Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метод Пенлеве и его приложения
.pdf
5.6. ПРИЛОЖЕНИЕ К ИНТЕГРИРУЕМЫМ УРАВНЕНИЯМ 137
U =0. Это частное решение выбрано как сумма двух экспонент (даже
в случае уравнения Буссинеска, для которого L
является оператором
1
третьего порядка). Результатом для уравнения КдФ является уединенная волна (3.45), где в качестве исходной предпосылки используется
B =0,
u =2ak
2
sech2(kx −ωt),ω= −
2
3
ak
. (5.126)
3
Односолитонное решение уравнения Буссинеска отличается от решения уравнения КдФ только дисперсионным соотношением
2β2
u = −2β
2k2
sech2(kx −ωt),ω2= −
ε
4
k
. (5.127)
3
3) Для обоих уравнений Буссинеска и КдФ N -солитонное решение запи-
сывается как логарифмическая производная от вронскиана (5.31),но
запись ∂
i−1
θjразлична, т.к. их диссипативные операторы L1(ур. (5.6)
x
и (5.7), записанные при U =0) имеют разные дифференциальные по-
рядки (второй для КдФ и третий для уравнения Буссинеска).
5.6.2. Случай двух семейств: уравнение синус-Гордона и
модифицированное уравнение КдФ
Уравнение синус-Гордона (СГ)
SG(u) ≡ u
+ αeu+ a1e−u=0,αa1=0, (5.128)
xt
(здесь не учитывается разница между уравнениями sin- и sh-Гордона, поскольку замена u → iu не изменяет структуры особенности на комплексной плоскости), и модифицированное уравнение КдФ (мКдФ), имеющее
вид (5.103)
мКдФ(w) ≡ bw
+(wxx− 2w3/α2+6vw)x=0, (5.129)
t
(пояснение обозначений и замечания по поводу вида уравнения здесь опущены) имеют много общего. Отметим прежде всего, что СГ является алгебраическим относительно поля e
u
. Главное, что нас интересует, — это
структура особенностей. Более точно, покажем, что для обоих уравнений
поле u (соответственно w) имеет два семейства с противоположными сингулярными частными дифференциальными операторами.
Поле e
u
уравнения СГ имеет два семейства, не являющихся противо-
положными,
u
e
∼−(2/α)ϕxϕt(ϕ − ϕ0)−2, индексы (−1, 2), D1=(2/α)∂x∂t,
−u
e
∼ (2/a1)ϕxϕt(ϕ − ϕ0)−2, индексы (−1, 2), D2= −(2/a1)∂x∂t,
138 ГЛАВА 5
следовательно, та же самая линейная комбинация euи e−u, которая присутствует в определении уравнения СГ, с учетом предположения (5.34) может
быть записана в виде
u
+(a1/α)e−u=(2/α)∂x∂t(ln τ1− ln τ2)+.W, E(u)=0, (5.131)
e
здесь два сингулярных частных дифференциальных оператора являются
противоположными.
В случае уравнения мКдФ (его определение как закона сохранения
означает существование потенциала r (w = r
семейства, и они имеют противоположные сингулярные частные дифференциальные операторы (α означает любой квадратный корень из α
)) существуют только два
x
2
):
мКдФ: p = −1,q= −4,w
pмКдФ: p =0
−
,q= −3,r0= α, индексы (−1, 0, 4), D = α.
= α, индексы (−1, 3, 4), D = α∂x,
0
(5.132)
И наконец, отметим, что для обоих УЧП с использованием предположения (5.34) решение можно представить в виде (после двух последовательных интегрирований (5.131))
СГ: u = −2(ln τ
pмКдФ: r = α(ln τ
− ln τ2)+W, СГ(u)=0, (5.133)
1
− ln τ2)+R, pмКдФ(r)=0, (5.134)
1
где сумма двух противоположных сингулярных операторов
D ln τ
− D ln τ
1
2
(5.135)
зависит от переменной
τ
1
Y =
. (5.136)
τ
2
По сравнению со случаем одного семейства, описанным в разделах 5.6.1.1 и 5.6.1.2, новая ситуация, когда появляются два противоположных семейства, приводит к необходимости применения метода сингулярного многообразия [320, 360], который может быть назван методом двойного
сингулярного многообразия и будет здесь применен.
