Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метод Пенлеве и его приложения
.pdf
ГЛАВА 3
Интегрирование обыкновенных
дифференциальных уравнений
Исследуется проблема получения однозначных решений ОДУ в замк-
нутой форме. Рассматриваются ОДУ двух типов.
К первому типу относятся ОДУ, проходящие тест Пенлеве. Построение
общего решения проводится для трех примеров: модели Лоренца, рассмотренной в 2.1.1, уравнения Кортевега–де Фриза и нелинейного уравнения
Шредингера в переменных бегущей волны. Во всех трех случаях получены общие решения, представленные в виде эллиптических функций или
трансцендент Пенлеве.
Ко второму типу относятся ОДУ, не проходящие тест Пенлеве, но для
которых все-таки имеется возможность нахождения частного однозначного решения. Исследование таких ОДУ значительно сложнее, поскольку для
них не существует общего решения в замкнутой форме, что делает невозможным применение мощных методов исследования, которые применялись
для уравнений первого типа. В таких случаях следует выделить частные решения, которые имеют наибольшее число произвольных постоянных. Такие
решения называются для удобства точными решениями.
Методы интегрирования могут быть разделены на два класса — «необ-
ходимые» и «достаточные».
При применении методов первого типа будем искать решение u за-
данного вида (как правило, полиномиальное) после введения определенной
промежуточной переменной, которая удовлетворяет некоторому уравнению
первого порядка (например, проективному уравнению Риккати, уравнению для функции Вейерштрасса или обычному уравнению Риккати). Затем непосредственной проверкой устанавливаем, будет ли уравнение иметь
общее решение в выбранном классе функций. Таким методом могут быть
найдены простые по структуре решения из (такие как гиперболический тангенс th для фронта, гиперболический секанс sech для пульсации). Однако
другие решения, имеющие иную структуру, будут, конечно, пропущены.
38 ГЛАВА 3
В методах решения уравнений второго типа [321], рассмотренных
в разделе 3.2.5, вместо того, чтобы искать непосредственно неизвестное
решение
u = f (ξ −ξ
где ξ
— константа интегрирования, используется промежуточное нелиней-
0
ное ОДУ, которое получается исключением ξ
F (u, u
), (3.1)
0
из (3.1) и его производной
0
)=0, (3.2)
и в котором функция F так же неизвестна, как и функция f .Конечно,если
функция f однозначна, то из классических теорем следует эквивалентность
знания решения f и вспомогательного уравнения (3.2), которому она удовлетворяет.
3.1. Интегрируемые случаи
На примере шести уравнений, проходящих тест Пенлеве, покажем, как
находить первые интегралы, если они существуют, и затем как выполнить
интегрирование.
3.1.1. Первые интегралы и интегрирование модели Лоренца
Первый интеграл ОДУ N -го порядка по определению есть функция
переменных x, u(x),u
(x), ..., u
(N−1)
, которая постоянна для любых зна-
чений x, включая подвижные особые точки функции u(x).
