Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метод Пенлеве и его приложения
.pdf
2.1. МЕТОД КОВАЛЕВСКОЙ–ГАМБЬЕ 27
В случае одной степени свободы при дополнительном требовании вещественности V эта задача допускает два решения
4
2
n = ±1,H=
n = ±2,H=
В обоих случаях q
n
является эллиптической функцией, и во втором случае q
p
+
2
2
p
2
cjqj, (2.73)
j=1
−2
+ aq
+ c2q2+ c4q4+ c6q6. (2.74)
может быть многозначной.
Уравнения движения для q
(t) получаются исключением p1и p2из
j
уравнений движения Гамильтона
dp
dt
Для q
(t) получаем систему двух обыкновенных дифференциальных урав-
j
j
= −
∂V (q
∂q
1,q2
j
dq
)
j
dt
= q
= pj,j=1, 2. (2.75)
j
,
нений
∂V (q
q
+
j
∂q
)
1,q2
=0,j=1, 2(2.76)
j
с первым интегралом
2
2
q
1
2
+
2
+ V (q
2
)=E. (2.77)
1,q2
H ≡
q
Следуя основным этапам теста, разработанным Пенлеве [35], на которых здесь подробно останавливаться не будем, получаем [97] конечное
число допустимых потенциалов V , которые зависят от конечного числа
произвольных постоянных. Два из указанных потенциалов являются рациональными функциями от q
, q2.Этогамильтонианы Хенона–Хейлеса
1
третьего порядка (ГХХ3) (2.69) и гамильтонианы Хенона–Хейлеса четвертого порядка (ГХХ4) (2.78)
1
2
H =
(P
2
1
+
2
2
+ P
1
2
α
+
2
Q
1
+Ω1Q1+4CQ
Q
1
+Ω2Q2+4AQ
Q
2
названные так по наибольшей степени входящих в них переменных (q
+Ω1Q
β
2
Q
2
2
+Ω2Q
1
+ γQ
2
)+CQ
2
,B=0,
1
3
+2BQ1Q
1
3
+2BQ2Q
2
4
1
2
− αQ
2
2
1
+ BQ
− βQ
2
2
Q
1
2
−3
+ γ =0, (2.79)
1
−3
2
4
+ AQ
+
2
=0, (2.80)
(2.78)
1,q2
).
28 ГЛАВА 2
Итак, в результате применения «обычного» теста Пенлеве (последовательность применения этого теста была подробно показана в предыдущих
разделах) найдено семь потенциалов, три кубических [58, 148, 82] и четыре
четвертого порядка [372, 180].
Эти семь потенциалов предварительно были выделены на основании
условия существования второго интеграла движения [204]. Различие между
двумя подходами определяется тем, на чем больше следует сделать акцент:
требование однозначности приводит к необходимым условиям существования V (q
), в то время как требование существования второго инте-
1,q2
грала движения дает только достаточные условия, после чего необходимо
ввести предположение [204] о форме дополнительного первого интеграла
(например, наибольшая степень входящих импульсов равна четырем).
В данном разделе применим тест Пенлеве к кубическому гамильтониану (2.69), более точно — к системе уравнений движения (2.70)–(2.71),для
определения допустимых значений коэффициентов в (2.69).
При анализе систем подобных (2.70)–(2.71), необходимо сделать предположение о характере поведения неизвестных в окрестности подвижной
особой точки, в нашем случае для q
и q2. Эта стандартная для систем
1
ситуация может привести к бесполезному и несомненно трудному анализу, требующему больших усилий и временных затрат. И здесь встречается именно такой случай. Однако можно заметить, что q
ственное значение показателя степени, равное −2,аq
−3/2, 4 (дробное значение приемлемо, поскольку система останется алгеб-
раической после перехода к переменным (q
2
,q
) и для этих переменных
1
2
показатели будут целыми). Достаточно просто исключить q
из (2.71) для получения уравнения для одного переменного. Однако,
q
1
уравнение в частных производных относительно q
1
допускает един-
1
— три значения: 2,
2
2
из (2.70) или
2
может быть записано
в наиболее простой форме [147].
Исключение параметра c
q
2
2
q
+ q
2
+2ω2q
2
затем исключение q
2
+4αq1q
2
2
с использованием (2.70) приводит к уравнению
2
с использованием (2.69) и (2.71) дает
3
2
2
+ ω1q
2
− (2β/3)q
1
3
− 2E =0,H= E,
1
q
+(8α − 2β)q1q
1
+4ω2)q
+(ω
1
− 2(α + β)q
1
+(6αω1− 4βω2)q
1
Это ОДУ значительно более простое для исследования, поскольку q
20
2
−
1
2
+4ω1ω2q1+4αE =0.
