Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метод Пенлеве и его приложения
.pdf
6.2. КУБИЧЕСКИЕ ГАМИЛЬТОНИАНЫ ХЕНОНА–ХЕЙЛЕСА 177
6.2.2.1. Случай β/α = −6 (КдФ5)
Поскольку оба инварианта H, K имеют вторую степень относительно
моментов p
, то применим метод Штеккеля [398], и разделение переменных
j
реализуется с помощью канонического перехода к параболическим координатам [125, 13, 436]
(q
1,q2,p1,p2
q
= −(s1+ s2+ ω1− 4ω2)/(4α),q
1
− s2r
s
p
1
= −4α
1r1
s1− s
) → (s1,s2,r1,r2), (6.6)
2
= −s1s2/(4α2), (6.7)
2
2
2
2
,p
2
= −16α
s1s2(r1− r2)
2
(s1− s2)
2
. (6.8)
2
Действительно, эти два инварианта H, K принимают вид
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
f(s
H =
K =2
1,r1
s
1s2
s1− s
f(s, r)=−
) − f (s2,r2)
s1− s
2
f(s
2
2
(s + ω1− 4ω2)2(s − 4ω2) − 64α4c
s
1,r1
s
1
,
)
f(s
−
2,r2
s
2
)
,
32α2s
3
+8α
2r2
(6.9)
s.
Следовательно, уравнение Гамильтона–Якоби H − E =0(6.5) позволяет
ввести разделяющую константу
f(s
) − Es1= f(s2,r2) − Es2=const, (6.10)
1,r1
значение которой определяется с помощью уравнения, содержащего K,
K
f(s
j,rj
) − Esj+
=0,j=1, 2. (6.11)
2
Первая задача — нахождение разделяющих переменных решена.
Далее для того, чтобы провести интегрирование в явной форме, полу-
чим систему дифференциальных уравнений относительно (s
чив для этого два момента r
∂H
s
=
1
∂r
=16α
1
, r2из (6.11) уравнений движения Гамильтона:
1
2
s1− s
s
1
r1,s
2
∂H
=
2
∂r
2
=16α
2
s2− s
1,s2
s
2
r2. (6.12)
1
),исклю-
178 ГЛАВА 6
В результате получаем
− s2)s
(s
1
P (s)=s
=P (s1), (s2− s1)s
1
2
(s + ω1− 4ω2)2(s − 4ω2)+32α2Es2− 16α2Ks − 64α4c3,
=P (s2), (6.13)
2
(6.14)
классическую систему, называемую гиперэллиптической системой.Вкон-
тексте проводимого исследования нас интересуют симметричные полиномы относительно переменных s
ведение s
переменной t. Отсюда следует, что система ХХ3 относительно переменных
2
и q
q
1
2
хая мысль исключить q
только q
, которые являются мероморфными функциями независимой
1s2
имеет свойство Пенлеве. В частности, после этого возникает непло-
при изучении доминантного поведения, поскольку
2
однозначен.
2
2
, s2, а именно, сумма s1+ s2и произ-
1
Алгебраическая кривая на плоскости (x, y), определяемая как
2
y
= P(x), (6.15)
с P — введенным выше полиномом пятой степени, называется гиперэллиптической кривой и имеет род g, определяемый неравенствами 2g +
+1 deg P 2g +2,равныйдвум.
З
АМЕЧАНИЕ. Обобщение
c
H =
1
2
(p
2
2
+ p
)+cq1+ αq1q
1
2
2
+2αq
2
c
3
+
1
2q
5q1
3
+
2
2
,α=0, (6.16)
4
q
2
также допускает разделяющие переменные [225], однако они связаны с гиперэллиптической кривой, имеющей род, равный трем, и общее решение
в этом случае представляет собой конечное число подвижных ветвей (слабое свойство Пенлеве).
