не известна), полученной ван Гекке.
З
АМЕЧАНИЕ. Как можно понять из записей (3.120) и (3.121),два
семейства решений, записанных через sech, представляющих гомоклинический импульс, можно получить достаточно просто, используя равенства (3.133). Представим две многозначные исходные переменные (A,
через другие три (Z,
Три переменные (Z,
Z, Θ) следующим образом [85]:
A = Ze
iΘ
, A = Ze
−iΘ
,Z∈ C, Θ ∈ R. (3.135)
Z, gradΘ) являются локально однозначными в окрест-
A)
ности особой точки и имеют два семейства подвижных простых полюсов
72 ГЛАВА 3
(в записи (2.53) знак ε1фиксирован):
⎧
Z
⎪
⎪
= χ−1+
⎪
⎪
A
0
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
Θ=α ln ψ +Θ
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
3(3d
2
A
=
0
p
+3ipr+ ipiα
i
,
0
+ ε1Δ)
r
2
2d
i
2
6|p|
ψ
x
= χ
ψ
,α=
−1
3d
c − iΘ
,
+ ε1Δ
r
2d
i
+ O (χ),
0,x
, Δ=9d
2
r
+8d
2
,ε
i
2
1
=1.
(3.136)
Представление в виде усеченного разложения (3.133) трех введенных переменных
⎧
Z = A
⎪
⎨
Z = A0∂xln ψ1− A0∂xln ψ2+ X − iY,
⎪
⎩
Θ=α ln ψ
ln ψ1− A0∂xln ψ2+ X + iY,
0∂x
+ α ln ψ2+Θ
1
0
(3.137)
является наиболее рациональным [86, App. A] для получения решения, описывающего гомоклинический импульс (3.121).
З
АМЕЧАНИЕ. Важным преимуществом (3.133) перед (3.126) являет-
ся возможность изменения вида линейной системы для переменных ψ
В частности, если в качестве ОДУ, задающего функции ψ
, выбрать линей-
j
ное ОДУ третьего порядка с постоянными коэффициентами вместо линейного ОДУ второго порядка, то это сразу же приведет к появлению решения,
представляющего «столкновение двух ударных волн» [336, 337], которое
существует только при p
=0. В вырожденном случае qr=0это решение
r
тождественно аналогичному решению (5.261) уравнения КПП.
Закончим раздел следующим важным замечанием. Если дано уравнение, имеющее решения с одним семейством особых точек, то применение
метода усечений, при котором предполагается возможность существования
двух семейств решений, оказывается бесполезным, т. к. применение этого
метода не даст новых решений по сравнению с применением метода усечений, при котором предполагается существование одного семейства поведения. Это утверждение является следствием следующих элементарных
соотношений:
th z −
1
th z
= −2isech2z + i
π
, th z +
2
1
=2th2z + i
th z
π
. (3.138)
2
.
j
Сумма двух логарифмических производных не может дать гиперболический секанс.
3.2. ЧАСТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ УРАВНЕНИЯ 73
3.2.5. Общий метод построения эллиптических решений с учетом
переменных бегущей волны
Методы, описанные в разделах 3.2.2.2, 3.2.3.2 и 3.2.4.2, основаны на
том, что решение ищется в определенном классе функций, что может являться препятствием для получения решения даже в некоторых элементарных случаях. Например, рассмотрим рациональное тригонометрическое
решение
u =
th(ξ −ξ
)
0
(3.139)
2+th2(ξ −ξ0)
и построим ОДУ первого порядка, которому оно удовлетворяет (это простой способ построения примеров)
2
+12u2−
u
3
2
u
+36u4−
17
1
2
u
2
=0. (3.140)
+
2
Ни одним из рассмотренных выше методов (уравнения (3.77), (3.100),
(3.133)) не удастся найти его решения.
Аналогично, в наших двух основных примерах редукций уравнений
КС и КГЛ3 в переменных бегущей волны общее аналитическое решение не
может быть получено. Лучшее, что можно получить, — это решения, имеющие расстояние, равное единице, до общего решения. Так что проблема
остается открытой.
1) Так, в случае уравнения КС (2.27) для того, чтобы получить решение в виде бегущей волны (3.104), необходимо убрать ограничения на
соотношения между параметрами уравнения, приведенные в табл. 3.2.
2) А для уравнения КГЛ3 (3.106) для того, чтобы получить решение в ви-
де распространяющейся впадины (3.120) (решение Бекки и Нозаки),
к решению с более чем одной произвольной постоянной, необходимо
снять ограничения на параметры уравнения.
3.2.5.1. Класс эллиптических функций
Все решения, найденные в предыдущих примерах, являются эллипти-
ческими или вырожденными эллиптическими функциями. Этот нередко повторяющийся результат для решений нелинейных автономных ОДУ имеет
простое объяснение, восходящее к Лазарусу Фуксу. Действительно, является классикой (Л. Фукс, Пуанкаре, Пенлеве) тот факт, что только автономные алгебраические ОДУ первого порядка, имеющие однозначное общее
74 ГЛАВА 3
решение, можно с помощью алгебраический преобразований привести либо к эллиптическому уравнению Вейерштрасса либо к уравнению Риккати (3.92). Эти ОДУ первого порядка являются основой для построения решений автономных ОДУ более высокого порядка.
И обратно, пусть дано автономное алгебраическое ОДУ N-го порядка,
возможно ли найти все решения в классе эллиптических или вырожденных
эллиптических функций? Ответ на этот вопрос является положительным
[323, 95] и основывается на следующих классических результатах.