1
3
αβq
+
1
3
(2.81)
до-
1
пускает только единственное отрицательное значение показателя степени
(−2), соответствующее подвижному полюсу второго порядка.
2.1. МЕТОД КОВАЛЕВСКОЙ–ГАМБЬЕ 29
Полученное уравнение (2.81) устанавливает соответствие между гамильтоновой системой Хенона–Хейлеса с гамильтонианом третьей степени
и установившимся течением u
=0, которое описывается консервативным
t
УЧП пятого порядка:
u
+u
t
+(8α − 2β)uuxx− 2(α + β)u
xxxx
2
−
x
3
αβu
3
=0. (2.82)
x
20
В результате имеем, что только единственное значение отношения β/α,при
котором уравнение (2.81) проходит тест Пенлеве, является единственным
значением, при котором УЧП (2.82) будет солитонным уравнением.
∼ q
Ведущие члены уравнения (2.81) при q
120q
, ω2, E,
1
+6(8α −2β)q
1, 0
2
− 8(α + β)q
1, 0
метров ω
1
2
− (20/3)αβq
1, 0
χ−2не содержат пара-
1, 0
3
=0, (2.83)
1, 0
что дает два семейства q
=3/α и q
1, 0
= −6/β. Индексное уравнение
1, 0
имеет вид
(i − 2)(i − 3)(i −4)(i − 5) + (8α − 2β)((i − 2)(i − 3) + 6)q
+8(α + β)(i − 2)q
− 20αβq
1, 0
2
1, 0
=0,
1, 0
+
(2.84)
откуда получаем следующие индексы Фукса
p = −2,q
p = −2,q
где r
и si— корни уравнений
i
2
r
− 5r +12+6γ =0,s2− 10s +24+48γ−1=0,γ=
1, 0
1, 0
3
, индексы (−1, 10,r
= −
α
6
, индексы (−1, 5,s
=
β
),r1+ r2=5, (2.85)
1,r2
),s1+ s2=10, (2.86)
1,s2
β
α
. (2.87)
Далее необходимо получить диофантовы условия на отношение γ = β/α,
при каждом значении которого четыре индекса для уравнения (2.81) будут
целыми.
Метод получения диофантовых условий для параметров уравнения
в общем виде рассматривался авторами [59, 46, 105]. Для уравнений вида
q
1
= Aq1q
+ Bq
1
2
1
+ Cq
3
1
(2.88)
30 ГЛАВА 2
коэффициент q
удовлетворяет уравнению второго порядка
1, 0
2
Cq
+2(3A +2B)q
1, 0
− 120 = 0, (2.89)
1, 0
и индексное уравнение после деления на i +1 принимает вид
3
i
− 15i2+(86−Aq
Этот метод [46] позволяет установить для каждого из двух корней q
= s
нижнюю и верхнюю грань произведения Nj= 240−2(3A+2B)s
1,s2
)i − 240 + 2(3A +2B)q
1, 0
=0. (2.90)
1, 0
1, 0
для трех индексов Фукса. Делая замену
s
+ s
1
C = −
120
, 3A +2B =60
s1s
2
2
, (2.91)
s1s
2
получим индексное уравнение, коэффициенты которого зависят только от
s
, s2и одного фиксированного коэффициента
1
!
s
3
− 15i2+(86− As1)i − 120 1 −
i
3
i
− 15i2+(86− As2)i − 120 1 −
1
=0, (2.92)
s
2
!
s
2
=0. (2.93)
s
1
Оставшийся коэффициент A не оказывает влияния на условие о том, что
каждое из произведений N
два произведения N
1
= 120 1 −
N
1
, j =1, 2 должно быть целым. Действительно,
j
, N2зависят только от одной переменной
s
1
s
2
!
,N
= 120 1 −
2
!
s
2
. (2.94)
s
1
=
j
Отсюда получаем условие на N
, N2, которое и является искомым диофан-
1
товым условием [46, ур. (2.15), с. 80]
1
1
+
N
N
1
1
. (2.95)
=
120
2
Это уравнение имеет 63 решения [105, ур. (2.27)].