Ограничимся одинаковым видом связи (5.63) между двумя функциями
τ и двумя функциями ψ, так что для переменной Y выполняется Y =
= ψ
. Если ограничиться парой Лакса второго порядка, то ψ1и ψ2яв-
1/ψ2
ляются компонентами волнового вектора более общей пары Лакса второго
порядка, записанной в матричной форме, и поскольку в уравнения (5.133)
5.6. ПРИЛОЖЕНИЕ К ИНТЕГРИРУЕМЫМ УРАВНЕНИЯМ 139
и (5.134) входит только отношение ψ1/ψ2, то удобно представить скалярную пару Лакса (5.39)–(5.40) в виде эквивалентной ей системы Риккати
относительно переменной Y , определенной в (4.37) и (4.27)–(4.28).
Представим решение в виде усеченного разложения, определенного
в ур. (5.82) [358] (только для пары Лакса второго порядка),
u = D ln Y + U, (5.137)
−1
Y
= B(χ−1+ A), (5.138)
−2q
E(u)=
∀jE
Ej(S, C, A, B, U)Y
j=0
(S, C, A, B, U)=0, (5.140)
j
j+q
, (5.139)
здесь на U не накладываются какие-либо ограничения. Получим решения
для уравнений СГ и мКдФ.
5.6.2.1. Уравнение синус-Гордона
При замене выражения (5.137) выражением (5.133) система (5.140)
становится системой пяти определяющих уравнений относительно неизвестных (S, C, A, B, W ) [360, 96]:
E
≡ αB2eW− 2C =0, (5.141)
0
E
≡ 2(Cx+2AC)=0, (5.142)
1
≡ 0 (индекс Фукса), (5.143)
E
2
E
≡−σt− σ(Cx+2AC)=0, (5.144)
3
≡ σ(Cσ +(Cx+2AC)x)/2+a1B−2e−W=0, (5.145)
E
4
где
σ = S +2A
2
− 2Ax, (5.146)
вместе с условием равенства смешанных производных (условием совместности) (4.32) эта система имеет решение
: eW=
E
0
E
: A = −
1
: σ = −F(x),S= −F(x)+
E
3
2C
, (5.147)
2
αB
1
(ln C )
2
, (5.148)
x
C
2C
2
C
xx
x
2
, (5.149)
−
C
140 ГЛАВА 5
E4: CCxt− CxCt+ F (x)C3+ a1αF (x)−1C =0, (5.150)
F(x)=0, (5.151)
X : a
1
где F — функция интегрирования. Последнее уравнение позволяет ввести
спектральный параметр
2
F (x)=2λ
. (5.152)
Далее из вида E
следует, что ln C линейно зависит от второго решения U
4
УЧП
α
2
−2eU
λ
,E(U )=0, (5.153)
C =
и можно получить сингулярное частное преобразование в виде
u = −2lny + U, y = λBY, (5.154)
где y является решением системы Риккати
y
= λ + Uxy −λy2, (5.155)
x
α
y
= −
t
(ln y)
−1(eU
λ
2
xt
+(a1/α)e−Uy2), (5.156)
− (ln y)tx= SG(U). (5.157)
Представление y ввиде
y = ψ
1/ψ2
(5.158)
приводит к следующей матричной записи пары Лакса второго порядка:
/2
x
0 e
−U
, (5.159)
U
. (5.160)
0
(∂
− M )
t
(∂
− L)
x
ψ
1
=0,M= −(α/2)λ
ψ
2
ψ
1
ψ
2
=0,L=
−1
/2 λ
U
x
λ −U
−(a1/α)e
Автопреобразование Беклунда [111] получается после подстановки
y = e
−(u−U)/2
в (5.155)–(5.156):
(u + U )
(u − U )
= −4λsh
x
−1
= λ
t
u − U
(u+U)/2
αe
, (5.161)
2
−(u+U)/2
+ a1e
!
. (5.162)
5.6. ПРИЛОЖЕНИЕ К ИНТЕГРИРУЕМЫМ УРАВНЕНИЯМ 141
Уравнение сингулярного многообразия получается при исключении U ,
оно имеет вид [358]
S + C
−1
Cxx−
1
−2C2
C
2
+2λ2=0, (5.163)
x
оно совпадает (в общем случае это не так) с уравнением сингулярного многообразия [431, 70] для случая одного семейства, когда в качестве переменной разложения выбрана χ.