3.2.5.2. Два результата Брио и Буке
Пусть дана эллиптическая функция. Порядком эллиптической функции
назовем число полюсов в параллелограмме периодов с учетом их кратности. Он равен числу нулей.
Нам потребуются две классические теоремы.
Теорема [43, теорема XVII, с. 277]. Пусть заданы две эллиптические
функции u, v с одинаковыми периодами и порядками эллиптических функций m, n соответственно. Они связаны алгебраическим соотношением
n
m
k=0
j=0
a
ujvk=0, (3.141)
j, k
F (u, v) ≡
где степень (F, u) равна порядку (v),степень(F, v) равна порядку (u).
В частности, если v является производной от функции u, то ОДУ первого
порядка относительно функции u имеет вид
2m−2k
m
k=0
j=0
a
ujuk=0,a
j, k
=0. (3.142)
0,m
F (u, u
) ≡
Теорема (Брио и Буке, Пуанкаре, Пенлеве). Если автономное ОДУ
первого порядка m-й степени имеет свойство Пенлеве, то
• оно имеет вид (3.142),
• его общее решение является либо эллиптическим (двояко периодиче-
ским), либо рациональным относительно e
бо рациональным относительно x (не имеет периода)(что соответствует последовательным вырождениям g
2
=4℘3− g2℘ − g3).
в ℘
kx
(с одним периодом), ли-
3
2
−27g
2
=0,затемg2=0
3
З
АМЕЧАНИЕ. Уравнение (3.142) инвариантно относительно дробно-ра-
ционального преобразования с постоянными коэффициентами, и это является еще одним полезным свойством эллиптических уравнений.
3.2. ЧАСТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ УРАВНЕНИЯ 75
3.2.5.3. Метод нахождения всех эллиптических решений
Рассмотрим автономное алгебраическое ОДУ N -го порядка (2.1),до-
пускающее по крайней мере одно разложение решения в ряд Лорана,
+∞
p
u = χ
ujχj,χ= ξ − ξ0. (3.143)
j=0
Если его общее аналитическое решение (определение общего аналити-
ческого решения дано в 3.2.1.2) является эллиптической или вырожденной
эллиптической функцией, то для его нахождения в замкнутой форме существует алгоритм [323, 95]. Применение этого алгоритма требует выполнения четырех предположений: выполняются условия двух теорем Брио
и Буке, приведенных в разделе 3.2.5.2, существуют по крайней мере один
ряд Лорана возможность применения алгоритма Пуанкаре, представленного ниже. Входные и выходные данные этого алгоритма следующие.
Входные данные: автономное алгебраическое ОДУ N -го порядка
(N 2) произвольной степени, допускающее по крайней мере одно разложение решения в ряд Лорана.
Выходные данные: все его эллиптические или вырожденные эллип-
тические решения в замкнутой форме.
Последовательные шаги алгоритма [323, 95]:
1) Определяем структуру особенностей (например четыре семейства простых полюсов, два семейства полюсов второго порядка). Делаем вывод
об эллиптических порядках m, n функции u и ее производной u
2) Рассчитываем немного больше, чем (m +1)
3) Записываем уравнение первого порядка m-й степени F (u, u
содержит самое большее (m +1)
2m−2k
m
k=0
j=0
F (u, u
) ≡
2
коэффициентов a
a
ujuk=0,a
j, k
2
членов ряда Лорана.
),
j, k
=0. (3.144)
0,m
.
)=0(оно
4) Требуем, чтобы каждый ряд Лорана (3.143) удовлетворял уравнению
F (u, u
)=0,
F ≡ χ
m(p−1)
J
j=0
Fjχj+ O (χ
J+1
), ∀j : Fj=0, (3.145)
и решаем эту линейную переопределенную систему относительно a
j, k
.
76 ГЛАВА 3
5) Интегрируем каждое из полученных ОДУ F (u, u)=0.
Сделаем несколько замечаний.
1) На четвертом шаге получается линейная бесконечная переопределен-
ная система уравнений F
циентов a
. Решение такой системы представляет собой достаточно
j, k
=0относительно неизвестных коэффи-
j
простую задачу, и это является основным достоинством данного алгоритма.
2) На пятом шаге появляются два случая, которые определяются родом
алгебраической кривой F =0. Если род кривой равен единице (невы-
рожденная эллиптическая кривая), то существует алгоритм Пуанкаре,
по которому в явном виде строится рациональная функция
u = R(℘(ξ),℘
(ξ)). (3.146)
Этот алгоритм был реализован Марком ван Хоем [222] в блоке «алгебраические кривые» системы компьютерной алгебры пакета Maple. Если род кривой равен нулю (вырожденная эллиптическая кривая), то решение u находится как рациональная функция от экспоненты e
k(ξ−ξ0)
или как рациональная функция от (ξ − ξ0), что является классической
задачей, и эта задача может быть также реализована в блоке «алгебраические кривые».
3) На третьем и четвертом шагах требование о нахождении именно общего аналитического решения может быть ослаблено, и в этом случае
находится уже необщее аналитическое решение. Рассмотрим для примера некоторое искусственное ОДУ (которое может являться редукцией модифицированного уравнения Кортевега–де Фриза в переменных
бегущей волны):
E(u) ≡ некоторое дифференциальное
уравнение a
2u2
− (u2+ b)2+ c =0,
(3.147)
которое допускает решение в виде ряда Лорана
−1
u = ±aχ
Вслучаеm =2на шаге 3 и «требования, чтобы каждый ряд Лорана (3.143) удовлетворял уравнению F (u, u
+ ... (3.148)
)=0», на шаге 4 получаем
решение Якоби. Но при более слабом требовании m =1на шаге 3
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]