Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метод Пенлеве и его приложения
.pdf
1.2. СВОЙСТВО ПЕНЛЕВЕ И ШЕСТЬ ТРАНСЦЕНДЕНТ 7
определяется уравнением, то задача исследования этих особенностей носит
первостепенный характер. Например, решения (1.3) – (1.4) имеют соответственно одно и два семейства подвижных простых полюсов, поэтому мы
должны уметь устанавливать этот факт непосредственно по соответствующим ОДУ, не зная наперед их решения.
1.2. Свойство Пенлеве и шесть трансцендент
Как обобщить все вышесказанное? В этом и заключается общая задача
явного интегрирования ОДУ. Чтобы проинтегрировать ОДУ по Пуанка-
ре, необходимо выразить общее решение уравнения в явном виде, содержащем конечное число аналитических выражений. При этом выражения могут
быть многозначными, но в любом случае они должно состоять из элементарных объектов, называемых функциями. В свою очередь, функция определяется как отображение, которое можно сделать однозначным на всей
своей области определения. Любое линейное ОДУ задает функцию, так как
его общее решение можно сделать однозначным с помощью классических
процедур униформизации. К таким процедурам относятся, например, разрезы комплексной плоскости. Типичными примерами допустимых функций
служат все «специальные функции» математической физики, определяемые
некоторым линейным уравнением (экспоненциальные и тригонометрические функции, функции Бесселя, Эрмита, Лежандра, Гаусса, . . . ). Таким
образом, с учетом данного выше определения большой класс обыкновенных дифференциальных уравнений может считаться интегрируемым
нейные ОДУ, линеаризуемые ОДУ, а также ОДУ, общее решение которых
является рациональным относительно решения линейного уравнения, . . . .
Чтобы расширить класс допустимых функций, Л. Фукс и Пуанкаре
сформулировали задачу определения новых функций на основе решения
алгебраических нелинейных дифференциальных уравнений. Одну из таких
функций уже нашел Якоби, когда исследовал движение маятника. Задачей
в этой гамильтоновой системе, имеющей вид
2
dθ
+ mgl(1 − cos θ), (1.34)
dt
H =
1
2
ml
2
2
:ли-
является поиск отклонения от положения равновесия (которое определяется
углом θ отклонения маятника с длиной l и массой m от вертикальной оси)
2
К примеру, стационарное уравнение Шредингера, широко используемое в квантовой механике и известное в математике как уравнение Штурма–Лиувилля, в этой книги рассматривается как интегрируемое. Решение спектральной задачи выходит за рамки нашего рассмотрения.
8ГЛАВА 1
как функции времени t. Если приравнять H к постоянному значению E,то
мы получим уравнение первого порядка второй степени (по определению,
степень — это полиномиальная степень в старшей производной), которое
часто решается «разделением переменных»:
u =tg
θ
,t= t
2
u
+
0
(1 + u2)(E(1 + u2) − 2mglu2)
u
0
√
2ml2du
. (1.35)
Время t здесь выражается как эллиптический интеграл от отклонения u.
Такой подход, однако, не позволяет выразить отклонение как функцию времени. Если все же попытаться это сделать, то мы получим многозначное
выражение наподобие
u
u
0
du
1+u
= t0+arctgu −arctg u0, (1.36)
2
t = t
+
0
а не однозначное выражение
u
+tg(t − t0)
0
u =
1 − u0tg(t − t0)
. (1.37)
Эту классическую задачу, называемую обращением эллиптического интеграла, разрешили Абель и Якоби, доказав, что координаты (l cos θ, lsin θ)
маятника определяются однозначными выражениями, зависящими от времени:
E
, (1.38)
mgl
sin
cos
θ
= k sn
2
θ
=dn
2
g
(t − t
),k,k=
0
l
g
(t − t
),k. (1.39)
0
l
Символами sn(x, k) и dn(x, k),гдеk — константа, обозначаются две из
двенадцати эллиптических функций Якоби (приложение C). Все они удо-
влетворяют уравнениям вида
2
du
− P (u)=0, (1.40)
dx
1.2. СВОЙСТВО ПЕНЛЕВЕ И ШЕСТЬ ТРАНСЦЕНДЕНТ 9
где P — многочлен четвертой степени с комплексными коэффициентами,
не зависящий от x. Общее решение уравнения (1.40) является однозначным не только на вещественной оси x, но и на всей комплексной плоскости.