Поскольку система уравнений Лоренца (2.3) является автономной, то
первый интеграл может быть определен как произведение e
выражение, содержащее только x, y, z,напримерP(x, y, z)e
λt
на некоторое
λt
,гдеP многочлен, а λ константа. Не обязательно искать первые интегралы в этом классе, просто предполагая, что степень многочлена P относительно трех переменных не превышает некоторого заданного числа [390]. Так как многочлен P не должен иметь подвижных особых точек, то допустимый вид многочлена может быть получен при разложении в ряд производящей функции,
соответствующей степеням (−1, −2, −2) особенностей переменных x, y, z
(см. (2.7)) [281]:
1
(1 − αx)(1 −α2y)(1 −α2z)
3(x3
+ α
+ xy + xz)+α4(x4+ x2y + y2+ x2z + yz + z2)+... . (3.3)
=1+αx + α
2(x2
+ y + z)+
3.1. ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СЛУЧАИ 39
Это определяет базис, упорядоченный по степеням особенностей
(1), (x), (x
2
,y,z), (x3,xy,xz), (x4,x2y, y2,x2z, yz, z2), ... . (3.4)
Существование двух семейств (2.7) разбивает возможные первые интегралы на два непересекающихся класса в соответствии с четностью при замене
(x, y, z) → (−x, −y, z). Нечетные первые интегралы определяются базисом
(x), (y), (x
3
,xz), (x2y, yz), ..., (3.5)
ачетные
2
(1), (x
,z), (xy), (x4,y2,x2z, z2), (x3y, xyz), ... . (3.6)
Так как наименьшая допустимая степень особенности равна двум, то четный первый интеграл может иметь вид линейной комбинации
K =(c
+ c1x2+ c2z)eλt, (3.7)
0
откуда для системы Лоренца [392]
=(x2− 2σz)e
K
1
2σt
,b=2σ. (3.8)
Шесть полиномиальных первых интегралов получены в [393, 266] со степенями особенностей, равными двум или четырем (в соответствии с индексами Фукса (2.15)), все они являются четными
1
, и можно доказать [285],
что не существует других полиномиальных первых интегралов. Равенство b =2σ, указанное в (3.8), является одним из двух корней уравне-
ния Q
Q
=0(2.19). Возникает вопрос, не дает ли второй корень уравнения
2
=0(2.19) b =1− 3σ возможность построить первый интеграл.
2
Метод нахождения первых интегралов, не связанный с особыми точками, опирающийся на использовании основных положений линейной алгебры, был разработан в [40]. Для построения первых интегралов, включающих особые точки, использовались методы с привлечением аппарата
современной линейной алгебры. Это изложено в [177].
Для четырех значений параметров (b, σ, r), при которых система проходит тест Пенлеве, возможно интегрирование системы в явном виде. Явное интегрирование системы для трех случаев было проведено в [392],
а для четвертого случая — в [440]. Каждый случай допускает по крайней
мере один из следующих первых интегралов [392]:
(2σ, σ, r): K
1
Это не является общим правилом. Так, ОДУ с двумя противоположными семействами
u
− 6u2u+ au− 2au3=0имеет нечетный первый интеграл K =(u− 2u3)eax.
=(x2− 2σz)e
1
2σt
, (3.9)
40 ГЛАВА 3
(0, 1/3,r): K2=&−9x4+12x2(z −r)+4(y2+2xy)'e
(1,σ,0): K
=(y2+ z2)e2t, (3.11)
3
4t/3
/12, (3.10)
следовательно, исключение y или z из (2.23) приводит к ОДУ второго порядка относительно x(t), в котором K
соответствует t =0исвязансин-
j
дексом Фукса −1.
3.1.1.1. Случай (1, 1/2, 0)
Поскольку K
и K3являются первыми интегралами при этих значени-
1
ях параметров, то x(t) удовлетворяет ОДУ первого порядка
dx
dt
2
+ x
dx
dt
1
2
+
− K1e−t)2+
(x
4
2
K
x
4
3
−2t
−
2
=0. (3.12)
e
После одновременной замены зависимой и независимой переменных
(x, t) → (X, T) по формулам
x = e
−t/2
X, T = e
−t/2
, (3.13)
приходим к автономному, эллиптическому уравнению
2
dX
+(X2− K1)2− K3=0, (3.14)
dT
которое имеет однозначное общее решение.