6.2.2.2. Случай β/α = −1 (СК) и −16 (КК)
Эти два случая лучше всего рассматривать вместе, поскольку суще-
ствует каноническое преобразование между переменными ХХ3.СК, которые обозначим через (Q
ными через (q
=
H
СК
H
=
КК
1,q2,p1,p2
1
2
(P
1
2
1
2
(p
+ p
1
2
+ P
2
+Ω1Q
2
2
+16ω2q
2
1,Q2,P1,P2
). Соответствующие гамильтонианы имеют вид
2
+Ω1Q
1
2
+ ω2q
1
), и переменными ХХ3.КК, обозначен-
2
2
2
)+
2
)+
1
Q
1
2
1
q
q
1
4
1
2
Q
+
2
6
4
2
3
q
+
2
1
3
1
3
Q
−
1
1
λ
−
2
2
λ
Q
8
−2
2
q
. (6.18)
2
−2
, (6.17)
2
6.2. КУБИЧЕСКИЕ ГАМИЛЬТОНИАНЫ ХЕНОНА–ХЕЙЛЕСА 179
Каноническое преобразование
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
Q
⎪
1
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
q
⎪
1
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
P
⎪
1
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
p
⎪
1
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
P
⎪
2
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
p
2
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
Ω
1
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
Γ=−12Q
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
Ω = 48(3q
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
2
k
2, 0
p
2
= −6
λ
+
q
2
q
P
p
q
2
3
3
2
2
2Q
−
3
2
+6q
3
+3Q
p
2
5
q
2
P
2
2
+
Q
2
p
1
q
P
1
Q
λ
+
6
q
2
+
2
4Q
2
= −
=12
P
=3
Q
=−
=−
3
2
=16ω2,c=Ω
− 6Q
2P1P2
4
2
k
+6λq1q
2
2, 0
2
+3λ
= p
4
q1q
+18λ2q
2
4
6
− q
/72 − q
2
2
2
− q1,Q2=
2
2
λ
2
2Q
2
2
− p1+6λ
2
2
− P1−
2
√
Ω+
√
λ
3
2
2
,
1
2
Q
1
5
2
2
2
2
4
q
1
2
√
Ω
4
2q
2
2
− Q1,q2=
+36λ
1
−
2
2
p
q
9
λ
2
λq
√
q
1
2
q
2
Q
3
λ
2
Q
4
2
,
Ω
λQ
√
2
,
Γ −
Γ
2
4
+6Ω
2
2
Q
1
3
3
p
− λq
2
2
2
2
p
− q
2
2
− 2Q
2
p2+12λq
2
p
+12λ3q2p2+3λ4),
2
/12 + q1q
,
√
Γ
,
Q
2
2
2
+36λ
4
2
2
P
9
2
+
4
4
Q
2
2
+6λP1,
2
6
p1+
2
3
p1p2/3+Ω
2
+12
2
−
5
2
3
λ
,
6
q
2
3
3
λ
,
6
8
Q
2
p
2
2
5
q
2
P
2
λ
Q
(6.19)
2
4
q
/12.
1
2
Для того чтобы параллельно находить разделяющие переменные для
ХХ3.СК и ХХ3.КК, будем делать следующее [374].
1) Существует каноническое преобразование, которое отделяет одно из
двух уравнений Гамильтона–Якоби в частном случае λ =0,этопово-
рот
-
Q
= Q1+Ω2/(2α)+Q2,-P1=(P1+ P2)/2, (6.20)
1
-
Q
= Q1+Ω2/(2α) − Q2,-P2=(P1− P2)/2. (6.21)
2
Отделенное уравнение Гамильтона–Якоби для СК имеет вид
λ =0: H
f(q, p)=p
− E = f(-Q1,-P1)+f(-Q2,-P2) − E =0, (6.22)
СК
1
2
3
q
+
12
2
− 4ω
q. (6.23)
2
180 ГЛАВА 6
2) Затем записываем два инварианта H , K второго уравнения КК в но-
вых переменных-Q
нического преобразования (6.19) и некоторую уловку
,-Q2,-P1,-P2. Для этого используем формулы кано-
1
1
для того, чтобы
получить преобразование для λ =0. Более точно каноническое преоб-
разование между q
, pjи-Q1,-Q2,-P1,-P2определяется как [375, 416]
j
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
q
1
2
q
2
= −6
=24
-
P
−-P
1
2
-
Q
−-Q
1
2
,-P1) − f (-Q2,-P2)
f(-Q
1
-
Q
−-Q
1
2
-
Q
+-Q
1
2
−
,
2
,
2
(6.24)
и два инварианта для КК принимают вид
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
H
= f(-Q1,-P1)+f(-Q2,-P2) −
КК
2
КК
λ
=
+-Q2)+2(f(-Q1,-P1) − f (-Q2,-P2))2+
(-Q
1
6
K
4
λ
+
2
24
f(-Q1,-P1) − f (-Q2,-P2)
2
λ
96
f(-Q1,-P1) − f (-Q2,-P2)
-
Q
−-Q
1
2
-
Q
−-Q
1
2
2
,
.
