Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метод Пенлеве и его приложения
.pdf
7.6. ТОЧНЫЕ ДИСКРЕТИЗАЦИИ 217
Исключение ϕ = ψ+/ψ−из (7.90), (7.94) и (7.93) дает дискретный
аналог уравнения (7.80):
(
ϕ − ϕ)(ϕ −ϕ)
(ϕ − ϕ)(ϕ −ϕ)
Ω
Ω
−
=0. (7.95)
2
κ
Этот дискретный шварциан впервые был получен Фаддеевым и Тахтаджяном [136].
Окончательно исключив c из дискретных линейных соотношений
(7.88) и (7.90), приходим к двум различным дискретным линейным уравнениям третьего порядка, допускающим (7.78) при переходе к непрерывному
пределу.
7.6.2. Эллиптическое уравнение
Эллиптическое (непрерывное) уравнение имеет два вида нормализованных форм (приложение C), одна из них — форма Вейерштрасса, а двенадцать других — формы Якоби (по сравнению с которыми в нашем случае
предпочтительней три формы Хальфена h
, h2, h3, приложение C.2), опре-
1
деляемых уравнениями первого и второго порядка
2
=4℘3− g2℘ − g3, (7.96)
℘
=6℘2− g2/2, (7.97)
℘
= −hβhγ, (7.98)
h
α
h
α
= hα(2h
2
− 3eα), (7.99)
α
где g
, g3, eαявляются константами и (α, β, γ) произвольные перестановки
2
(1, 2, 3).
Как отмечено Бакстером [24] и Поттсом [365], дополнительные формулы (C.7) и (C.19) по существу определяют точную дискретизационную схему для уравнений первого порядка (7.96) и (7.98). Это легко проверяется
при замене (x
) на (x−h/2,h). В схеме для уравнений второго порядка
1,x2
(7.97) и (7.99), в отличие от дискретного уравнения первого порядка, используются точки (x
)=(x, h) и (x − h, h). Результаты дискретизации
1,x2
имеют вид [367, 368, 369]
(
u − u)2℘(h)=2uu(u + u) − (g2/2)(u + u) − g3−
uu + g2/4)2+ g3(u + u)]℘−1(h), (7.100)
− [(
218 ГЛАВА 7
(u − 2u + u)℘(h)=2u(u + u + u) −g2/2−
2
(u + u)+(g2/2)u + g3]℘−1(h), (7.101)
− [u
u − u)2h
(
(
u − 2u + u)h
З
АМЕЧАНИЕ.
2
(h)=(uu)2− 2(h
α
2
(h)=u2(u + u) −2(h
α
(h)+h
α
2
(h))uu +9eβeγ, (7.102)
α
(h)+h
α
2
(h))u. (7.103)
α
1) Общее решение (7.100) и (7.102) представляется в виде комбинации
℘(x −x
0,g2,g3
) и hα(x −x0,g2,g3),гдешагh произволен, т. е. не яв-
ляется с необходимостью бесконечно малым. Поэтому эти уравнения
проходят дискретный тест Пенлеве. Уравнения (7.101) и (7.103) так-
же проходят дискретный тест Пенлеве поскольку для них существует
дискретная пара Лакса [88].
2) Порядок и степень всех четырех исходных уравнений сохраняется при
дискретизации.
3) Из этих схем бесконечного порядка при разложении в ряд Лорана
функции ℘(h) в окрестности полюса второго порядка h =0или функции h
(h) в окрестности ее простого полюса получаются схемы вто-
α
рого порядка
(
u − 2u + u)h−2=2u(u + u + u) − g2/2, (7.104)
u − 2u + u)h−2= u2(u + u)+3eαu, (7.105)
(
которые имеют дискретные пары Лакса [88] и, следовательно, имеют
свойство Пенлеве.