АМЕЧАНИЕ. Основание присутствия на первый взгляд бесполезного
З
параметра B, который был введен в определении (4.37), состоит в том, что
его введение позволяет обеспечить точное соответствие (5.63),
τ
= ψ1,τ2= ψ2, (5.164)
1
за счет выбора B, а именно:
−1
B = λ
,y= Y, W = U. (5.165)
Для того чтобы вывести нелинейное уравнение Шредингера, можно
выбрать любое из уравнений (5.161) и (5.162) в силу Лоренц-инвариантности x ↔ t. Существует единственная линейная комбинация четырех уравнений (5.161), записанных для четырех решений, в которой исключены производные первого порядка [269],
u
th
n+1
n−1
4
=
− u
Соотношение (5.166) может быть разрешено относительно u
λ
λ
n+1
n+1
+ λ
− λ
− -u
u
n
n
th
n
n
. (5.166)
4
n+1
аналогич-
но случаю КдФ (5.107).
Для уравнения синус-Гордона, имеющего вид z
получено из (5.128), в котором положено α = −1/2, a
2
=1, найдем односолитонное решение и решение в виде осциллирую-
ε
− sin z =0, которое
xt
=1/2, u = εiz,
1
щего солитона. Начнем от тривиального решения U =0, проинтегрируем
систему Риккати с постоянными коэффициентами
y =thθ, θ = λx +
4λ
t
+ θ
, (5.167)
0
и односолитонное решение получаем из сингулярного частного преобразования (5.154)
−u/2
e
=thθ, th(u/4) = e
−2θ
,ux=4iλ sech(2θ − iπ/2) (5.168)
142 ГЛАВА 5
или относительно физической переменной z = −εiu
tg(z/4) = −εe
−2θ+iπ/2
Двухсолитонное решение u
жить u
и -unвзять односолитонные решения
u
n
=0в нелинейном уравнении Шредингера (5.166) ивкачестве
n−1
th
,zx=4ελ sech(2θ − iπ/2). (5.169)
получается без интегрирования, если поло-
2SS
u
2SS
4
=
λ
2
λ2− λ
+ λ
sh(θ1− θ2)
1
sh(θ1+ θ2)
1
. (5.170)
Относительно физической переменной z = −εiu осциллирующий солитон
z
[272] определяется как частное двухсолитонное решение, в котором λ
b
и λ2— комплексно сопряженные константы, а постоянный сдвиг θ0выбран
так, чтобы знаменатель не обращался в нуль на действительной оси,
2
+ q2)+δn)
,λ
= k + iq, λ2= k − iq.
1
tg
z
b
4
sin q(x − t/(k
k
= ε
q
ch k(x + t/(k2+ q2)+δd)
(5.171)
5.6.2.2. Модифицированное уравнение Кортевега–де Фриза
Подставляя (5.137) в (5.134), получаем систему определяющих уравнений с обозначением (5.146) для σ:
E
≡ 6αA − 6(R − α ln B)x=0, (5.172)
1
E
≡ α(2Ax+4A2− bC −2σ +6v) − α−1(E1+6αA)2/6=0, (5.173)
2
≡ pмКдФ(R − α ln B) − (3/2)α−1σx− 2AE2− E
E
3
2
+(σ − 4A
E
≡ выражение, которое обращается в нуль с E1,E2,E3,E5, (5.175)
4
≡ (3/4)ασσx+(1/4)σ2E1=0, (5.176)
E
5
X ≡ S
t
+ C
− (1/3)α−1E
+2CxS + CSx=0. (5.177)
xxx
− 2Ax)E1− 2AE
1,x
+
2,x
, (5.174)
1,x
1
Они зависят от переменных (R, B) только в виде их комбинации R−α ln B.