3.1.1.2. Случай (2, 1, 1/9)
ОДУ второго порядка относительно x(t)
2
d
dt
dx
x
+2
2
dt
+
3
x
+
2
K
8
−
9
1
−2t
e
2
x =0, (3.15)
которое не может быть сведено к автономному уравнению с помощью преобразования (1.43). Преобразуем это уравнение к одному из неавтономных
50 канонических уравнений, составленных Гамбье [164, 233, 117] (см. приложение А). Для того чтобы понять, какое из уравнений этого списка нам
подходит, запишем (3.15) в канонической форме [349]:
2
x
d
2
dt
= A2(x, t)
dx
dt
2
+ A1(x, t)
dx
dt
+ A
(x, t). (3.16)
0
3.1. ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СЛУЧАИ 41
Это ОДУ проходит тест Пенлеве, как было показано Пенлеве [351, с. 258;
352, с. 74], коэффициент A
представляет собой сумму не больше чем че-
2
тырех простых полюсов в точках x (возможно, включая x = ∞), сумма
вычетов в которых равна двум
(x, t)=
A
2
x − aj(t)
j
r
j
и число полюсов и совокупность вычетов {r
,
rj=2, (3.17)
j
} инвариантны относитель-
j
но дробно-линейного преобразования (1.43). В нашем случае равенство
=0означает, что существует только один полюс в бесконечно удален-
A
2
ной точке x = ∞ с вычетом, равным 2 (в этом можно убедиться, сделав
замену x → 1/x). Далее отбираем те уравнения Гамбье, которые имеют
то же количество полюсов с той же совокупностью вычетов {r
}, а именно
j
один полюс с вычетом в нем, равным 2. После этого с помощью дробно-линейного преобразования (1.43) сводим уравнение (3.15) к одному из них.
В нашем случае подходят уравнения либо П2, либо П1
2
.Длятогочтобы
выбрать одно из них, сравним структуру их особых точек (два подвижных
простых полюса в П2 и один подвижный полюс второго порядка в П1). Отсюда следует единственно возможный выбор уравнения П2. Действительно,
с помощью частного вида преобразования (1.43)
x = ae
−2t/3
X, T =
i
−3/2e−2t/3
a
2
,K1=
3
3
ia
, (3.18)
8
уравнение (3.15) приводится к
2
d
X
=2X3+ TX + α, α =0. (3.19)
2
dT
3.1.1.3. Случай (0, 1/3,r)
Уравнение второго порядка для x(t) имеет вид:
2
dt
1
x
−
x
2
Для K
d
=0это уравнение имеет первый интеграл
2
x
2
Как отмечено Пенлеве [348], ОДУ u= δ(2u3+ xu)+γ(6u2+ x)+βu + α, которое
включает в себя и уравнение П2, и уравнение П1, обладает свойством Пенлеве, следовательно,
по крайней мере по критерию вычетов эти уравнения не отличаются.
2
3
dx
+
dt
dx
dt
2
1
2
K
x
4
+
2
−4t/3
+
e
3x
2
x
= A
4
=0. (3.20)
2
, (3.21)
42 ГЛАВА 3
и общее решение x = ±2iA/ sh A(t − t0).ДляK2=0коэффициент A2,
определенный в (3.16), раскладывается так
A
(x, t)=
2
1
x
+
x −∞
1
, (3.22)
следовательно, единственно возможным неавтономным уравнением из 50
канонических уравнений, к которому можно свести (3.20), является уравнение П3. Действительно, используя преобразование
x = c
X, T = ce
1
−2t/3
2
,c
1
= −
4γ
9
,c
27K
2
2
=
, (3.23)
4γδ
получаем
X
2
X
=
X
X
−
T
2
αX
+
+ γX
4T
3
β
+
2
4T
δ
+
,α= β =0. (3.24)
4X
3.1.1.4. Случай (1, 0,r)
С точностью до масштабного преобразования первый интеграл (3.11)
является также первым интегралом [440] уравнения третьего порядка (2.24)
при (b, σ, bσr)=(1,σ,0), которое содержит, в частности, и интересующий
нас набор параметров (b, σ, bσr)=(1, 0, 0),
(b, σ, bσr)=(1, 0, 0): K
2
= lim
σ→0
σ2K3=
x
+ x
x
2
+ x
2
2t
.