Именно на комплексной плоскости раскрывается одно прекрасное свойство
этой функции: она является двоякопериодической мероморфной функцией,
что характерно для всех эллиптических функций. Уравнение (1.40) инвариантно относительно преобразования, играющего фундаментальную роль
в современных теориях, — дробно-рационального преобразования
αu + β
u →
γu + δ
, (α, β, γ, δ) — комплексные константы,αδ− βγ =0.
(1.41)
Каноническим представителем этого класса эквивалентности служит уравнение Вейерштрасса
2
u
=4u3− g2u − g3=4(u − e1)(u − e2)(u − e3), (1.42)
где g
, g3, e1, e2, e3— комплексные константы. Один корень многочлена P
2
отображается в бесконечность за счет подбора параметров дробно-рационального преобразования. Группа дробно-рациональных преобразований
задает однозначное биективное отображение комплексной плоскости (к которой добавлена бесконечно удаленная точка) на себя. Вот почему рассматриваемая группа не изменяет структуру особых точек решения эллиптического уравнения.
Другим характеристическим свойством эллиптического уравнения,
имеющим для нас даже большее значение, чем предыдущее, является то,
что оно является единственным алгебраическим ОДУ первого порядка, которое определяет «новую» функцию так, как это было описано выше, т. е.
из нелинейного ОДУ.
Задача определения новых функций была рассмотрена для некоторых
уравнений высших порядков (для некоторых классов до шестого порядка)
Пенлеве и его учениками (Гамбье, Шэзи, Гарнье), а также их последователями (Бюро, Экстоном, Мартыновым, Косгроувом). Математически эта
задача формулируется следующим образом [350, с. 2]:
D´eterminer toutes les ´equations diff´erentielles alg´ebriques du premier order, puis du second order, puis de troisi`eme ordre, etc., dont l’int´egrale a ses
points critiques fixes.
3
Необходимо определить все алгебраические дифференциальные уравнения первого порядка, затем второго порядка, затем третьего порядка и т. д., общее решение которых не имеет
подвижных критических точек.
3
10 ГЛАВА 1
Отсюда естественным образом определяется свойство дифференциаль-
ных уравнений.
Определение 1.1. Если общее решение обыкновенного дифференциального уравнения можно построить так, чтобы оно стало однозначным, то
говорят, что это ОДУ обладает свойством Пенлеве (СП).
Класс преобразований, относительно которых структура особых точек решения u и, следовательно, свойство Пенлеве соответствующего ОДУ
для u остаются инвариантными, составляет группу дробно-линейных пре-
образований (также называемую группой Мебиуса и обозначаемую через
PSL(2, C)):
(u, x) → (U, X),u(x)=
α(x)U(X)+β(x)
γ(x)U (X )+δ(x)
,X= ξ(x),
(α, β, γ, δ, ξ) — функции,αδ− βγ =0. (1.43)
Видим, что группа дробно-линейных преобразований зависит от четырех
произвольных функций и представляет собой обобщение группы (1.41).
В настоящее время известны лишь нелинейные уравнения второго порядка, которые определяют новые функции. Шесть из них, найденные Пенлеве и Гамбье, называются транcцендентами Пенлеве Пn, n =1, ..., 6:
4
П1: u=6u2+ x,
П2: u
П3: u
П4: u
П5: u
П6: u
= δ(2u3+ xu)+α,
2
u
u
−
+ γ
+
x
3
u
2
=
u
2
u
=
2u
1
=
2u
1
=
2
u(u − 1)(u − x)
+
1
+
u − 1
1
+
u
u − 1
x2(x − 1)
1
2
4x
2
u
+ γu
2
−
1
u − x
u
x
3
+
+
u
β
+
4x
(u − 1)
2
x
2
−
δ
4u
2
1
x
αu
3
+4xu2+2x2u− 2αu +
+
+ γ
x − 1
(u − 1)
2
2
u
x
α + β
,
+
αu +
x − 1
1
2
β
u
+ δ
,
β
u
+
u
+ γ
x
1
u − x
x(x − 1)
(u − x)
+ δ
u
2
u(u +1)
u − 1
+
.
