Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метод Пенлеве и его приложения
.pdf
4.3. СВОЙСТВО ПЕНЛЕВЕ ДЛЯ УЧП 97
Примерами солитонных уравнений являются: уравнение КдФ, НШ,
уравнение Бенжамина–Оно [27, 347, 1]. Эти уравнения обладают многими замечательными свойствами [146], такими как гамильтониановой или
бигамильтониановой структурой, что означает наличие бесконечного числа законов сохранения
2
. Действительно, эти уравнения входят в некоторые
иерархии, так, например, уравнение КдФ является основой для так называемой иерархии КдФ. Существует конечное число подобных иерархий,
которые подробно описаны в рамках теории Сато [383], см. также [340,
387].
Примерами несолитонных УЧП (будем их называть также частично
интегрируемыми уравнениями) являются: уравнение КГЛ3, уравнение КС,
уравнение КПП. Эти уравнения допускают только конечное число законов
сохранения и N-солитонных решений с небольшим значением N (так N =
=1для КГЛ3 и КС, N =2для КПП).
Наиболее ярко различие между солитонным и несолитонным УЧП
проявляется на примере решения в виде уединенной волны. В случае «темного односолитонного решения» (3.60) для НШ (солитонного уравнения)
параметры k и c являются произвольными независимыми постоянными
(нефиксированными на языке особенностей). А для решения в виде «распространяющейся впадины» (3.120) уравнения КГЛ3 (несолитонного уравнения) эти два параметра связаны соотношением a
и a2— действительные константы, зависящие только от коэффициентов
a
1
k2+a2c2=1, в котором
1
(p, q, γ) уравнения КГЛ3 (фиксированные на языке особенностей).
4.3. Свойство Пенлеве для УЧП
Для того чтобы найти физически интересные решения (односолитонные, N -солитонные) с помощью методов, основанных на исследовании
особенностей, необходимо обобщить на случай УЧП мощные методы, изложенные в главе 3 (метод усечений и т.д.), а для этого необходимо дать
сначала определения, введенные ранее для ОДУ: свойство Пенлеве (определение 1.1, раздел 1.2), тест Пенлеве (глава 2). Оставим эту задачу до
главы 5. Отметим только, что, по нашему мнению, определения для УЧП
должны быть обобщением аналогичных определений, введенных для ОДУ.
Поскольку с помощью теста Пенлеве устанавливается, обладает или
нет уравнение свойством Пенлеве, то определение свойства Пенлеве для
УЧП должно быть дано раньше, чем тест Пенлеве, и это определение
2
Закон сохранения для УЧП (4.1) — это любое соотношение вида ∂xX(u, ux,...)+
+ ∂
T (u, ux,...)=0, например, само уравнение КдФ (3.32) может быть записано в таком
t
виде.
98 ГЛАВА 4
должно включать некоторое глобальное свойство. Понятие общего реше-
ния — центральное для ОДУ, для УЧП является недостаточным, поскольку
не существует его точного определения (см. начало этой главы). В самом
деле, только для некоторых нехарактерных случаев, подобных уравнению
Лиувилля (4.13), можно получить общее решение в явном виде. Преобразования Беклунда также недостаточно, поскольку при переходе от УЧП
к ОДУ, преобразование Беклунда сводится к бирациональному преобразованию (обозначим его через БП, пример будет приведен в разделе 5.8), а бирациональное преобразование не включено в определение свойства Пенлеве для ОДУ. Однако некоторое разумное соединение этих понятий (общего
решения и преобразования Беклунда) может дать определение [93], которое
будет обобщением понятия интегрируемости для УЧП.
Определение 4.10. Уравнение в частных производных с N незави-
симыми переменными называется интегрируемым, если выполняется по
крайней мере одно из следующих свойств.
1) Его общее решение может быть получено в явной форме, возможно,
содержащей подвижные критические особые точки.
2) Уравнение может быть линеаризовано.
3) Для N>1 оно имеет автопреобразование Беклунда, которое для N =
=2зависит от комплексной произвольной постоянной параметра Бек-
лунда.
4) Для него существует преобразование Беклунда, приводящее к другому
интегрируемому УЧП.
Приведем иллюстрирующие данное определение примеры.
1) УЧП Лиувилля u
иУЧПu
+ uuxt=0с общим решением u =f(x)+g(t), которое
xut
+ eu=0c общим решением (4.17); так же, как
xt
имеет подвижные критические особые точки.
2) Уравнение Бюргерса u
+2uux=0, которое при соответствующей
t+uxx
замене может быть преобразовано к линейному уравнению теплопроводности ψ
3) УЧП КдФ u
+ ψxx=0.
t
+ u
t
xxx
− 6uux=0, для которого существует автопре-
образование Беклунда, содержащее одну произвольную комплексную
постоянную.