В нашем случае диофантовы условия достаточно просты, и их можно
применить непосредственно. Их можно параметризовать следующим образом [81]:
r
− r1=2k −1,s2− s1=2l, r1<r2,s1<s2, (2.96)
2
kl(r
+1)(ri− 10)(si+1)(si− 5) =0, (2.97)
i
2.1. МЕТОД КОВАЛЕВСКОЙ–ГАМБЬЕ 31
где k и l — положительные целые. После чего получаем
γ =
48
1 − l
,l2=1+
2
1152
23 + (2k −1)
. (2.98)
2
Это диофантово уравнение для (k, l) имеет только четыре решения, представленные в таблице 2.1.
Таблица 2.1. Система Хенона–Хейлеса третьего порядка. Решение диофантовых
условий. В последнем столбце указано сокращенное название разрешимого уравнения (2.82) для различных значений β/α (SK — уравнение Савада–Котера, KdV5 —
уравнение Кортевега–де Фриза, КК — уравнение Каупа–Купершмидта)
β/α k, l r1, r
−1 1, 7 2, 3 −2,12 SK
−2 3, 5 0, 5 0, 10
−6 6, 3 −3,8 2, 8 KdV5
−16 10, 2 −7,12 3, 7 KK
2
s1, s
2
Имя
Для завершения теста Пенлеве остается еще определить условия для
параметров уравнения, при выполнении которых не может возникнуть логарифмическая подвижная точка (условия нелогарифмичности), для каждого из двух семейств коэффициентов q
и каждого из четырех значений
1, 0
отношения β/α. Результаты расчетов [58, 82] сведены в таблицу 2.2. Для
случая β/α = −6 тест Пенлеве пройден при любых значениях парамет-
, ω2.Приβ/α = −2 оба семейства коэффициентов q
ров ω
1
тест не проходит при индексе, равном 10, т. к коэффициент q
совпадают,
1, 0
1, 5
должен
оставаться произвольным. При β/α = −1 и −16 тест будет пройден при
дополнительных условиях на параметры ω
, ω2.
1
Таким образом, для того, чтобы система Хенона–Хейлеса третьего порядка прошла тест Пенлеве, необходимо выполнение одного из трех условий для параметров
(SK): β/α = −1,ω
= ω2, (2.99)
1
(KdV5): β/α = −6, (2.100)
(КК): β/α = −16,ω
=16ω2. (2.101)
1
В разделе 6.2.2 будет показана достаточность этих условий и проведено
интегрирование системы.
32 ГЛАВА 2
Таблица 2.2. Система Хенона–Хейлеса третьего порядка. Необходимые условия отсутствия подвижной логарифмической особенности (условия нелогарифмичности)
в (2.81), которая может существовать при положительных индексах Фукса для четырех значений отношения β/α, приведенных в таблице 2.1, и двух семейств решений q
ω
, ω2нет, в таблицу не внесены. Коэффициенты ряда Лорана обозначены q
1
=3/α и q
1, 0
= −6/β. Случаи, в которых ограничения на параметры
1, 0
1,j
асимволомP обозначена полиномиальная от своих аргументов функция.
β/α Семейство Индексы Фукса Условия нелогарифмичности
−1 −3/α 2 ω1− ω2=0
−1 −3/α 10 (ω1− ω2)P (q
−1 6/β 12 (ω1− ω2)q
2
1, 5
1, 2,q1, 3,ω1,ω2
=0,
,E)=0,
−2 0 не установлены
−2 10 q
−16 −3/α 12 (ω1− 16ω2)(q
−16 6/β 5 (ω1− 16ω2)q
−16 6/β 7 (ω1− 16ω2)q
2
1, 5
=0,
+ P (ω1,ω2,E)) = 0,
1, 10
=0,
1, 3
=0,
1, 5
2.2. Метод возмущений Фукса
В двух случаях метод Ковалевской–Гамбье не применим:
,
1) при наличии отрицательных целых индексов Фукса в линеаризованном
уравнении,
2) при недостаточном числе индексов Фукса.
Эти ситуации будут рассматриваться в разделах 2.2 и 2.3 соответствен-
но.
Отрицательные значения индексов Фукса, кроме −1, указывают на то,
что решение уравнения в виде ряда Лорана не представимо, т. к. возможно
существуют многозначные решения. Следовательно, тест Пенлеве может
выявлять такие возможности.