,
4
В качестве трансцендента П3 приводится уравнение, выбранное Пенлеве в 1906 го-
ду [351], а не оригинальное уравнение, выбранное им в 1900 году [349].
1.2. СВОЙСТВО ПЕНЛЕВЕ И ШЕСТЬ ТРАНСЦЕНДЕНТ 11
Здесь α, β, γ, δ — произвольные комплексные параметры5. Их единственными особыми точками (для П3 и П5 на комплексной плоскости e
x
,адля
остальных четырех на плоскости x)являютсяподвижныеполюса.Кроме
того, для П6 имеются еще три неподвижные критические особые точки,
соответственно расположенные в точках x = ∞, 0, 1. Основные свойства
трансцендент Пенлеве кратко рассматриваются в приложении B.
Мы не будем останавливаться на том, как именно были найдены эти
шесть уравнений. Покажем лишь (в главе 3), как следует интегрировать
заданные нелинейные ОДУ с использованием линейных ОДУ, эллиптического уравнения и шести уравнений Пенлеве.
Одним из часто задаваемых вопросов (см. соответствующий раздел)
является следующий: как получилось, что эти шесть трансцендент, найденные из чисто математических соображений, так широко распространены
в физике? Ответ очевиден: они являются функциями, которые определяются обыкновенным дифференциальным уравнением (подобно тому, как экспоненциальная функция определяется обыкновенным дифференциальным
уравнением u
−u =0), а поскольку ОДУ, описывающее физическую систе-
му, обладает некоторой однозначностью, эллиптические функции и функции Пенлеве также вносят вклад в соответствующее однозначное выражение. Известным примером служит двумерная модель Изинга, в которой
двухточечная корреляционная функция имеет вид функции П6, определяющей температуру [240] для таких значений параметров α, β, γ, δ, которые
идентичны значениям параметров в случае модульных преобразований Пикара (формула (B.3) в приложении).
5
Без потери общности можно допустить, что в П5 выполняется условие δ(δ − 1) = 0,
а в П3 имеют место равенства γ(γ − 1) = 0, δ(δ − 1) = 0. См. приложение B.4.
ГЛАВА 2
Анализ особых точек: тест Пенлеве
В данной главе мы рассмотрим тест Пенлеве для различных типов
нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений,
(N)
E(x, u
этот тест представляет собой алгоритм, который позволяет (локально) проверить выполнение необходимых условий для того, чтобы уравнение обладало свойством Пенлеве.
Этот метод исторически восходит к Софье Ковалевской и Бертрану
Гамбье, его элементы уже встречаются у Хойера [227]
движения твердого тела с закрепленной точкой Ковалевская потребовала,
чтобы общее решение было однозначной функцией времени не только на
действительной оси, но и на комплексной плоскости. Используя метод, который мы собираемся здесь представить в более общем виде, она выделила
четвертый случай, когда решение является однозначной функцией времени,
который успешно проинтегрировала в явном виде («случай Ковалевской»)
и таким образом доказала [258] конструктивно существование однозначного общего решения. Развивая идеи Аппельрота, Гамбье представил метод
в алгоритмическом виде. Этот же метод позднее был независимо от Гамбье
разработан Абловицем, Рамани и Сегуром [5,372]. Что касается Пенлеве, то
он не использовал «метод мадам Ковалевской, поскольку не установлено,
являются ли сформулированные ею условия необходимыми» [350, с. 10, 83;
354, с. 196, 269]. В данном учебнике мы не рассматриваем α-метод Пенлеве [349], поскольку он довольно сложен в применении.
, ..., u,u)=0,=
d
, (2.1)
dx
1
. При исследовании
2.1. Метод Ковалевской–Гамбье
Здесь мы рассматриваем метод, суть которого состоит в проверке возможности представления общего решения в окрестности подвижной осо-
1
Пол Хойер и Софья Ковалевская оба были учениками Вейерштрасса.