4) Модифицированное КдФ u
t
+ u
− 6u2ux=0, для которого суще-
xxx
ствует преобразование Беклунда, приводящее к уравнению КдФ.
4.3. СВОЙСТВО ПЕНЛЕВЕ ДЛЯ УЧП 99
Теперь, наконец, можно дать определение свойства Пенлеве для УЧП,
которое будет обобщением свойства Пенлеве для ОДУ. Такое определение,
очевидно, должно быть связано с подвижными особенностями, определяемыми подвижным сингулярным многообразием (4.2).
Определение 4.11. Уравнение в частных производных обладает свой-
ством Пенлеве (СП), если оно не имеет критических особенностей в неко-
торой окрестности (или вблизи?) любого нехарактеристического многообразия и является интегрируемым (определение 4.10).
Практически установить отсутствие подвижных критических особен-
ностей можно только локально, что проводится с помощью теста Пенлеве,
вот почему построение преобразования Беклунда является второй частью
этого определения.
Слабое свойство Пенлеве может быть определено аналогично ОДУ
(см. раздел 2.1.4). В частности, можно включить в категорию уравнений,
имеющих слабое свойство Пенлеве, все уравнения, которые могут быть
сведены к уравнению, имеющему (полное) свойство Пенлеве (СП), с помощью преобразования годографа, определение которого дано ниже.
Определение 4.12. Пусть дано УЧП E(u, x, t). Назовем преобразова-
нием годографа такое преобразование, в котором одна из новых независи-
мых переменных зависит от старой зависимой переменной.
Такое преобразование рассмотрено, например, в [377, 66]. Это преоб-
разование интересно тем, что при его использовании УЧП, имеющее слабое
свойство Пенлеве, может быть сведено к УЧП, имеющему (полное) свойство Пенлеве. Рассмотрим для примера квазилинейное уравнение
U
+ U3U
T
=0, (4.18)
XXX
полученное Гарри Димом [259] при решении классической задачи колебания струны. При преобразовании годографа
(U, X, T ) → (u, x, t): dX = Udx, U = u, T = t, (4.19)
уравнение (4.18) преобразуется к промежуточному уравнению [249] (более
подробно см. [200])
3
u
t
+ u
− 3u−1uxuxx+
xxx
2
−2u3
u
=0, (4.20)
x
которое затем может быть приведено к модифицированному уравнению
КдФ, полулинейному уравнению
v =
u
x
: v
+ v
t
u
xxx
3
2
v
−
vx=0. (4.21)
2
100 ГЛАВА 4
Поскольку модифицированное уравнение КдФ обладает свойством Пенлеве, то можно заключить, что уравнение Гарри Дима обладает слабым свойством Пенлеве.
Другой пример — квазилинейное уравнение [226]
m
+ UmX+ bUXm =0,UXX− U − m =0, (4.22)
T
которое имеет слабое свойство Пенлеве лишь в двух случаях [173], b =2
и b =3, являющихся соответственно уравнением Камассы–Холма [160,
50] для b =2и уравнением Дегаспериса–Прочези [152, 119] для b =3.
В результате применения преобразования годографа [159, 227],
(U, X, T ) → (u, x, t): m = −p
b
,dx= p(dX −udT),t= T, (4.23)
уравнение (4.22) сводится к полулинейному УЧП
−1
p
+p(ln p)xt+ p
t
b
=0. (4.24)
x
Можно показать [160, 227], что уравнение (4.24) обладает (полным) свойством Пенлеве только при b =2и b =3.
Свойство Пенлеве для УЧП инвариантно относительно естественно-
го расширения понятия гомографической группы (1.43), и классификация,
аналогичная случаю ОДУ такого вида, проведена также и для УЧП в приложении А.3.7. Критерием другой классификации является существование
бесконечного числа законов сохранения [306]. При такой классификации
выделено больше УЧП. И было бы интересно проверить то, что эти УЧП
под действием некоторой последовательности преобразований, порожденной преобразованиями Беклунда и преобразованиями годографа, переходят
в уравнение, имеющее свойство Пенлеве.
Из вышеприведенного определения свойства Пенлеве для УЧП выте-
кает, что гипотеза, высказанная в разделе 4.1, верна по крайней мере для
уравнений, интегрируемых методом обратной задачи, которые к тому же
имеют свойство Пенлеве.