e
(3.25)
Для K =0общее решение имеет вид
k
(t − t
x = ik th
2
) − i, i2= −1, (k, t0)=const. (3.26)
0
Для K =0ОДУ содержит квадрат второй производной, и, следовательно,
уравнения Гамбье становятся для нас бесполезными. Используем параметрическое представление
x
+ x
x
= Ke
−t
cos λ, x= Ke−tsin λ (3.27)
и получаем ОДУ второго порядка для λ(t), которое имеет вид:
λ
− Ke−tsin λ =0,x(t)=λ(t). (3.28)
3.1. ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СЛУЧАИ 43
Это уравнение не является алгебраическим, однако относительно перемен-
iλ
ной e
оно становится алгебраическим уравнением второго порядка первой степени, которое может быть легко сведено к уравнению П3. Окончательно получаем общее решение
x = i +2i
d
ln w(ξ(t)),i
dt
2
= −1,ξ= ae−t, (3.29)
где w(ξ) — трансцендент частного случая третьего уравнения Пенлеве,
d
dξ
2
1
w
=
w
2
dw
dξ
2
dw
−
ξdξ
α =0,β=0,γδ= −(K/a)
2
αw
+
+ γw
2
4ξ
3
β
δ
+
+
4w
4ξ
2
. (3.31)
, (3.30)
В заключение отметим, что система уравнений Лоренца является хорошей иллюстрацией применения теста Пенлеве: для всех четырех случаев
значений параметров (b, σ, r), при которых система уравнений Лоренца
проходит тест, найдены общие решения.
3.1.2. Общее решение уравнения Кортевега–де Фриза (КдФ) в виде
бегущей волны
Уравнение в частных производных Кортевега–де Фриза
6
but+ u
xxx
uu
−
=0, (a, b)=const (3.32)
x
a
3
инвариантно относительно преобразования Галилея (u, x, t) → (u −
−(ab/6)c, x − ct, t), следовательно, удобно записать это уравнение в пере-
менных бегущей волны
ab
u = −
c + U, ξ = x − ct, (3.33)
6
и оно принимает вид
6
−
U
UU
=0. (3.34)
a
Особой точкой функции U является подвижный полюс второго порядка,
индексы Фукса равны −1, 4, 6, значит, возможный первый интеграл может
иметь слагаемые с особенностями, имеющими степень только 4 и 6.
3
Хотя константы (a, b) можно было бы заменить одной, обе они оставлены здесь для
удобства.
44 ГЛАВА 3
Из консервативной формы уравнения КдФ следует, что ОДУ третьего
порядка (3.34) можно проинтегрировать
3
U
где g
— константа интегрирования. Умножая обе части (3.35) на U,полу-
2
2
U
−
+ ag2=0, (3.35)
a
чим уравнение, допускающее еще одно интегрирование
1
2
U
3
U
−
+ ag2U +2a2g3=0, (3.36)
a
где g
1
2
— другая константа интегрирования. Оба первых интеграла g2, g
3
имеют особенности степени 4 и 6 соответственно, что согласуется с индексами Фукса 4, 6.
Уравнение (3.36) может быть сведено к уравнению Вейерштрасса
(1.42), если в нем сделать замену
U =2au, X = x. (3.37)
Выполненная замена относится к дробно-рациональным преобразованиям (1.43), следовательно, общее решение уравнения (3.36) является эллиптической функцией
U(ξ)=2a℘(ξ − ξ
0,g2,g3
). (3.38)
Однозначное выражение (3.38), как и ожидалось, зависит от трех произвольных комплексных постоянных g
, g3, ξ0.
2
Для бегущей волны u, имеющей физический смысл, произвольные постоянные должны быть выбраны так, чтобы при ξ →±∞решение u умень-
шаясь стремилось к некоторой константе B,
т. е.