(6.25)
Следовательно, уравнение Гамильтона–Якоби H
− E =0допускает
КК
введение разделяющей константы [415]
(f(-Q
,-P1)−E)2−
1
2
λ
-
Q
=(f (-Q2,-P2)−E)2−
1
4
2
λ
-
Q
=const, (6.26)
2
4
значение которой определяется при исключении с помощью уравнения, содержащего K:
2
λ
-
(f(-Q
j
,-Pj) − E)2−
Q
+ K =0,j=1, 2. (6.27)
j
4
Поскольку уравнения Гамильтона–Якоби для случаев КК и СК изменяются под действием того же канонического преобразования, то и уравнение Гамильтона–Якоби СК разделяется с помощью тех же переменных.
1
Это не является простой уловкой. Действительно, данные гамильтоновы системы СК и КК
являются редукциями двух систем двух уравнений КдФ, подобных [21], переход от переменных (q
зования Беклунда.
) к(Q1,Q2,P1,P2) представляет собой редукцию некоторого точного преобра-
j,pj
6.2. КУБИЧЕСКИЕ ГАМИЛЬТОНИАНЫ ХЕНОНА–ХЕЙЛЕСА 181
3) Далее выполняем в явном виде интегрирование для случая КК. Уравнения движения для H
∂H
-
Q
1
-
Q
2
КК
=
=
∂-P
∂H
∂-P
КК
=-P
1
=-P
2
(см. ур. (6.25))имеютвид
КК
1
2
2
2 − λ
[f(-Q1,-P1) − f (-Q2,-P2)]
2
2 − λ
[f(-Q1,-P1) − f (-Q2,-P2)]
-
Q
1
-
Q
2
−-Q
−-Q
2
, (6.28)
2
1
. (6.29)
2
Исключение моментов (-P
− s2)s
=P (s1), (s2− s1)s
1
2
−
(s
1
P (s)=s
,-P2) приводит к системе [415]
1
=P (s2), (6.30)
2
ω
1ω2
3
K
2
s
−
2
λ
3
K
−
2
λ
2E
λ
s +
−
9
9
(6.31)
с обозначениями
= −3s
2
+
1
2
λ
-
Q
1
12K
Следовательно, общее решение (q
,-Q2= −3s
2
,q
) ХХ3 в случае КК является ме-
1
2
12K
2
+
2
. (6.32)
2
λ
роморфной функцией времени, определяемой гиперэллиптической системой второго рода. Явный вид решения в исходных переменных выглядит как
⎡
s
3
= −
=
⎣
s1+ s
2
s
+ s
1
2λ
q
1
−2
q
2
+ s
2
2
2
− (s
2
2
+ s
) −
1
2
1
2
. (6.34)
⎤
2K
⎦
, (6.33)
2
λ
4) Наконец, общее решение для случая СК получаем из общего решения для случая КК с помощью канонического преобразования (6.19).
В результате получаем
Q
= −3(s
1
2
Q
= 18(s1+s2)(s1+s2)+s
2
+ s
)+(s
1
2
2
1
+ s
2
+ s1s2) −
2
2
+s
1
K
, (6.35)
2
λ
3K
2
−
2
2
2λ
− (s
1
s
1
+s2s
). (6.36)
2
182 ГЛАВА 6
6.2.3. Непосредственное интегрирование
Для того чтобы выполнить интегрирование уравнений Гамильтона
в смысле теории интегрирования, приверженцем которой является Пенлеве, достаточно проинтегрировать ОДУ четвертого порядка (2.81) для трех
случаев, выделенных тестом Пенлеве.
Все эти ОДУ четвертого порядка первой степени со свойством Пенлеве
вида
(4)
u
где P является полиномом относительно u
= P(u
,u,u
,u; x), (6.37)
, ..., u с аналитическими коэффициентами, зависящими от x, были перечислены в [59, 46, 105] и,
по крайней мере для автономного случая, проинтегрированы (приложение А.3.5). В частном случае, когда доминантное поведение решения u
определяется полюсом второго порядка, как в (2.81), класс уравнений вида (6.37) включает в себя пять ОДУ, три неавтономных (обозначенных F-I,
F-V, F-VI в работе [104]) и два автономных (обозначенных F-III, F-IV). Три
из этих уравнений могут быть легко соотнесены с тремя случаями уравнения (2.81) — это уравнения F-III, F-IV и автономный вариант уравнения
F-V (здесь обозначенный как аF-V).Общее решение каждого из этих уравнений является мероморфной функцией и выражается через гиперэллиптические функции второго рода [104], определяемые гиперэллиптической
системой
⎧
⎪
(s
⎪
⎨
⎪
P (s)=
⎪
⎩
1
− s2)s
j=0
=P (s1), (s2− s1)s
1
6
cjsj.