4) Если в уравнении (7.102) (или (7.100)) три фиксированных коэффици-
ента заменить произвольными значениями, то получится уравнение
u − u)2=(uu)2+ buu + c, (7.106)
a(
представляющее собой дробнорациональное отношение. Отсюда получается дискретное уравнение первого порядка второй степени
P (
u, u, cj)=0, (7.107)
которое зависит от шести произвольных констант c
рой порядок отдельно по
4
Эта произвольность может быть увеличена [231, 253]. Например, в соответствии с [252]
если начальное уравнение u = h
u = ℘(x +(−1)
как это было сделано в (7.30), степень относительно
n
γ) и систему представить в виде двух систем в зависимости от четности n,
u и u4. Последнее уравнение было изуче-
(x) или u = ℘(x) заменить на u = hα(x +(−1)nγ) или
α
u и u станет равной четырем.
и имеет вто-
j
7.7. ДИСКРЕТНЫЕ ВАРИАНТЫ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА 219
но и проинтегрировано (конечно, в эллиптических функциях!) в 1973
г. Бакстером [24] в восьмивершинной модели как коммутация условия
Янга–Бакстера, или звездно-треугольных соотношений. Эти соотношения Янга–Бакстера, [238], которые являются дискретными тензорными
уравнениями второго порядка, играют в дискретной области такую же
центральную роль, какую играют уравнения Янга–Миллса в непрерывной области.
Исключительная важность этих точных дискретизаций, и в частности
уравнения (7.107) с шестью параметрами, будет отмечена в разделе 7.8.
7.7. Дискретные варианты нелинейного уравнения
Шредингера
Дискретные варианты нелинейного уравнения Шредингера, которое
встречается во многих областях физики, не являются дискретизациями
НШ, а представляют собой результат некоторых предположений, не связанных с величиной шага, и результирующее уравнение в общем случае
имеет вид (знаменатель h
u
+ p
n+1
iu
n, t
где p и q действительные. Это случай, соответствующий конденсации
Бозе–Эйнштейна [360] и распространению света в идеальном светопроводе [10]. Единственное аналитическое решение, известное на настоящий
момент, представляет собой плоскую волну
2
введен исключительно для удобства)
+ u
n−1
h
− 2u
n
2
+ q|un|2un=0,pq=0, (7.108)
n
= ae
i(knh−ωt)
,ω−4p sin
u
kh
2
2
+ q|a|
2
=0. (7.109)
Одним из очень интересных и открытых вопросов является нахождение
(если она существует) замкнутой формы для светлых и темных уединенных
волн уравнения (7.108).
Что касается свойства Пенлеве, то уравнение (7.108) не проходит тест
Пенлеве, проведенный тремя методами (разделы 7.3.1, 7.3.2 и 7.3.3), следовательно, в терминологии раздела 7.1 представляет собой плохую дискретизацию уравнения НШ.
Инверсный метод нахождения хорошей дискретизации уравнения НШ
состоит в дискретизации пары Лакса уравнения (непрерывного) НШ:
iu
n, t
+ p
u
n+1
+ u
n−1
h
− 2u
n
2
+ qunu
u
+ u
n+1
n
n−1
2
=0. (7.110)
220 ГЛАВА 7
Это уравнение имеет дискретное свойство Пенлеве в силу построения. Дискретизация самого нелинейного уравнения Шредингера в виде полиномов
не дало бы возможности выделить [266] другие интегрируемые дискретные нелинейные уравнения Шредингера (в противоположность, например,
дискретизации (7.60), которая допускает три решения).
Поучительный подход [141] состоит в рассмотрении уравнения типа
нелинейного уравнения Шредингера
iu
n, t
+ p
u
n+1
+ u
n−1
h
+ q
− 2u
n
2
+
u
n+1
+ u
2
n−1
F (|u
|)+unG(|un|)=0 (7.111)
n
и определении пары функций (F, G), при которых допускаются решения
ввидеsech и th, как в непрерывном уравнении НШ. Одним таким физически значимым уравнением является дискретное нелинейное уравнение
Шредингера с насыщением
iu
u(x + h, t)+u(x − h, t) − 2u(x)
+ p
t
2
h
+ q
+
2
|u|
u
1+v(qh2/p)|u|
=0,pqv=0, (7.112)
2
которое допускает различные эллиптические уединенные волны [252, 62];
при переходе к непрерывному пределу в случае v → 1/2 в этих решениях
непрерывный предел уравнения (7.112) эквивалентен нелинейному уравнению Шредингера.