Уравнение j =4является комбинацией уравнений j =1, 2, 3, 5,т.к.4—
индекс Фукса, другие уравнения запишем в виде
E
: A = α−1(R − α ln B)x, (5.178)
1
5.6. ПРИЛОЖЕНИЕ К ИНТЕГРИРУЕМЫМ УРАВНЕНИЯМ 143
Рис. 5.3. Осциллирующий солитон (5.171) уравнения синус-Гордона как функция
от x,приk =3, q =3, δ
= −5, −2,5, 0, 2,5, 5
=0, δd=0для пяти равноотстоящих значений t =
n
E5: σ = −2(λ2(t) − v),λ=const, (5.179)
: bC =2Ax− 2A2+4λ2(t)+2v, (5.180)
E
2
: pмКдФ(R − α ln B)=0, (5.181)
E
3
X : λ
(t)=0. (5.182)
Таким образом, их общее решение может быть записано через второе решение W уравнения мКдФ (5.103) и произвольную постоянную λ [358]:
W =(R − α ln B)
bC =2W
S =2W
Условие совместности X
/α − 2W2/α2+2v +4λ2,
x
/α − 2W2/α2+2v − 2λ2.
x
=0(ур. (5.43)) эквивалентно уравнению
1
,A= W/α,
x
(5.183)
мКдФ (5.103) относительно W. Отсюда следует, что получено сингулярное частное преобразование и пара Лакса.
144 ГЛАВА 5
Сингулярное частное преобразование имеет вид
w = α∂
ln y + W, y = λBY, (5.184)
x
и представление в виде уравнений Риккати пары Лакса будет следующим
y
y
b
x
y
t
y
= λ
=
1
y
1
− y− 2
y
−4λ
W
α
W
+2
v
y, (5.185)
+
α
W
λ
+2
W
2
2
α
− 2v −4λ
x
α
y
2
. (5.186)
x
Таким же образом, как и для уравнения КдФ при применении метода
усечения, эти два уравнения Риккати могут быть интерпретированы как
преобразование Беклунда между мКдФ и УЧП, которому удовлетворяет
псевдопотенциал y и которое называется уравнением Чена–Калоджеро–Дегаспериса–Фокаса [60].
Автопреобразование Беклунда для мКдФ получено с помощью подстановки (мы выбираем B = λ
−1
)
y =expα
−1
(w − W)dx/=exp
r − R
α
(5.187)
в два уравнения для градиента y [423, 271, 60]:
(r + R)
(r + R)
+2αλ sh
x
− 2λ(r −R)xxch
t
r − R
=0, (5.188)
α
2
2
+ r
+2λ
R
x
α
r − R
x
sh
α
r − R
α
=0. (5.189)
Уравнение сингулярного многообразия, полученное исключением W
из S и C,
bC −S − 6λ
2
=0 (5.190)
идентично уравнению сингулярного многообразия (5.92) для уравнения
КдФ, и оно не совпадает с уравнением в [433], выведенным для случая
одного семейства усеченных решений как функций переменной χ.
Поскольку частные производные (5.161) и (5.188) преобразования Беклунда уравнений СГ и мКдФ идентичны, то формула нелинейной суперпозиции уравнения мКдФ [423, 271, 60] идентична формуле нелинейной
суперпозиции уравнения СГ:
th
r
n+1
− r
2α
n−1
+ λ
λ
n+1
=
λ
n+1
− λ
n
n
th
− -r
r
n
n
. (5.191)
2α
5.6. ПРИЛОЖЕНИЕ К ИНТЕГРИРУЕМЫМ УРАВНЕНИЯМ 145
ЗАМЕЧАНИЕ. Инвариантность уравнения мКдФ (5.103) относительно
замены w →−w дает возможность применить элегантный способ [292]
вывода преобразования Беклунда для уравнения КдФ и его иерархий.
5.6.3. Третий порядок: Савада–Котера и Каупа–Купершмидта
Нелинейное уравнение в частных производных пятого порядка (2.82)
u
+u
t
+(8α − 2β)uuxx− 2(α + β)u
xxxx
2
−
x
3
αβu
3
=0 (5.192)
x
20
уже встречалось в разделе 2.1.5 в связи с исследованием кубической гамильтоновой системы Хенона–Хейлеса (2.70)–(2.71). Условия на парамет-
ры (2.99), (2.100) или (2.101), полученные при прохождении теста Пенлеве системой Хенона–Хейлеса, совпадают со значениями, полученными
при применении другого критерия, а именно того, что УЧП (5.192) обла-
дает нетривиальными инфинитезимальными симметриями [160]. УЧП, которые обладают N -солитонными решениями, называются соответственно
уравнением Савада–Котера (СК) [389], уравнением КдФ высшего порядка
(КдФ5) [275] и уравнением Каупа–Купершмидта (КК) [248, 149].