4.4. Тест Пенлеве для УЧП
После введения переменной разложения, что позволяет уменьшить
объем выкладок, рассмотрим применение теста Пенлеве для УЧП на двух
примерах. В одном примере исследуется интегрируемое уравнение и демонстрируется преимущество выбора оптимальной переменной, а в другом — частично интегрируемое уравнение для получения некоторой конструктивной информации.
4.4. ТЕСТ ПЕНЛЕВЕ ДЛЯ УЧП 101
4.4.1. Оптимальная переменная при разложении в ряд Лорана
Согласно определению 4.11 следует проверить существование ряда Ло-
рана в окрестности каждого нехарактеристического многообразия. Следовательно, прежде всего необходимо определить переменную разложения χ
для ряда Лорана. Не следует смешивать переменную сингулярного многообразия ϕ и переменную разложения χ. Относительно этих переменных
должны быть соблюдены два условия: во-первых, χ должна убывать как
ϕ − ϕ
при ϕ → ϕ0, во-вторых, между структурой особенности на ком-
0
плексной плоскости ϕ и структурой особенности на комплексной плоскости χ должно существовать взаимно однозначное соответствие. Так что χ
должна быть связана дробно-рациональным преобразованием с переменной ϕ − ϕ
(с коэффициентами, зависящими от производных перемен-
0
ной ϕ).
Ряды Лорана для u и E в методе Ковалевской–Гамбье определяются
как
u =
+∞
j=0
ujχ
j+p
, −p ∈ N,E=
+∞
j=0
Ejχ
j+q
, −q ∈ N∗, (4.25)
где коэффициенты u
, Ejне зависят от χ и зависят только от производ-
j
ных ϕ.
Для уменьшения объема выкладок, который очень быстро нарастает,
следует соответствующим образом выбрать переменную разложения χ.
Существует оптимальный выбор χ [69], при котором коэффициенты
дробно-рационального преобразования записываются в наиболее простом
виде,
−1
ϕ
xx
−
2ϕ
,ϕx=0, (4.26)
x
χ =
ϕx−
ϕ − ϕ
ϕ
xx
(ϕ − ϕ0)
2ϕ
x
0
=
ϕ
x
ϕ − ϕ
0
где x означает любую независимую переменную, для которой координата
grad ϕ не обращается в нуль.
Действительно, записав координаты градиента переменной χ,
S
2
=1+
χ
x
χ
= −C + Cxχ −
t
χ
, (4.27)
2
1
(CS + C
2
)χ2, (4.28)
xx
102 ГЛАВА 4
получаем систему Риккати, коэффициенты которой зависят только от
(S, C),
!
S = {ϕ; x} =
C = −ϕ
t/ϕx
ϕ
xxx
ϕ
x
3
−
2
. (4.30)
2
ϕ
xx
, (4.29)
ϕ
x
Величина S называется шварцианом (или производной Шварца) от ϕ.Эти
две величины инвариантны относительно группы дробно-рациональных
преобразований
aϕ + b
ϕ →
,ad−bc =0, (4.31)
cϕ + d
где a, b, c, d — произвольные комплексные постоянные. Следовательно,
коэффициенты разложения u
, Ej, которые по определению зависят от ко-
j
эффициентов полинома второй степени по переменной χ в правых частях
равенств (4.27)–(4.28), инвариантны относительно группы дробно-рациональных гпреобразований. Эти два инварианта (S, C) связаны между собой
условием равенства смешанных производных
X ≡ ((ϕ
xxx)t
− (ϕt)
)/ϕx= St+ C
xxx
+2CxS + CSx=0, (4.32)
xxx
которое тождественно выполняется для переменной ϕ.
Для практического вычисления (u
) как функций только от (S, C),
j,Ej
т. е. то, что называется инвариантным Пенлеве-анализом, явное выраже-
ние (S, C, χ) от переменной ϕ не требуется, переменная ϕ исключается
и остается только ее градиент в выражении для χ, определенной уравнением (4.26).
Отметим, что система Риккати (4.27)–(4.28) после преобразования ви-
да
χ =
ψ
ψ
x
(4.33)
становится линейной скалярной системой второго порядка.