7.8. Очерк о дискретных уравнениях Пенлеве
Основная задача состоит в нахождении дискретных трансцендентных
функций, т. е. в распространении на дискретную область открытия шести
трансцендент Пенлеве. Это равносильно определению дискретного аналога классификации всех нелинейных ОДУ второго порядка первой степени,
которые обладают свойством Пенлеве, см. в приложении А.3.2. Для каждого дискретного типа (разностное уравнение, q-разностное, е-разностное)
необходимо:
1) построить дискретный аналог α-метода с учетом типа уравнения;
7.8. ОЧЕРК О ДИСКРЕТНЫХ УРАВНЕНИЯХ ПЕНЛЕВЕ 221
2) определить группы инвариантности для дискретного свойства Пенлеве, для распределения уравнений по различающимся классам эквивалентности. Дискретная бирациональная группа была определена
в уравнении (7.15), однако доказательство эквивалентности двух данных дискретных уравнений, к которым применено это преобразование,
представляет собой достаточно сложную задачу;
3) доказать свойство Пенлеве для уравнения, которое прошло дискретный
тест Пенлеве. Как сказано в разделе 7.5, допускается, что достаточно
предъявить дискретную пару Лакса;
4) определить дискретный аналог понятия неприводимости (приложение А.2). Это пока еще не сделано.
Решение этой важной задачи можно попытаться найти, используя два
различных подхода, о которых сейчас вкратце расскажем.
7.8.1. Аналитический подход
Этот подход основан на следующем замечании. В списке 50 уравнений
Гамбье [163] (приложение А.3.2) все автономные уравнения либо линеаризуемые, либо допускают первый интеграл, определяющий эллиптическое
ОДУ первого порядка второй степени, в то время как каждое неавтономное
уравнение можно поставить в соответствие с каким-либо автономным уравнением этого списка. Следовательно, исходя только из наиболее общего
эллиптического ОДУ первого порядка второй степени, можно, в принципе,
составить полную классификацию. Например, исключение константы K из
уравнения
2
u
=2αu −
β
−
u
u − 1
−
δ
+ Ku(u − 1)(u − a)(7.113)
u − a
γ
и его производной приводит к уравнению (в списке Гамбье оно имеет номер 48), которое является автономным пределом шестого уравнения Пенлеве П6. Для того чтобы перейти от уравнения Гамбье 48 к уравнению П6,
необходимо просто заменить постоянные коэффициенты произвольными
функциями от x, которые отбираются исходя из требования прохождения
теста Пенлеве.
Эта идея была успешно применена к дискретным уравнениям [373].
Исходным уравнением является автономное дискретное уравнение второго
порядка первой степени с шестью параметрами (7.107), полученное при исключении h
(x) из u = hα(x) и u = hα(x+h), что приводит к дробно-раци-
α
222 ГЛАВА 7
ональному отношению. Исключая один из шести параметров cjиз соотношений P (
u, u, cj)=0и P (u, u,cj)=0, получаем дискретное автономное
уравнение второго порядка первой степени с пятью параметрами
Q(
u, u, u,cj)=0 (7.114)
(степень полинома Q относительно его первых трех аргументов равна соответственно 1, 4, 1). Это семейство уравнений, впервые введенное в [305,
370, 371] и иногда называемое QRT-отображением (Q — обозначение полинома, RТ — рациональное преобразование), является непосредственным
следствием аддитивной формулы для эллиптических функций. После замены констант в уравнении (7.114) на функции от x и требования прохождения дискретного теста Пенлеве полученными неавтономными уравнениями
эти отобранные уравнения, вероятно, должны иметь свойство Пенлеве. Ответом на этот вопрос будет построение их пар Лакса. Многие уравнения
d-Пn и q-Пn могут быть выделены таким способом (более подробно эта
процедура изложена в заметках [182]). В частности, уравнение q-П6 имеет
пару Лакса (открытую в [181] и по существу установленную в [243])
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
y
x
nyn−1
nxn+1
=
=
где c, d, s, t — константы, а a, b, p, r пропорциональны q
− a)(xn− b)
st(x
n
(xn− c)(xn− d)
− p)(yn− r)
cd(y
n
(yn− s)(yn− t)
,
(7.115)
prcd
,
abst
= q,
n
.Какxn,такиy
допускают непрерывный предел к П6, и соотношение между lim xnи lim y
представляет собой элементарное бирациональное преобразование (5.305)
уравнения П6 [183, с. 463]. Однако вышеприведенная процедура не может
гарантировать того, что все дискретные уравнения Пенлеве будут найдены,
поскольку она является только достаточной.