Здесь не рассматривается УЧП КдФ5, второе уравнение в иерархии
уравнений КдФ, поскольку его задача рассеяния идентична задаче рассеяния для КдФ, которая была решена методом сингулярного анализа в разделе 5.6.1.1.
Уравнения СК и КК (они имеют вид (5.200) и (5.202), см. ниже) свя-
заны преобразованием Беклунда [148], и их задача рассеяния имеет одинаковый третий порядок [247]. Оба эти уравнения имеют автопреобразование
Беклунда, и поставим задачу, используя только сингулярный анализ, получить сингулярное частное преобразование, пару Лакса и автопреобразование Беклунда для каждого уравнения, преобразование Беклунда между СК
и КК и две формулы нелинейной суперпозиции.
Не представляет труда получить все перечисленные соотношения для
уравнения СК, следуя процедуре, использованной в разделе 5.6.1.2 для
уравнения Буссинеска, см. [317]. Однако в случае уравнения КК приходится
сталкиваться с серьезными трудностями, причиной которых является [320]
наличие одновременно двух моментов: задача рассеяния имеет порядок выше двух и связь между τ и ψ отлична от вида τ = ψ.
Первый момент (задача рассеяния имеет порядок выше двух) означает
бесполезность уравнения сингулярного многообразия для получения пары
Лакса (более подробно см. 5.4.1). Некоторые авторы [430, 376] тем не менее использовали уравнение сингулярного многообразия для того, чтобы
146 ГЛАВА 5
попытаться вывести пару Лакса и преобразование Дарбу, обнаружив при
этом, в частности, дискретную инвариантность в уравнении сингулярного
многообразия [429], но самое лучшее, что им удалось получить — это желаемый результат при ограничении λ =0, что делало невозможным итерацию
преобразования Дарбу.
Второй момент (вид связи между τ и ψ) привел бы к бесконечному
числу предположений о виде связи. Однако это совсем не так, можно доказать [320], что имеется только конечное число допустимых связей. Рассмотрим в подробностях этот весьма важный вопрос [320], обратившись
к классификации Гамбье [163].
5.6.3.1. Помощь от классификации Гамбье
Рассмотрим ОДУ, полученное исключением ∂
из двух уравнений,
t
определяющих преобразование Беклунда (пока еще неизвестное). Это нелинейное ОДУ относительно переменной Y = u − U с коэффициентами, за-
висящими от U ,в(1 + 1)-мерном случае при произвольной постоянной
λ имеет два свойства. Во-первых, оно линеаризуемо, поскольку выводится из пары Лакса, линейной системы и преобразования Дарбу с помощью
указанного исключения [60]. Во-вторых, оно обладает свойством Пенлеве,
поскольку линеаризуемо. Следовательно, если его порядок достаточно мал
(не выше трех), то оно принадлежит некоторому конечному списку (классификации), установленному школой Пенлеве между 1900 и 1910 годами.
Это свойство сразу ограничивает допустимый набор связей (5.62) до конечного числа. Более того, такие очень специфические нелинейные ОДУ обеспечивают (содержат) связь между парой Лакса посредством их линейного
преобразования и сингулярным частным преобразованием посредством их
инволюции, которая оставляет их инвариантными.
Уравнение Риккати — единственное нелинейное ОДУ первого порядка
и первой степени, обладающее свойством Пенлеве, которое может быть
преобразовано в линейное уравнение второго порядка и которое определяет
единственность выбора (5.62) для описания задачи рассеяния, имеющей
второй порядок.
Далее именно нелинейные ОДУ второго порядка первой степени, обладающие свойством Пенлеве, которые также могут быть преобразованы
в линейные уравнения, были описаны самим Гамбье (стр. 21 его тезисов [163]). Эти уравнения имеют номера 5, 6, 14, 24, 25, 27 в его классификации пятидесяти уравнений, не эквивалентных относительно группы дробно-рациональных преобразований, с соответствующими порядками
связанных с ними линейных уравнений, т. е. в нашем случае с порядками
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]