При наличии отрицательных индексов не всегда следует предпола-
гать существование подвижной особой точки типа e
1/(x−x0)
. Например, для
ОДУ с мероморфным общим решением [351, 82]
u
+3uu+ u3=0,u=
1
x − a
+
1
, (2.102)
x − b
2.2. МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЙ ФУКСА 33
где a и b произвольны, возможна замена, приводящая к линейному уравнению третьего порядка
u =
ψ
ψ
,ψ
=0, (2.103)
и, несмотря на мероморфность его общего решения u, одно из семейств,
(F1) p = −1,u
(F2) p = −1,u
=1, индексы (−1, 1),
0
=2, индексы (−2, −1),
0
имеет отрицательный индекс −2.
Метод [150, 82], позволяющий находить однозначные решения при су-
ществовании отрицательного целого индекса, состоит в применении разложения:
x неизменно, u =
+∞
n=0
εnu
(n)
: E =
+∞
n=0
εnE
(n)
=0, (2.104)
где аналогично α-методу Пенлеве малый параметр ε отсутствует в исходном уравнении.
Тогда единственное уравнение (2.1) эквивалентно бесконечной после-
довательности уравнений
n =0:E
∀n 1: E
здесь E
(0)
≡ E(x, u
(n)
≡ E(x, u
— производная уравнения (2.1) (аналогично с (2.40))иR
(0)
)=0, (2.105)
(0))u(n)
+ R
(n)
(x, u
(0)
, ..., u
(n−1)
)=0, (2.106)
(1)
тож-
дественно равно нулю. На основании теоремы Пуанкаре [76, теорема II,
§ 5.3] для возможности применения метода необходимо потребовать:
(0)
— общее решение u
уравнения (2.105) не имеет подвижных критиче-
ских точек,
— общее решение u
(1)
уравнения (2.106) не имеет подвижных критиче-
ских точек,
— для любого n 2 существует частное решение уравнения (2.106),не
содержащее подвижных критических точек.
Уравнение для u
(0)
такое же, как и (2.1), так что решение для u
(0)
было получено в виде ряда Лорана (2.2).
уже
34 ГЛАВА 2
При n =1линеаризованное уравнение имеет вид
(1)
E
≡ E(x, u
и следует подобрать порядок N уравнения (2.1) при котором решение u
(0))u(1)
=0, (2.107)
(1)
будет локально однозначным в окрестности точки χ =0.
К двум основным типам реализации метода возмущений (2.104) от-
носятся метод возмущений Фукса [150, 82], описываемый в этом разделе,
и нефуксов метод возмущений [319], который будет рассмотрен в следующем разделе.
Метод возмущений Фукса применяется при наличии целых отрица-
тельных индексов, отличных от −1, он дает возможность получить дополнительные условия отсутствия логарифмических особенностей. Обозначим
через ρ наименьший целый индекс Фукса, ρ −1. Ряд Лорана для u
+∞
j=ρ
(1)
j+p
u
χ
j
, (2.108)
(1)
u
=
(1)
,
представляет частное решение, содержащее произвольные постоянные коэффициенты, число которых равно количеству индексов Фукса с учетом их
кратности. Если количество произвольных постоянных равно порядку уравнения N, то решение (2.108) является общим решением уравнения (2.107).
Проиллюстрируем применение метода на двух примерах [76, § 5.7.3].
В качестве первого примера рассмотрим уравнение
u
+4uu+2u3=0, (2.109)
которое имеет единственное семейство
(0)
(0)
p = −1,q= −3,E
= u
0
Здесь получаем противоречие: с одной стороны, u
равным 1, согласно уравнению E
(0)
(u
0
−1)2=0, индексы (−1, 0). (2.110)
0
(0)
≡ u
(0)
=0, а с другой стороны — произ-
0
0
должно быть
0
вольной постоянной, соответствующей индексу 0. Необходимость применения метода возмущений обусловлена кратностью корня уравнения для u
что приводит к недостаточному числу произвольных параметров в ряде
(0)
для u
. Следуя методу, полагаем
(0)
u
= χ
(x, u
(0)
)=∂
E
−1
(ряд конечен), (2.111)
2
+4χ−1∂x+2χ−2, (2.112)
x
(0)
0
,
2.2. МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЙ ФУКСА 35
(1)
u
(2)
E
(2)
u
(1)
= u
χ−1,u
0
= E(x, u
−2(χ2u(2))
= χ
(1)
= −2u
0
(1)
=const, (2.113)
(0))u(2)
2
0
+2u
+6u
(1)
0
(0)u(1)
2
2
+4u
(1)u(1)
=
χ−3=0, (2.114)
χ−1(ln χ − 1). (2.115)
В результате последовательного решения уравнений обнаруживается подвижная логарифмическая точка при n =2и индексе i =0.Этотрезультат
был получен задолго до появления α-метода [351, § 13, с. 221].