=P (s2),
2
(6.38)
Канонической формой этих трех уравнений является (фиксированные
константы обозначены греческими буквами, нефиксированные константы
обозначены буквами K
, K2или A, B)
1
⎧
+ s
2
2
2
+ A)3−
45
2
u
− 15u3+ αu + β,
4
2
2
− (s
2
+ s
1
2
α
2
(s
+ A)+Bs +
3
) − 2A,
(6.39)
β
,
3
F-III
⎪
⎪
u
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
u =
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
P (s)=(s
=15uu+
s
1
s1+ s
6.2. КУБИЧЕСКИЕ ГАМИЛЬТОНИАНЫ ХЕНОНА–ХЕЙЛЕСА 183
⎧
u
=30uu− 60u3+ αu + β,
⎪
⎪
⎪
⎪
a-F-V
⎨
F-IV
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎧
u
=20uu+10u2− 40u3+ αu + κx + β, κ =0,
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
1
u =
4
P (s)=s
1
(s
u =
P (s)=(s
(s
+ s2),
1
5
− 2αs3+8βs2+32K1s +16K2.
+ s
1
2
2
+ s
2
+ A)3−
2
+ s1s2+ s
1
α
2
(s
3
2
+ A),
2
+ A)+Bs +
(6.40)
β
,
3
(6.41)
Для рассматриваемых случаев получаем соответственно
KdV5
a-F-V
SK
F-IV
KK
F-III
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
q
1
β
V
q
α
IV
q
1
= −
=2E +
= −
1
= ω
αu
= −
ω
u
−
α
(ω
3u
−
2α
2
,βIV=
1
ω
−
2
2α
+4ω
1
20α
+4ω2)(ω
1
ω
1
,
2α
E
3
2
,α
2
,κ
=0,αV=
V
2
− 12ω1ω2+16ω
1
200α
3
ω
1
−
2
36α
=16ω
III
2
,K
1, IV
2
,β
III
2
3ω
2
2
c
= −
36
=8E −
2
− 16ω1ω2+48ω
1
10
)
,
3
,K
32
3α
=
2, IV
3
ω
.
2
2
K
6
2
2
,
4
(6.42)
Различные константы, входящие в эти уравнения, (c
,E,K), могут
3
быть как фиксированными, так и нефиксированными в зависимости от рассматриваемой системы. В уравнениях движения (2.70)–(2.71) константа c
фиксирована, а константы E, K не фиксированы. В уравнении четвертого
порядка (2.81) константа E фиксирована, а константы c
, K не фиксиро-
3
ваны. Это дает дополнительное понимание некоторых особенностей системы Хенона–Хейлеса (ХХ). В самом деле, константа c
является первым
3
интегралом уравнения четвертого порядка (2.81), следовательно, предположение о равенстве нулю c
=0препятствовало бы нахождению общего
3
решения уравнения (2.81), т. к. нельзя пренебрегать членами гамильтониана (2.69), содержащими отрицательную вторую степень. Частное решение,
соответствующее случаю c
=0, легко может быть получено. Для случая
3
,
3
184 ГЛАВА 6
СК оно появляется уже в тезисах Шэзи [59]:
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
α
−
(Q
± Q2) −
1
6
2
ω
2
g
=
12
,g
2
3, ±
ω
12
= −
2
= ℘(t − t
2
α
18
E ±
1,g2,g3, ±
√
K
−
3
12α
)=℘±,
3
ω
2
2
(6.43)
,
соответствующее решение для случая КК имеет вид [374]
⎧
⎨
⎩
αq
q
−2
2
1
+
= α
ω
2
2
2
&
3
=
−4(℘
16
√
K(℘+− ℘−)
+ ℘−)+(ln(℘+− ℘−))
+
с теми же самыми значениями для g
, g
.
2
3, ±
'
2
,
(6.44)
6.3. Гамильтонианы Хенона–Хейлеса четвертого порядка
В данном разделе проведем изучение гамильтонианов Хенона–Хейлеса
(ХХ) четвертого порядка аналогично предыдущему разделу, только значительно более коротко.
Все эти гамильтонианы ХХ имеют вид (2.78), в котором константы A,
B, C, α, β, γ, Ω
и уравнения движения (2.79)–(2.80) проходят тест Пенлеве только в четырех случаях со следующими результатами:
и Ω2отобраны «обычным» тестом Пенлеве [372, 180],
1
⎧
A : B : C =1:2:1,γ=0,
⎪
⎪
⎪
⎨
A : B : C =1:6:1,γ=0, Ω
⎪
A : B : C =1:6:8,α=0, Ω
⎪
⎪
⎩
A : B : C =1:12:16,γ=0, Ω
=Ω2,
1
=4Ω2,
1
1
=4Ω2.