2.1. МЕТОД КОВАЛЕВСКОЙ–ГАМБЬЕ 13
бой точки x − x0=0в виде однозначной функции времени, например
суммы ряда Лорана
+∞
u =
j=0
ujχ
j+p
где коэффициенты u
, −p ∈ N,E=
, Ejне зависят от переменной χ. В случае, когда
j
+∞
j=0
Ejχ
j+q
, −q ∈ N, (2.2)
в ОДУ зависимость от x явная, коэффициенты ряда будут зависеть от x
Как отметил Гамбье [164, с. 50], этого можно избежать, определяя переменную χ из свойства χ
=1,анеχ = x − x0, и тогда коэффициенты ряда
будут зависеть от x. Более подробно этот метод изложен в [76, с. 160].
2.1.1. Модель Лоренца
В качестве первого примера рассмотрим систему
dx
= σ(y − x),
dt
dy
= rx − y − xz,
dt
2
dz
= xy − bz. (2.3)
dt
На первом шаге, как и в разделе 1.1.2, следует определить все множество подвижных особых точек, в окрестности которых выполнено асимптотическое разложение
χ → 0: x ∼ x
p
1
χ
0
,y∼ y0χ
p
2
,z∼ z0χ
p
3
, (x0,y0,z0) =(0, 0, 0),χ=1,
(2.4)
где по крайней мере одно p
неположительное целое. Подставляя (2.4)
j
в (2.3),получим
−x
p1− 1 p2p
члены −σx, −y и −bz дают особенность меньшего порядка, чем члены x
y
, zсоответственно. Отсюда необходимо следует
σy −σx −y
1
⎧
q
= p1− 1=p2,
⎪
1
⎨
= p2− 1=p1+ p3,
q
2
⎪
⎩
q
= p3− 1=p1+ p2,
3
2
Можно было бы рассмотреть уравнение третьего порядка (2.24) и получить аналогичные
результаты. Однако в общем случае любое преобразование приводит к увеличению объема
выкладок.
rx −y −xz −z
xy −bz
p2− 1 p1p2p1+ p3p3− 1 p1+ p2p
⎧
−p
⎪
⎨
−p
=
E
0
⎪
⎩
−p
+ σy0=0,
1x0
− x0z0=0,
2y0
+ x0y0=0,
3z0
3
(2.5)
.
0
,
,
14 ГЛАВА 2
откуда определяем два семейства решений
p =(−1, −2, −2), q =(−2, −3, −3), (2.6)
x
=2i, y0= −2iσ−1,z0= −2σ−1,i2= −1. (2.7)
0
Первое необходимое условие выполнения свойства Пенлеве (СП), состоящее в том, что компоненты вектора p должны быть целыми, для нашего
примера выполняется.
После завершения первого шага следует установить, возможно ли вычислить коэффициенты u
циентов (x
j,yj,zj
) рядов Лорана имеем рекуррентные уравнения в мат-
ричной форме:
здесь P
— квадратная матрица, элементы которой зависят только от j,от
j
компонент вектора p и координат особой точки x
⎛
−j −p
⎜
P
=
⎝
j
−z
y
1
0
0
, j 1 рядов Лорана (2.2). Для расчета коэффи-
j
⎛
⎞
x
j
⎜
⎟
+ Q
=0, (2.8)
j
, y0, z0,
0
⎞
⎛
⎟
⎠
3
−j +1 σ 0
⎜
⎝
2σ
−2iσ
−1
−j +2 −2i
−1
=
2i −j +2
σ 0
−j −p
x
0
P
2
y
⎝
j
j
z
j
−x
−j −p
⎠
0
⎞
⎟
⎠
,
(2.9)
а вектор-столбец Q
зависит от всех предыдущих коэффициентов (xl,yl,zl),
j
l =0, ..., j − 1,
Q
⎛
j−1
⎜
⎜
−
⎜
=
j
⎜
⎝
k=1
xkz
j−1
k=1
j−k
xky
−σx
j−k
j−1
+ rx
− bz
j−1
j−1
− y
⎞
⎟
⎟
i−1
⎟
. (2.10)
⎟
⎠
Следовательно, для каждого значения индекса j имеем линейную алгебраическую систему уравнений. При этом возможны следующие три случая.
1) При данном значении индекса j определитель матрицы P
нуля. Значит, коэффициенты (x
j,yj,zj
) определяются однозначно.
2) При данном значении индекса j определитель матрицы P
лю, а вектор-столбец Q
ортогонален ядру транспонированной матри-
j
отличен от
j
равен ну-
j
2.1. МЕТОД КОВАЛЕВСКОЙ–ГАМБЬЕ 15
цы Pj. Решение системы (xj,yj,zj) существует и зависит от нескольких (по крайней мере от одной) произвольных постоянных, число которых равно размерности ядра.