S
ψ =0, (4.34)
2
C
x
ψ =0, (4.35)
2
+ CSx+2CxS =0. (4.36)
xxx
2[L
ψ ≡ ψxx+
L
1
L
ψ ≡ ψt+ Cψx−
2
] ≡X = St+ C
1,L2
4.4. ТЕСТ ПЕНЛЕВЕ ДЛЯ УЧП 103
Вид выбранной переменной χ (4.26), где коэффициенты инвариант-
ны относительно дробно-рационального преобразования, является наиболее простым, однако не является общим. Запишем наиболее общий вид
переменной, которую обозначим через Y ,состоящийвследующем.Разумеется, переменная Y должна удовлетворять тем же требованиям, которым
удовлетворяет переменная χ: во-первых, Y должна убывать как ϕ −ϕ
ϕ → ϕ
, во-вторых, между структурой особенности на комплексной плос-
0
0
при
кости ϕ и структурой особенности на комплексной плоскости Y должно
существовать взаимно однозначное соответствие. Так что Y должна быть
дробно-рациональным преобразованием переменной ϕ − ϕ
(с коэффици-
0
ентами, зависящими от производных переменной ϕ). В наиболее общем
случае переменную Y можно записать [318, 360] как
−1
Y
= B(χ−1+ A),B=0. (4.37)
Поскольку при дробно-рациональном преобразовании не изменяется структура ОДУ Риккати, то переменная Y удовлетворяет системе Риккати. Это
легко может быть доказано после подстановки χ из (4.37) в уравнения
системы (4.27)–(4.28). Преимущество введения неопределенных коэффициентов A и B будет выявлено в разделе 5.6.2.
Замена ϕ − ϕ
на χ или Y очень удобна при повторном суммирова-
0
нии рядов Лорана. Так, например, ряд, представляющий сумму бесконечно
убывающей геометрической прогрессии
+∞
xj,x→ 0, (4.38)
j=0
может быть записан в виде конечной суммы при введении переменной X =
= x/(1 −x)
1
XJ,X→ 0. (4.39)
J=0
4.4.2. Интегрируемый случай. Пример КдФ
Для иллюстрации применения теста рассмотрим в качестве примера
уравнение Кортевега–де Фриза (3.32)
E ≡ bu
t
+ u
xxx
6
uu
−
=0. (4.40)
x
a
Основные этапы прохождения теста ОДУ были приведены в разделе 2.1.1.
Так что здесь этапы прохождения уравнением теста Пенлеве будут описаны
кратко, без подробностей.
104 ГЛАВА 4
На первом шаге определяются ведущие члены уравненияE ≡ u
−(6/a)uu
. Наименьшие степени p и q независятотвыбораχ и находятся
x
xxx
из равенств p − 3=2p −1=q,т.е.p = −2, q = −5.
При выборе переменной разложения χ = ϕ − ϕ
, первоначально вве-
0
денной Вейссом и др. [433], коэффициент при наименьшей степени определяется из уравнения
(−2)(−3)(−4)ϕ
и его единственное значение равно u
ре (4.26) этот коэффициент равен u
3
u0− (6/a)u0(−2)ϕxu0=0,u0ϕx=0, (4.41)
x
2
=2a.
0
=2aϕ
0
. При оптимальном выбо-
x
На втором шаге находятся индексы Фукса, которые, очевидно, не за-
висят от χ. При выборе переменной разложения (4.26) уравнение для индексов Фукса получается следующим образом:
E(u + εw) −E(u)
lim
ε→0
ε
3
=(∂
− (6/a)u0χp∂x− (6/a)pu0χ
x
p−1
)w =0,
(4.42)
lim
χ→0
−j−q(∂3
χ
− (6/a)u0χp∂x− (6/a)pu0χ
x
p−1)χj+p
=(4.43)
=(j −2)(j −3)(j −4) − 12(j −2) + 24 = (j +1)(j − 4)(j −6) = 0.
(4.44)
Следовательно, тест будет окончен после того, как будет проверено, существует ли произвольный коэффициент ряда Лорана, соответствующий
наибольшему положительному индексу 6, или необходимо вводить в вид
искомого решения логарифмические особенности.
Что касается ряда Лорана, то его члены существенно зависят от выбора
переменной разложения. При выборе χ = ϕ − ϕ
u =2aϕ
2
χ−2−2aϕxxχ−1+ab
x
ϕ
6ϕ
ϕ
t
x
xxx
2a
+
ϕ
x
3
ряд Лорана имеет вид
0
)
(
2
ϕ
xx
a
−
2
+O(χ),χ= ϕ−ϕ0,
ϕ
x
(4.45)
его коэффициенты u
зависят от всех производных ϕ, что делает вычисле-
j
ние коэффициентов до j =6слишком громоздким. Если в качестве переменной разложения выбрать (4.26), то проверка отсутствия логарифмических особенностей при j =4и j =6проводится значительно проще, и ряд
Лорана имеет более простой вид
−
u =2aχ
−2
− ab
2aS
C
+
6
− 2a(bC −S)
3
χ + u4χ2+
x
4.4. ТЕСТ ПЕНЛЕВЕ ДЛЯ УЧП 105
4,x
!