Совершенно аналогично условия нелогарифмичности, обозначенные
в таблице 2.2 как «неустановленные», фактически содержатся в условии
(2)
Q
0
≡−40α((u
(1)
−1
)+ u
(1)
)2=0[81] и находятся данным методом при
0
n =2и индексе равном 0, т. е. без необходимости проведения громоздких
вычислений для индекса 10.
В качестве второго примера рассмотрим ОДУ четвертого порядка, ис-
следованное Бюро [46, с. 79]
u
+3uu− 4u2=0. (2.116)
Это уравнение имеет два семейства
p = −2,u
E = u
p = −3,u
(0)
= −60, индексы (−3, −2, −1, 20),
0
+3uu− 4u2, (2.117)
(0)
=const, индексы (−1, 0),E =3uu− 4u2. (2.118)
0
Второе семейство соответствует ряду Лорана (p:+∞) сконечным
числом членов [81]
(0)
u
= c(x − x0)−3− 60(x − x0)−2, (c, x0)=const. (2.119)
Для этого семейства в дальнейшем применении метода возмущения необходимости нет, т. к. два произвольных коэффициента, соответствующих двум
индексам Фукса, присутствуют уже в нулевом приближении.
У первого семейства решений в нулевом приближении имеет место
двухпараметрическое разложение. При проверке существования решения,
записанного в виде
u =
+∞
n=0
⎡
+∞
n
ε
(n)
⎣
u
χ
j
j=0
j−2−3n
⎤
⎦
, (2.120)
36 ГЛАВА 2
(0)
(1)
(1)
получено, что коэффициенты u
, u
−3
, u
20
−2
(1)
, u
могут быть выбраны про-
−1
извольными, однако при n =7обнаруживается противоречие [81]
(0)
20
7
(1)
u
−3
=0,Q
(7)
20
(7)
≡ u
Q
−1
≡ u
(0)
20
2
6
(1)
(1)
u
u
−3
=0, (2.121)
−2
что означает наличие подвижной логарифмической особенности. Изложенный метод достаточно алгоритмичен и может быть легко запрограммирован.
2.3. Нефуксов метод возмущений
В том случае, когда число индексов меньше порядка дифференциаль-
ного уравнения, метод возмущений Фукса не применим для построения
общего решения, из-за возможного пропуска некоторых условий нелогарифмичности. Пропущенные решения линеаризованного уравнения (2.107)
будут иметь другой (нефуксов) характер поведения в окрестности χ =0.
Как было показано в разделе 2.2 для уравнения четвертого поряд-
ка (2.116), используемый метод оказался недостаточным для построения
общего решения, что было выяснено после довольно громоздких вычислений. Получим этот же результат другим путем [319]. Линеаризованное
уравнение
(1)
= E(x, u
E
имеет решение, соответствующее второму семейству, которое является общим решением в замкнутой форме, т. к. оно содержит две произвольные
постоянные. Следовательно, возможно протестировать все особые точки
χ уравнения (2.122). Особыми точками этого уравнения являются χ =0
(нефуксова) и χ = ∞ (фуксова). Рассмотрим точку χ = ∞. Понизим порядок уравнения (2.122), используя частные однозначные решения u
= ∂
(0)
u
x
0
(1)
u
На этом исследование точки χ = ∞можно считать завершенным, т.к. уравнение (2.123) является уравнением Бесселя. Два решения этого уравнения
имеют вид
c =0:v
где гипергеометрическая функция
лированную особую точку при χ =0, а функция Неймана N
т. к. соде ржит ln χ.
(0))u(1)
(0)
и ∂cu
,т.е.u
= χ−4v :[∂
= χ
1
v
= χ
2
4
x
+3u
(0)∂2
(24; −3c/χ) однозначна и имеет изо-
0F1
≡ [∂
(1)
= χ−4,χ−3,
2
− 16χ−1∂x+3cχ−3− 60χ−2]v=0. (2.123)
x
−3
F1(24; −3c/χ)=χ
0
17/2
N23(12c/χ), (2.125)
x
− 8u
(0)
∂x+3u
x
17/2
J23(12c/χ), (2.124)
(0)
xx
]u
23
(1)
=0 (2.122)
многозначна,
(1)
=
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]