3) При данном значении индекса j определитель матрицы P
а вектор-столбец Q
цы P
. В этом случае решения системы не существуют, коэффициенты
j
не ортогонален ядру транспонированной матри-
j
равен нулю,
j
ряда Лорана найти невозможно, а значит система уравнений не проходит тест Пенлеве.
Второй шаг состоит в нахождении тех значений индексов j,прико-
торых коэффициенты ряда Лорана являются произвольными постоянными.
Эти значения индексов, обращающие в нуль определитель матрицы P
,на-
j
ходятся следующим образом. Рассмотрим ведущие члены исходной системы
дифференциальных уравнений, которые определяют доминантное поведение решения
E(x, y, z) ≡
Вычислим их производные (т.е. линеаризуем систему вблизи точки
(x = x
lim
ε→0
p
1
χ
,y= y0χ
0
E(x + εX, y + εY, z + εZ) −E(x, y, z)
p
2
,z= z0χ
ε
⎧
−x
+ σy,
⎪
⎨
− xz,
−y
⎪
⎩
+ xy.
−z
p
3
))
⎧
⎪
⎨
≡
⎪
⎩
− X
− Y
− Z
+ σY,
− zX −xZ,
+ yX + xY.
(2.11)
(2.12)
В окрестности точки χ =0эта однородная система линейных уравнений
относительно переменных (X, Y, Z) допускает степенное решение
X ∼ X
j+p
χ
j
1
,Y∼ Yjχ
j+p
2
,Z∼ Zjχ
j+p
3
, (2.13)
и коэффициенты при наименьшей степени переменной χ в линейной системе (2.12) удовлетворяют соотношениям
⎧
− (j + p
⎪
⎨
− (j + p
⎪
⎩
− (j + p
+ σYj=0,
1)Xj
− z0Xj− x0Zj=0,
2)Yj
+ y0Xj+ x0Yj=0.
3)Zj
(2.14)
16 ГЛАВА 2
Ненулевое решение этой однородной системы (Xj,Yj,Zj) существует
в случае обращения в нуль определителя матрицы P
системы, см. (2.9),
j
det P
= −(j +1)(j −2)(j −4) = 0, (2.15)
j
это уравнение называется индексным уравнением [233, гл. XV]. Его корни
называются индексами Фукса линейной системы (2.12) и, с некоторыми
оговорками, индексами нелинейной системы (2.3). Для произвольного ОДУ
число индексов Фукса не превышает порядка уравнения.
Для значения j = −1 кажется, что невозможно ввести произвольную
постоянную, поскольку оно не является натуральным числом, но в действительности оно соответствует введению произвольной постоянной t
Это вытекает из следующей теоремы Пуанкаре: пусть дано решение нелинейной системы, поведение которого определяется доминантными членами (2.11), в рассматриваемом случае они равны
(x, y, z)=(2iχ
их производные по произвольному параметру (здесь по t
−1
, −2iσ−1χ−2, −2σ−1χ−2),χ= t − t0, (2.16)
) являются реше-
0
нием линеаризованной системы (2.12), в данном случае
(X, Y, Z)=∂
(x, y, z)=(−2iχ−2, 4iσ−1χ−3, 4σ−1χ−3), (2.17)
t
0
что соответствует значению j = −1 в (2.13). Следовательно, для любого семейства нелинейных ОДУ (и даже для уравнений в частных производных)
значение −1 всегда является индексом Фукса.
Третий шаг состоит в проверке выполнения для каждого индекса Фук-
са условия ортогональности.
При j =1находим
.
0
=(3σ − 2b − 1)i/3,y1=2i, z1=2σ−1(3σ −b +1). (2.18)
x
1
При j =2система для коэффициентов имеет ненулевое решение, толь-
ко при условии
≡ (b − 2σ)(b +3σ − 1) = 0, (2.19)
Q
2
решение в этом случае имеет вид
x
=const,y2= σ−1x2+(3σ − 2b −1)i/3,
2
= −iσ−1x2− σ−1(3σ − 2b − 1)(3σ −b +1)/9+r −1.
z
2
(2.20)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]