(6.45)
6.3.1. Вторые инварианты
Для каждого из этих четырех случаев существует вторая константа
движения K [205, 21, 22] в инволюции с гамильтонианом:
1:2:1:K =(Q
×P
− Q1P2)2+ Q
2P1
2
− P
1
2
2
+ Q
4
1
− Q
α
2
2
Q
4
2
+ Q
2
1
+Ω1Q
β
2
1
Q
2
− Ω2Q
1
2
2
− Ω
Ω
1
−
2
×
2
α
2
+
2
2
Q
1
β
−
,
2
Q
2
6.3. ГАМИЛЬТОНИАНЫ ХЕНОНА–ХЕЙЛЕСА ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА 185
1
A =
, (6.46)
2
1:6:1:K =P
− P
α = −κ
1:6:8:K =P
−
+ Q1Q
1P2
2
κ
1
2
2
2
Q
1
2
,β= −κ
1
Q
2
−
2
16
1
2
Q
(Q2P1− 2Q1P2)2+
2
4
− P
2
2
1
(2Q
2
Q
−
2
2
κ
2
+
2
Q
2
2
,A= −
2
2
+4Q
2
2
+ Q
1
8
1
2
(κ
1
4
2
+Ω2)+
1
2
2
+Ω
2
Q
+ κ
2
1
, (6.47)
32
2
−
1
2
2
κ
κ
1
2
2
Q
)+
2
1
2
β
2
Q
2
2
,
2
2
Q
Q
1
2
−
+ γ−2γQ
2
− 4Q2P1P2+
2
1
4
3
Q
Q
+ Q
1
2
2
Q
1
2
+4Q1P
2
2
−
2
− 4Ω
1:12:16:K =8(Q
+2Ω
A = −
1
32
2
Q
2Q1
1Q1
+4Q
2
− Q1P2)P2− Q1Q
2P1
2
Q
− 8Q
2
β
1
Q
β
1
Q
,A= −
2
2
2
+
2
2
, (6.49)
4
2
32α
5
1
, (6.48)
16
3
− 2Q
2
Q
+
1
2
Q
4
Q
+10
2
2
2
P
2
2
,
2
Q
1
таким образом, интегрируемость по Лиувиллю установлена.
6.3.2. Разделение переменных
Проблема нахождения разделяющих переменных весьма сложна. Существуют мощные методы для решения этой задачи [396, 412], но они технически очень сложны и не будут здесь приведены, более того, их применение к полной форме ХХ4, насколько нам известно, еще не проведено.
Приведем коротко известные на сегодняшний день результаты, достигнутые в решении этой задачи.
186 ГЛАВА 6
6.3.2.1. Случай 1:2:1(система Манакова)
Поскольку две константы движения H и K имеют четвертую степень
относительно моментов, можно применить метод Штеккеля [398] для нахождения разделяющих переменных. Каноническое преобразование к эллиптическим координатам
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
2
q
j
p
j
=(−1)
=2q
(s1+ ωj)(s2+ ωj)
j
ω1− ω
ω
j
− r1) − s1r1+ s2r
3−j(r2
s1− s
2
2
,j=1, 2,
2
,j=1, 2
(6.50)
преобразует инварианты к виду
⎧
⎪
⎪
H = −
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
K = −g(s
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
g(s, r)=2(s + ω
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
−
−
g(s
1,r1
1,r1
α + β
2
ω
1
) − g(s2,r2)
s1− s
2
,
) − g(s2,r2)+(s1+ s2+ ω1+ ω2)
,
3
ω
1
−
2
.
2
− ω
2
)(s + ω2)r2−
1
α
2
s + ω
s
β
−
s + ω
1
+ ω
2
g(s
2
2
s
−
ω
1,r1
1ω2
2
) − g(s2,r2)
s1− s
2
s−
−
(6.51)
Следовательно, уравнение Гамильтона–Якоби H − E =0позволяет ввести
разделяющую константу, которую просто можно выбрать как значение K
второго инварианта (6.46),
α + β
−2g(s
) − E(2sj+ ω1+ ω2) −
j,rj
= K, j =1, 2. (6.52)
2
Уравнения Гамильтона в новых координатах идентичны гиперэллиптической системе (6.38):
P (s)=s(s + ω
− (s + ω
)2(s + ω2)2− α(s + ω2)2− β(s + ω1)2−
1
)(s + ω2)[E(2s + ω1+ ω2) − K ].
1
(6.53)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]