−
g
2
3
(B − κ)
−
a
1
(B −κ)
a
=3
2
3
+ ag2(B −κ)+2a2g3=0, (3.40)
B −κ
a
Для таких значений констант g
+ ag2=0,κ= −
2
,g3= −
, g3двоякопериодическая эллиптическая
2
B −κ
abc
, (3.39)
6
3
a
. (3.41)
функция ℘ становится гиперболической тригонометрической функцией согласно классической формуле
∀x, d : ℘(x, 3d
2,d3
)=−2d +
3d
2
coth
3d
2
x. (3.42)
2
3
3.1. ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СЛУЧАИ 45
В общем комплексном решении
u = −
ab
c +2a2
6
B −κ
a
3(B − κ)
−
2a
cth
2
3(B −κ)
2a
(ξ −ξ
)(3.43)
0
особыми точками являются подвижные двукратные полюсы в точках
ξ = ξ
+ inπ/k, n ∈ Z,k2=3
0
Полюсы расположены вне действительной оси, за исключением ξ
B −κ
. (3.44)
2a
. Замена
0
гиперболического котангенса на гиперболический тангенс дает окончательно решение в виде колоколообразной уединенной волны (рис. 3.1)
2
u = B −2ak
Рис. 3.1. Колоколообразный солитон — решение (3.45) уравнения КдФ при a = −1,
b =1, ξ
=0, B =0,2, t =0, k =0,5
0
sech2(kx −4k3t/b +6k(B/a)t/b − kξ0). (3.45)
3.1.3. Общее решение нелинейного уравнения Шредингера (НУШ)
в виде бегущей волны
Нелинейное уравнение Шредингера имеет вид
+ pAxx+ q|A|2A =0,pq=0, (p, q) ∈ R. (3.46)
iA
t
46 ГЛАВА 3
Рассматривая решение в виде бегущей волны
A(x, t)=
M(ξ)e
i(−ωt+ϕ(ξ))
,ξ= x − ct, (3.47)
приходим к комплексному уравнению
M
2M
Действительная и мнимая части этого уравнения удовлетворяют системе
третьего порядка для (M, ϕ
2
M
−
+ iϕ−ϕ2+ iϕ
2
4M
⎧
⎪
M
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
2M
ϕ
+ϕ−
−
M
4M
2
−ϕ−
2
c
2p
M
M
M
−
M
):
c
2p
i
cM
p
2
+
2M
q
M +
p
1
(cϕ
+
+ ω)+
p
ω
+
p
4p
q
M =0. (3.48)
p
2
c
=0,
2
(3.49)
=0.
Согласно результатам раздела 2.1.3 функция M имеет подвижные полюсы, индексы Фукса равны (−1, 0, 3, 4) (см. (2.58)). Индексы −1 и 0
соответствуют двум «углам» ξ
, ϕ0(независимые друг от друга начальные
0
значения ξ, ϕ), два других индекса связаны с решением M , которое необходимо найти.
Для второго уравнения системы (3.49) может быть получен первый
интеграл
c
M = K
−
Mϕ
2p
В силу дробно-рациональной зависимости между M и ϕ
шем рассматривать одну из этих функций. После подстановки ϕ
в первое уравнение системы (3.49) и умножения его на интегрирующий
множитель M
получаем другой первый интеграл
2
M
2q
+
p
M
M
2
c
2
− 4ωp
+
2
p
. (3.50)
1
можно в дальней-
M +4
K
M
2
1
. (3.51)
= K
2
из (3.50)
Два первых интеграла K
, K2имеют особенности со степенями 3 и 4 соот-
1
ветственно, что согласуется с индексами Фукса. С точностью до аффинного
преобразования эллиптическое уравнение (3.51) является уравнением Вейерштрасса (1.42), и общее решение для (M, ϕ
) является эллиптической
функцией
M = −2
p
(℘(ξ−ξ
q
0,g2,g3
)−e0),ϕ=
2p
K
c
1
+
,e
M
0
4ωp − c
=
12p
2
2
, (3.52)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]