n
n
7.8.2. Геометрический подход
Трансценденты Пенлеве были выделены с двух различных точек зрения: построения новых функций, определяемых нелинейными ОДУ (Пенлеве и Гамбье), и монодромии, которая сохраняет деформацию линейных
дифференциальных уравнений [157, 242]. При использовании третьего —
геометрического — подхода Сакаи [379] обнаружил в двух свойствах непрерывных уравнений Пенлеве (Пn) ключ к построению всех дискретных уравнений Пенлеве (Пn) (аддитивных d-Пn, мультипликативных q-Пn и эллиптических е-Пn).
7.8. ОЧЕРК О ДИСКРЕТНЫХ УРАВНЕНИЯХ ПЕНЛЕВЕ 223
Это следующие два свойства:
1) группа симметрий, которая оставляет инвариантным каждое уравнение
Пn (подробности см. в разделе B.4);
2) другая группа преобразований определяется пространством начальных условий и построена в [340] методом расщепления (´eclatement
по-французски).
Обе группы могут быть представлены с помощью диаграмм Дынкина (таблица 7.1), и их сравнение весьма поучительно. В терминах сложности групп
(1)
(E
обладает наибольшая, A
8
(1)
— наименьшая) один список имеет воз-
1
растающую сложность, другой — убывающую, а П6 представляется только
простой точкой. Более того, из этого следует, что группа E
(1)
играет весьма
8
важную роль.
Таблица 7.1. Сравнение двух множеств диаграмм Дынкина. В первой строчке перечислены диаграммы аффинных групп Вейля, представляющие собой элементарные
бирациональные преобразования. Вторая строчка показывает конфигурацию неприводимых компонент «вертикальных листов»
Feature П1 П2 П3 П4 П5 П6
бирациональные преобразования — A
вертикальные листы E
8
(1)
(1)
(2A1)
1
(1)
(1)
E
D
7
6
(1)
(1)
(1)
A
2
(1)
E
6
(1)
A
D
3
4
(1)
(1)
D
D
5
4
Эта роль была раскрыта с помощью замечательного построения, ко-
торое начиналось от теории рациональных поверхностей и заканчивалось
главным дискретным уравнением Пенлеве [379]. Более детально это изложено в [332] и [247, § 6 и 7]. В одной из этих эквивалентных геометрических конструкций построение начинается от кубической кривой общего вида на плоскости. Такая кривая характеризуется девятью параметрами
(подобно группе E
метризация для однородных координат (x
где σ — целая функция Вейерштрасса, а ω
(1)
) и имеет род, равный единице, ее натуральная пара-
8
ω
2
2
1,x2,x3
,c
⎧
x
= −σ(u)σ(u + c2)σ(u − c2),
1
⎪
⎪
⎪
⎪
= −σ(u)σ(u + c1)σ(u − c1),
x
⎨
2
x
= −σ(u − c0)σ(u − c1)σ(u − c2),
3
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
ω
1
c
1
,c
=
2
=
2
) имеет вид
= −c1− c2,
0
, ω2связанные полупериоды.
1
(7.116)
Затем главное уравнение е-П6 может быть представлено как рациональное
224 ГЛАВА 7
отношение между десятью точками: восемь, принадлежащих кубической
кривой (так называемые «параметры» е-П6), и две других (так называемые
«независимая» и «зависимая» переменные). Его аффинная группа Вейля
является по построению E
(1)
, а пара Лакса пока неизвестна. По сравнению
8
с уравнением П6 оно зависит от более чем четырех параметров.