3
χ
+
a
+
3
χ4+ O(χ5),
+ u
6
(SS
xx
+2S
xxx
)+
ab
3
(4SC
− 5C
x
xxx
) −
ab
2
(C
6
+ CCx)+u
t
(4.46)
здесь коэффициенты u
и u6— произвольные функции от (x, t).Наэтом
4
тест Пенлеве для этого частного примера заканчивается.
Часто возникает вопрос при применении теста, какую перемен-
ную лучше использовать в качестве переменной разложения: χ (уравнение (4.26))илиY (уравнение (4.37)) по сравнению с переменной разложения ϕ − ϕ
? На это существует достаточно ясный ответ: все три ряда
0
Лорана эквивалентны (коэффициенты этих рядов находятся во взаимно однозначном соответствии, отличаются только радиусы сходимости). Значит,
тест Пенлеве, который применяется к бесконечным рядам, нечувствителен
к выбору переменной разложения, и наилучший выбор — это, несомненно, выбор переменной χ, имеющей градиент (4.27)–(4.28) (для того, чтобы применить тест можно даже, следуя Крускалу [239], положить S =0,
C
=0).ЕслибытотжевопросбылзаданнепоповодутестаПенлеве,апо
x
поводу свойства Пенлеве при использовании метода сингулярного многообразия (этот метод будет сформулирован в разделе 5.5.1), то ответ на него
был бы совершенно другим, и он будет дан в разделе 5.5.2.
При применении теста к квазилинейным уравнениям, таким как (4.18)
или (4.22), типичной ситуацией являются рациональные значения ведущих
показателей степени и индексов Фукса (в отличие от целых значений), подобно случаю ОДУ (2.68). Подробные примеры таких ситуаций можно найти, например, в [428, 174].
З
АМЕЧАНИЕ. Можно было бы задать вопрос, нельзя ли «обобщить»
уравнение КдФ (4.40), заменив постоянные коэффициенты уравнения на
функции от переменных (x, t) и добавив члены более низкого порядка,
такие как u
и т. д., также с переменными коэффициентами. Если для та-
xx
кого уравнения провести тест Пенлеве, то результат окажется отрицательным [44]. Действительно, после того, как на переменные коэффициенты
будут наложены условия при прохождении теста Пенлеве, результирующее
уравнение КдФ (U, X, T ) может быть преобразовано к уравнению КдФ
(u, x, t) с использованием дробно-рационального преобразования:
α(x, t)U + β(x, t)
u =
γ(x, t)U + δ(x, t)
,X= ξ(x, t),T= τ(x, t). (4.47)
Тот же результат может быть получен и для нелинейного уравнения Шредингера [162, 65].
106 ГЛАВА 4
4.4.3. Частично интегрируемый случай. Пример КПП
Уравнение Колмогорова–Петровского–Пискунова (КПП) [257, 325]
E(u) ≡ bu
с (b, γ, d
− uxx+ γuux+2d−2(u − e1)(u − e2)(u − e3)=0 (4.48)
t
2
) действительными и ejдействительными и различными впервые
встречается при изучении процесса диффузии с химическими реакциями
или в модели хищник–жертва (необязательный в других моделях конвекционный член uu
[385] играет весьма важную роль в физических при-
x
ложениях модели хищник–жертва). То, что значения фиксированных точек
u = e
оставлены в символьном виде в отличие, например, от ej=(0, 1,a),
j
дает возможность установить индентичность решений, часто представляемых как различные.
Первый шаг состоит в поиске решений в виде u ∼ u
=0с использованием уравнения с ведущими членами
u
0
E(u) ≡−u
получаем два семейства решений (p, u
p = −1,q= −3, −2 −γu
+ γuux+2d−2u3, (4.49)
xx
)
0
+2d−2u
0
χp, E ∼ E0χq,
0
2
=0. (4.50)
0
Необходимые условия, состоящие в том, что p должно быть целым, удовлетворяются.
На втором шаге получаем линеаризованное уравнение
(E
(u))w ≡ (−∂
2
+ γu∂x+ γux+6d−2u2)w =0, (4.51)
x
откуда следует, что индексы Фукса i вблизи χ =0являются корнями следующего индексного уравнения
P (i)=−(i +1)(i − 4 − γu
)=0. (4.52)
0
Усиливая необходимые условия, потребуем, чтобы для каждого семейства
оба индекса были обязательно целыми [150, 82]. Если рассматривать каждое семейство в отдельности, то это приведет к счетному числу решений,
что неверно. Два семейства должны рассматриваться одновременно:
2d2
γ
γu
= ij− 4, (ij− 4)2−
0,j
(i
− 4) − γ2d2=0,j=1, 2. (4.53)
j
2
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]