Явное выражение для е-П6 весьма громоздко, но некоторое коразмер-
ное е-П6 (т.е. зависящее от произвольных параметров, число которых на
единицу меньше) может быть записано в несколько строчек [339, ур. (12)],
например так:
x
− ℘(λn + an)
n−1
x
− ℘(λn + bn)
n−1
Здесь a
функции ϕ(n), четырехпериодической функции ω(n) и, наконец, слагаемого (−1)
, ..., fn— линейная комбинация константы, трехпериодической
n
n
γ,гдеγ — константа, правая часть F не зависит от xnи включает
x
− ℘(−2λn + cn)
n
×
xn− ℘(−2λn + dn)
x
− ℘(λn + en)
n+1
×
x
− ℘(λn + fn)
n+1
×
= F(n, (−1)
n
). (7.117)
в себя аналогичные значения эллиптической функции ℘.
7.8.3. Краткие выводы по дискретным уравнениям Пенлеве
В задачу данной книги не входит исчерпывающее описание всех дис-
кретных аналогов уравнений Пенлеве. За более полным изложением можно
обратиться к тезисам Сакаи [379] и более поздним обзорам [247, 184].
Перечислим некоторые наиболее важные свойства дискретных уравне-
ний Пенлеве.
1) Зависимость коэффициентов уравнений от n представляется в виде
эллиптических функций (е-дискретные) или вырожденных эллиптических функций (тригонометрических e
n ln q
, рациональных) в полной
аналогии с автономными ОДУ первого порядка, которые имеют свойство Пенлеве (приложение А.3.1).
2) Из главного эллиптического разностного уравнения могут быть получены все дискретные уравнения Пенлеве. Действительно, уравнение
е-типа вырождается в уравнение q-типа, а затем в разностное уравнение. Этот процесс может быть изображен в виде дерева с уравнением
е-П6 в вершине, а в основании — с непрерывным уравнением Пn, см.
диаграмму в [379].
7.8. ОЧЕРК О ДИСКРЕТНЫХ УРАВНЕНИЯХ ПЕНЛЕВЕ 225
3) Непрерывным пределом для уравнений е-П6, всех уравнений q-П6 и
уравнения d-П6 является уравнение П6.
4) Уравнение е-П6 имеет классические решения (см. раздел А.2). Аналогом гипергеометрической функции уравнения П6 является эллиптическая гипергеометрическая функция
10E9
дробно изученная в [396]. Можно получить и другие решения дискретных уравнений — обобщения гипергеометрической функции, такие как
полиномы Аски–Вильсона. См. обзор [333].
5) Наилучшее описание всех дискретных уравнений может быть проведено с использованием ассоциированных с ними аффинных групп Вейля.
ГЛАВА 8
Часто задаваемые вопросы
Эта глава содержит ответы на часто задаваемые вопросы и часто вы-
сказываемые некорректные утверждения.
Вопрос. Почему решение уравнения u
станта, всегда представляется в виде th независимо от знака S?
Ответ. Это дело вкуса. На самом деле в комплексной области нет необ-
ходимости вводить четыре различные функции (th, cth, tg, ctg)дляпредставления решения этого уравнения, достаточно одной. Авторы предпочитают th, поскольку только эта функция ограничена на действительной оси,
а это свойство характерно для уединенных волн в физике.
Вопрос. Линейные уравнения не имеют доминантного баланса, следо-
вательно, они не проходят тест Пенлеве.
Ответ. Неверное утверждение. Все линейные ОДУ по определению
имеют свойство Пенлеве, следовательно, тест необходимо сформулировать
так, чтобы линейные уравнения проходили этот тест.
Вопрос. Что является общим решением уравнения П2? Это решение
нигде не выписано.
Ответ. Для каждого Пn-уравнения общим решением является Пn-функ-
ция по построению. Эта тавтология только отражает существо исходной
задачи — определить функции, порождаемые нелинейными ОДУ. Существуют некоторые значения параметров α, β, γ, δ, при которых уравнения
Пn имеют решения (называемые классическими, приложение А.2), которые
выражаются только через классические функции (эллиптические функции
и решения линейных уравнений). Так, в случае уравнения П2 классическое
решение существует при целом α − 1/2 (при этом существует однопараметрическое решение, которое представляет собой алгебраическое преобразование функции Эйри), при целом α (при этом существует решение,
рациональное по x, в которое не входят параметры).
Вопрос. Если некоторое ОДУ сводится к квадратурам, то является
ли оно интегрируемым в смысле Пенлеве?
+ u2+ S/2=0,гдеS —кон-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]